Mũ và logarit onl

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

Bài 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ VÀ LŨY THỪA VỚI
SỐ MŨ THỰC
A. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Với mọi n  N * và a  R : an  a.a.a.....a (n thừa số)
b. Với a  0 và n 

ta có:
a0  1

an 

1
an

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
a. Căn bậc n: ( n 
+ Nếu n lẻ thì

n

*

a luôn có nghĩa

+ Nếu n chẵn thì
Chú ý:

n

)

n

a có nghĩa khi a  0

1 1

n

0 0

Tính chất:
n

a n b  n a.b

n

a na

n
b
b

( n a )k  n a k
m n

a  m. n a

b. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho a  0 , r 

m
(m  , n 
n

Kí hiệu :



) là số hữu tỷ. Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ r.

ar
m

a r  a n  n a m  ( n a )m

Hệ quả :

1
n

a na

B. Lũy thừa với số mũ thực :
Định nghĩa : Cho số thực k khi đó tồn tại dãy số hữu tỷ (rn ) sao cho lim rn  k
Khi đó lũy thừa cơ số a với số mũ k. Kí hiệu : a k  lim ar

n

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
C. Tính chất của lũy thừa :
1. Điều kiện xác định của lũy thừa :
Lũy thừa

Số mũ

ak

Điều kiện của cơ số
k  N*

aR



a0

k
k 0
k

a0

2. Tính chất của lũy thừa :
a. Tính chất đẳng thức : với điều kiện có nghĩa
i. a x .a y  a x y
ii.

ax
 a x y
ay

iii. (a x ) y  a x. y
iv. a x .b x  (a.b) x
v.

ax  a 
 
bx  b 

x

b. Tính chất bất đẳng thức :
+ Với a  1

:

ax  a y  x  y

+ Với 0  a  1

:

ax  a y  x  y

+ Với 0  a  b

:

a x  bx  x  0
a x  bx  x  0

D. Bài tập áp dụng :
1/ Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa :
a/ A  4 x 2  x  6

1

b/ B  ( x 2  3x  4) 3

c/ C  3 2 x  2

2/ Rút gọn biểu thức : Cho a  0
1

1
2

d/

1

3

a/ a 2 .(a 2 ) 4
a .a
a 5 .a

b/

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

a2 .3 a : 3 a4 . 4 a
1
2 3

3

2

3

4

e/

(a ) .a
3
5 2

c/

a 4 .( a ) 3
1
3 3

2

(a ) .a 6

3

f/

(a ) : a
1

2
3

1

(a 2 )3 .a 3

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
3/ Không dùng máy tính hãy so sánh:
a/ 3 3 và

1

b/ 340 và 430

2

c/  
2

 5

và 4

11
8

3/ Rút gọn :
1  13
1
) 
3

125
5
32



1

2

1
1

b/ 0.001 3  (2)2 .64 3  8 3  (90 )2

a/ 810.75  (
2
3

1
c/ 27  ( )0,75  250,5
16

4

d/ (0,5)  625

0,25

1 112
 (2 )  19.(3) 3
4

4/ Cho các biểu thức có nghĩa, đơn giản các biểu thức sau :
2
1
2
4
 13

 32

3
3
3
3
a/ A   a  b  a  a .b  b 




c/ C 

1
4

9
4

1
4

5
4

a a
a a

1
2

b b



1
2

b b

3
2



1
1
1
 14
 14
 12

4
4
b/ B   a  b  a  b  a  b 2 





a

d/ D 

1
2

a

2 5
3

b

5

5

7
7

 a 3 .b 3  b

2 7
3

4/ Đặt điều kiện rồi đơn giản các biểu thức sau :

 a 1 a
a/ A 

a  a
2 3

2 3

4 3

3

a 3

 a3

3





1

1
1

 12

2
2
a


2
a

1
a 1 


b/ B  
 1
1
 1 
 a  2.a 2  1
 a 2 
2
a




1

 4 a.x3  4 a3 .x 1  a.x 
a a
 4

. 1 2


x
x

a

x
a
.
x



c/ C  

1
1

2
2
a

a
.
b
d/ D  
 3a


1

3
  32
2

a

b
a b
 .
 1
1
1
1
 
  a  a 2 .b 3 a 2  b 2
 

5/ Biết 9x  9 x  23 hãy tính :

 1
1
 . a 2  b 2 






3x  3 x

 
6/ Chứng minh rằng: x   0;  Ta có:
2




2

7/Nếu x  0 thì :

2sin x

2

tgx

2

3x
1
2

(9x  4.3x  1).x  ( x2  1).3x  0

8/Chứng minh với mọi số nguyên dƣơng n>2 ta có :
(n!)2  nn

9/ Chứng minh rằng a, b  0, x, y  R ta có:
25x  9 y  1. a 2  b2  1  a.5x  b.3y  1

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

Bài 2: LOGARIT
A. Lý thuyết:
1. Định nghĩa:
a. Định nghĩa: Cho 0  a  1, b  0 khi đó tồn tại duy nhất số thực  sao cho a  b . Số
 đó đƣợc gọi là logarit cơ số a của b.

