KY THUAT XAP XI CO BAN UNG DUNG GIAI PT BPT 2016 2017

TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương

KỸ THUẬT XẤP XĨ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Nguyễn Đại Dương – Trần Quốc Thịnh – Trần Lê Quyền
Sau đây thầy xin giới thiệu đến các em một kỹ thuật đơn giản và thường dùng
nhất của kỹ thuật xấp xĩ.
Kỹ thuật được sử dụng mạnh mẽ cho việc chứng minh vô nghiệm đối với các
bài toán khó và rất khó.
Ý nghĩa của việc xấp xĩ là khi ta cần chứng minh f  x   0

 f  x  0 thì ta sẽ

đánh giá nó thông qua một hàm số khác f  x   g  x   0 sao cho sai số giữa 2 hàm

số là rất bé, khi đó hàm số g  x  chính là hàm số xấp xĩ với hàm f  x  mà vẫn đảm
bảo được là g  x   0 .

Các em có thể xem ý tưởng và kết quả tổng quát của thầy cho các lớp bài toán
thường dùng ở Video.

Ví dụ 1: Giải phương trình

x3 3 2x 

5x  9
4

Bài giải
Điều kiện: x   3,2 


1
3
5
Pt   x  1 

 0
2 x 1 4 
 x3 2

Xét A 

1
x3 2



3
2 x 1



5
4

Nhập vào TABLE với:
 START = -3
 END = 2
 STEP = 0,5
Từ bảng bên ta thấy f  X  ~ 0,0805

tại x  2,5 2 nên ta có thể chọn
x  2 hoặc x  2,5 là giá trị xấp xĩ
cực tiểu của hàm số. Ở đây thầy
chọn x  2 cho đẹp.

X

F(X)
-3

0,177

-2,5

0,0805

-2

0,0833

-1,5

0,105

-1

0,1409

0

0,2605

1

0,5

2

1,986

Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng


TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương
Ta cần tìm một đánh giá có dạng

x  3  a 2  x  b để đƣa biểu thức A

về một hàm xấp xĩ chỉ chứa 1 căn thức: A  f





2x .

Ta chọn a sao cho f  x   x  3  a 2  x đạt cực trị tại giá trị x  2

hay f '  2   0  a  2 .

Khi đó ta đƣợc

x  3  2 2  x  b  x  3  2 2  x  b .

Ta tìm b bằng cách nhập

X

f  x   x  3  2 2  x vào TABLE

F(X)
-3

5,4721

-2,5

4,9497

-2

5

Từ bảng bên ta thấy f  X   5 nên giá

-1,5

4,9664

trị b là 5, ta suy ra đƣợc biểu thức xấp

xĩ cần tìm là:

-1

4,8783

0

4,5604

x3 2 2x 5

1

4

 x  3  2 2  x  5

2

2,236

 START = -3
 END = 2
 STEP = 0,5

Ta có:
A

x  3  2 2  x  5  25  x  2    đúng x  3,2 

2

1



3



5
1
3
5



4 2 2  x  5  2
2  x 1 4

x3 2
2 x 1
2
10a  45a  53
a 2x

A 
0
a0, 5 
4  7  2a  a  1




Pt  x  1 .
Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm x  1 .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 x2  3  2 x 

43
7
  x  1 x  3  x 2
25
25

Bài giải
Điều kiện: x  3


2
1
7 

 0
Bpt  x2  1 
 2
x  3  2 25 
 x 32





Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng


TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương
Xét A 

2
x 3 2
2

1



x3 2



7
25

X

F(X)
-3

-0,412

-2

-0,182

-1

-0,072

-0,5

-0,033

0

-0,012

nên ta sẽ chọn

0,5

-0,012

1
là giá trị xấp xĩ cực đại của
4

1

-0,03

2

-0,085

…

…

10

-0,293

Nhập vào TABLE với:
 START = -3
 END = 10
 STEP = 0,5
Từ bảng bên ta thấy f  X  ~ 0,012 tại
x0

và

x  0,25 

x  0,5

hàm số.

