Bài tập Điện động lực học

1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rotgrad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học

Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
Div
A
ur
= + +
1. Rot grad u =
=
i
y
∂
∂
r
j
z
∂
∂
r
+
k
x
∂
∂
r

u u u
y z x
i j k
z x y
 
∂ ∂ ∂

   
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
ur
r ur
=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur

=
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y z y z x z x y
   
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
. . . . . .
A A
A A
A A
y y

x x
z z
x y x z y z y z z x z y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= 0
Đề 2. Tính div
.I R
 
 
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +

ur r r r
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
.
x y z
i j k
I R I I I
x y z
 
 ÷
 
⇒ =
 ÷
 
 ÷
 
r r r
r ur
=
( )
( )
( )
y z x z x y
i I z I y j I z I x k I y I x
− − − + −
r r r

( )
( )
( )
.
0
y z x z x y
x y z
div I R I z I y I z I x I y I x
x y z
y z z x x y
I I I
z y x z y x
∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + − + − = ⇒
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
r ur
W
Đề 3. Tính
.div I R M

 
 
 
 
r ur uur
, Trong đó
I va M
r uur
#
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính
vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
M iM jM kM
= + +
uur r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.M R
 
⇒
 
uur ur

=
( )
( )
( )
z y z x y x
x y z
i j k
x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
 
 ÷
= − − − + −
 ÷
 ÷
 
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y

x z x y z y
i j k
I R M I I I
yZ zM xZ zM xM yM
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM
 
 ÷
 
 
⇒ =
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
− − −
 

 
− − −
 


 
= − − − −

 


 
+ − − −

 

r r r
r uuruur
r
r
r
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
( )
.
2
2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
 
 
= + + + + +
 
 
= + +

= ⇒
r uuruur
W
Đề 4. Tính:
( )
{ }
.
R
rot U R va rot I R
 
 
ur r ur
#
Trong đó:
I
r
là vector không đổi và
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
a. Ta có:
( ) ( )
( )
R R

U R U xi y j zk= + +
ur r r r
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
R R
R R R
R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU

k yU xU
x y
U R U R
R R
i z y
R y R z
U R U R
R R
j z x
R x R z
U R
R
k y x
R x

 
∂ ∂
−

 
 
∂ ∂
 

 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 ÷

⇒ = = − −

 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 ÷

 ÷
 
∂ ∂
 
+ −

 
∂ ∂

 

∂ ∂
 
∂ ∂
−
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
∂ ∂

= − −
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂
∂
+ −
∂ ∂
r
r r r
ur r
r
r
r
r
( )
( )
( )
1
U R
R
R y
U R
R R R R R R
z y i z x j y x k
R y z x z x y









∂
 
∂

 
∂ ∂

 

 
∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
r r r
Mặc khác, ta có:
2 2 2 2
; ;

R x R y R z
R x y z
x R y R z R
 
∂ ∂ ∂
= + + ⇒ = = =
 
∂ ∂ ∂
 
( )
2
R R
y z
z y
z y
y z
R R
R R x z
z x z x
x z R R
x y
R R
y x
y x
R R
x y
∂ ∂


−

−


∂ ∂


∂ ∂
 
⇒ − = −
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
−
−
 
∂ ∂


Từ (1) và (2), ta được:
( )
{ }
0
R
rot U R
= ⇒
ur
W
b. Ta có:

Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
( )
( )
( )
.
x y z y z x z x y
i j k
I R I I I i I z I y j I z I x k I y I x
x y z
 
 ÷
 
⇒ = = − − − + −
 ÷
 
 ÷
 
r r r

r ur r r r

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
x y x z
x y y z
y z x z x y
x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y
x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I
iI jI

 
∂ ∂

− − −

 
 
∂ ∂
 

 ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 ÷
 
⇒ = + − − − −

 
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 ÷
 ÷

− − −
 
∂ ∂
 
+ − − −


 
∂ ∂

 

= + + + + +
= +
r
r r r
rur r
r
r r r
r r
( )
2
z
kI I+ = ⇒
r r
W
Đề 5. Tính:
3
PR
grad
R
urur
Trong đó:
P
ur
là vector không đổi

R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
( )
3
3 2 2 2
2
x y z
PR xP yP zP
R x y z

= + +



= + +

urur
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )

3 3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
6
3
6
3
3
.2
2
3
.2
2
3
.2
2
x y z x y z x y z
x x y z
y x y z
z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
P R xP yP zP R x
i
R

P R xP yP zP R y
j
R
P R xP yP zP R
k
     
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
     
⇒ = + +
     
∂ ∂ ∂
     + + + + + +
     
− + +
− + +
=
− + +
urur
r r r
r
r
r
( )
( ) ( )
( )
6
3 5
3 5
3

1
3
x y z
z
R
PR xi y j zk
iP jP kP
R R
PR
P
R
R R













+ +
= + + −
= − ⇒
urur r r r
r r r

urur
ur
ur
W

Đề 6: Tính thông lượng của bán
kính vector
R
ur
qua một mặt trụ có
bán kính a và chiều cao h,
đặt như hình vẽ ( Tính bằng công
thức O – G và bằng phương pháp
trực tiếp).
Bài giải:
a. Tính bằng định lí O – G:
Định lí O – G:
S V
RdS divRdV=
∫ ∫
ur ur ur
Ñ
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
Ta biết:
y
x z

R
R R
R xi y j zk div R
x y z
∂
∂ ∂
= + + ⇒ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r ur
2
3 3
S V
Rd S dV a h
π
⇒ = = ⇒
∫ ∫
ur ur
W
Ñ
b. Tính trực tiếp:
( )
1 2 3
1
S S S S
Rd S RdS RdS RdS
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
( )

( )
1 1
2 2
3
3
2
1 1
1
2
2 2
2
cos
cos
0
2. 2
0
S S
S S
S
S
S
RdS R dS
RdS R dS
RdS vi R S
h
R dS hS h a
R
h
R dS hS h a
R

ϕ
ϕ
π
π

=
∫ ∫



=
∫ ∫



= ⊥
∫



= =
∫



= = =
∫






ur ur
ur ur
ur ur ur ur
#
Từ (1) và (2), ta được:
2
3
S
RdS a h
π
= ⇒
∫
ur ur
W
Ñ
Đại học an giang