Đề cương ôn tập môn toán lớp 10 (69)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.58 KB, 6 trang )
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 4
MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ LỚP 10
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bất đẳng thức: nắm vững các kiến thức sau:
+ Tính chất của bất đẳng thức:
(1) a < b ⇔ a + c < b + c
(2) a < b ⇔ ac < bc
(c > 0)
(3) a < b ⇔ ac > bc
(c < 0)
(4)
(5)
a
và
và
c < d ⇒ a+c
(a > 0, c > 0)
(6) a < b ⇔ a 2n + 1 < b 2n + 1 (n nguyên dương)
(7) 0 < a < b ⇒ a 2n < b 2n (n nguyên dương)
(8) 0 < a < b ⇔ a < b
(9) a < b ⇔ 3 a < 3 b
+ Bất đẳng thức Cô-si: ab ≤ a + b
2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b .
(∀a, b ≥ 0)
+ Tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
(1) x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ − x
(2) Với a > 0, x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
x ≥ a ⇔ x ≤ −a
hoặc
x≥a
(3) a − b ≤ a + b ≤ a + b
1
- Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn: nắm vững các kiến thức
sau:
+ Khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
+ Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: sử dụng các phép biến đổi bất
phương trình.
+ Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: ta giải từng bất phương trình
rồi lấy giao các tập nghiệm.
- Dấu của nhị thức bậc nhất: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0) .
+ Cách xét dấu nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0)
Bước 1: Tìm nghiệm của nhị thức bậc nhất
f ( x) = ax + b = 0 ⇔ x = −
b
a
Bước 2: Lập bảng xét dấu
−
x
Trái dấu
với a
b
a
0
Cùng
dấu với
a
Bước 3: Kết luận.
- Dấu của tam thức bậc hai: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm tam thức bậc hai.
+ Cách xét dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
Bước 1: Tìm nghiệm của f (x)
Bước 2: Lập bảng xét dấu
TH1: Nếu f (x) vô nghiệm:
x
Cùng dấu với a
TH2: Nếu f (x) có một nghiệm duy nhất: x = −
b
2a
2
−
x
Cùng
dấu với
a
b
2a
0
Cùng
dấu với
a
TH3: Nếu f (x) có hai nghiệm phân biệt: x1, x2 ( x1 < x2 )
x1
x
x2
Cùng
dấu với 0
a
Trái
dấu với
a
0
Cùng
dấu với
a
Bước 3: Kết luận.
+ Áp dụng xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để giải bất phương trình
bậc hai, bất phương trình qui về bậc nhất, bậc hai (bất phương trình dạng tích, bất
phương trình chứa ẩn ở mẫu thức).
+ Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm, có
nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
B. BÀI TẬP
I. ĐẠI SỐ
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1: (phương pháp gián tiếp) biến đổi tương đương bất đẳng thức đã
cho về một bất đẳng thức đúng đã biết.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) a 2b + ab 2 ≤ a 3 + b3
( ∀a, b, c ∈ R )
( a > 0, b > 0)
c) (ab + cd ) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )
( ∀a, b, c, d ∈ R )
Phương pháp 2: (phương pháp trực tiếp) sử dụng các tính chất của bất đẳng thức
và một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
a) a +
b 2 a
b + ≥ 4ab
a
b
( ∀a, b > 0)
3
b) ( a + b ) 1 +
c) 1 +
d)
1
≥ 4
ab
( ∀a, b > 0)
a b c
1 + 1 + ≥ 8
b c a
a
b
+
≥ a+ b
b
a
( ∀a, b, c > 0)
( ∀a, b > 0)
e) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
f)
bc ca ab
+ + ≥ a+b+c
a b c
( ∀a, b, c ≥ 0)
( ∀a, b, c > 0)
Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Phương pháp: sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức
thông dụng.
9
2
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x + 2 với x > 0 .
x
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(2 − x) với 0 ≤ x ≤ 2 .
