Tài liệu ôn tập môn toán lớp 12 ôn thi THQG (10)

Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC
Biên soạn: Trần Hải Nam – Trung tâm luỵện thi Tầm Cao Mới
(tài liệu lưu hành nội bô)
Phần II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

-

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ
Hàm số y = sinx
Tập xác địng D = R
Tập giá trị T = [-1,1]
Hàm số lẻ

-

Chu kì: T0 = 2

A.
1.
a.
-

π

T0 =

2π
a

-

y = sin(ax + b) có chu kỳ:
y = sin(f(x)) xác định  f(x) xác định
Hàm số y = cosx
Tập xác địng D = R
Tập giá trị T = [-1,1]
Hàm số chẵn

-

Chu kì: T0 = 2

•
•
b.
-

π

T0 =
•
•
c.

2π
a

y = cos(ax + b) có chu kỳ:
y = cos(f(x)) xác định  f(x) xác định
Hàm số y = tanx

π

D = R\  + kπ , k ∈ Z 
2


-

Tập xác địng
Tập giá trị T = R
Hàm số lẻ

-

Chu kì: T0 =

-

π

T0 =
•

1

π
a

y = tan(ax + b) có chu kỳ:
1

f ( x) ≠
•
d.

y = tan(f(x)) xác định 
Hàm số y = tanx

-

Chu kì: T0 =

-

xác định

D = R\ { kπ , k ∈ Z }

Tập xác địng
Tập giá trị T = R
Hàm số lẻ

-

π
+ kπ ( k ∈ Z )
2

π

T0 =
•

y = cot(ax + b) có chu kỳ:

•

y = cot(f(x)) xác định 

π
a

f ( x ) ≠ kπ ( k ∈ Z )

xác định

Lưu ý: y = f1(x) có chu kỳ T1; y = f2(x) có chu kỳ T2 thì hàm số y = f1(x)
kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

±

f2(x) có chu

Bài tập
Bài 1: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số sau

a/

 2x 

y = sin 
÷
 x −1 

b/
y=

2

d/

g/

y = 1 − cos x

π
y = cot  x + ÷
3


e/
y=

h/

y = sin x

c/

1

sin x + 1

sin x
cos( x − π )

f/

y = 2 − sin x


π
y = tan  x − ÷
6


i/ y =

1
tan x − 1

Bài 2: Tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a/ y =

2


π
2 sin  x + ÷+ 1


4

b/

y = 2 cos x + 1 − 3

c/

y = sin x

2


d/

y = 4sin 2 x − 4sin x + 3

g/ y = sinx + cosx

e/

y = cos2 x + 2sin x + 2

h/ y =

f/

3 sin 2 x − cos 2 x

y = sin 4 x − 2 cos2 x + 1

i/ y =

sin x + 3 cos x + 3

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a/ y = sin2x

b/ y = 2sinx + 3

c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx

e/ y = sin4x

f/ y = sinx.cosx

g/ y =

cos3 x + 1

sin x − tan x
sin x + cot x

h/ y =

sin3 x

i/ y =

tan x

Bài 4: Tìm chu kỳ của hàm số

a/

y = cos

y = sin 2 x

b/

y = sin 2 x + cos

d/
g/
ĐS
π
.
4

x
2

e/

y = 2 sin x . cos3 x

a/

i/

π.

b/ 6

π

h/
c/

π.

x
3

c/

y = cos

y = tan x + cot 3 x

f/

y = cos2 4 x

d/ 4

π

e/

π

y = sin 2 x
3x
2x
− sin
5
7

i/ y = tan(−3x + 1)
f/ 70

π

g/

π

.

h/

π
3

Bài 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
y = 2sin 2 ( x +

a.

3

π
) + 2 cos 2 x + cos 2 x
6

y = 2sin( x +

b.

π
π
) cos( x + ) + sin 2 x
6
3

3


y = 2sin(2 x +

c.

π
π
) + 4 cos x cos( x + )
3

3

d.

y = sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x

.

Bai 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

y=

a.

sin x + 2 cos x + 1
sin x + cos x + 2

y=

.

b.
y=

Bài 11’. Tìm các giá trị của x để

sin x
cos x + 3

1 + sin x

2 + cos x

y=

c.

4sin 2 x

π
2 + sin(2 x + )
6

.

là số nguyên.

Phương trình lượng giác cơ bản
I. Phương trinh lượng giác cơ bản
B.

