Bài toán tính thể tích và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO
NHAU
Phương pháp : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
h nh theo một trong các cách dưới đây :

, ta có thể tiến

Cách 1 : Dựa v o định nghĩa ( Xác định đường vuông góc chung ) .
Cách n y thường được tiến h nh khi ta biết được hai đường thẳng
Khi đó ta l m như sau :

vuông góc với nhau .

Bước 1 : Xác định một mặt phẳng (P) chứa
vuông góc với đường thẳng
. Tức l đường
thẳng
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) , trong đó có đường
thẳng .
Bước 2 : Tìm giao điểm I của đường thẳng
với mặt phẳng (P) . Từ I kẻ IH vuông góc với
với H
. Khi đó IH l đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
.

,

Bước 3 : Tính độ d i đoạn thẳng IH .
Ta thường vận dụng hệ thức lượng tam giác v tam giác đồng dạng ; định lý Pitagor để tính độ
d i đoạn IH .
Cách 2 : Dựa v o khoảng cách giữa đường thẳng v mặt phẳng song song .

Giả sử ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
sau :
Bước 1 : Lấy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d(
= d(
.

, ta có thể tiến h nh như

v song song với đường thẳng

. Khi đó

Nên lấy sao cho ta dễ d ng tính được khoảng cách .
Bước 2 : Tính khoảng cách giữa đường thẳng

v mặt phẳng (P) .

THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC l tam giác vuông ,
AB = BC = a , cạnh bên AA’ = a√ . Gọi M l trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ v khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B’C.
Giải

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

Thể tích khối lăng trụ l :
√

√

(đvtt)

Gọi E l trung điểm của BB’ .
Khi đó mặt phẳng (AME) // B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME))
Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME))
Gọi h l khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) .
Do tứ diện BAME có BA , BM , BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao :
√
Khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C v AM bằng khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) :
h=

√

Thí dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình vuông cạnh a . Gọi M v N lần lượt l
trung điểm của cạnh AB v AD , H l giao điểm của CN v DM . Biết SH vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) v SH = a√ . Tính thể tích khối chóp S.CDNM v khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM v SC theo a .
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Tính thể tích khối chóp S.CDNM

Ta có : SH ⏊ (ABCD) suy ra SH l đường cao




√

√

(đvtt) .

Tính khoảng cách giữa DM v SC

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


+ Ta có : ΔCDN = ΔDAM (c.g.c)
 {

⏊
⏊

Kẻ HK ⏊

Với : {

=> DM ⏊

=> DM ⏊

=> HK ⏊ MD => HK = d(DM,SC)

√




=> HK =

√
√

Thí dụ 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC l tam giác vuông cân tại B ,
AB = BC =2a , hai mặt phẳng (SAB) v (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Gọi
M l trung điểm AB , mặt phẳng qua SM v song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) v (ABC) bằng
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM v khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB v SN theo a
Giải :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Theo giả thiết :
⏊

{

=> SA ⏊ (ABC)

=> SA l đường cao hình chóp S.BCMN
Do : {

⏊
⏊

 (

̂

=> BC ⏊ (SAB)
)

̂

Trong tam giác vuông SAB ta có :
SA = AB.tan
=2
Nên

= 2a√ v
=2
√ =

√

Kẻ NI // AB để có AMNI l hình vuông , vậy khoảng cách của AB đến SN chính l hướng cao
của ΔSAI , gọi h l chiều cao đó , ta có :

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


√
(

√

√ )

Thí dụ 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l
hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O .
(

Biết

√ ) . Gọi M l trung điểm của cạnh SC .

a. Tính góc v khoảng cách giữa hai đường thẳng SA v BM
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N . Tính thể tích hình chóp S.ABMN
Giải :
Cách 1 :
a. Giả thiết => SO ⏊ (ABCD) ; SA = SC = 2√
Ta có OM // SA => Góc (SA , MB) = ̂
OB ⏊ (SAC) => OB ⏊ OM

Tam giác OBM có tan ̂ =

=> tan ̂ =

√

=> ̂

Vẽ OH ⏊ SA => OH ⏊ OM v OH ⏊ OB => OH ⏊ (OMB)
Vì SA // OM => SA // (OMB) => d(SA,MB) = d(H,(OMB)) = OH =

√

.

SD = N => N l trung điểm SD .

b. (ABM)
Ta có :

=>

Tương tự :
Vậy
√

√

Cách 2 :
a. O l trung điểm BD => D

M l trung điểm SC => M(

; O l trung điểm AC => C
(
√ ) ; ⃗⃗⃗⃗
√ )

(
Gọi

√ );
l góc nhọn tạo bởi SA v BM

cos

=

|
√

|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Gọi (α) l mặt phẳng chứa SA v // BM . Suy ra PT :
(α) : √
√
Ta có : d(SA,BM) = d(B,(α)) =
PT mp(ABM) : √

√

√

√

PT tham số SD : {
√
Tọa độ điểm N = SD
⃗⃗⃗⃗

(

√ )

(ABM) => N(

√ ) ; ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

(

√ );

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(
√ )
[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( √
) [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
√
Vậy

√
√

√

√ (đvtt)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7