Kí hiệu :

log a b

log a b    a  b

Có nghĩa :

Điều kiện để log a b có nghĩa : a  0, a  1 và b  0
b. Logarit tự nhiên và logarit thập phân :
+ Logarit tự nhiên : ln x  loge x
n

 1
Với e  lim 1    2, 718281828...
x 
 n

+ Logarit thập phân : lg x  log x  log10 x
2. Các tính chất về logarit :

a. Tính chất đẳng thức : a  0, a  1


log a 1  0 và log a a  1



log a x. y  log a x  log a y

Mở rộng :

log a x1.x2 ...xn  log a x1  log a x2  ...  log a xn

Hệ quả :

log a a N  N

log a x M  M .log a x

log a



log a b
 log c b
log a c
log a b 




Lớp Toán 10-11-12-LTQG

hay

log a c.log c b  log a b

1
logb a

log a N x 

aloga b  b

Đk : b, c  0, c  1
Đk : b  0, b  1

1
log a x
N

log a N x M 

Hệ quả ;

Đk : x  0

x
 log a x  log a y Đk : x, y  0
y



Hệ quả :

Đk : xi  0

Đk : x  0

M
log a x
N

Đk : x  0
Đặc biệt :

alogb x  xlogb a

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
b. Tính chất cho bởi bất đẳng thức :
+ Với a  1

:

log a x  log a y  x  y

+ Với 0  a  1

:

log a x  log a y  x  y

B. Bài tập áp dụng :
1/ Tìm điều kiện xác định của các logarit sau :
2
2x  3

a/ log0,5 (2 x  3)

b/ log3 ( x2  1)

c/ log5

d/ log x1 5

e/ log ( x3  x 2  6 x)

f/ log 42 x (25  x2 )

b/ log 1 3

c/ log 1 125

x

2/ Tính :
a/ log 2 8

5

9

e/ log 9 27 3 3

d/ log 1 5 4 5
25

f/ log

2 1

(3  2 2)

3

3/ Tính:
b/ log 1 4 27  log9 3

a/ log 2 16  log 2 4

d/ log 2 64  log16 0,125

3







1 

 24 2 

e/ lg 5 5.4  lg 4 5  lg 

f/ log a a 4 a 2 b  log a b b 4 a  log a b b 4 b ( a, b  0, a  1 )

4/ Tính:
1
b/  
3

log8 15

a/ 2
d/

 9
3

3
2log5 3

log81 5

c/ 2

3log8 3 2log16 5

log 2

2

64

1
log 2  log 5
2

e/ 4

f/ 100

a/ log3 2 và log 2 3

b/ log 2 3 và log3 11

c/ log 2 3 và log3 5

d/ log 2 a và log3 a

e/ log135 675 và log 45 75

f/ log9 10 và log10 11

5/ So sánh:

5/ Tính:
a/ A  log3 2log 4 3log5 4...log15 14.log16 15
b/ B 

1
1
1
1


... 
với x  2014!
log 2 x log3 x log 4 x
log 2014 x

c/ C  lg(tg1)  lg(tg 2)  lg(tg3)  ...  lg(tg89)
6/ Tính log 6 16 theo x biết log12 27  x
7/ a/ Tính log 2 45 theo a,b biết a  log2 3, b  log2 5
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
b/ Tính log125 30 theo a,b biết a  lg 2, b  lg 3
c/ Tính log3 135 theo a,b biết a  log2 3, b  log2 5
8/ a/ Tính A  log
b/ Tính B  log

3
b
a

b
biết log a b  3
a

ab

b
biết log a b  5
a

9/ Cho log27 5  a,log8 7  b,log2 3  c . Tính log 6 35
10/ Rút gọn biểu thức:
a/ A  (loga b  logb a  2).(loga b  logab b).logb a  1
b/ B  log 2 2 x 2  (log 2 x).x log

x (log 2

x 1)

1
 log 42 x 4
2

c/ C  log m n  log n m  2.(logm n  logmn n) logm n
11/ Với điều kiện a,b,c có nghĩa.Chứng minh rằng:
a/ log ac bc 

log a b  log a c
1  log a c

b/Nếu x2  4 y 2  14 xy thì log(x  2 y)  1  lgx  lgy
1

1

1

c/ Nếu a  101lg b , b  101lg c thì c  101lg a
d/Nếu a 2  b2  7ab thì log 2014

ab 1
 (log 2014 a  log 2014 b)
3
2

12/ Chứng minh rằng với mọi a  1 và b  1 ta có bất đẳng thức:
1
ab
( ln a  ln b )  ln
2
2