1. Phương trình

 x = α + k 2π
sin x = sin α ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = π − α + k 2π

a.

b.

c.

sin x = a. Ñieàu kieän : − 1 ≤ a ≤ 1.
 x = arcsin a + k 2π
sin x = a ⇔ 
(k ∈ Z )
 x = π − arcsin a + k 2π

sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(−v)

d.

e.

sin x = sin α

π

sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v ÷
2


π
sin u = − cos v ⇔ sin u = sin  v − ÷

2

Trường hợp đặc biệt:
4

4


sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

sin x = − 1 ⇔ x = −

sin x = 1 ⇔ x =

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

sin x = ± 1 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

2.

a.

b.
c.

d.

e.

Phương trình

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

cos x = cos α

cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z )

cos x = a. Ñieàu kieän : − 1 ≤ a ≤ 1.
cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π (k ∈ Z )
cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v)

π

cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v ÷
2

π

cos u = − sin v ⇔ cos u = cos  + v ÷
2


Đặc biệt:
cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (k ∈ Z )

2

cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z )

cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z )

5

5


cos x = ± 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

3.

a.
b.
c.

d.

e.

Phương trình

tan x = tan α

tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z )
tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ (k ∈ Z )
tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v)

π

tan u = cot v ⇔ tan u = tan  − v ÷
2

π

tan u = − cot v ⇔ tan u = tan  + v ÷
2


Đặc biệt:
tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

tan x = ± 1 ⇔ x = ±

4.

a.
b.

π
+ kπ (k ∈ Z )
4

Phuơng trình

cot x = cot α

cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ Z )
cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z )

Đặc biệt
cot x = 0 ⇔ x =

6

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

6


3
2

Ví dụ 1: sinx =

⇔ sin x = sin

π
3

π
π


 x = 3 + k 2π

 x = 3 + k 2π
⇔
k ∈Z ⇔ 
π
 x = π − + k 2π
 x = 2π + k 2π


3
3

−

Ví dụ 2: sinx =

3
2

⇔ sin x = − sin

π

 x = − 3 + k 2π
⇔
k ∈Z
π
 x = π + + k 2π

3

Ví dụ 3: sin2x =

1
4

k∈Z

π
π
⇔ sin x = sin(− )
3
3

π

 x = 3 + k 2π
⇔
 x = 4π + k 2π

3

1

2 x = arcsin 4 + k 2π
⇔
2 x = π − arcsin 1 + k 2π

4

1

1

 x = 2 arcsin 4 + kπ
⇔
 x = π − 1 arcsin 1 + kπ

2 2
4

k ∈Z

k∈Z

k∈Z

Lưu ý: có thể viết nghiệp bằng cách khác
π
4

Ví dụ 4: cos(2x + )=

7

−

1
π
π
π
2π

cos(2 x + ) = − cos = cos(π − ) = cos
2 ⇔
4
3
3
3

7


π 2π

2 x + 4 = 3 + k 2π
⇔
2 x + π = − 2π + k 2π

4
3

k∈Z

5π

 x = 24 + kπ
⇔
 x = − 11π + kπ

24

k∈Z

1
0
0
3 ⇔ tan( x − 60 ) = tan 30

Ví dụ 5: tan(x – 600) =

⇔ x − 60 0 = 30 0 + k180 0 k ∈ Z ⇔ x = 90 0 + k180 0 k ∈ Z

Ví dụ 6: cot(x -

π
3

⇔ x−

)= 5

0

Ví dụ 7 cot(x -75 ) = -1

π
π
= arc cot 5 + kπ k ∈ Z ⇔ x = + arc cot 5 + kπ k ∈ Z
3
3

⇔ x − 75 0 = −450 + k180 0

k ∈ Z ⇔ x = 30 0 + k180 0

k∈Z

Ví dụ 8 : tan3x = tanx

Điều kiện

π

3
x
≠
+ kπ

2
k∈Z

π
 x ≠ + kπ

2
⇔


x≠


x ≠



π
π
+k
6
3
k∈Z
π
+ kπ
2

Ta có

tan3x = tanx

⇔

3x = x +l

π ⇔

x=l

π
2

(l ∈ Z )

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x=m

π

(m

∈Z

)

Ví dụ 9 : tan5x – cotx = 0

8

8


π
π

+k
x ≠
(k ∈ Z )
10
5

 x ≠ kπ
⇔

π


5 x ≠ + kπ
2

 x ≠ kπ

Điều kiện

(k ∈ Z )

