Đề cương ôn tập môn toán lớp 9 (13)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 1 NĂM HỌC 2013-2014
TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐỨC CẢNH
MÔN: TOÁN LỚP 9
A/ LÝ THUYẾT:
I- ĐẠI SỐ:
1- Phát biểu định nghĩa căn bậc hai của một số a ≥ 0
Áp dụng: Hãy chỉ ra các CBHSH của số 25
2- C/m định lý:
3-

A có

∀ a∈ R

thì a =
2

a

( −5)

2

; áp dụng tính :

nghĩa khi nào? Áp dụng tìm ĐK của x để

4- C/m định lý:

AB = A . B (A ≥ 0;

5- C/m định lý:

A
B

=

A
B

( −5)

; 5 ; - 52 ;2

(

3−2

2

2 x − 3 Có

B ≥ 0). Áp dụng tính

(A ≥ 0; B>0); Áp dụng tính:

)

225
169

;

( x − 2)

2

nghĩa ?

4,9.360 ;

;

2

25a 2

49a 2
25

6- Phát biểu quy tắc nhân và quy tắc khai phương một tích các căn thức bậc hại.
7- Phát biểu quy tắc chia và khai phương một thương các căn thức bậc hại.
8- Nêu định nghĩa hàm số? Tập xác định của hàm số? Tính chất đồng biến nghịch biến
của hàm số?
Áp dụng tìm TXĐ của hàm số y = f(x) =
biến trên TXD của hàm số?

3− x

và tìm xem hàm số đồng biến hay nghịch

9- Nêu định nghĩa hàm số bậc nhất và các tính chất của nó? Áp dụng tìm TXĐ và tính
chất biến thiên của hàm số y=3x-2
II/ HÌNH HỌC:
1/chứng minh định lý :Trong một tam giác vuông,bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng
tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền?
b2 = a.b’

c2 = a.c’

2/chứng minh định lý :Trong một tam giác vuông,bình phương độ dài đường cao ứng với
cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền?


h2 =b’.c’
3/Chứng minh định lý :Trong một tam giác vuông,tích hai cạnh góc vuông bằng tích của
cạnh huyền và đường cao tương ứng?
a.h = b.c
4/Phát biểu định nghĩa : “Tỷ số lượng giác của góc nhọn”
5/Phát biểu tính chất
: “Tỷ số lượng giác của hai góc phụ nhau”
6- Phát biểu định nghĩa đường tròn?
Áp dụng tìm quỹ tích các điểm M sao cho góc
trước.

·
AMB
= 1V

trong đó AB là đoạn thẳng cho

7- Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn?
C/m định lý: “Nếu đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc bán kính tại
tiếp điểm”
8- C/m định lý: “Nếu đường kính vuông góc một dây cung thì chia dây cung ấy ra làm
hai phần bằng nhau”
9- C/m định lý: “Đường kính qua trung điểm của một dây cung không qua tâm thì vuông
góc với dây cung ấy”
10- C/m định lý: “ Nếu đường kính qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây
trương cung ấy”
11- C/m định lý: “ Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm
này cách đều hai tiếp điểm và tia nối điểm ấy với tâm đường tròn là tia phân giác của góc
tạo bởi hai tiếp tuyến”
12- Lập bảng tóm tắt vị trí tương đối của: Đường thẳng và đường tròn.
B- Bài tập áp dụng :
I,Dạng bài tập về căn bậc hai:
Bài 1- Tính CBH và CBHSH của 16 ; 0,81 ;
Giải: CBH của 16 là
CBHcủa 0,81 là
CBH của

4
25

là

16

=4 và -

± 0,9
±

2
;
5

16 =-4

4
25

; Còn CBHSH của 16 là

; CBHSH của 0,81là 0,9

CBHSH của

4
25

là

2
5

16

=4

Bài 2- Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :
a;

2x + 1

b;

1
2− x
3

c;

d;

x2 − 1

d;

2x2 + 3

e;

Giải:

5
− x2 − 2

a;

b;

