Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (13)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ
A.GIẢI TÍCH
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Chú ý một số dạng sau:
- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- Bài toán về tiếp tuyến.
- Tiệm cận
- Các bài toán về cực trị.
- Bài toán về tính đơn điệu của hàm số
- Giao của hai đường cong.
- Bài toán về khoảng cách.
- Điểm cố định.
- Biến đổi đồ thị.
- Điểm và tâm đối xứng
Bài tập 1: Cho hàm số

y=

− x2 − x + 3
x +1

có đồ thị là (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1, Tại giao điểm của (C) với trục tung.
2, Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
3, Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
4, Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.

Bài 2: Cho hàm số

y=

x2 − x − 1
x +1

có đồ thị (C).

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Bài 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba
điểm phân biệt A(0;1),
B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
1


b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(–1;–9).
Bài 5 : Cho hàm số

y=

2x
.
x +1

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện
tích tam giác OAB bằng
Bài 6 :Cho hàm số

y=

1
4

1 3
x − mx 2 + ( m + 2 ) x − 1 .
3

Định m để:

a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng ( 0; +∞ ) .
c. Có hai cực trị trong khoảng ( 0; +∞ ) .
x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 + 4m
Bài 7 : Cho hàm số y =
(1).
x+2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) x + 1 . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.

b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
Bai 9: Cho hàm số

y=

mx 2 + 6 x − 2
.
x+2

Định m để hàm số nghịch biến trên [1;+∞ ) .

2
x − 1)
(
Bài 10: Cho hàm số y =
có đồ thị là (C).

x +1

a.
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − ( m + 2 ) x − m + 1 = 0 .
Bài 11: Cho hàm số y = x3 + kx 2 − 4 .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình x3 + kx 2 − 4 = 0 có nghiệm duy nhất.
Bài 12 : Cho hàm số

y=

− x 2 + 3x − 3
2 ( x − 1)

(1)

a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho
AB=1.
Bài 13 : Cho hàm số ( C ) : y =

x2 + 2x + 1
.
x −1

2


a.
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là
nhỏ nhất.
b.
Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ
nhất.
Bài 14: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m − 1) x 2 − 3mx + 2 ( Cm ) . Chứng minh rằng ( Cm ) luôn đi qua hai
điểm cố định khi m thay đổi.
2 x2 + ( 6 − m) x + 4
Bài 15: Cho hàm số ( Cm ) : y =
. Chứng minh rằng đồ thị ( Cm ) luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 16: Cho hàm số ( C ) : y =

a.
b.

x2 + x
.
2x − 2

Khảo sát hàm số.

Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 17: Cho hàm số ( C ) : y =
1.
2.

mx + 2

y=

2 x −2

=k.

x2 + x − 1
.
x+2

Khảo sát hàm số.
Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

Bài 18: Cho hàm số

x2 + x

2x2 + 2 x + 2 + m
có đồ
2x + 3
để ( Cm ) có hai điểm

x 2 + ( 1 − m ) x − 2m − 1 = 0 .

thị ( Cm ) .

Tìm giá trị của m
phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3
2
Bài 19: Cho hàm số y = x − 3x + m ( 1)
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa
độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.
Bài 20: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3)
đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
đoạn thẳng AB.
Bài 21: Cho hàm số

y=

mx 2 + ( 3m 2 − 2 ) x − 2
x + 3m

( 1) , với m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng
0
45 .
Bài 22: Cho hàm số

y = f ( x) =

2 x 2 + mx − 2
x −1

có đồ thị (Cm). Tìm m để đường tiệm cận xiên của

đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
3


2/ Hàm số lũy thừa,hàm số mũ và lôgarit.
- rút gọn biểu thức mũ,lũy thừa,lôgarit.
- Phương trình mũ và lôgarit.
Bài tập 23: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a.

 x 4 + x 3 y + xy 3 + y 4

3 y ( x2 − y 2 ) 

D=
( x + y ) + −1
2
2
x ( x − y) 
 x + 2 xy + y


b.

 4a − 9a −1 a − 4 + 3a −1 

B= 1
+ 1
1
1
−
−
 2

a2 − a 2 
 2a − 3a 2

−

1
3

: ( x + y)

−1

2

Bài tập 24: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)
a.
b.

a−n + b−n a−n − b−n
A = −n
−
( ab ≠ 0; a ≠ ±b )
a − b−n a −n + b−n
 a −1 − x −1 a −1 + x −1 
1
B = ( xa −1 − ax -1 )  −1 −1 + −1 −1 ÷
4
a −x 
a +x

Bài tập 25: Tính giá trị các biểu thức sau:
−1

a.

 1 + x + x2
1 − x + x2 
A=

+
2
−
÷
2
2x − x2 
 2x + x

b.

3
 32


2 + 27 y 5

2
−
2

÷
B=
+ 310 32 y − 2 .3 
 2 + 35 y
÷
÷ 




( 5 − 2x )
2

với

x = 3,92

với

y = 1, 2

5

Bài tập 26: So sánh các cặp số sau:
1,7

∨2

a.

2

d.

5
 ÷
7

1,7

−

5
2

b.

0,8

1,2

0,8

1
1
 ÷ ∨ ÷
2
2

c.

2,5

e.

∨1

Bài tập 27: Chứng minh:

20

2

− 12

1
∨ ÷
2

f.

thị của nó .
Bài tập 29: Tính giá trị của các biểu thức sau :
 14 − 12 log9 4

+ 25log125 8 ÷.49log7 2
a.  81


 1 log7 9 −log7 6 − log
72  49 2
+5


5

4


÷



0, 7

5
6

2

∨ 0, 7

1
3

2 + 30 3 > 2

Bài tập 28: Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu:

c.