13/ Chứng minh rằng:
a/ log2011 2012  log2012 2013
b/ Tổng quát: n  1 Cmr:

log n (n  1)  log n1 (n  2)

14/ Với mọi a, b  0; a, b  1 . Chứng minh:
log a b  logb a  2

15/ Không dùng máy tính, Chứng minh rằng:
2  log 2 3  log3 2 

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

5
2

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

Bài 3: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
A. Hàm số mũ: y  a x (a  0, a  1)
1. Đạo hàm:
Hàm mũ

Hàm hợp

(e x ) '  e x

(eu ) '  u'.eu

(a x ) '  a x .ln a

(au ) '  u '.au ln a
ex 1
1
x 0
x

2. Giới hạn:

lim

3. Tính chất và đồ thị:
 Tập xác định :

D=R

 Tập giá trị

:

T  (0; )

 Sự biến thiên :

y '  a x .ln a

+ Nếu a  1  y '  0 : hàm số đồng biến trên D + Nếu 0  a  1  y '  0 : hàm số ngịch biến trên D
x





y’





x
y’

+


y





y

0

0
1
a

 Đồ thị : Luôn đi qua 3 điểm (0;1), (1;a), (1: )

+ Nhận y=0 làm tiệm cận ngang
a 1

0  a 1

y

y

1
O

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

1
x

O

x

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
B. Hàm số Logarit: y  log a x (a  0, a  1, x  0)
1. Đạo hàm:
Hàm logarit
(ln x) ' 

Hàm hợp

1
x

(log a x) ' 

(ln u ) ' 
1
x.ln a

u'
u

(log a u ) ' 

u'
u.ln a

ln(1  x)
1
x 0
x

2. Giới hạn:

lim

3. Tính chất và đồ thị:
 Tập xác định :

D  (0; )

 Tập giá trị

:

T=R

 Sự biến thiên :

y' 

1
x.ln a

+ Nếu a  1  y '  0 :hàm số đồng biến
x



0

y

x

+



0


y


y

+ Nếu 0  a  1  y '  0 : hàm số ngịch biến



y





1
a

 Đồ thị: luôn đi qua ba điểm (1;0),( a;1),( ; 1)
+ Nhận x=0 làm tiệm cận đứng

a 1

0  a 1

y

1
O

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

y

1
x

O

x

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
C. Bài tập áp dụng:
1/ Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1
2

c/ y  (e x  e x )

b/ y  x 2 e4 x  1

a/ y  ( x  1).e2 x
d/ y  (3x  2) ln x

2

e/ y  x  1.ln( x )
2

2

ln x 2  1
f/ y 
x

2/ Tính các giới hạn sau:
e3  e3 x  3
x 0
x

b/ lim

ln(1  3x)
x 0
x

d/ lim

a/ lim

c/ lim

e 2 x  e5 x
x 0

2x
ln(1  x 2 )
x 0
x

3/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y  ln(4 x  x2 )
b/ y  x.e x
c/ y  ln(2 x  x 2)
d/ y  ( x  1).e x1
4/ Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau:
a/ y  e x 1
2

b/ ln( x  x2 )
c/ y  x  e x1
5/ Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y  2 x
b/ y  log 2 x2
c/ y  4 x

2

6/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm : y  e x Từ đó suy ra đồ thì các hàm số sau:
a/ y  e x 2

b/ y  e x  2

c/ y  e x2  2

d/ y  e x 2  2

7/ Chứng minh hàm số
a/ y  log( x  x 2  1) đối xứng qua gốc tọa độ
b/ y  e x  e x đối xứng qua trục Oy
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

Bài 4: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. Phƣơng trình mũ:
1. Phƣơng trình cơ bản:
a f ( x)  b

a  0, a  1

+ Nếu b  0 : phƣơng trình vô nghiệm
+ Nếu b  0 : pt  f ( x)  log a b
2. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Đƣa hai vế của phƣơng trình về lũy thừa cũng cơ số và dùng công thức:
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

Áp dụng:
Giải các phƣơng trình sau:
1
2

a/ 2 x 3  .43 x 2
1 x2
.5  5.1252 x 1
25

d/

1
4

b/ 0.1252 x 3  .232 x
e/ 3.2x1  5.2x  2x2  21

c/ 27 2 x 1 

27
9

x
2

f/ 2x1  3x  3x1  2x2

b. Đặt ẩn phụ:
Khi bài toán quy về một hàm số theo a f ( x ) thì ta đặt ẩn phụ
t  a f ( x)  t  0

Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a/ 4x  2.2x  8  0

b/ 5.25x  6.5x  1  0

c/ 52 x1  5x1  250

d/

5 4
 1  0
9 x 3x

2/ Giải phƣơng trình:
a/ 3x  6.3 x  1  0

b/ 5x2  51 x  30  0

x

c/

9
2 x 2

10  4 2

4

d/ 3.4x  6x  2.9x

3/ Giải phƣơng trình:
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
x 1
x 1

