bài 1: Nguyên Hàm

Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 07/12/2005
chơng III: nguyên hàm và tích phân
Tiết PPCT: 47
Đ1. nguyên hàm
(Tiết 1: Định nghĩa

Họ các nguyên hàm)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm đợc khái niệm, định nghĩa nguyên hàm. Nắm vững nội dung và biết cách
chứng minh các định lí về họ các nguyên hàm.
Trọng tâm: Hs nắm vững định nghĩa nguyên hàm và nội dung các định lí.
B. hớng đích và gợi động cơ.
HĐ 1: Chúng ta đã biết rằng v(t) = f(t) với s=f(t). Tuy nhiên nhiều khi ta phải giải bài
toán ngợc lại, tức là: Tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f(t) của nó.
C. làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:
Tìm hiểu SGK.
Tại sao? Xét F
1
(x) = x
2
+ 3?
(sinx) = ?
?
(sinx+5) = ?
Giải thích tại sao?
HĐ 3:
Giải thích định lí?
ý nghĩa?

Giải thích Bổ đề?
Chứng minh bổ đề?
Định lí lagrange?
1. Định nghĩa.
Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng (a; b) nếu với mọi x(a; b), ta có:
F(x) = f(x)
Nếu thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì phải có thêm:
F(a
+
) = f(a) và F(b

) = f(b)
Ví dụ:
a) F(x) = x
2
là một nguuyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên
Ă
.
Vì (x
2
) = 2x.
Và F
1
(x) = x
2
+ 3 cũng là một nguyên hàm của hs f(x) = 2x
trên
Ă
. Vì ta cũng có (x

2
+ 3) = 2x.
b) G(x) = sinx là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên
Ă
vì (sinx) = cosx.
G
1
(x) = sinx+5 cũng là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx
trên
Ă
vì ta cũng có (sinx+5) = cosx.
Nhận xét: Mọi hàm số dạng F(x) = x
2
+ C (C = const) đều là
nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x và mọi hs dạng G(x)=sinx+C
đều là nguyên hàm của hàm số g(x) = cosx.
Vì (x
2
+ C) = 2x và (sinx + C) = cosx.
Một cách tổng quát ta có:
2. Định lí.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;
b) thì:
i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của
f(x) trên khoảng đó.
ii) Ngợc lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều có thể
viết dới dạng F(x) + C với C là một hằng số.
Tức: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì
{ }
F(x) c / C+ Ă

là họ các nguyên hàm của f(x).
Để chứng minh định lí ta xét Bổ đề sau:
Nếu F(x) = 0 trên (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.
Chứng minh.
Xét phần tử cố định x
0
(a; b).
Nếu x = x
0
thì F(x) = F(x
0
).
Nếu xx
0
, theo định lí Lagrange tồn tại số c nằm giữa x và x
0
Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi.
93
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
F(c)=? tại sao?
HĐ 4:
C/m F(x) + C cũng là nguyên
hàm của f(x)?
C/m mọi nguyên hàm của f(x)
đều có dạng F(x) + C?
HĐ 5:

Lu ý nắm vững các khái niệm.
Tìm các nguyên hàm trong ví
dụ?

sao cho: F(x) F(x
0
) = F(c)(xx
0
)
Nhng do c(a; b) nên F(c) = 0.
Vậy ta có: F(x) F(x
0
) = 0 hay F(x) = F(x
0
).
Nh vậy, với mọi x(a; b) ta có: F(x) = F(x
0
). Do đó F(x) là một
hàm số không đổi trên (a; b).
Chứng minh định lí.
1) Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
(a; b). Vì vậy F(x) = f(x) x(a; b). Khi đó ta cũng có:
(F(x)+C) = F(x) + 0 = f(x) nên F(x) + C cũng là một nguyên
hàm của f(x) trên (a; b).
2) Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b).
Tức là G(x) = f(x) x(a; b). Khi đó ta có:
(G(x) F(x)) =G(x) F(x) = f(x) f(x) =0
Theo Bổ đề trên suy ra: G(x) F(x) = C (C= const)
Tức là G(x) = F(x) +C.
Từ định lí ta có: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)
thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của f(x).
Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là:
f (x)dx

Đọc: Tích phân bất định của f(x) hoặc họ các nguyên hàm của
f(x).
Ta có:
f (x)dx F(x) C
= +

, trong đó F(x) là một nguyên
hàm bất kì của f(x) và C là hằng số tuỳ ý.
Dấu

gọi là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx gọi là biểu thức
dới dấu tích phân.
Ví dụ:
2
2
dx
2xdx x C; tgx C
cos x
dx
sin xdx cos x C; ln x C
x
= + = +
= + = +


D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 6: - Nắm vững định nghĩa nguyên hàm.
- Nội dung định lí, phép chứng minh định lí.
Bài tập về nhà: Làm bài tập 1a, b, c, d SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi.
94
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 07/12/2005
Tiết PPCT: 48
Đ1. nguyên hàm
(Tiết 2: Các tính chất và sự tồn tại nguyên hàm)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh nắm đợc các tính chất của nguyên hàm và nội dung của định lí về sự tồn tại
nguyên hàm. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán.
Trọng tâm: Hs nắm vững các tính chất của nguyên hàm và biết cách vận dụng để giải
toán.
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Phát biểu định nghĩa nguyên hàm.
Tính
( )
1
I x 1 dx; J (x )dx
x
= + = +

;
C. làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:
Tìm hiểu SGK.