2 x + 1 có
1
2− x

c;

nghĩa khi 2x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −

có nghĩa khi

3
x2 − 1

1
2

x ≥ 0
x ≥ 0
⇔

x ≠ 4
2 − x ≠ 0

có nghĩa khi

 x − 1 > 0

x + 1 > 0

2
x -1>0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) > 0 ⇔ 
x − 1 < 0



x > 1
⇔
 x < −1

d; 2 x 2 + 3 có nghỉa khi 2x2+3 ≥ 0 Điều này đúng với mọi x.Vậy biểu thức này có nghĩa với
mọi x
e;

5
− x2 − 2

có nghĩa khi -x2-2>0. Điều này vô lí với mọi xVậy biểu thức này vô nghĩa với

mọi x
Bài 3- Tính (Rút gọn ):
a;

(1 − 2) 2

b;

( 3 − 2) + ( 2 − 3)

c;

d;

2

5−2 6 + 4+ 2 3
x2 − 2x + 1
x −1

2


e;

x + 2 x −1

Giải:
a;
b;

(1 − 2) 2

= 1−

2 = 2 −1

2

( 3 − 2) + ( 2 − 3)

2

3 −2 + 2− 3 = 2− 3 +2− 3 = 4−2 3

=

2

2

c;

5 − 2 6 + 4 + 2 3 = ( 3 − 2) + ( 3 + 1) = 3 − 2 + 3 + 1 = 2 3 − 2 + 1

d;

x −1
( x − 1)
=
= ±1
x −1
x −1

e;

x + 2 x − 1 = ( x − 1 + 1) =

2

2

x −1 +1

Bài 4- Giải PT:
a; 3+2

b;

x =5

x 2 − 10 x + 25 = x + 3

Giải:
a; 3+2
2

x = 5 (Điều

kiện x ≥ 0)

x = 5−3 = 2
x =1

x=1(thoả mãn )
b;

x 2 − 10 x + 25 = x + 3 ⇔ x − 5 = x − 3 (1)

Điều kiện : x ≥
-3
x − 5 = x − 3

(1) ⇔  x − 5 = 3 − x ⇔ x = 1 thoả mãn


c;

x−5 + 5− x =1

ĐK: x-5 ≥
0
5-x ≥
0 Nên x=5
Với x=5 thì VT=0 vậy nên PT vô nghiệm
Bài 5- Tính:
a;
b;

45.80

+

2,5.14,4

5 45 − 13. 52

c;

x−5 + 5− x =1

c;

2300 . 23 −

Giải: a;

6
25
+
144
150

45.80

+

2,5.14,4 =

9.400 + 25.1,44 = 9 400 + 25. 1,44
= 3.20 + 5.1,2 = 66

b;
c;

5 45 − 13. 52 = 225 − 132.22 = 15 − 26 = −11
2300 . 23 −

6
25
+

144
150

=

2302 −

6
25
1 5
13
+
= 230 − +
= 230
150
5 12
60
144

Bài 6- Rút gọn :
a;

a (a + 1)
2

Giải: a;

với a >0

b;

16a 4b 6
128a 6b 6

b;

16a 4b 6
128a 6b 6

(Vớia<0 ; b ≠ 0 )

với a >0

a 2 (a + 1) 2

a a + 1 = a (a + 1)

=

=

2

vì a>0

(Vớia<0 ; b ≠ 0 )

16a 4b 6
=
128a 6b 6

1
1
=−
2
8a
2a 2

Vì a <0

Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x= 0,5:
( x − 2) 4 x 2 − 1
+
(3 − x ) 2
x−3

Giải:=

( với x<3) Tại x=0,5

( x − 2) 2 x 2 − 1 − x 2 + 4 x − 4 + x 2 − 1 4 x − 5
+
=
=
3− x
x−3
x−3
x−3

Thay x=0,5 ta có giá trị của biểu thức =

(Vì x<3)

4.0,5 − 5
= 1,2
0,5 − 3

Bài 8: Chứng minh :
a,

9−4 5 − 5 = 2

VT=

( 5 − 2) 2 − 5 = 5 − 2 − 5 = −2 = VP (ĐCC/M)


b, Chứng minh :
( x y − y x )( x − y )
xy

BĐVT=

= x− y

Với x>0; y>0

x xy − xy + xy − y x. y
x. y

x. y ( x − y )

