Tài liệu ôn tập môn toán lớp 12 ôn thi THQG (6)

danghoa94blogspots1

CHUYÊN ĐỀ 7-

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI LƯỢNG GIÁC
CỦA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG
Trong các kỳ thi Đại học-Cao đẳng trước đây đến nay , bài tập về phần lượng
giác thường được bố trí nằm ở câu II/1 hoặc III/1-chủ yếu là Câu II, thông thường phần
này chiếm 1 điểm,và phổ biến là bài giải phương trình. Từ các năm 2003 trở về sau ,
cấu trúc này gần như ổn định trong suốt nhiều năm.
Để giúp các em nhìn một cách tổng thể nội dung : Chủ đề Lượng giác qua các
kỳ thi Đại học-Cao đẳng Khối A các năm qua; từ đó nhận diện các bài tập, phương
pháp giải thích ứng với từng dạng bài, tập dượt cho các em làm được bài, tự tin hơn ở
phần này.Ngoài ra cũng xin trao đổi với Thầy , Cô, các em góp ý để có những cách giải
khác linh động hơn.
Năm 2002Câu III/1- Tìm nghiệm thuộc khoảng

( 0; 2π )

của phương trình:

cos 3 x + sin 3 x 

5  sin x +
÷ = cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x 

Giải.
sin 2 x ≠
-Điều kiện :
-Biến đổi vế trái

(1)

−1
2

cos 3x + sin 3x 

 sin x + 2sin x.sin x + cos 3x + sin 3 x 
5  sin x +
=
5
÷ 
÷
1 + 2sin 2 x 
1 + 2sin 2 x





danghoa94blogspots2

1


sin
x
+
2.

(cos
x
−
cos
3
x
)
+
cos
3
x
+
sin
3
x

÷
2
= 5
÷
1
+
2sin
2
x

÷


 sin x + cos x − cos 3x + cos 3 x + sin 3 x 

= 5
÷
1 + 2sin 2 x


 sin x + cos x + sin 3x 
= 5
÷
1 + 2sin 2 x


 cos x + 2sin 2 x.cos x 
= 5
÷
1 + 2sin 2 x


 (2sin 2 x + 1) cos x 
= 5
÷ = 5cos x
1
+
2sin
2
x



(*)

cos x = 2
5cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 = 0 ⇔
1
cos x =
2

(loai )

2

Từ (1)và (*) :
1
π
cos x = ⇔ x = ± + k 2π
2
3
-Khi
π
x ∈ (0; 2π ) ⇒ x1 = + k 2π ,
3
-Do

x2 =

5π
3

x1 =
-Vậy : Nghiệm của phương trình là :

sin 2 x ≠
( x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

π
+ k 2π ,
3

x2 =

5π
3

.

-----------------------Năm 2003-

cot x − 1 =
Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
sin x ≠ 0

cos x ≠ 0
 tan x ≠ 0

-Điều kiện:
-Biến đổi tương đương (1)

(nhan)

cos 2 x

1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2

(1)

−1
2

)


danghoa94blogspots3

cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2
2
2
cos x
cos x − sin x
1
⇔
−1 =
+ sin 2 x − .2sin x cos x
sin x
sin x

2
1+
cos x
cos x − sin x (cos x + sin x)(cos x − sin x).cosx
⇔
=
+ sin x(sin x − cos x)
sin x
cos x + sin x
cos x − sin x
⇔
= cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x)
sin x
1
⇔ (cos x − sin x )(
− cos x + sin x) = 0
sin x
1 − sin x cos x + sin 2 x
⇔ (cos x − sin x)(
)=0
sin x
⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x − sin x cos x + 1) = 0 (*)
cot x − 1 =

Giải (*), ta có :
⇔

⇔ (cos x − sin x)(sin 2 x − sin x cos x + 1) = 0
cos x − sin x = 0
sin 2 x − sin x cos x + 1 = 0

cos x = sin x ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
+Khi :
+Khi :

π
+ kπ
4

, nhận , do thỏa mãn đk

1
sin 2 x sin x cos x + 1 = 0 ⇔⇔ sin 2 x − sin 2 x + 1 = 0
2

x=
Vậy phương trình có nghiệm :

π
+ kπ
4

-----------------------Năm 2004Câu II/1- Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện:

cos 2 A + 2 2 cosB+ 2 2 cosC = 3
Tính ba góc của tam giác ABC.