Ta có

. tan5x = cotx
⇔

x=

π
12

+l

⇔

π
6

tan5x = tan(

π

− x)
⇔
2

5x =

π
−x
2

+l

π

∈

(l Z)

∈

(l Z)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

x=

π
12

+l

π
6

∈

(l Z)

Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:

a. cos(3x -

π
6

2
2

)= -

b. cos(x -2) =

d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0
π
6

g. cot(4x - )=
x
3

3

h. sin(3x- 450) =

x
2

k. (cot -1)(cot +1)= 0

n. sin(2x -150) = 9

e. tan2x = tan

2
2

5π
6

1
2

l. cos2x.cotx = 0

p. sin4x =

π
3

2
5

c. cos(2x + 500) =

f. tan(3x -300) = -

1
2

3
3

i. sin(2x +100)= sinx

m. cot(

2x π
+
3 5

q. cos(x + 3) =

)= -1
2
3

9

r. cos2x cot(x -

π
4

)= 0

s. cos3x =

π
4

t. tan(

u. cos3x – sin2x = 0

x π
π
− ) = tan
2 4
8

v. sin3x + sin5x = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. sin(2x -1) = sin(x+3)
2

d. 2sinx +

sin2x = 0

b. sin3x= cos2x

c. sin4x + cos5x = 0

e. sin22x + cos23x = 1

f. sin3x + sin5x = 0

g. sin(2x +500) = cos(x +1200)

*i. tan(x -

π
5

h. cos3x – sin4x = 0

) + cotx = 0

*j. tan5x = tan3x

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1)

4)



π
cos  2 x + ÷ = 0
6


π
sin  3 x + ÷ = 0
3


sin ( 3 x + 1) =

7)

10)

13)
10

1
2

π

1
cos  − 2 x ÷ = −
2
6



π
tan  3 x + ÷ = −1
6


2)

5)


π
cos  4 x − ÷ = 1
3

x π
sin  − ÷ = 1
2 4

(

)

cos x − 150 =

8)

11)

14)

3)

6)
2
2

tan ( 2 x − 1) = 3

π
cot  2 x − ÷ = 1
3


9)

π

cos  − x ÷ = −1
5

π

sin  + 2 x ÷ = −1
6


x π 
3
sin  − ÷ = −
2

2 3

(

)

cot 3 x + 10 0 =

12)

3
3

−

15) cos(2x + 250) =

2
2

10


Bài 4: Giải các phương trình sau:

1)

3)

5)

7)

9)

sin ( 3 x + 1) = sin ( x − 2 )

cos3x = sin 2 x


π
π
cos  2 x + ÷+ cos  x − ÷ = 0
3
3




π
π
tan  3 x − ÷ = tan  x + ÷
4
6


tan ( 2 x + 1) + cot x = 0

(

)

2)



π
π
cos  x − ÷ = cos  2 x + ÷
3
6



(

4)

6)

8)

π x 
sin 3 x + sin  − ÷ = 0
 4 2


π
π
cot  2 x − ÷ = cot  x + ÷

4
3



10)

13)

cos x =

15)

1
2

)

(

)

tan x 2 + 2 x + 3 = tan 2

12)

sin2 x =

2

cot x = 1

(

cos x 2 + x = 0

sin x 2 − 2 x = 0

11)

)

sin x − 1200 + cos 2 x = 0

14)

16)

1
2


π
sin2  x − ÷ = cos2 x
4


II. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương
trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ

bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương
trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0,
a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..

11

11


Daùng

t = sinx

1 t 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

1 t 1

a tan2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

x

2

x
=
+ k 2

4

x = + k 2
4


=0

Vớ d 3 : (

12

3



2

2sinx =



2tanx = 5

cotx 3)(2cosx 1) = 0

cotx = 3



sinx =



x
=
+ k 2

4
(k Z )

x = 3 + k 2
4


Vớ d 2 : 2tanx 5 = 0

3


+ k (k Z )
2

t = sin 2 x hoaởc t = sin x thỡ ủieu kieọn : 0 t 1.