=

x. y

= x − y = VP (ĐCC/m)

c; Chứng minh :
x+ 2

Với x ≥ 2

2 x − 4 = ( 2 + x − 2 )2

BĐVP= 2+ x-2 + 2

2x − 4

= x +2

2x − 4

=VT (ĐCC/m)

Bài 9 Rút gọn :
a;(2
b; 2

3 + 5 ) 3 − 60 =

40 12 − 2

15 − 4.15 = 6 + 15 − 2 15 = 6 − 15

75 − 3 5 48 = 2 40.2 3 − 2 5 3 − 3 5.4 3

= 4.2 5 3 − 2 5 3 − 3.2 5 3 = (8 − 2 − 6) 5 3 = 0

c; (2
d,

2.3+

x + y )(3 x − 2 y ) = 6 x − 4 xy + 3 xy − 2 y
= 6 x − xy − 2 y

x + 2 2x − 4 + x − 2 2x − 4

Với x ≥ 2

2x − 4 + 4 2x − 4 + 4 − 2x − 4 − 4 2x − 4 + 4

=

2

2

= ( 2 x − 4 + 2) + ( 2 x − 4 − 2) =
= 2x − 4 + 2 +

2x − 4 − 2

2x − 4 − 2

Với

2x − 4 − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4

Với

2x − 4 − 2 ≥ 0 ⇒ 2 ≤ x < 4

ta có Biểu thức =

Bài10:Tìm x
a;

2x − 4 + 2 +

25 x = 35( DK : x ≥ 0)
⇔ 25 x = 352 ⇔ x = 49(TM )

Biểu thức =

2x − 4 + 2 + 2x − 4 − 2 = 2 2x − 4

2x − 4 + 2 + 2 − 2x − 4 = 4

x 2 − 9 − 3 x − 3 = 0( DK : x ≥ 3)

b;

⇒

x − 3. x + 3 − 3 x − 3 = 0

⇒

x − 3( x + 3 − 3) = 0

⇒ + x − 3 = 0 ⇔ x = 3(tm)
+ x + 3 − 3 = 0 ⇔ 6(tm)

vậy x =3 hoặc x = 6
c;

x 2 − 8 x + 16 = x + 2
⇔ ( x − 4) 2 = x + 2 ⇔ x − 4 = x + 2

Với x-4

≥0⇔ x≥4

Phương trình trở thành :

x- 4 = x+2 => - 4 = 2 vô lí =>PT vô nghiệm
Với x- 4 <0  x<4 Phương trình trở thành:
4- x = x +2 =>x =1 ( thoã mãn )

Vậy PT chỉ có một nghiệm x = 1
d;

2
x − x2 − 4

2(x+

+

2
x + x2 − 4

= 5 (ĐK:

x ≥ 2 hoặc x<2)

x 2 − 4 ) + 2( x − x 2 − 4 ) = 5.( x + x 2 − 4 ).( x − x 2 − 4)
⇔ 2 x + 2 x 2 − 4 + 2 x − 2 x 2 − 4 = 5( x 2 − x 2 + 4)

 4x = 20  x =5 (Thoả mãn)
Bài 11 Cho biểu thức :
A=

1
1
x
−
+
2 x − 2 2 x + 2 1− x

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức A
b; Tính giá trị của A với x =3
c; Tìm giá trị của x để
Giải: A có nghĩa Khi

A =

1
2

x ≥ 0

x ≠ 1


A=

2 x +2−2 x +2
x
4
x
+
=
−
(2 x − 2)(2 x + 2) 1 − x 4 x − 4 x − 1
=

1− x
1

=−
x −1
x +1

b; Với x= 3 ( thoả mãn điều kiện ) nên ta thay vào A=

c;

A =

1
2



−1
1
= ⇔
x +1 2

1
1
= ⇔ x =1
x +1 2

Bài 12
1
1
1
1

+
+ ... +
+
1+ 2
2+ 3
98 + 99
99 + 100
=

1− 2
2− 3
99 − 100
+
+ ... +
= −1 + 10 = 9
−1
−1
−1

Bài 13 Rút gọn :
a; (2= 10
b; 2

2 ).(−5 2 ) − (3 2 − 5) 2
2 + 10 − 18 + 30 2 − 25
= 40 2 − 33

3a − 75a + a

= 2 3a − 25.3a + a.