Dạng 3: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi bất
phương trình và định lí về dấu của nhị thức bậc nhất.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình
trong hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
a) 3x + 5 −1 ≤ x + 2 + x
b) − 2(1 − x) − 2 x ≥ x − 3 + 1
c) 2( x − 4) < 3x − 14
d) x < x + 3
e) ( x − 1)(3 − 2 x) ≤ 0
f) (2 x − 5)( x + 2) ≥ 0
g) 2 ≤
h) 4 x(3x + 2) > 0
i) 1 + 2 < 3
k) 3x − 4 > 1
2
3
2
5
x −1 2 x −1
x −1 x − 2
3
2
4
2
− 4x + 3
2x − 5
x −3
x−2
Bài 6. Giải các hệ bất phương trình sau:
4
a)
1
4
− 12 x ≤ x +
2
3
2(3x − 4) > 5 x
5x + 2
≥ 4− x
b) 3
2(3x − 4) > 5 x
c)
x −1 ≤ 2x − 3
5 − 3x
≤ x −3
2
3x < 5 + x
3x + 1 x − 2 1 − 2 x
−
<
2
3
4
d) x − 3 1 − 2 x x + 1
+
>
4
5
3
Dạng 4: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
- Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi bất
phương trình và định lí về dấu của tam thức bậc hai:
Bước 1: Xét dấu tam thức bậc hai.
Bước 2: Kết luận.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn ta giải từng bất phương trình
trong hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 7. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x) = 3x 2 − 2 x + 1
b) f ( x) = − x 2 − 4 x + 5
c) f ( x) = x 2 + ( 3 − 1) x − 3
d) f ( x) =
e) f ( x) =
(− x 2 + 5 x − 7)(3x − 1)
2
3x + x − 2
3x 2 − 2 x − 5
9 − x2
f) f ( x) = x 2 (3x 2 − 10 x + 3)
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 + (1 + 2 ) x + 1 ≥ 0
c)
x 2 − 9 x + 14
2
x + 9 x + 14
≤0
e) (2 x 2 − 5 x + 2)( x + 2) ≥ 0
g)
i)
(2 x −1)(3 − x)
x 2 − 5x + 4
x 2 − 3x + 1
x2 −1
>1
>0
b) − 3x 2 + 7 x − 4 < 0
d)
4x −1
4 − x2
≥0
f) ( x − 1)( x 2 + 2 x) ≥ 0
(3 − 2 x)( x 2 − x + 1)
>0
h)
4 x 2 − 12 x + 9
k)
2
2 x 2 − 5x + 3
>
1
x2 − 9
5
Bài 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2 x 2 + 9 x + 7 < 0
2
x + x − 6 ≥ 0
a)
x 2 − 4 > 0
2
x − x − 12 < 0
g)
x 2 − 7 x + 12 ≥ 0
2
3x + 7 x −10 < 0
9 − x2 ≤ 0
b)
2
x − x ≥ 0
2
− x + 3x + 4 ≥ 0
b)
x 2 − 7 x + 12 < 0
(9 − x 2 )( x − 1) ≥ 0
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình có
nghiệm, vô nghiệm hay có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) 2 x 2 + 2(m + 2) x + m 2 + 4m + 3 = 0
b) (m − 1) x 2 − 2(m + 3) x − m + 2 = 0
Bài 11. Cho f ( x) = (2 − m) x 2 + 2(m − 3) x + 1 − m . Tìm m để bất phương trình
f ( x) ≥ 0 thỏa ∀x ∈ R .
Bài 12. Cho phương trình mx 2 − 2(m − 1) x + 4m − 1 = 0 . Tìm các giá trị của tham số
m để phương trình đã cho thỏa :
a. Vô nghiệm
b. Có hai nghiệm phân biệt.
c. Có hai nghiệm trái dấu.
d. Có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 13: Xác định m để các hàm số sau luôn xác định:
a) y = mx 2 − 4 x + m + 3
b)
y=
1
3x 2 + 2(m − 1) x + m + 4
6