Vớ d 1: 2sinx



ẹieu kieọn

asin2 x + b sin x + c = 0

Neỏu ủaởt:

(1)

ẹaởt



cotx =

3



2
2

sinx = sin


4

(k Z )

tanx =

5
2

x = arctan

5
2

+k





(k Z)

3 cot x 3 = 0 (1)

2 cos x 1 = 0 (2)

cotx = cot


6

x=


6

+k





(k Z)
12


(2)

⇔

2cosx =1

⇔

cosx =

1
2 ⇔

cosx = cos

Vậy nghiệm của phương trình là:

π

 x = 3 + k 2π

π
 x = − π + k 2π
3
3 ⇔ 

π

 x = 6 + kπ

 x = π + k 2π

3

 x = − π + k 2π

3

(k ∈ Z )

(k ∈ Z )

Ví dụ 4: 2sin2x – sin2x = 0
⇔

⇔

2sin2x – 2sinx.cosx = 0

2sinx(sinx – cosx) = 0

sin x = 0

⇔ sin x − cos x = 0

 x = kπ

⇔ sin x = cos x

 x = kπ

sin x = sin( π − x)
2
⇔

 x = kπ

(k ∈ Z )
 x = π − x + k 2π
2
⇔
⇔

 x = kπ


(k ∈ Z )
 x = π + kπ

4

Ví dụ 5: 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
≤

≤

Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được:

2t2 – 5t -3 = 0

Với t = 13

1
2

t = 3 (loai )
⇔
t = − 1 (nhân)
2


ta được
13


sinx = -

1
2 ⇔

π
6

sinx = sin(- )

π

 x = − 6 + k 2π
(k ∈ Z )

 x = 7π + k 2π
6
⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là:

π

 x = − 6 + k 2π
(k ∈ Z )

 x = 7π + k 2π

6

Ví dụ 6 : cot22x – 4cot2x -3 = 0


x =

cot 2 x = 1
2 x = arc cot 1 + kπ
x =
cot 2 x = 3
2 x = arc cot 3 + kπ ( k ∈ Z )
⇔
⇔
⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là:


x =

x =


1
π
arc cot 1 + k
2
2 (k ∈ Z )
1
π
arc cot 3 + k
2
2

1
π
arc cot 1 + k
2
2 (k ∈ Z )
1
π
arc cot 3 + k
2
2

Ví dụ 7: 2cos2x +3sinx - 3 = 0
⇔
⇔
⇔

2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0
2sin2x – 3sinx + 1 = 0

sin x = 1

sin x = 1
2
⇔

14

14

* Với sinx = 1

* Với sinx =

⇔

1
2 ⇔

x=

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2

sinx = sin

Vậy nghiệm của pt là:

π

 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z )

π
 x = 5π + k 2π
6
6 ⇔ 

π

 x = 6 + k 2π

 x = 5π + k 2π (k ∈ Z )

6

 x = π + k 2π

2

Ví dụ 8 : tan4x + 4tan2x - 5 = 0
 tan 2 x = 1
π
 2
x = ± + kπ (k ∈ Z )
tan
x
=
−
5
(
loai
)

⇔
⇔ tan x = ±1 ⇔
4

x=±

Vậy nghiệm của pt là:

π
+ kπ (k ∈ Z )
4

Ví dụ 9: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x)
Ta có: 1 + sin2x

= 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]

=2

 1 2 
 1 − sin 2 x ÷
 2


= 2 – sin22x

Vậy ta được phương trình sin22x + sin2x -1 = 0
Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình:

t2 + t – 1 = 0 ⇒ t =
15

−1 ± 5
2

. Giá trị

−1 − 5
2

< -1 nên bị loại.
15


Với t =

−1 + 5
2

 sin2x =

−1 + 5
2




 −1 + 5 
1
 x = arcsin 
÷
÷+ k π
2
2




(k ∈ Z )



π 1
−1 + 5

 x = 2 − 2 arcsin  2 ÷
÷+ k π




Ví dụ 10: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.
Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0
Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)


tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x



tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0

Đặt t = tanx ta được phương trình.

t3 + t2 – 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0 ⇔

t = 1
t = −3


x=

* Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm

π
+ kπ
4

,k∈Z

* Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈ Z
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã

cho có các nghiệm x =

16

π

 x = + kπ
4
(k ∈ Z )

 x =arctan ( −3 ) + kπ



16


Ví dụ 11: Giải phương trình:

 3 −1

 3 1
2
sin 3 x + cos3 x = sin 2 x 
sin x + 
− ÷
cos
x

÷
3
 2 3
 2


Ta biến đổi phương trình đã cho:
 3 −1

2
3 3−2
sin 3 x + cos3 x − 2sin x cos x 
sin x +

cos x 
3
6
 2


⇔

⇔

=0

2
 3
 2
2
2
3
2
2 
 sin x − 3 sin x cos x + sin x cos x ÷+  cos x + sin x cos x − 3 sin x cos x ÷ = 0
3