= 2 3a − 5 3a +

13,5 2
−
300a 3
2a 5

Với a>0

27a
2
−
100a 2 .3a
2
( 2a )
5

a.3
2
3a − .10a 3a
2a
5

3
= (−4a + ) 3a
2

c;

a −b

a 3 − b3
−
a−b
a− b

Với a ≥ 0; b ≥ 0, a ≠ b

(loại )

−1
=
x +1

−1
3 +1


=

( a + b) ( a − b )
a− b

−

( a − b )(a + ab + b)
( a + b)( a − b)

( a + b ) 2 − a − ab − b
2 ab
=

=
a+ b
a+ b

Bài 14: a; Chứng minh :
x2 +x

3 + 1 = (x+

Giải: Biến đổi vế trái = x2 +2 x.

3 2 1
) +
2
4

3
3
1
+ ( )2 + =
2
2
4

(x+

3 2 1
) +
2
4

= vế phải ( Đẳng thức được

c/m )
b; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A= x2 +x

3 +1

Theo câu a ta có :

x2 +x

Vậy nên A nhỏ nhất =

1
4

3 + 1 = (x+

khi x+

3 2 1
) +
2
4

3
3
= 0 suyrax =

2
2

Bài 15 Cho biểu thức :
P=

x +1
2 x
2+5 x
+
+
4− x
x −2
x +2

a; Tìm TXĐ rồi Rút gọn
b; Tìm x để P =2
c; Tính giá trị của P khi x = 3-2

2

Giải :
a; Biểu thức có nghĩa khi x ≥ 0; x ≠ 4
Vậy TXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4
P=

x +1
2 x
2+5 x
+

+
4− x
x −2
x +2

Vì (x+

3 2
) ≥0
2


x +1
2 x
2+5 x
+
−
x−4
x −2
x +2
( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 2 − 5 x
( x + 2)( x − 2)
=

3x − 6 x
3 x ( x − 2)
3 x
=
=
( x + 2)( x − 2) ( x + 2)( x − 2)

x +2

b; P= 2

 x ≥ 0; x ≠ 4

⇔ 3 x
=2

 x +2

3 x
= 2⇒3 x = 2 x +4
x +2
⇔ x = 16 ∈ TXD

c; x = 3-2
P=
Bài 16 :
a;

thuộc TXĐ Nên ta thay x = 3-2

2

3 3−2 2
3− 2 2 + 2

=

3( 2 − 1) 3( 2 − 1)
=
2 −1+ 2
2 +1

Giải phương trình biết :

25 x − 25 −

15 x − 1
3
= 6+
x −1
2
9
2

(ĐK : x ≥ 0)

15
3
x −1 = 6 +
x −1
2.3
2
⇔ 5 x − 1 − 2,5 x − 1 − 1,5 x − 1 = 6
⇔ 25( x − 1) −

⇔ (5 − 2,5 − 1,5) x − 1 = 6
⇔

x − 1 = 6 ⇔ x = 36 + 1 = 37

(Thoã mãn )

b;

2
x2 − 5
2
4 x − 20 + 2
− 3 x2 − 5 = 2
3
9
DK : x 2 ≥ 5 ⇔ x ≥ 5 ; x ≤ − 5

2 vào

ta được :


2
2 2
.2 x 2 − 5 +
x − 5 − 3 x2 − 5 = 2
3
3
4 2
⇔ ( + − 3) x 2 − 5 = 2
3 3

−6
⇔ x2 − 5 =
5
⇔

Vì VT Không âm ; còn VP <0 Vậy PT đã cho vô nghiệm .
c; (5

(ĐK: x ≥ 0)

x − 2)( x + 1) = 5 x + 4

⇔ 5x + 5 x − 2 x − 2 = 5x + 4
⇔3 x =6⇔

x = 2 ⇔ x = 4(tm)