 8.2

x 1
2

40

a/ (2  3) x  (2  3) x  4

b/ 3.2

c/ 2sin x  5.2cos x  7

d/ 25x  12.2x  652.(0, 4)2 x  0

2

2

c. Logarit hóa:

Khi phƣơng trình cho dƣới dạng a f ( x ) .b g ( x )  c hoặc a f ( x )  b g ( x ) thì ta lấy logarit 2 vế
theo cơ số a hoặc b rồi giải.
Áp dụng:
Giải phƣơng trình:

b/ 22 x1.5

x 1
x

x

b/ 3x1  5x 3 x2

a/ 5x  7 x1

c/ 5x.8 x1  100

2

3 x 7

2 x 1

c/ 3x1.7 x2  441

 200

d/ 5x.2 2 x 1  50

d. Phương trình tích:
A  0
B  0

Biến đổi phƣơng trình trở thành tích của các phƣơng trình cơ bản. A.B  0  
Giải phƣơng trình:
b/ 6x  x  4.3x  x  2x  x  4

a/ 4x  3x  6x  2x

2

2

2

c/ 9x.52 x1  3x.(52 x1  15)  15  0
e. Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất:
+ Nhẩm nghiệm x  
+ Chứng minh

- x    phƣơng trình vô nghiệm
- x    phƣơng trình vô nghiệm

+ Suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất.

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
Áp dụng:
1/Giải phƣơng trình:
a/ 2x  1  x

b/ 5x  x  27

c/ 2.3x  5x  2

d/ 71 x  3x  52

2/ Giải phƣơng trình:
a/ 3x  4x  5x

b/ 3.2x  2.3x  5x1  0

c/ 2x  3x  4x  10x1 1

d/ 9x  5x  4x  2( 20) x

B. Phƣơng trình logarit:
1. Phƣơng trình cơ bản:
 f ( x)  0
log a f ( x)  b  
b
 f ( x)  a

Chú ý: Đối với phƣơng trình logarit thì ta nên đặt điều kiện trƣớc khi giải.

Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/ log 1 x  2

c/ log 3 
0
 x2

e/ log x ( x2  x  1)  1

f/ log 2 log3  x 2  4 x  3  0

b/ log x ( x2  x  1)  0

c/ log x 1 (2 x2  3x  1)  0

2

d/ log 1 ( x 2  x)  1

 1 

b/ log5 (2 x  4)  1





6

2/ Giải phƣơng trình:
a/ log x (2  x)  1

2

2. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số:
 f ( x)  0
 g ( x)  0
log a f ( x)  log a g ( x)  
or 
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
x
)
1 x

b/ log 2 x  log 2 (2 x  x2 )

a/ log5 ( x  1)  log 5 (
 1 

2
c/ log 1 
  log3 ( x  1)
3  x 1 

d/ log2 x  1  log2 ( x2  x  1)

2/ Giải phƣơng trình:
b/ log3 x  log9 3x  log 27 x 

a/ 3.log x  log x  5

5
3

c/ log 2 ( x 2  3)  log 1 5  2log 1 ( x  1)  log 2 ( x  1)
2

4

b. Đặt ẩn phụ:
Khi phƣơng trình quy về một hàm số theo log a f ( x) thì ta đặt ẩn phụ
t  log a f ( x)  t  R

Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
3.log 2 x  2
x
log 2
4

a/ log22 (x  1)  3.log2 ( x  1)  2

b/ log 2 x  4 

c/ log3 (9x  8)  2  x

d/ log7 (6  7 x )  x  1

2/ Giải phƣơng trình:
a/ log 2 x  log x 2 

5
2

b/ log 2 x 64  log x 16  3
2

2
3

x  log3 3 x

 5.2log3 xlog3 x  1  0
2

c/ log3 (3x  1) log3 [3(3x  1)]  6

d/ 4log

e/ 32log x  xlog 3  6

f/ 3 log3 x  log3 3x  1  0

2

2

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
c. Mũ hóa:
Phƣơng trình có dạng log a f ( x)  logb g ( x) thì ta lấy mũ cơ số a hoặc b hai vế.
Áp dụng:
Giải phƣơng trình:
a/ log 2 x  log3 x

b/ log 2 x  log3 ( x  1)

c/ log 2 x  log3 x  log6 x

d/ log7 x  log3 ( x  1)

d. Phương trình tích:
Giải phƣơng trình:
a/ log2 x  log3 x  1  log2 x.log3 x

b/ log5 x.log7 x  log5 x2  log7 x3  6

c/ log22 x  log2 x.log3 ( x  1)  (x  1).log2 x  ( x  1).log3 ( x  1)  2.log2 x
d/ log 2 x.log3 x  log5 x
e. Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất:
Áp dụng:
1/ Giải phƣơng trình:
a/ log 2 ( x2  1)  1  x
1
2

b/ log2 x  log3 ( x  1)  2.log6 (7  x)

c/ log5 (2  3 x )  log 1 ( x  22)

d/ log 2 ( x2  3x  2)  x  log 2 8x  8

7

2/ Giải phƣơng trình:
a/ log2 x  log2 (2 x  1)  x  1

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

b/ log3 ( x2  1)  x 2  x  log9 ( x2  2 x  1)

