Sử dụng định lí talet

CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES
ĐÀO TAM
( GV khoa Toán, ĐH Vinh)
1. Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau:
-

Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng a.
Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a.

BM AM
=
(1)
CN
AN
Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau:
-

Chứng minh:

A
M
B

N

C C1

Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM //C1NB nên theo định

lí Thales trong tam giác AC1N ta có

BM AM
=
( 2) .
C1 N AN

Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra:

BM BM
. Từ đó CN = C1N suy ra hai
=
CN C1 N

điểm C và C1 trùng nhau. Tức là A, B, C thẳng hàng.
Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau:
- Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng
khác nhau với bờ là a.
- Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a.


-

Chứng minh

AM BM
.
=
CN
BN

A
M
B

N
C

Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí
Thales.

2. Một vài ví dụ áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC . Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần
lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN
và BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng.
Lời giải:
A

M

B

N
I

J

C

Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của
của cách 1 đã thỏa mãn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần

MI AM
. Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng
=
MJ
AB
cho tam giác ABC ta có:

chứng minh

1
MN
AM MN 2
MI
=
=
=
1
AB
BC
BC BJ
2

(đccm).


Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN,
các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì
A, I, J thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam
giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B. Giả sử các điểm

H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là điểm đối xứng của K Qua
tâm O. Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng.
Lời giải:
A

I
O
B

K

H

C

S
O1

Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1
để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ

OI
AO
. Thật vậy, gọi các
=
O1H AO1

điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB. Khi đó:
AO AM OM OK
OI

( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và
=
=
=
=
AO1 AN O1 N O1H O1H

tính chất đường phân giác.

3. Một vài bài toán làm thêm
Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi
là đường thẳng Euler).
Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I)
và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng
hàng.


Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa
đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của
M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD. Vẽ tia Cy là phân
giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán
kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của
CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.