Bài 17: So sánh
a; 15 và

3

2744

Cách 1: 15= 3 3375
Vì 3375 > 2744 Nên
Cách 2 :

b; -

1
2

1
2

- =3

3

−1
8

>3

2744
3

Hay 15 >

3

2744

2744

1
9

1

9

; -3 =

Vì

3375

= 14 <15 Vậy 15 >

2744

và - 3

3

3

−1
9
−1 −1
<
8
9

Nên

3

−1

8

II, Dạng bài tập về Hµm sè bËc nhÊt
Bài 1: Cho hai hàm số y = 3x +7 và y = x +3
a; Hãy vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một trục toạ độ

<3

−1
9

Hay

-

1
2

<- 3

1
9


b; Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên ?
Giải:
a. HS vẽ
b. Ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại điểm I có toạ độ (-2; 1)
Thử lại bằng phương pháp đại số :
Vì I là giao điểm của hai đồ thị nên ta có phương trình hoành độ :

3x +7 = x +3  2x = -4  x =-2
Thay x =-2 =>y = -2 +3 =1
Vậy điểm I (-2;1)
Bài 2: Cho hàm số :
Y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị hàm số trên song song với đường thẳng y = -2x +3
và đi qua điểm A(-3;2)
b; Gọi M; N là giao điểm của đồ thị trên với trục tung và trục hoành ; Tính độ dài MN ?
c; Tính độ lớn của góc tạo bởi đồ thị trên với trục 0x ?
Giải:
a; Vì đồ thị y = ax+ b song song với đường thẳng y= -2x +3 => a =-2
Mặt khác đồ thị của nó lại đi qua A (-3 ; 2) nên ta thay a =-2 ; x=-3 ;y =2 vào phương
trình ta có : 2 = -2. (-3) +b => b = -4
Vậy hàm số cần xác định là : y = -2x - 4
b;
Ta có M(0;2) ;N (-1;0)
MN =

2 2 + 12 = 5

c; Ta có Tg MON = OM/ON =2/1 =2
=> Góc MON = ∝ = 570
Bài 3: Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k
Và y= (2m +1)x +2k-3
Tìm điều kiện của m và k để đồ thị 2 hàm số là:


a; Hai đường thẳng cắt nhau
b; Hai đường thẳng song song
c; Hai đường thẳng trùng nhau

Giải: Vì hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất nên m ≠ -1/2 (*)
a; Để hai đường thẳng cắt nhau thì a ≠ a'
suy ra : 2
Vậy m

≠

≠

2m +1 => m ≠ 1/2

-1/2 và m ≠ 1/2 Thì hai đường thẳng cắt nhau

b; Để hai đường thẳng song song thì a = a' ; b ≠ b' suy ra 2 = 2m +1
=> m = 1/2 và 3k ≠ 2k -3 => k ≠ -3
Vậy hai đường thẳng song song khi m =1/2 và k ≠ -3
c; Hai đường thẳng trùng nhau khi a =a' và b = b'
suy ra : 2 = 2m +1 => m =1/2
3k = 2k -3 => k =-3
Vậy với m=1/2 và k =-3 Thì hai đường thẳng trùng nhau
Bài 4 : Cho các đường thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m ≠ 1; m ≠ -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a; C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b; C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c; Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a; Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m

=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
X0+ 1 =0
X0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
Y0 = -4


Vậy điểm cố định là A (-1; -4 )
b;
d1//d3 => m2- 1 = -1 => m = 0 khi đó ( d1) là : y = -x + 1
(d 2) là:y = x +1
Ta có a.a' = -1.1 =-1 nên d1 vuông góc d2
c; +Ta tìm giao điểm B của d2 và d3 :
Ta có pt hoành độ : -x +3 = x+1 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đường thẳng đồng qui thì d1 phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y =2 vào pt
(d1) ta có : 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5
m2 = 4 => m =2 và m=-2
Vậy với m= 2 hoặc m=-2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui
Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a; f(x) =

3
x −1

c; f(x) =

b; f(x) = x2 + x -5

1− x
x2 − 4

d; f(x) =

3x + 1

GV hướng dẫn : Tìm TXĐ của hàm số f(x) là tìm tất cả các giá trị của x để f(x) có nghĩa
Chú ý : một phân thức có nghĩa khi mẩu thức khác 0 ; một căn thức có nghĩa khi biểu
thức dưới dấu căn không âm
a; f(x) =