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

Bài 5: BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. Lý thuyết bất đẳng thức:
Nếu a  1 :

ax  a y  x  y

log a x  log a y  x  y

Nếu 0  a  1 :

ax  a y  x  y

log a x  log a y  x  y

B. Các phƣơng pháp giải:
1. Bất phƣơng trình cơ bản:
a f ( x)  b

bất phƣơng trình có nghiệm với mọi x

+ Nếu b<0:

+ Nếu b>0: - a  1,  f ( x)  log a b
- 0  a  1  f ( x)  log a b
log a f ( x)  b

- a  1  f ( x)  a b
- 0  a  1  0  f ( x)  ab

2. Đƣa về cũng cơ số:
log a f ( x)  log a g ( x)

a f ( x)  a g ( x)

Đƣa hai vế của bất phƣơng trình về cùng cơ số rồi sử dụng công thức.
Chú ý: + Đối với hàm mũ nếu 0  a  1 thì ta nghịch đảo để chuyển về a  1
+ Đối với hàm logarit thì tùy vào dấu của bất đẳng thức để suy ra điều kiện của f(x)
hay g(x)
Áp dụng:
1/ Giải các bất phƣơng trình sau:
a/ 2

2 x 1

1
31 2 x
b/ x 
27
9

1
 .4 x  2
2

d/ log 2 (2 x  1)  0

1
c/  
2

x2  2 x

1
 2 
4

x

e/ 2.log2 ( x  1)  log 2 (5  x)  1

f/ 2.log3 x  5x  6  log3 ( x  3x  2)  0
2

2

 3 1 
g/ 

 2 

x2  x

 3 1 
 

 2 

6 2 x

2/ Giải các bất phƣơng trình sau:
a/ x x  1
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

b/ log x ( x2  x  1)  1





c/ log 2 log 1 ( x  2)   2


3



Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

3. Đặt ẩn phụ:
Đặt ẩn t rồi quy bài toán hàm mũ về hàm đa thức theo t, giải tìm điều kiện của t sau đó
thay vào suy ra tập nghiệm của x.
Áp dụng:
1/ Giải các bất phƣơng trình:
a/ 52 x1  5x  4
d/ 3.9  6  2.4  0
2x

2x

2x

b/ 9x  2.3x  15  0

c/ 7 x  3.7 x1  4

4x
e/ x x  4  0
4 3

f/ (2  3)x  (2  3)x  4

2/ Giải các bất phƣơng trình:
b/ log32 ( x  1)  6.log3 ( x  1)  3  0

a/ log 22 x  3.log 2 x  2  0
c/ log5 x  log x 5 

3
2

d/ 3.log x 4  2.log4 x 4  3.log16 x 4  0
 19  2 x 
 1
 8 

e/ log9 (3x2  4 x  2)  1  log3 (3x2  4 x  2)

f/ log 4 (19  2 x ).log 2 

4. Bất phƣơng trình tích:
Các công thức:

A  0 A  0
A.B  0  
or 
B  0 B  0
A  0 A  0
A.B  0  
or 
B  0 B  0

Chú ý: Nếu có dấu bằng thì nên xét giá trị bằng 0 để tránh tình trạng thiếu nghiệm
trong 1 số bài toán chứa căn thức hoặc biểu thức ko âm.
Áp dụng:
Giải bất phƣơng trình:
a/ 6x  x  3x  x1  2x  x  3

b/ log5 x  log4 x2  1  log5 x.log2 x

c/ ( x2  2 x  1).log2 ( x2  5x  6)  0

d/ 2 x  1  5lg x  xlg5  50   0

2

2

2

e/ log5 x4  log 2 x3  2  6log 2 x.log5 x f/ log5 ( x  1).log 2 ( x  1).log3 ( x  1)  log 4 ( x 1).log 7 ( x 1)
5. Mũ hóa và logarit hóa:
Lấy mũ cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng logarit
Lấy logarit cơ số a hai vế khi bất phƣơng trình cho dƣới dạng mũ
Nếu a>1 thì dấu bất phƣơng trình không đổi
Nếu 0Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
Áp dụng : Giải bất phƣơng trình :
 3 1 
b/ 

 2 

a/ 2  3
x

x

x 1

c/ 2x.3x1  12x 3

 31 x

2

6. Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phƣơng trình :
f ( x)  f ( )  x  

