Đề cương ôn tập môn toán lớp 10 (8)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 10
HỌC KÌ II. NĂM HỌC 2014 - 2015
Các câu có đánh dấu * dành cho các lớp chọn 10A1, A2, A3, D1.
PHẦN I. ĐẠI SỐ
1 . Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức
a. a2 + b2 +1  ab + a + b.
c.

1 1 1
9
  
a b c abc

e.

a2
b2
c2
abc



bc ca a b
2

b.

1 1
4
 
a b ab

a
b
c
d. (1  )(1  )(1  )  8
b
c
a
a
b
c
3
f*.



bc ac ab 2

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
4
a. A = x +  1 với x > 0.
x
1
1
c. C = 
với 0 < x < 2.
x 2x

( x  1)( x  4)
với x > 0.

x
d*. D = 2 a 2  2 b 2  2 c 2
b c
c a
a b
2
2
với a, b, c > 0 và a + b + c2 = 1
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a. A = 3x + 8y + 5 biết x2 + 4y2 = 9.
b. B = 1  x  1  x
với x   1;1 .
2
c. C = cos x + sinx + 2 với 00  x  1800.
4. Giải các bất phương trình sau
a. (2-3x)(x2 – 4x + 3 ) > 0.
b. (3x-1)2 – 16  0.
5x 2  7 x  3
3
2
 1.
c.
d.

1  x 2x  1
3x 2  2x  5
15
e. ( x  1) 2  x 2  2
x  x 1
5. Giải các bất phương trình sau

2  3x
a.
b. x 2  2 x  x 2  4
2
x 1

c.

x  2  1  3x  3

b. B =

d.

x 2  10x  9
1
e.
x2  9
6. Giải các bất phương trình sau

x 2  5x  9  x  6

f.

2x  1
2

x  3x  4



1
2

a.

x 2  3x  2x  7

b.

c.

5x  1  3x  2  x  1

d. ( x  2) x 2  8  x 2  4

e.
g.
h*.

6 ( x  2)( x  32)  x 2  34x  48

f.

6  x  3x  4  0
2  x  4x  3
2
x

x 2  3x  2  x 2  4x  3  2 x 2  5x  4

x+3
i*. x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1
4x+1 - 3x-2 
5

Trường THPT Xuân Đỉnh

1

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10


7. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm
a. x2 + (m-1)x -3m + 1 = 0.
b. (m-4)x2 - 6mx + m – 5 = 0.
c. mx2 + 4(m-1)x – 12m – 2 = 0.
8. Xác định m để mỗi hệ sau có nghiệm
x 2  3x  2  0
x 2  2x  15  0
a. 
b. 
c.
x  m  1
(m  1) x  3
9. a. Tìm m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R
a1. (m+1)x2 - 2(m-1)x + 3m + 6  0
2x 2  (m  1) x  5
4
a2. 1 
x 2  2x  3

b. Tìm m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm
b1. (m - 2)x2 + 6(m – 2)x – 2m + 1  0.
x 2  2mx  4m  2
2
b2 .
x2  x 1

9  x 2  0
 2
x  (2m  1) x  m 2  m  0

10. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình mx4 - 2(m-3)x2 + m – 4 = 0.
a. Có đúng bốn nghiệm.
b. Có đúng ba nghiệm.
c. Có đúng hai nghiệm.
11*. Tìm m để bất phương trình (2  x )(4  x )  x 2  2x  m
nghiệm đúng với mọi x   2;4  .
PHẦN II. LƯỢNG GIÁC
12. Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
 3


  3

a) A  cos(  a )  sin 
 a   tan   a  cot 
 a
 2

2

  2


3
5
b) C  cos cos
cos
7
7
7
c) D = (sin 500)2 +(sin 700)2 – cos 500 . cos 700
d) E = tan 90 - tan 270 - tan 630 + tan 810
e) F= cos a . cos 3a . cos 5a … cos 17a . cos 19a
(biết a=90)
1
13.
a. Cho sinx = và 900 < x < 1800. Tính giá trị của biểu thức
2
A = 3cosx – 4sinx + tanx + cotx.
b. Cho tanx = 2, tính giá trị của các biểu thức
2 sin x  cos x
B=
.
cos x  2 sin x
C = 3sin2x + 4sinxcosx – 5cos2x.
b. Tính tổng S = sin210 + sin220 + sin230 + … + sin2890 + sin2900.

