T 11d 24 cohang gioihancuahamsop1 tom tat bai hoc

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (Phần 1)
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm xác định trên (a; b)\ {x0}
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 (hay tại điểm x0) nếu
với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b)\{x0} (tức là xn  (a; b) và xn  x0 n) mà
lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.
Kí hiệu: lim f(x) = L hay f(xn) L khi xn x0
x x0

Nhận xét:
Nếu f(x) = c với x  R, trong đó c là hằng số thì với x0  R, lim f(x) = c
x x0

Nếu f(x) = x với x  R, thì với x0  R, lim f(x) = x 0
x x0

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số
a. Giả sử lim f  x  = A và lim g  x  = B . Khi đó:
x x0

x x0

lim  f  x  + g  x  = A + B

lim  f  x  .g  x  = A.B

x x0

x x0

lim  f  x  - g  x  = A - B
x x0 

 f x  A
lim 
=
x x0 g  x 

 B

b. Nếu f(x)  0 và lim f  x  = A thì A  0 và lim
x x0

x x 0

B  0 

f x = A

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0)
x 2  3x
x 1 x 2  1

Ví dụ 1: Tính lim

x2  x
x 1 x  1

Ví dụ 2: Tính lim


x 2 2
x2  4

Ví dụ 3: Tính lim

x 2

x2  8  3

Ví dụ 4: Tính lim

x 1

1 x  2

3. Cách sử dụng sơ đồ Horner để phân tích đa thức thành nhân tử
x3  5  2
x 1 x 4  3x 2  2

Ví dụ 5: Tính lim

II. GIỚI HẠN VÔ HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa
Định nghĩa 2
Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm xác định trên (a; b)\ {x0}
 lim f(x) = +   (xn ), x n  (a;b) \ x 0 

x x 0

mà lim xn = x0 thì lim f(xn) =+
 lim f(x) = -   (xn ), x n  (a;b) \ x 0 
x x 0

mà lim xn = x0 thì lim f(xn) =-

2. Quy tắc tìm giới hạn

Ví dụ 6: Tính lim

f x 
g x 

3x - 5

x 2

 x - 2

Ví dụ 7: Tính lim

3x  5
x2

x 2

2