Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12a1 trường thpt số 2 văn bàn tránh sai sót khi tính tích phân

Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp 12A1
trường THPT số 2 Văn Bàn tránh sai sót khi tính tích phân
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài
Học sinh trên địa bàn xã Võ Lao đa phần là con em nông thôn, cha mẹ
không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành. Ngoài giờ đến lớp các em còn
phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thơì gian
để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị
“hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán. Là giáo viên dạy toán, đã
có 6 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế
đó. Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi
những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn
toán hơn, vững bước vào các kỳ thi tốt nghiệp và Đại học.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm bài
toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại
là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt
của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế
đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên
hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc
phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học
sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm
số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp
đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế
trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến
2


lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này
của học sinh lớp 12 trường THPT số 2 Văn Bàn.
Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho

học sinh tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số sai lầm, nhằm giúp học sinh lớp
12A1 trường THPT số 2 Văn Bàn tránh sai sót khi tính tích phân”
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt
được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong
quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán Tích phân. Từ đú phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến
thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh
thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh
kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12A1 trường THPT số 2 Văn Bàn

3


- Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính
toán.

V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: ghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu
được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi
đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của
học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của
học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.

4


PHẦN II: NỘI DUNG
“TỔNG HỢP MỘT SỐ SAI LẦM, NHẰM GIÚP HỌC SINH LỚP 12A1
TRƯỜNG THPT SỐ 2 VĂN BÀN TRÁNH SAI SÓT KHI TÍNH TÍCH
PHÂN”
I. Những quan niệm chung
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến
cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm
quá trình nhận thức của học sinh.
II. Biện pháp, giải pháp thay thế .
Bài tập minh hoạ:
2

Bài 1: Tính tích phân: I =

dx

 (x  1)

2

2
2

* Sai lầm thường gặp: I =

dx
2 (x  1) 2 =

2

d ( x  1)

 ( x  1)

2

=-

2

1
x 1

2
2

1
3

=- -1 = -

4
3

* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =

1
không xác định tại x= -1   2;2 suy ra hàm số không liên
( x  1) 2

tục trên  2;2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách
giải trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =

1
không xác định tại x= -1   2;2 suy ra hàm số không liên
( x  1) 2

tục trên  2;2 do đó tích phân trên không tồn tại.

5

b

* Chú ý đối với học sinh: Khi tính



f ( x )dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có

a

liên tục trên a; b không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích
phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
3

5

dx
1/ 
.
4
0 (x  4)

2

1
2

2/  x( x  1) dx .

2


2

1

 x 3 .e x  x 2
4/ 
dx
x3
1

1
3/  4 dx
0 cos x


Bài 2 :Tính tích phân: I =

dx

 1  sin x
0

* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan


dx

2dt

 1  sin x =  (1  t )


 I=

dx

=

 1  sin x
0

do tan

2

x
2dt
1
1 t2
thì dx =
;
=
2
1  t 2 1  sin x (1  t ) 2

=  2(t  1) 2 d(t+1) =

2
x
tan  1
2


0

=

2
+c
t 1

2
2

tan  1 tan 0  1
2


không xác định nên tích phân trên không tồn tại
2

*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan

x
x
x  0;   tại x =  thì tan không có nghĩa.

2
2

* Lời giải đúng:
x 
d  
dx
dx
 2 4   tan  x     = tan   tan     2 .
I= 
= 


0


 0

2 4
4
4 
1  sin x
2 x


0 1  cos  x 
0
cos   



2

2 4






* Chú ý đối với học sinh:
6


Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên
tục và có đạo hàm liên tục trên a; b.
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:


1/

dx

 sin x
0



dx
1  cos x

0

2/ 

4

Bài 3: Tính I =

x 2  6x  9 dx


0

* Sai lầm thường gặp:
4

I=



4

x

2

0

4

2

x  3
 6x  9 dx =   x  3 dx    x  3d  x  3 
2
2

0

0

4
0



1 9
  4
2 2

* Nguyên nhân sai lầm:
2

Phép biến đổi x  3  x  3 với x  0;4 là không tương đương.
* Lời giải đúng:
4

I=



x 2  6x  9 dx

0

4

4

3

4

=  x  3 dx   x  3 d x  3    x  3d x  3   x  3d x  3
2

0

=-

0

x  32
2

3
0



0

x  32
2

4
3



3

9 1
 5
2 2

* Chú ý đối với học sinh:
2n

 f x 2n

 f x 

b

I=

b

  f x 

2n

a

n  1, n  N 

2n



 f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trên a; b rồi dùng tính chất
a

tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

7


Một số bài tập tương tự:


1/ I =



1  sin 2 x dx;

0

3

2/ I =



x 3  2 x 2  x dx

0

2

3/ I =


1
2

1
 2

 x  2  2  dx
x




3

4/ I =



tan 2 x  cot 2 x  2 dx


6

0

Bài 4: Tính I =

x

1

2

dx
 2x  2

* Sai lầm thường gặp:
0

I=

d  x  1

  x  1

1

2

1

 arctan  x  1

0
1

 arctan1  arctan 0 


4

* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tant  dx  1  tan 2 t  dt
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =

4

Khi đó I =


0



4

1  tan 2 t  dt
tan t  1


4

  dt  t
0


4
0




4

* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời.
Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách
tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ
8


năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học
sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
b

1

1 x

dx ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ;

2

a

b


a

1
1 x2

dx thì đặt x = sint hoặc x = cost

*Một số bài tập tương tự:
8

1/ I =

x 2  16
dx
x


4
1

2x 3  2 x  3
0 x 2  1 dx

2/ I =

1
3

3/ I =

x 3 dx



1  x8

0

Bài 5:
1
4

Tính :I =


0

x3
1 x2

dx

*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt



x3
1 x2

dx  

sin 3 t
dt
cos t

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=

1
thì t = ?
4

* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối
với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
chính xác t = ?

* Lời giải đúng:
9

1
không tìm được
4


x

Đặt t = 1  x 2  dt =

1 x2

dx  tdt  xdx

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
1
4

I =
0

x

15
4

3

dx =

1 x2

15
4

1
thì t =
4

15
4

1  t tdt  1  t dt   t  t 
 t


3 

2

15
4

3

2

1

1

1

 15 15 15  2 33 15 2
 
 


 3
4
192
192
3



* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa

1  x 2 thì

thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant
nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ
đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
7

1/ Tính I =


0

2

2/ Tính I =

x
1

x3
1 x2

dx

dx
x2  1
1

Bài 6: tính I =

x2 1
 4 dx
1 1  x

1 

1
1  2 

1
2
x 

x 
* Sai lầm thường mắc: I = 
dx

2
1
2
1


1

1
x
x    2
x2
x

1

1
x

Đặt t = x+  dt  1 


1

1 
 dx
x2 

Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
2

2

dt
1
1
I= 2
= (

)dt =(ln t  2 -ln t  2 )
2 t 2
2 t  2
2 t 

= ln

2 2
2 2

 ln

2 2

2 2

 2 ln

2 2
2 2

10

2
2

 ln

t 2
t 2

2
2


2

1

1
x2

x 1
là sai vì trong  1;1 chứa x = 0 nên


1
1 x4
2
x
x2

* Nguyên nhân sai lầm:

không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng:
xét hàm số F(x) =
F’(x) =

1

ln

2 2
1
2 2

x2  x 2  1
x2  x 2  1

(ln

x2  x 2 1
x2  x 2  1

x2 1
x4  1

) 

1

Do đó I =

1
x2  x 2  1
x2 1
=
ln
dx
 4
2 2 x2  x 2  1
1 1  x

1
1



1
2

ln

2 2

2 2

*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số
cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
III. Kết quả
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích
phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân
tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để
lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học
sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này
rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm
trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được
một lượng lớn bài tập đó.

11