BÀI 14: Cho A 

1  cos x  (1  cos x) 2 

1 

sin x 
sin 2 x 

Trường THPT Xuân Đỉnh

2

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10


a. Rút gọn A.
b. Sau đó tính giá trị A biết cos x  

1

và   x   .
2
2

BÀI 15: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos(a + b) cos(a  b) = cos2a – sin2b = cos2b – sin2a
b) 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) = 1
 2

 2
 3
c) cos 2 x  cos 2 
 x   cos 2 

 x 
 3

 3
 2

1  cos a
1  cos a

 2 cot a
1  cos a
1  cos a

d)

với 0

2

e) sin 3x . sin3x + cos 3x . cos3x = cos32x
BÀI 16: Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A 

1  cos 2a  sin 2a
1  cos 2a  sin 2a

b) B 

sin   sin 3  sin 5

cos   cos 3  cos 5

c) C 

2  sin a  cos a
sin a  cos a

BÀI 17: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) sin A  sin B  sin C  4 cos

A
B
C
 cos  cos
2
2
2

b) cos A  cos B  cos C  1  4 sin

A
B
C
 sin  sin
2
2
2

c) cos2A + cos2B + cos2C =1  2 cosA cosB cosC
d) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC

e) cot

A
B
C
A
B
C
+ cot + cot = cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2

BÀI 18*. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) sinA + sinB + sinC 

3 3
2

b) sinAsinBsinC 

3 3
8

BÀI 19*: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu cosA.cosB.cosC=

Trường THPT Xuân Đỉnh

1
thì tam giác ABC đều
8

3

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10


tan A sin 2 A

b) Nếu
thì tam giác ABC vuông hoặc cân
tan B sin 2 B

BÀI 20*. CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào số nguyên dương n

Sn = cos


2n  1

 cos

2
3
n
 cos

 ...  (1) n 1 cos
2n  1
2n  1
2n  1

1 
1 

BÀI 21*. CMR nếu  là góc nhọn thì  1 
 1 
5
 sin    cos  

PHẦN III. HÌNH HỌC
Bài 1. a.

Cho sinx =

1
và 900 < x < 1800. Tính giá trị của biểu thức
2

A = 3cosx – 4sinx + tanx + cotx.
b. Cho tanx = 2, tính giá trị của các biểu thức
B=

2 sin x  cos x
.
cos x  2 sin x

C = 3sin2x + 4sinxcosx – 5cos2x.
c. Tính tổng S = sin210 + sin220 + sin230 + … + sin2890 + sin2900.
Bài 2. Cho tam giác ABC có b = 6, c = 8, A = 600.
a. Giải tam giác ABC.
b. Tính chiều cao ha, diện tích tam giác.
c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.
Bài 3*. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
1
4

a. Nếu diện tích tính theo công thức S  (a  b  c)(a  b  c) thì tam giác ABC vuông.
b. Nếu 2sin4A + 2sin4B + sin4C = 2(sin2A+ sin2B)sin2C thì tam giác ABC vuông cân.
c. Nếu diện tích tính theo công thức S =