+ Nếu hàm số đồng biến :

f (u( x))  f (v( x))  u( x)  v( x)
f ( x)  f ( )  x  

+ Nếu hàm số nghịch biến :

f (u( x))  f (v( x))  u( x)  v( x)

Áp dụng :
1/ Giải các bất phƣơng trình :
a/ 2x  3x  5x

b/ 5x1  2 x  1

c/ 6x  1  221  3x1

d/ log 2 ( x2  1)  1  x

e/ log 2 ( x2  3x  2)  x  log 2 8x  8

2/ Giải các bất phƣơng trình :
a/ 5x  x1  x  1  5x

2

c/ 3x  2  log3

b/ log3 ( x2  1)  x 2  x  log9 ( x2  2 x  1)

2

x2
 2 x  1  31 x
1 x

Bài Tập Tự Luyện:
1/ Giải phƣơng trình:

a/  2. 2






x 3 2

1


x



2
x 1

4

d/ 2x2.5x2  23x.53x


b/  2






1
x  5 5 x 1





1
x

4 x

2

c/ 73x  9.52 x  52 x  9.73x

e/ 2x1  3x  3x1  2x2

f/ 9x  2

x

3
2

2

x

1
2

 32 x 1

2/ Giải phƣơng trình:
 1 x 

 x 

a/ log5 ( x  1)   log5 

b/ l log2 (9  2x )  3  x

c/ log x (2 x2  7 x  12)  2

d/ log( x1) ( x  3)  1

e/ log2 ( x  3)  log2 ( x  1)  log2 5

f/ log 2 ( x 2  1)  log 1 5  log 1 ( x  1)  log 2 ( x  1)

2

2

4

3/ Giải phƣơng trình:
1
x

1
x

a/ 9.4  5.6  4.9

1
x

d/ 32 x  32x  30
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

b/ (2  3) x  (2  3) x  14

c/ 8x  18x  2.27 x

e/ 9x 1  36.3x 3  3  0

f/ 4log x  5.2log x  2log 9  0

2

2

3

3

3

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014

g/

   
5

x

3 

10

x10

3



 84  0





x



x

h/ 5  21  7. 5  21  2x3

i/

2.3 x  3.2
3 x 2

x

x



3

x 1

2

3 x 2

x 1
x

 1

4/ Giải phƣơng trình:
7
6

b/ log x 2  log 4 x   0

a/ 5.log x x  log 9 x3  8.log9 x x 2  2
2

9

x

c/ log 2  4.3x  6  log2  9x  6  1

d/

e/ 4.log x x  2.log 4 x x 2  3.log 2 x x3

f/ log3 x7 (9  12 x  4 x2 )  log 2 x3 (6 x2  23x  21)  4

log 2 x
log8 4 x

log 4 2 x log16 8 x

2

5/ Giải các phƣơng trình:
a/ 5  x
lg x

d/ 2log
g/ 3

2
2 x 1

x
1
2

 50

lg5

x

b/ 2 .5

 x 2log2 x
x

 18 .2 .3
x

x 1

1
 .102 x
5

c/ x

x
1
2

2
6

x
3

f/ x  3

e/ x2  3log x  xlog 5
2

3lg

2

 900
x2  x

 9  6x  x 2

h/ 6log x  xlog x  12
6

6/ Giải các phƣơng trình:
a/ 9x  2( x  2)3x  2 x  5  0
b/ log22 x  ( x  1)log2 x  2 x  6  0
7/ Giải các bất phƣơng trình
1
x 2 2 x  
 3

a/ 3
x

x x1

b/

1



10  3



x3
x1





10  3



x1
x 3

c/ 4 2  2x3  2x4  5x1  5x2

d/ 4x1  16x  2.log 4 8

e/ 7 x  3.71 x  4

f/ (2  3) x 2 x1  (2  3) x 2 x1 

g/ log 2 x 64  log x 16  3

h/ 3.log x 4  2.log4 x 4  3.log16 x 4  0

2

2




2

i/ log 2 log 1  2 x 


15  
  2
16  

2
2 3

j/ lg x  lg x



k/ log x 2.log 2 x 2  log 4 x 2

1
2

2

l/ log3  log 4
5
2

m/ 2lg( x  )  lg( x  1)  lg(x  )  lg 2


3x  1 
x 1 

  log 1  log 1
x 1 
3
4 3x  1 
x
4

n/ 2.log 22 x  3.log 2  11  0

8/Giải:

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
x2

x2

5
 3
a/    3    4  0
3
5

b/ 3.16x  4.9x  7.12x

c/ 45x  4.9x  3.5x  12  0

d/

e/ 32 x1  3x1 (3x  7)  x  2  0

f/ 255 x  2.55 x ( x  2)  3  2 x  0

g/ x.2x  x(3  x)  2(2x 1)

h/ 26  15 3  2 7  4 3  2(2  3) x  1

i/ x  log(3x  1)  x log



2 3

 
x



10
 log 6
3





x

2 3

 4
x





x

j/ log 6 x  log 6 ( x  1)  2
l/ log5 x  log7 ( x  2)

k/ x  log5 (125  5x )  25
m/ (2  2)log x  x.(2  2)log x  1  x2

n/ log x 3x .log3 x  1  0

o/ x6 .5 log 5  55

p/ log3 ( x2  x  1)  log3 x  2 x  x2

q/ 2.log6 ( 4 x  8 x )  log 4 x

r/ 3x  2x  3x  2

2

2

x

8/Giải phƣơng trình :

21log2 x  224  x2log2 x

9/Giải phƣơng trình:

2x  x  4.2x x  22 x  4  0

10/ Giải phƣơng trình:



11/ Giải Bpt:

25 x 2 x1  9 x 2 x1  34.15 x 2 x

12/ Giải bpt:

2(5x  24)  5x  7  5x  7

2

2

2

3 2

 
x

2

3 2



x

 5x

2

2

13/ Giải bpt:

4 x2  x.2x 1  3.2x  x 2 .2x  8x  12

14/ Giải bpt:

3  5x  2 x 2  3x  3x.5 x 3  5x  2 x 2  9 x 2.5 x

2

2

2

15/ Giải bpt:

4x  2 x  4
2
x 1

16/Giải bpt:

log 2 ( x  1)2  log3 ( x  1)3
0
x 2  3x  4

17/ Giải bpt:

1
log 1 2 x  3x  1
2

3

Lớp Toán 10-11-12-LTQG



1
log 1 ( x  1)
3

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
C. Bài toán chứa tham số:
Phương Pháp:
+ Đối với hàm mũ thƣờng thì bài toán đặt ẩn phụ và quy về phƣơng trình, bất phƣơng trình
theo t, ta tìm điều kiện của t. Sau đó tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm t thõa
mãn
+ Đối với hàm logarit thì ta phải tìm điều kiện của logarit kèm với điều kiện bài toán
Chú ý: Bài toán chứa tham số thông thƣờng chỉ dừng ở mức độ quy về phƣơng trình bậc 2
Ví dụ:
a/ Tìm m để phƣơng trình 25x  (2m  5).5x  m2  5m  0 (1) có hai nghiệm phân biệt

Giải:
Đặt t  5x  t  0
Pt  t 2  (2m  5)t  m2  5m  0 (2)
Ta thấy cứ 1 giá trị của t cho ta 1 giá trị của x nên để phƣơng trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt có nghĩa t1  t2  0

2
2

(2
m

5)

4(
m

5
m
)

0
25  0


0

 2



  P  0  m  5m  0
 m  5  m  0  m  0
S  0
 2m  5  0

5


m  

2

Vậy m  0 thì phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b/ Tìm m để phƣơng trình log32 x  log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1;3 3 
(Đề thi ĐH khối A năm 2002)
Giải:
Đặt t  log32 x  1  t  1
Pt  t 2  t  2m  2  0 (*)
Khi x thuộc 1;3 3  thì t thuộc 1; 2
1  t1  2  t2
t  1  t  2
2
Bài toán trở thành tìm m để (*) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1; 2 : có 3 TH :  1
1  t1  t2  2

1  t1  t2  2

Hoặc dùng phần bù tìm m để phƣơng trình không có nghiệm thuộc 1; 2  t1  1  2  t2
rồi suy ra điều kiện để phƣơng trình có nghiệm thõa mãn yêu cầu bài toán
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
Bài tập:
1/ Xác định m để các phƣơng trình sau có nghiệm:
a/ 9x  m.3x  2m  1  0

b/

2/ Tìm m để phƣơng trình:

25x

2

1

m(2x  2)  1  1  2 x

 m.5x

3/Với giá trị nào của a thì phƣơng trình:

2

1

 1  2m  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

log 3 ( x  3)  log3 ax có 1 nghiệm duy nhất

log 2 (7 x2  7)  log 2 (mx2  4 x  m), x  R

4/ Với giá trị nào của m thì :

m 2m  1

m4  0
4x
2x

5/ Cho phƣơng trình:

Tìm các giá trị của m sao cho phƣơng

trình có 2 nghiệm x1 , x2 thõa mãn: 1  x1  0  x2
6/ Tìm các giá trị của a để phƣơng trình :
dƣơng phân biệt.

1

9

1
x2

1

 a.3

1
x2

20

có hai nghiệm

7/Tìm các giá trị của m để phƣơng trình: 2log 4 2 x 2  x  2m(1  2m)   log 1 ( x 2  mx  2m2 )  0
2

có 2 nghiệm x1 , x2 thõa mãn x12  x22  1
8/Xác định m để phƣơng trình

lg(kx)
2
lg( x  1)

có nghiệm duy nhất.