.

vô nghiệm

danghoa94blogspots4

Giải.
Đặt :

M = cos 2 A + 2 2 cosB+ 2 2 cosC − 3
= 2 cos 2 A − 1 + 2 2(cos B + cos C ) − 3
B+C
B −C
= 2 cos 2 A − 1 + 2 2.cos
.cos
−3
2
2

sin
-Do

A
B −C
> 0, cos
≤1
2
2

-Do tam giác ABC không tù nên :

M ≤ 2 cos A + 4 2 sin

M ≤ 2 cos 2 A + 4 2 sin
Suy ra :

cos A ≥ 0, cos 2 A ≤ cos A

A
−4
2

, suy ra:

A
−4
2

A
A

= 2  1 − 2sin 2 ÷+ 4 2 sin − 4
2
2

A
A
= 2 − 4sin 2 + 4 2 sin − 4
2
2
A
A

= −4sin 2 + 4 2 sin − 2
2
2
2

A 

= −2  2 sin − 1÷ ≤ 0
2 


Vậy :

M≤0

M = 0 ⇔ sin

(*)
và

2

A 

 2 sin − 1÷ ≥ 0)
2 


( do
A

1
=
2
2

.


cos 2 A = cos A

 A = 900
B −C

=1 ⇔ 
cos
0
2
 B = C = 45

A
1

sin 2 = 2


Theo giả thiết :
A = 900 , B = C = 450
Vậy :
.

------------------------


danghoa94blogspots5

Năm 2005-

cos 2 3 x.cos 2 x − cos 2 x = 0

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
Biến đổi tương đương :
(1) ⇔ (1 + cos 6 x).cos 2 x − (1 + cos 2 x) = 0

(1)

⇔ cos 2 x + cos 6 x.cos 2 x − 1 − cos 2 x = 0
⇔ cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0
1
[cos 4 x + cos 8 x ] − 1 = 0
2
⇔ cos 4 x + (2 cos 2 4 x − 1) − 2 = 0
⇔

cos 4 x = 1
⇔ 2 cos 4 x + cos 4 x − 3 = 0

⇔

2

cos 4 x = 1 ⇔ x = k
Khi

x=k
Vậy :

π
2

cos 4 x =

( n)

−3
2

(l )

(∀k ∈ Z )

π
2
------------------------

Năm 2006-

2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sin x

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
2 − 2 sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠

-Điều kiện :
Biến đổi tương đương :
-Ta biết :

2
2

=0
(1)

(*)

sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x − sin 2 x.cos 2 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x − sin 2 cos 2 x
3
3
= 1 − .2sin 2 x cos 2 x.2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x
4
4


danghoa94blogspots6

 3
 1
(1) ⇔ 2 1 − sin 2 2 x ÷− sin 2 x = 0
 4

 2
3
1
⇔ 2 − sin 2 2 x − sin 2 x = 0
2
2
sin 2 x = 1
2
⇔ −3sin 2 x − sin 2 x + 4 = 0 ⇔
−4
sin 2 x =
3

sin 2 x = 1 ⇔ x =
-Khi

π
+ kπ
4
x=

-Do điều kiện (*) nên :

x=
Vậy :

5π
+ 2mπ
4

( n)
(l )

(∀k ∈ Z )

5π
+ 2mπ
4

(m ∈ Z)

(m ∈ Z)
.
------------------------

Năm 2007-

( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
2

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.