 3

2
 2
2 
 sin x − 3 sin x cos x + cos x ÷(sin x + cos x) = 0
3




⇔

(1)
sin x + cos x = 0

sin 2 x − 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 (2)
3


•

•

Giải phương trình (1) ta được: x =
2

Giải phương trình (2): sin x -

3

3π
4

+kπ, k ∈ Z

sinxcosx +

2
3

cos2x = 0

+ Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình.
+ Nếu cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:
3 tan x +

tan2x -

17

2
=0
3

17


Giải phương trình, ta được: x =

π

 x = + kπ
(k ∈ Z )
6

 x = arctan + kπ

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =

 3π
 x 4 + kπ

π

(k ∈ Z )
 x = + kπ
6

 x = arctan + kπ



Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0

d. 2cos3x + 1 = 0
g. (2cosx +

2

e. sin(3x + 1)=

)(tan(x +100) -

i. 8sinx.cosx.cos2x =
3

l. 3tan2x +

p. cot(x +

π
4

tanx = 0

)=1

3

b. 3cotx +

3

3

π
4

=0

c. 1 -

f. cos(x +

)=0

2π
5

)=

tan(5x + 200) =0
π
3

h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0

j. sin2x +2cox = 0

k. tan(x +1) – 2008=0

m. 4sin2x – sin22x = 0

q. cos2(x – 300) =

3

3
4

n.

3

- 2sin3x = 0

r. 8cos3x – 1 = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x +
18

π
4

) = -1 c.

sin 2 x
=0
1 + cos 2 x

18


Bài 3: Giải các phương trình sau:
a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
2

c. cot x – 4cotx + 3 = 0

2

d. tan x + (1 -

3

)tanx -

3

=0

e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0
g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0

i. sin22x – 2cos2x +

3
4

h. cos2x + 9cosx + 5 = 0

= 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0

2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x
5)

4sin 2 x − 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0

4)
6)

7) tan2x + cot2x = 2

tan 2 x + ( 1 − 3 ) tan x − 3 = 0

4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8 cos x

8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

Bài 5: Giải các phương trình sau:
2

1) 4sin 3x +

2 ( 3 + 1) cos3 x − 3

=4

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13
1
cos2 x

5)
19

2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
4)

− ( 3 + 3 ) tan x − 3 + 3 = 0

3
cos x

4
2

+ tan x = 9

6) 9 – 13cosx +

1 + tan 2 x

=0
19


7)

1

1

2

cos2 x

sin x

= cotx + 3

8)
4 cos2

9) cos2x – 3cosx =

10) 2cos2x + tanx =


sin 3 x + cos3 x  3 + cos 2 x
 sin x +
÷=
1 + 2sin 2 x 
5


Bài 6: Cho phương trình
phươngt trình thuộc

x
2

+ 3cot2x = 5

( 0 ; 2π )

4
5

. Tìm các nghiệm của

.

Bài 7: Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm
của phươngt trình thuộc

( −π ; π )

Bài 8: Giải các phương trình

.



π
π 5
sin 4 x + sin 4  x + ÷+ sin 4  x − ÷ =

4

4 4

.

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt

b
= tan α
a

a2 + b2 ≥ c 2

.

, ta được: sinx+tanαcosx=

c
cos α
a

⇔

sinx

cos α sin α

+

cosx=

c
cos α
a

Cách 2: Chia hai vế phương trình cho

20

⇔

α

sin(x+ )=

a2 + b2

c
cos α ñaët
= sin ϕ
a

.

, ta được:

20


a
a2 + b2
a

Đặt:

b

= cos β ;

a 2 + b2

a 2 + b2

Cách 3: Đặt
Ví dụ 1 :

3

x
2

a2 + b2

cos x =

c
a2 + b2

= sin β

. Khi đó phương trình tương đương:
c

cos β sin x + sin β cos x =

t = tan

b

sin x +

sin ( x + β ) =

a 2 + b2

hay

c
a 2 + b2

ñaët

= sin ϕ

.