2R 2
(sin 3 A  sin 3 B  sin 3 C) thì tam giác
3

ABC đều.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giải các bài toán sau:
Bài 4. Cho hai điểm M(1;3), N(3;-5) và đường thẳng d có phương trình (d): 3x + y + 4 = 0
a. Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d.
b. Viết phương trình đường thẳng qua N và song song với d.
c. Viết phương trình đường thẳng song song với d và cách d một đoạn có độ dài 10 .
d. Tìm trên Ox các điểm có khoảng cách từ đó đến d bằng 2.
e. Viết phương trình đường thẳng qua M và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450.
f. Tìm trên Oy các điểm I sao cho 2IM  3IN nhỏ nhất.
g. Tìm trên d điểm K sao cho KM + KN nhỏ nhất.
h. Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và cắt Ox tại A(a;0), cắt Oy tại điểm B(0;b)
Trường THPT Xuân Đỉnh

4

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10


với a > 0, b > 0. Viết phương trình đường thẳng d’ sao cho diện tích tam giác OAB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. a. Viết phương trình các đường cao và các đường trung tuyến của tam giác ABC biết
A(1;4), B(-3;2), C(5;-4).
b. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(3;5), đường cao và đường
trung tuyến xuất phát từ một đỉnh có phương trình lần lượt là 5x + 4y – 1 = 0 và
8x + y -7 = 0.
c. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao qua đỉnh
A và đường phân giác trong qua đỉnh C có phương trình lần lượt là:
3x - 4y + 7 = 0 và x + 2y – 5 = 0.
d. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(6;2), B(-1;3) và có tâm nằm trên
đường thẳng x + y - 1 = 0.
e. Cho hai đường thẳng có phương trình (d1) 2x + y – 1 = 0 và(d2) x – 3y + 4 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(1;-2), cắt d1 tại A, cắt d2 tại B sao cho
I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 6. a. Cho A(10;5), B(15;-5), D(-20;0) là ba đỉnh của hình thang cân ABCD. Tìm toạ độ
đỉnh C biết rằng AB // CD.
c. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4.
Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng x – y =
0. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
d. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là điểm M(1;4), phương trình đường phân
giác trong đỉnh B là x – 2y +2 = 0, phương trình đường cao qua đỉnh C là 3x + 4y –
15 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
e. Cho tam giác ABC có AB = 5 , C(-1;-1), đường thẳng AB có phương trình:

x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng x + y – 2 = 0. Tìm
tọa độ các đỉnh A, B.
Bài 7. Cho đường thẳng (dm): mx + (3 - m)y + 3 - 2m = 0 (m là tham số)
a. Tìm m để dm vuông góc với đường thẳng d có phương trình x + 2y = 0.
b. Tìm điểm cố định mà đường thẳng dm luôn đi qua.
c. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến dm đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8. Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 -2x + 4y - 20 = 0
a. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(4;2).
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua B(-4;1).
d. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng 3x + 4y = 0 và cắt (C) tại
hai điểm M, N sao cho MN = 8.
e. Chứng minh rằng (C) cắt đường tròn (C’): (x-2)2 + y2 =16 tại hai điểm phân biệt.
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
f*. Tìm trên đường thẳng x + y – 2 = 0 các điểm từ đó có thể kẻ được đến (C) hai tiếp
tuyến tạo với nhau góc 600.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có:
a. Tiêu cự bằng 6, độ dài trục lớn bằng 10.
Trường THPT Xuân Đỉnh

5

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10


b. Tâm sai bằng

3
, độ dài trục nhỏ bằng 2.
2

c. Elip đi qua M(0;-2) và có độ dài trục lớn là 6.
Bài 10: Cho elip (E) có phương trình: 16x2 + 25y2 = 400
a. Tìm tọa độ tiêu điểm, đỉnh, tiêu cự, tâm sai và độ dài các trục của elip.
b. Điểm M trên elip(E) có tung độ bằng 2 . tính khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm.
c. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục hoành cắt (E) tại 2 điểm A,
B. Tính khoảng cách AB .
*** Hết ***

Trường THPT Xuân Đỉnh

6

Đề cương ôn tập học kì II. Toán 10