2

(1)

(1) ⇔ sin x + cos x + sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = sin 2 x + cos 2 x + 2sin x cos x
⇔ (sin x + cos)(1 + sin x cos x) = (sin x + cos x) 2
⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x − sin x − cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x)(1 − cos x) = 0
−π
+ kπ
4
π
⇔ x = + k 2π
2
x = k 2π
x=

x=
Vậy :

(∀k ∈ Z )

−π
π
+ kπ , x = + k 2π , x = k 2π
4
2

.


danghoa94blogspots7

-----------------------Năm 2008-

1
+

sin x
Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
-Biếm đổi tương đương:

 7π

= 4sin 
− x÷
2π 

 4

sin  x −
÷
3 

1

(1)

1
1
+
= −2 2(sin x + cos x)
sin x cos x
cos x + sin x
⇔
+ 2 2(sin x + cos x) = 0
sin x cos x

1
⇔ (sin x + cos x)(
+ 2 2) = 0
sin x cos x
sin x + cos x = 0
⇔
1
+2 2 =0
sin x cos x

(1) ⇔

-Khi

-Khi

π
−π
sin x + cos x = 0 ⇔ 2 sin( x + ) = 0 ⇔ x =
+ kπ ( k ∈ Z )
4
4
1
− 2
− 2
+ 2 2 = 0 ⇔ 2sin x cos x =
⇔ sin 2 x =
sin x cos x
2
2

−π
+ kπ ( k ∈ Z ) ( n )
8
⇔
5π
x=
+ kπ ( k ∈ Z ) ( n )
8
x=

x=
Vậy :

−π
+ kπ ,
4

x=

−π
+ kπ ,
8

x=

5π
+ kπ .
8

-----------------------Năm 2009-

(n)


(1 − 2sin x) cos x
= 3
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.

(1)

sin x ≠ 1, sin x ≠
-Điều kiện :
Biến đổi tương đương:

danghoa94blogspots8

−1
2

(*)

(1) ⇔ (1 − 2sin x) cos x = 3(1 + 2sin x)(1sin x)
⇔ cos x − 2sin x cos x = 3(1 + sin x − 2sin 2 x)
⇔ cos x − sin 2 x = 3 + 3 sin x − 2 3 sin 2 x
1 − cos 2 x
⇔ cos x − sin 2 x = 3 + 3 sin x − 2 3.(
)

2
⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 − 3 + 3 cos 2 x = sin 2 x + 3 cos 2 x
1
3
1
3
⇔ cos x −
sin x = sin 2 x +
cos 2 x
2
2
2
2
π
π
⇔ cos( x + ) = cos(2 x − )
3
6
π
x = + k 2π
2
⇔
−π
2π
x=
+k
18
3
x=
-So điều kiện (*) , ta loại

x=
-Vậy :

−π
2π
+k
18
3

π
+ k 2π
2

(∀k ∈ Z )
------------------------

Năm 2010-

( 1 + sin x + cos 2 x ) .sin  x +
Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.

1 + tan x



π
÷
4

=

1
.cos x
2


cos x ≠ 0, 1 + tan x ≠ 0

danghoa94blogspots9

(*)

-Điều kiện:
-Biến đổi tương đương:

π
(1) ⇔ 2 sin( x + ).(1 + sin x + cos 2 x) = (1 + tan x).cos x
4
 sin x + cos x 
⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x + cos 2 x) = 
÷.cos x
cos x


⇔ 1 + sin x + cos 2 x = 1
⇔ sin x + 1 − 2sin 2 x = 0
sin x = 1 (l ) do cos x ≠ 0
⇔ 2sin x − sin x − 1 = 0 ⇔

−1
sin x =
( n)
2
2

−π
+ k 2π
−1
6
sin x =
⇔
7π
2
x=
+ k 2π
6
x=

-Khi

x=
-Vậy :

−π
+ k 2π ,
6

x=

7π
+ k 2π
6
----------

Năm 2011-

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.

sin x ≠ 0

-Điều kiện :
-Biến đổi tương đương:

(*)

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x

(1)


danghoa94blogspots10

(1) ⇔ (1 + sin 2 x + cos 2 x).