.

sinx + cosx = 2
2

Chia hai vế pt trên cho
3
2

⇔

⇔

sinx +

1
2

3 + 12

cosx = 1

π
6

π
6

cos .sinx + sin .cosx = 1

x+

π
6

=

π
2

= 2 ta được

+ k2

π ⇔

x=

π
3

π
6

⇔

+ k2

sin(x + ) = 1
π

Ví dụ 2 cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho
1
2

21

12 + (−1) 2

1

cos3x -

2

=

2

ta được

1

sin3x =

2

21


⇔

⇔

cos

π
4

1

π
4

2 ⇔

cos3x - sin sin3x =

π
4

cos(3x +

) = cos

π
4

cos(3x +

π
4

1
2

)=

π π


3 x + 4 = 4 + k 2π

3 x + π = − π + k 2π
4
4
⇔ 
⇔

2π

x = k 3
(k ∈ Z )

 x = − π + k 2π
6
3


Ví dụ 3: 3sin2x + 4cos2x = 5
32 + 4 2

Chia hai vế pt cho
3
5

α

Đặt sin =

4

5

sin2x +
4
5

⇔

cos2x = 1

α

, cos =

sin2x cos

sin(2x +

α

α

= 5 ta được

3
5

ta được
α

+ sin cos2x = 1

)=1

⇔

2x +

α

=

π
2

+ k2

Vậy nghiệm của phương trình trên là: x =
Ví dụ 4 ;

2

Ta có

π
4

-

α

2

x =

+k

π

-

α
2

+k
α

π

(với sin =

4
5

α

, cos =

3
5

)

sinx – cosx = 3
2

2

+ (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình 4cosx + 2
22

π ⇔

π
4

3

sinx + cos2x +

3

sin2x + 3 = 0
22


Ta có: 4cosx + 2
⇔ 4cosx + 2
3

⇔2

⇔

3

3

sinx + cos2x +

3

sinx + 2cos2x – 1 + 2

sin2x + 3 = 0
3

sinxcosx + 3 = 0

2

sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) = 0⇔ 2(cox +1)(

 cos x + 1 = 0

 3 sin x + cos x + 1 = 0

⇔

 x = (2k + 1)π

 x = − π + k 2π
3


3

sinx + cosx + 1) = 0

(k ∈ )

Ví dụ 6: Giải phương trình:
3

2cos x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +

2

)-

2

(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

Ta biến đổi phương trình đã cho:
2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +
⇔

2

)-

2

(sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

(cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3x – sin2xcosx – 2cosx = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1) (
⇔ (cos2x – sin2x – 1) (

2

2

+ sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0
+ sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx +

23

2

2

) =0

23

⇔

⇔

 cos 2 x − sin 2 x − 1 = 0

 cos x + sin x + 2 = 0


 x = kπ

 x = − π + kπ

4

5π
x =
+ k 2π

4

⇔

 
π
2
cos  2 x + ÷ =
4 2

 
 
π
cos  x − ÷ = −1
4
 

⇔

π
π

 2 x + 4 = ± 4 + k 2π

 x − π = π + k 2π

4

(k ∈ Z)

(k ∈ Z)

Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. sinx +

3

2

cosx =

c. 2cosx – sinx = 2

b. 2sinx – 5cosx = 5
d. sin5x + cos5x = -1

e. 3sinx – 4cosx = 1
g. sin5x + cos5x =

3

2

f. 2sin x +
2

cos13x

h. sinx =

2

sin2x = 3

sin3x – cosx

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1)

4)

24

cos x + 3 sin x = 2

sin x + cos x = 2 sin 5 x

sin x + cos x =

2)
5)

(

6
2

3)

3 cos3 x + sin 3 x = 2

3 − 1) sin x − ( 3 + 1) cos x + 3 − 1 = 0

24


6)

π


3 sin 2 x + sin  + 2 x ÷ = 1
2


Bài 3 : Giải các phương trình sau:
1)

2 sin 2 x + 3 sin 2 x = 3

8 cos x =

3)

2)

sin 8 x − cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )

3
1
+
sin x cos x

5) sin5x + cos5x =

2

4) cosx –

π


3 sin x = 2 cos  − x ÷
3


cos13x6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

Bài 4: Giải các phương trình sau:
3

1) 3sinx – 2cosx = 2

2)

cosx + 4sinx –

3) cosx + 4sinx = –1

4) 2sinx – 5cosx = 5

3

=0

Bài 5: Giải các phương trình sau:

1) 2sin


π

x+ ÷

4

+ sin


π
x− ÷

4

=

3 2
2


π
3 cos2 x + sin 2 x + 2sin  2 x − ÷ = 2 2

6

2)

Bài 6: Tìm m để phương trình (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm
Bài 7: Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
III. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (*).
x=

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

π
+ kπ
2

.

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
atan2x+btanx+c=d(1+tan2x).
25

25