Ta cần tìm một đánh giá có dạng

x2  3  a x  3  b để đƣa biểu thức

A về một hàm xấp xĩ chỉ chứa 1 căn thức: A  f





x3 .

x
Ta chọn a theo công thức sau: a  h  0,25  

2



3 ' x3

 x  3'

chọn giá trị a  0,5 
Khi đó ta đƣợc

x2  3

 0,515 ta sẽ

1
. (Công thức chọn a được đề cập bên dưới)

2

x2  3 

1
1
x  3  b  x2  3 
x3 b.
2
2

Ta tìm b bằng cách nhập
1
f  x   x2  3 
x  3 vào TABLE
2

X

F(X)
-3

3,4641

 START = -3

-2

2,1457

 END = 10

-1

1,2928

 STEP = 0,5

0

0,866

Từ
bảng
bên
ta
thấy
f  X   0,866  0,8 nên giá trị b là

0,5

0,873

4
0,8  , ta suy ra đƣợc biểu thức xấp xĩ
5

1

1

2

1,5277

…

…

Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng


TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương
cần tìm là:
Ta có:

x2  3 
x2  3 

1
4
x3 
2
5

10

1
4

x  3   100 x2  45x  21  20
2
5

1



2

x  3  2  0 x  3

7
2
1
7



x  3  2 25
x 2  3  2 x  3  2 25 1 2  x  4  2
2
5
35
a

141
a

592

a x 3

A  
0
a0
25  5x  28  a  2 

A

2



8,3461



Bpt  x2  1  0  1  x  1
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm S   1,1 .

Tổng quát tìm a, b trong việc đánh giá:

f  x  a g  x  b



f  x  a g x  b



 Bước 1: Tìm a. Nhập biểu thức A vào TABLE tìm GTLN (hoặc GTNN) của
biểu thức tại giá trị x  xo .
 Bước 2: Tìm a bằng công thức: a 

f '  xo  g  x o 
g '  xo  f  x o 

lấy xấp xĩ giá trị a gần

nhất với giá trị tìm được.
f  x   a g  x  vào TABLE tìm GLNN

 Bước 3: Tìm b. Nhập biểu thức

(hoặc GTLN) của biểu thức. Giá trị này sẽ gần với giá trị tại x  xo .
Thông thường các giá trị xấp xĩ ta lấy làm tròn trong khoảng

Ví dụ 3: Giải phương trình:

1
2  x2



1
x2  x  2



0,0a  0,00a

6
5

Bài giải
Điều kiện:  2  x  2
Ta có:

x2  x  2 



22
 2 2  x 2 x   2 , 2
5



Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng


TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương


1
2  x2

1



x2  x  2



6 1
1
6 60 a2  157 a  110
 
 
0
5 a 22
5
5a  22  10a 
 2a
5

Ví dụ 4: Giải phương trình:
30 x  2  20 4  3  x   20 4 3  x  20 3  x  17 x  6
3

Bài giải
Điều kiện: 2  x  3
Đặt t  4 3  x  x  3  t 4 t  0, 4 5 


Pt  30 5  t 4  17t 4  20t 3  20t 2  20t  57  0
t  1
 15  t  1 5  t 4



  t  1 t  1 
 2t  18   0   15  t  1 5  t 4


 2t  18  0 (*)

5  t4  2


5  t4  2




2



Xét (*)  17t  3  5  t 4  4t  38  0  17t  3 
Ta có:

5  t4 

 17t  3 

13t  35
5  t4  1

0

16 2
 t t  0, 4 5 


5

13t  35
5  t4  1

 17t  3 

13t  35 85t 3  15t 2  292t  238

0
2
21 2
21

5
t
t
5

Vậy phƣơng trình có nghiệm t  1  x  2
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:

1
1 1 x

2

1



x  x1
2



1
x x2
2



1
2

Bài giải
Điều kiện: 1  x2  0
Ta có: 22 1  x2  47  21 x2  x  1 và 21 x2  x  2  2 x2  x  1  25


1



1



1



1
2

1  1  x2
x2  x  1
x2  x  2
22
1
21
1




69  21 x 2  x  1
x 2  x  1 2 x 2  x  1  25 2
 3

42 a 3  1273a 2  4297 a  3450

 0 a  x 2  x  1  
, 3

2 a  2 a  25  69  21a 
 2


Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng


TƢ DUY VÀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH-BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dương
Vậy tập nghiệm của bất phƣơng trình S   1,1
Bài tập vận dụng:
Giải các phƣơng trình và bất phƣơng trình sau:
a. 30 x2  3  5  x  1 3  x  7 x2  10 x  43
b.

 x  1

3

1

9
x  1 x  1 x
4

Đáp số: S  1
Đáp số: S  0,1

c. 2  x  1 4x2  5x  2  2x 8x  1  8x2  8x  1   x  1 12 x  4

 2  3 
Đáp số: S  

 2 

Fb: ThayNguyenDaiDuong – 0932589246 – 76/5 Phan Thanh Đà Nẵng