3
x −1

có nghĩa khi x-1 ≠ 0 =>x

≠1

=> TXĐ: x

≠1

b; f(x) = x2 + x -5 có nghĩa với mọi giá trị của x => TXĐ: R
c; f(x) =

1− x
x2 − 4

Có nghĩa khi 1-x

≥ 0 =>x ≤ 0

và x2 -4 ≠ 0 => x ≠
Vậy TXĐ: x ≤ 0 và x ≠ -2
d; f(x) =

3x + 1

vậy TXĐ : x

≥

có nghĩa 3x +1
−1
3

≥ 0 =>

x

≥

−1
3

±2


Bài 6: Cho hàm số : y = (m+6) x -7 (1)
a; Tìm m để hàm số trên đồng biến ?
b; Tìm m để hàm số trên nghịch biến ?

c; Xác định hàm số biết đồ thị của nó đi qua điểm A (-3; 5 ) ; Từ đó vẽ đồ thị hàm số và
xác định độ lớn của góc tạo bởi đồ thị với trục Ox ?
d; Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị trên với đường thẳng y = 3x - 5 ?
Giải:
a; Hàm số đồng biến khi m +6 >0 => m > -6
b; Hàm số nghịch biến khi m +6 < 0 => m < -6
c; Vì đồ thị đi qua điểm A (-3; 5) nên ta thay x =-3 ; y =5
vào (1) ta có :
5 = (m +1) .(-3) -7
5 = -3m -10 => -3m = 15 => m = -5
Vậy hàm số cần tìm là : y = (-5 +6 ) x -7 = x -7
=> ∝ = 450
d; Gọi điểm I là giao điểm của hai đường thẳng tại đó ta có pt hoành độ :
x -7 = 3x -5 => 2x = -2 => x =-1
Thay x =-1 vào y = x -7 = -1 -7 = -8
Vậy toạ độ giao điểm I (-1; -8 )
Bài 7: Cho hai hàm số y = 12x +5 -m
Và y = 3x +3+m
a; Xác định vị trí của tương đối của hai đường thẳng
b; Với giá trị nào của m thì 2 đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm trên trục tung ? Xác
định giao điểm đó ?


c; m =? Thì 2 đường thẳng đó cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành ; xác định giao điểm đó
?
Giải:
a; Vì a =12 ≠ a' =3 => hai đường thẳng cắt nhau
b; Để 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung => chúng sẽ có cùng tung độ gốc
=> 5 -m = 3 +m => 2m = 2 => m =1
Khi đó 5 -m = 5 -1 = 4 Vậy giao điểm trên trục tung là A (0 ; 4 )

c; Giao điểm trên trục hoành là B (x ;0 ) Ta có :
12 x + 5 − m = 0
 x = (m − 5) / 12
−7
⇔
⇔ m − 5 = 4(−3 − m) ⇔ 5m = −7 ⇔ m =

5
3 x + 3 + m = 0
 x = (−3 − m) / 3

Khi đó x = (-3 +2,4):3 = -0,2
Vậy giao điểm với trục hoành là B (-0,2 ; 0 )
Bài 8: Cho các đường thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m ≠ 1; m ≠ -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a; C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b; C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2
c; Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a; Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
X0+ 1 =0
X0+y0+5 = 0 suy ra : x0 =-1
Y0 = -4


Vậy điểm cố định là A (-1; -4 )

b;
d1//d3 => m2- 1 = -1 => m = 0 khi đó ( d1) là : y = -x + 1
(d 2) là:y = x +1
Ta có a.a' = -1.1 =-1 nên d1 vuông góc d2
c; +Ta tìm giao điểm B của d2 và d3 :
Ta có pt hoành độ : -x +3 = x+1 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đường thẳng đồng qui thì d1 phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y =2 vào pt
(d1) ta có : 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5
m2 = 4 => m =2 và m=-2
Vậy với m= 2 hoặc m=-2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.
HÌNH HỌC
Bài tập:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH,
CH có độ dài lần lượt 4cm, 9cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài AB, AC.
b) Tính độ dài DE, số đo góc B, góc C
A
E
D