1
= 2 sin x.2sin x cos x

1 + cot 2 x

⇔ (1 + sin 2 x + cos 2 x).sin 2 x = 2 2 sin 2 x cos x
⇔ 1 + sin 2 x + cos 2 x = 2 2 cos x

(do sin x ≠ 0)

⇔ 1 + 2sin x cos x + 1 − 2cos 2 x − 2 2 cos x = 0
⇔ cos x(2sin x + 2 cos x − 2 2 cos x) = 0
⇔ 2 cos x(sin x + cos x − 2) = 0
⇔

cos x = 0
sin x + cos x − 2 = 0
cos x = 0 ⇔ x =

-Khi

cos x = 0

⇔

sin x + cos x = 2

π
+ kπ
2

(n)

π
π
sin x + cos x = 2 ⇔ sin( x + ) = 1 ⇔ x = + k 2π
4
4

-Khi

x=
Vậy :

π
+ kπ ,
2

x=

( n)

π
+ k 2π
4
------------------------

Năm 2012Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
-Biến đổi tương đương:

3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1

(1) ⇔ 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x − 1 − 2cos x + 1 = 0
⇔ 2 cos x( 3 sin x + cos x − 1) = 0
⇔

cos x = 0
3 sin x + cos x = 1

cos x = 0 ⇔ x =
-Khi

π
+ k 2π
2

(∀k ∈ Z )

( n)


danghoa94blogspots11

-Khi

x = k 2π
π
π
3 sin x + cos x = 1 ⇔ cos( x − ) = cos ⇔
2π
3
3

x=
+ k 2π
3
x=

Vậy :

π
+ k 2π ,
2

x = k 2π ,

x=

2π
+ k 2π
3

( n)
( n)

.

-----------------------Năm 2013-

π

1 + tan x = 2 2 sin  x + ÷
4



Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.

cos x ≠ 0

(1)

(*)

-Điều kiện :
-Biến đổi tương đương:

sin x
= 2.(sin x + cos x)
cos x
⇔ cos x + sin x = 2(sin x + cos x).cos x ( do cos x ≠ 0)
⇔ sin x + cos x − 2(sin x + cos x) cos x = 0

(1) ⇔ 1 +

⇔ (sin x + cos x)(1 − 2 cos x) = 0
⇔

sin x + cos x = 0
1 − 2 cos x = 0
sin x + cos x = 0 ⇔ x =

-Khi

−π
+ k 2π
4

1 − 2cosx = 0 ⇔ cos x =
-Khi

x=
Vậy :

−π
+ k 2π ,
4

(k ∈ Z )

1
π
⇔ x = ± + k 2π
2
3

x=±

π
+ k 2π .
3
------------------------

Năm 2014-

(n)
(k ∈ Z )

( n)


sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x

Câu II/1- Giải phương trình :
Giải.
-Biến đổi tương đương:

danghoa94blogspots12
(1)

(1) ⇔ sin x + 4cos x − 2 − 2sin x cos x = 0
⇔ sin x − 2sin x cos x + 4 cos x − 2 = 0
⇔ − sin x(2 cosx − 1) + 2(2 cos x − 1) = 0
⇔ (2 cos x − 1)(2 − sin x) = 0
⇔

2 cos x − 1 = 0
2 − sin x = 0
2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x =

-Khi
-Khi

2 − sin x = 0
x=±

Vậy :

1
π
⇔ x = ± + k 2π
2
3

(k ∈ Z )

-Vô nghiệm.

π
+ k 2π .
3

------------------Năm 2015- Ngày thi
( Đề thi diễn tập THPT QG-2015)
Câu II - Giải phương trình sau trên tập số thực :

4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4
Giải.
-Biến đổi tương đương:
(1) ⇔ 4sin 2 x − 4 + 3 3.2 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0
⇔ 4(sin 2 x − 1) + 6 3 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0
⇔ −4 cos 2 x + 6 3 sin x cos x − 2 cos 2 x = 0

(1)

( n)


danghoa94blogspots13

⇔ 6 3 sin x cos x − 6 cos 2 x = 0
⇔ 6 cos x( 3 sin x − cos x) = 0

⇔

cos x = 0
⇔
1
tan x =
3 sin x − cos x = 0
3

cos x = 0

cos x = 0 ⇔ x =
-Khi

tan x =
-Khi

x=
Vậy :

π
+ kπ
2

( do cos x ≠ 0)

(k ∈ Z )

( n)

1
π
π
⇔ tan x = tan ⇔ x = + kπ
6
6
3

π
+ kπ ,
2

x=

(k ∈ Z )

( n)

π
+ kπ .

6
-----------------Hết -----------------------