 3
 3
∨ 

÷
÷
÷
÷
 2 
 2 

y=

2 x − 2− x
2

Sau đó khảo sát và vẽ đồ

1

b. 161+ log 5 + 4 2 log
4

2 3+ 3log 5 5

d. 36log6 5 + 101− lg2 − 3log9 36
4


Bài tập 30: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.

1
1
1
1
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x

log 2011 x

A=

( x = 2011!)

b. Chứng minh:

log a b + log a x
1 + log a x

1.

log ax ( bx ) =

2.

k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a 2 x
log a k x 2 log a x

Bài tập 31: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
a.

x=a b

3 2

b.

c

log a x

a4 3 b
x= 3
c

, biết

c.

log a b = 3;log a c = −2 :

a 2 4 bc 2
x= 3 4
ab c

Bài tập 32: Chứng minh
a.

log ( a − 3b ) − log 2 =

1

( log a + log b )
2

a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab

với:

b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có:
1.

log 2a

b
c
= log 2a
c
b

2. Trong ba số:

log a b.log b c.log c a = 1
log 2a
b

c
a
b
;log 2b ;log 2c
b
c c

a a

luôn có ít nhất một số lớn hơn 1

Bài tập 33: Không dùng bảng số và máy tính. Hãy so sánh:
a.

log 0,4 2 ∨ log 0,2 0,34

b.

log 5
3

d.
g.

log 3 2 ∨ log 2 3
4

log 2 3+ log 4

5
11

e.
h.

∨ 18

3
2
∨ log 3
4
4 5

log 2 3 ∨ log 3 11
9

log 3 2 + log 1
9

8
9

c.
f.
k.

∨ 5

2

log5

2log5 3 ∨ 3

2log 2 5+ log 1 9
2

1
log 6 2 − log
2

1
 ÷
6

1
2

∨ 8
6

5

∨ 3 18

Bài tập 34: Hãy chứng minh:
a.

log 1 3 + log 3
2

d.

1
< −2
2

3log2 5 = 5log2 3

b.

4log5 7 = 7log5 4

c.

log 3 7 + log 7 3 > 2

e.

1
+ log 3 ∨ log19 − log 2
2

f.

log

5+ 7
2

∨

log 5 + log 7
2

Bài tập 35:Giải các phương trình mũ :
1) 4 x − 2.6 x = 3.9 x

4) 2 x− 1 -2 x − x = ( x − 1)
2

2

2)

x

x

4.3 − 9.2 =

x
5.6 2

3)

125 x + 50 x = 2 3 x +1

5) - 3x 2 − 5 x + 2 + 2x > 3 x .2x - 3x 2 − 5 x + 2 + ( 2x ) 2 3 x
x

6) 2.2 x + 3.3 x > 6 x − 1 7)
8) x 2 + 3log2 x = x log2 5
1 + 8 2 = 3x
5


9) 32 x −3 + ( 3x − 10) 3 x −2 + 3 − x = 0

11) 3

x +4

+2

2 x +4

> 13

12)

Bài 36: Giải phương trình lôgarit:

(

)

1) log 1  2 x 3 + x 2 − 2  + log3 ( 2x + 2 ) = 0
3

(

)

2

−x

32 − x + 3 − 2 x

4x − 2

+ 2 x −1 = ( x − 1) 2
≥0

2) log 4 { 2log 3 [1 + log 2 ( 1 + 3 log 2 x ) ]} =

(

3) log 2 x 2 − 1 = log 1 ( x-1)

)

4) log x x 2 + 4x − 4 = 3

2

5) log cosx 4.log cos2 x 2 = 1
7)

10) − 2 x

(

1
2

)

6) log 2 ( x - 1) 2 = 2log 2 x 3 + x + 1

3
2
3
3
log 1 ( x + 2 ) -3 = log 1 ( 4-x ) + log 1 ( x + 6 )
2
4
4
4

8) log x ( x + 6) = 3

9) log 2 ( x 2 + x + 1) + log 2 ( x 2 − x + 1) = log 2 ( x 4 + x 2 + 1) + log 2 ( x 4 − x 2 + 1)

10) 2( log 9 x ) 2 = log 3 x. log 3 ( 2 x + 1 − 1)

(

)

(

)

11) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7 x + 12 = 3 + log 2 3 .
12) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log10 x
14) log 4 ( x + 1) + 2 = log

13)

2

4 − x + log 8 ( 4 + x ) .
1
15) log ( x 3 + 8 ) = log ( x + 58 ) + log ( x 2 + 4 x + 4 ) .
2
2

3

2 x −3 
log3 

 x 

=1

2

B.HÌNH HỌC
1/ Thể tích:
Bài 1 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .
Bài 2 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông
góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .

Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a.
Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 0.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC

6


Bài 5 : Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o .
Tính thể tích hình chóp.
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45 o.
a
3
3
a
Đs: V =
6

1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .

Đs: SH =

2) Tính thể tích hình chóp SABC.

Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy
3
Đs: V = a 3

một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC.

24

Bài 8: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o .
3
Đs: V = h 3

Tính thể tích hình chóp.

3

Bài 9 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60 o.
Tính thể tích hình chóp.

3
Đs: V = h 3

8

Bài 10 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ¼
ASB = 60o .
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
2) Tính thể tích hình chóp
Bài 11 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên
bằng 60o. Tính thể tích hình chóp
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 o và khoảng cách
từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .
Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.Tính thề
tích hình chóp.
Bài 14: Hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là

3
chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng V = 9a 2 .

2

2/ Mặt cầu:
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60 .
1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2/Tính S mặt cầu
3/Tính V khối cầu tương ứng
Bài 16: Cho một tứ diện đều có cạnh là a .
1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2/Tính S mặt cầu.
7


3/Tính V khối cầu tương ứng.

8