CHƯƠNGIV.BÀI 1:GIỚIHẠNDÃYSỐ

Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TiÕt 49, 50, 51 vµ 52
GV : ĐOÀN THỊ KIM NGỌC

( Không có vì đầu chương )
I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu hỏi 1> Cho dãy số ( u
n
) với

a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

Hãy tính các khoảng cách từ u
4
; u
10
; u
100
; u
2008

; … đến
0

Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở
nên rất lớn ?
n
u
n
1
=
,...
2008
1
,...,
100
1
,...,
10
1
,...,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2

1
,1

Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì khoảng
cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?

Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách này
tiến dần đến 0, hay ta nói rằng u
n
dần đến 0.

Ta ký hiệu: u
n
0

ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương
vô cực nếu / u
n
/ có thể nhỏ hơn một số dương bé
tuỳ ý ,kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu:
hay u
n
0 khi n
0lim =
+∞→
n

n
u
∞+

( )
2
1
n
u
n
n
−
=
0lim =
+∞→
n
n
u

VÝ dô 1: Cho d·y sè (u
n
) víi

Chøng minh r»ng

ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (v
n
) có giới hạn là a ( hay v
n

dần tới a ) khi n
Nếu
Kí hiệu: hay v
n
a khi n
∞+
av
n
n
=
+∞→
lim
0)(lim =−
+∞→
av
n
n
∞+
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với
Chứng minh rằng
23
16
+
−
=
n
n
u
n
2

23
16
lim =
+
−
+∞→
n
n
n


Một vài giới hạn đặc biệt:
Víi k lµ sè nguyªn d­¬ng vµ /q/<1, c : hằng số
ccc
qb
nn
a
n
n
n
k
nn
=
=
==
+∞→
+∞→
+∞→+∞→
lim)
0lim)

0
1
lim;0
1
lim)

II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

ĐINH LÝ 1:
a
a
b
a
ba
ba
va
=
≥=≥
≠=+
=+
−=−+
+=++
==
n
nn
nn
ulimvµ
0a thi u limvµ n mäi víi u NÕu b)
) 0b Õu
lim( /

limµ lim Õu
0
N (
v
u
lim /
.)lim( /
)lim(/
)
: thib va N )
n
n
nn
nn
nn
.vu
vu
bavu
u

C¸c vÝ dô:

VÝ dô 3:

T×m

Lgi iả : Chia c¶ tö vµ
mÉu cho n
2
th×:

2
2
1
3
lim
n
nn
+
−
1
1
1
3
1
3
2
2
2
+
−
=
+
−
n
n
n
nn
Lµm thÕ nµo ®Ó t×m ®­îc
giíi h¹n nµy ?
3

1
3
1
1
lim
1
3lim
1
11 v3
2
2
==






+






−
=
+
−
=







+=






n
n
n
n
2
2
3n
lim nNª
n
1
limµ
n
1
-3lim cãTa