T 11d 22 cohang gioihancuadaysop1 tom tat bai hoc

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (Phần 1)
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu un có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un  0 hoặc un  0 khi n  
n 

Chú ý: Dãy số có giới hạn có thể không đơn điệu
Định nghĩa 2
Dãy số (v n ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n + nếu lim  v n  a   0
n 

Kí hiệu: lim v n  a hoặc vn  a khi n  
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt
lim

1
0
n

lim

1
 0 (k là nguyên dương)
nk

limqn  0; q  1

limc  c (c là hằng số)

Chú ý: Từ nay về sau ta sẽ viết lim un = a thay vì lim un = a
n

II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1. Định lí
a. Nếu limun = a và limvn =b thì
lim  un  v n   a  b
lim  un  v n   a  b
lim  un v n   ab
lim

un a
 b  0 
vn b


b. Nếu un  0 n và limun  a thì a  0 và lim un  a

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tính lim

2n  3n3  1
n3  n2

Ví dụ 2: Tính lim

2n2  3n  1
n2  n4  5

Ví dụ 3: Tính lim

2n n
n  2n  1

Ví dụ 4: Tính lim

1  2  3  ...  n
1  n3

Ví dụ 5: Tính lim

3n  4n  1
2.4n  2n

Ví dụ 6: Tính lim

3.4n  2.3n1
5n1  2.4n

2