B

HS nêu chứng minh
a) BC = BH + HC = 4 + 9 = 14(cm)
AB2 = BC . BH = 13 . 4 = 52 (cm)

4

H

9

C


⇒ AB 2 = 52 = 2 13 (cm)

AC2 = BC . HC = 13 . 9 =117(cm)
⇒ AC 2 = 117 = 3 13 (cm)
b)

AH2 = BH . HC = 4 . 9 = 36 (cm)

⇒ AH = 6 (cm)
µ =D
µ =E
µ = 900 vậy t/g ADHE là hcn(dấu hiệu nhận biết)
Xét t/g ADHE có: A

⇒ DE = AH = 6 (cm)

Trong tam giác vuông ABC có:
sinB =

AC 3 13
$ ≈ 56019' ; C
µ ≈ 330 41'
=
≈ 0,8320 ⇒ B

BC
13

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp(O;R). Gọi H là trực tâm và vẽ đường kính AD gọi I là
trung điểm của BC.
a/ C/mR: BHCD là hình bình hành.
b/ C/mR: H, I, D thẳng hàng.
c/ C/mR: AH=2OI.
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành và tiên đề Ơclit để chứng minh 3
điểm thẳng hàng.
Bài 3:Cho A nằm ngoài (O;R) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là trực tâm của
Tam giác ABC.
a/ C/mR: A, H, O thẳng hàng?
b/ C/mR: OBHC là hình thoi?
c/ C/mR:

R2
OK
=
2
AB
AK

(Với K là giao điểm của OA với BC).

Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thoi và tiên đề Ơclit để chứng minh 3 điểm
thẳng hàng, tỉ số của 2 tam giác đồng dạng.


Bài 4:Cho A nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Vẽ đường kính CD của

(O) vẽ đường trung trực của CD cắt DB tại E.
a/ Cm: AE=R
b/ Cm: 5 điểm A, E, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA.
Gợi ý: C/m tam giác đều để có AE= R và c/m 5 điểm cách đều 1 điểm cố định.
Bài 5: Cho (O;R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By nằm về cùng một nửa mặt
phẳng. Từ E thuộc (O) ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a/ Cm: AC+BD=CD; Góc COD=1v; R2=AC.BD
b/ BC và AD cắt nhau tại M CmR: ME//AC//BD.
c/Xác định vị trí của E trên (O) để chu vi hình thang ABDC có giá trị nhỏ nhất.
Gợi ý: Dựa vào t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau, hệ thức lượng trong tam giác vuông và t/c 2
đường phân giác của 2 góc kề bù.
Bài 6: Cho nửa (O;R) đường kính CD. Từ E thuộc (O) (Với E khác D và OE không
vuông góc với CD. Ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng CD tại M. Vẽ phân
giác của góc EMC cắt OE tại O’. Vẽ đường tròn tâm O’ bán kính O’E.
a/ Cm: CD là tiếp tuyến của (O’).
b/ CE và DE cắt (O’) lần lượt tại E,F C/m E, O’, F thẳng hàng.
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến và tiên đề Ơclit để chứng minh 3 điểm
thẳng hàng.
Bài 7:Cho đường tròn tâm O đường kính AC.trên đoạn OA lấy một điểm B và vẽ đường
tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi Mlà trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ một dây cung
vuông góc với AB cắt đương tròn tâm O tại D và E . DC cắt Đường tròn tâm Ó tạiI
a)Tứ giác ADBE là hình gì ?Tại sao?
b)Chứng minh I ,B,E thẳng hàng và MI2 = AM .MC
c)Chứng minh MI là tiếp` tuyến của đường toàn (O’)
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thoi và tiên đề Ơclit để chứng minh 3 điểm
thẳng hàng,Dựa vào dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến .
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A,BC = 5,AB = 2AC
a) Tính AC

b) Từ A vẽ đường cao AH ,trên AH lây một điểm I sao cho AI =

1
AH
3

.Từ C vẽ Cx //

AH .Gọi giao điểm của BI với Cx là D .Tính diện tích tứ giác AHCD .
c) Vẽ hai đường tròn (B;AB)và (C;CA)Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này
là E .Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Gợi ý: Dựa vào dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến và các hệ thức lượng trong tam giác
vuông .