9/Tìm các giá trị của m sao cho phƣơng trình nghiệm đúng x  R :
log x2 2 (3  m  1)  log 2 (m3 x 2  5m2 x 2  6  m )  0

10/ Xác định m để các bpt sau có nghiệm
a/ 32 x1  (m  3).3x  2(m  3)  0
b/ 4x  (2m  1).2x  m2  m  0
c/ 4x  m.2x  m  1  0
11/Giải và biện luận them tham số m:
a/ m2  9x1  8m.3x  0

b/ log m ( x 1)  log m  2
c/ logm (26  x2 )  2logm (4  x)
12/ Cho bpt:

log5 ( x2  1)  log5 ( x2  4 x  m)  1

Tìm các giá trị của m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm của bpt
13/ Cho bpt:

1  log5 ( x2  1)  log5 (mx2  4 x  m)

Tìm tất cả các giá trị của m để bpt nghiệm đúng với mọi m
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
Đề thi các năm và các bài toán khác:
1/(A-2002) Cho phƣơng trình : log32 x  log32 x  1  2m  1  0
a/ Giải phƣơng trình khi m=2
b/ Tìm m để phƣơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  2;3 3 





2/(B-2002) Giải bpt: log x log3  9 x  72   1
3/(D-2003) Giải phƣơng trình: 2x  x  22 x x  3
2

2

x

x

x

 12   15   20 
4/(B-2005) Chứng minh rằng với mọi x  R ,ta có:          3x  4 x  5x
5 4  3 

5/(A-2006) Giải phƣơng trình: 3.8x  4.12x 18x  2.27 x  0
6/(B-2006) Giải bpt: log5 (4x  144)  4log5 2  1  log5 (2 x2  1)
7/(D-2006) Giải phƣơng trình: 2x  x  4.2x  x  22 x  4  0
2

2

8/(A-2007) Giải bpt : 2log3 (4 x  3)  log 1 (2 x  3)  2
3

9/(B-2007) Giải phƣơng trình : ( 2  1) x  ( 2  1) x  2 2  0
 1 
0
x
 4.2  3 

10/(D-2007) Giải phƣơng trình : log 2 (4 x  15.2 x  27)  2log 2 

11/(A-2008) Giải phƣơng trình : log2 x1 (2 x2  x 1)  log x1 (2 x 1)2  4


 x2  x  
  0
 x  4 

12/(B-2008) Giải bpt : log 0,7  log 6 


13/(D-2008) Giải bpt : log 1
2

x 2  3x  2
0
x

14/(D-2010) Giải phƣơng trình : 42 x

x2

 2x  42
3

x2

 2x  4 x 4
3

15/(D-2011) Giải phƣơng trình : log 2 (8  x 2 )  log 1 ( 1  x  1  x )  2  0
2

16/Giải các phƣơng trình :
x4 x

a/ 8.3
b/ 6.3

x

c/ 2x  x
4

9

4

x 1

9

1
1
x

4
 6.  
3

x 1

 4  2x

x

4

x

1
1
x

 x

 13.2

x

1
1
x

 2 x 3

d/ 22 x  2x 2 x1  24 x1  0
2

2

Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ ĐN 2014
e/ 23 x 2 x1  2.2x 2 x  24 x1  2  0
2

2

f/ (7  5 2)

x  2 x

 (1 2)

x  2 x

 (3  2 2)

x  2x

1

g/ 4 x2  x.2x 1  3.2x  x2 .2x  8x  12
2

2

2

h/ x2 .2x1  2 x3 2  x2 .2 x3 4  2x1
i/



j/

4x  2 x  4
2
x 1

3 2

 
x

3 2



x

 5x

k/ 3x 4 ( x2  4).3x2  1
2

PHẦN NÀY TÔI KHÔNG ĐỀ CẬP ĐẾN HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
NÓ ĐƢỢC GỘP CHUNG VÀO PHẦN SAU:
CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH, PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỈ.
ĐỂ CÓ TRONG TAY SỚM NHẤT BỘ TÀI LIỆU 12 VÀ ÔN THI KÌ THI CHUNG QUỐC
GIA:
+ Các em có thể đến trực tiếp :

131/10 LÝ THÁI TỔ ĐÀ NẴNG.

+ Liên hệ 0932589246 gặp Thầy Dƣơng.^^
+ Hay liên hệ online qua mail:



hoặc:
MỌI CHI TIẾT ĐÓNG GÓP XIN GỬI VỀ MAILL TRÊN ĐỂ TÀI LIỆU ĐƢỢC HOÀN THIỆN
HƠN

HÃY SHARE CHO BẠN BÈ VÀ NGƢỜI THÂN BỘ TÀI LIỆU NÀY.
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG
Lớp Toán 10-11-12-LTQG

Ng.soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246