F(x)=?

af (x)dx ?=

Chứng minh aF(x) cũng là một
nguyên hàm của af(x)?

f (x)dx g(x)dx ?
+ =

Chứng minh F(x)+G(x) là
một nguyên hàm của hs (f(x)
+g(x))?
HĐ 3:
3. Các tính chất của nguyên hàm.
Tính chất 1:
( )
'
f (x)dx f (x)=

Do
f (x)dx F(x) C= +

với F(x) là một nguyên hàm của f(x)
và C = const nên
( )
[ ]
'
'
f (x)dx F(x) C F'(x) f (x)= + = =

.
Tính chất 2:
af (x)dx a f (x)dx (a 0)=

Chứng minh
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có:
[ ]
af (x)dx a F(x) C aF(x) aC= + = +

mà
[ ]
'
aF(x) a.F'(x) af (x)= = nên aF(x) là một nguyên hàm
của af(x), vì a0 và C là hằng số tùy ý nên aC cũng là hằng số
tùy ý.
Hiển nhiên ta có
a f (x)dx

cũng là họ nguyên hàm của hs
af(x). đpcm
Tính chất 3:
[ ]
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx+ = +

Chứng minh.
Nếu F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) và g(x) thì ta có:
1 2
f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C C+ = + + +

.
Mà
[ ]
'
F(x) G(x) F'(x) G '(x) f (x) g(x)+ = + = + nên F(x)+G(x)
là một nguyên hàm của hs (f(x)+g(x)). Vì C
1
và C
2
là các hằng
số tùy ý nên C = C
1
+ C
2
cũng là hằng số tùy ý.
Do đó ta có đpcm.
Tính chất 4:
Nếu
( ) ( )
f (t)dt F(t) C f u(x) .u '(x)dx F u(x) C= + = +

Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi.
95
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ta cần chứng minh điều gì?
[F(u(x))]=?
F(u) = ?

f (u)du ?=

HĐ 4:
2
x dx ?; 3xdx ?
= =

Tơng tự tính J?
Hay nếu F(t) là một nguyên hàm của hs f(t) thì F(u(x)) là một
nguyên hàm của hàm số f(u(x)).u(x).
Chứng minh.
Ta sẽ chứng minh
[ ]
'
F(u(x)) f (u(x)).u '(x)= . Thật vậy, đặt
u=u(x) thì ta có:
[ ]
'
F(u(x)) F'(u).u '(x) f (u).u '(x) f (u(x)).u '(x)= = = .
Vì theo giả thiết ta có
F'(t) f (t)=
.
Chú ý: Do u(x)dx = du nên nếu đặt u=u(x) thì tính chất 4 đợc
phát biểu nh sau:
( )
f (t)dt F(t) C f (u)du F(u) C, u u(x)= + = + =

4. Sự tồn tại nguyên hàm.
Định lí. Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] đều có nguyên
hàm trên đoạn đó.
Từ nay ta giả thiết các hàm số đợc xét đều liên tục (nếu
không lu ý gì thêm) do đó chúng đều tồn tại nguyên hàm.

Ví dụ:
1) Tính:
2
1
a) I (x 3x 1)dx; b) J x dx
x

= + + = +
ữ


Hớng dẫn giải.
a) Ta có:
2 2
I (x 3x 1)dx x dx 3xdx dx= + + = + +


3 2
1 3
x x x C
3 2
= + + +
b)
2
1 dx 1
J x dx xdx ln x x C
x x 2

= + = + = + +
ữ

D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà:
HĐ 5: - Nắm vững các tính chất của nguyên hàm.
- Xem lại các ví dụ.
Xem bảng các nguyên hàm cơ bản.
Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3 SGK.
E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung:
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi.
96
Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12
Ngày: 08/12/2005
Tiết PPCT: 49
Đ1. nguyên hàm
(Tiết 3: Bảng các nguyên hàm cơ bản

Ví dụ)
A. Mục tiêu. Sau tiết này
Học sinh hiểu các xây dựng bảng nguyên hàm và nắm vững các công thức tính nguyên
hàm của một số hàm số thờng gặp. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán.
Trọng tâm: Hs nắm vững nội dung bảng các nguyên hàm cơ bản..
B. kiểm tra và đánh giá.
HĐ 1: Phát biểu các tính chất của nguyên hàm.
C. làm việc với nội dung mới.
Phân bậc hoạt động Nội dung
HĐ 2:

Tìm hiểu SGK.
x = ?
dx

=?
(x
5
)=?
4
x dx ?=

(lnx)=?
(e
x
)=?
(a
x
)=?
(sinx)=?
(cosx)=?
(tgx)=?
(cotgx)=?
HĐ 3:
Vận dụng
x dx ?

=

I
1

=?
Tích phân hàm luỹ thừa?
5. Bảng các nguyên hàm.
Nguyên hàm các hs sơ cấp Nguyên hàm của hs hợp
dx

=x + C
du

= u + C
1
x
x dx C
1
+

= +
+

(1)
1
u
u dx C
1
+

= +
+

(1)

dx
ln x C
x
= +

du
ln u C
u
= +

(u=u(x)0)
x
e dx

= e
x
+ C
u
e dx

= e
u
+ C
x
x
a
a C
ln a
= +

(0<a1)
u
u
a
a C
ln a
= +

(0<a1)
sin xdx

= cosx + C
sin udu

= cosu + C
cos xdx

= sinx + C
cos udu

= sinu + C
2
dx
cos x

= tgx + C
2
du
cos u

= tgu + C
2
dx
sin x

= cotgx + C
2
du
sin u

= cotgu + C
6. Các ví dụ về tính nguyên hàm.
Ví dụ 1.
4 2 4 2
1
I (3x 4x 2x 1)dx 3 x dx 4 x dx 2 xdx dx= + + = + +

=
5 3
2
3x 4x
x x C
5 3
+ + +
Ví dụ 2.
(
)
3 4
1
3

2 2
1
1 1
32 2
2
x 2x x
I dx x 2x x dx
x

+ +
= = + +

Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi.
97