SKKN Mon toan (Đạt giải a năm 2008)

MỤC LỤC
Mụclục.................................................................................................................1
I. Lý do chọn đề tài............................................................................................ .2
II. Nội dung đề tài................................................................................................3
1. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp.......................................................................3
1.1. Tính hệ số của một số hạng trong khai triển một biểu thức .................4
1.2. Liên quan đến tổng các hệ số của các số hạng trong một khai
triển......7
1.3. Các bài tập làm
thêm .............................................................................9
2. Ứng dụng giải phương trình .........................................................................11
2.1.Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên [a,b] ....................12
2.2.Đối với Loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm)....................19
2.3.Đối với Loại phương trình dạng f(u)= f(v).............................................23
2.4.Sử dụng định lí Lagrange........................................................................26
2.5.Các Bài tập làm thêm..............................................................................29
III. Kết luận........................................................................................................33
IV. Tài liệu tham khảo......................................................................................34

-1-
I. Lý do chọn đề tài:
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, chính vì tầm
quan trọng của đạo hàm nên trong chương trình môn toán THPT hiện nay, đạo
hàm được trình bày ở chương 5 trong chương trình môn toán lớp 11 ( khác với
chương trình cải cách trước đây) và chương 1 trong chương trình môn toán lớp
12 nhằm giúp học sinh sớm tiếp sớm cận với đạo hàm và giúp các em thấy được
một số ứng dụng cơ bản của đạo hàm .
Học sinh khi tiếp cận với một bài toán trước hết cần phải lựa chọn công
cụ giải quyết bài toán hợp lý và tối ưu. Đối với nhiều bài toán về phương trình
và tổ hợp thì công cụ đạo hàm là một công cụ hữu hiệu, hơn nữa thông qua đó
giúp học sinh phát triển tư duy về phân tích, đánh giá, tổng hợp và so sánh....

Tuy nhiên trong chương trình cũng như sách giáo khoa môn toán ở bậc THPT,
học sinh chỉ mới được tiếp cận và hiểu biết về đạo hàm ở một mức độ nhất
định, chưa có nhiều ứng dụng và chưa được rèn luyện nhiều về kỹ năng giải
toán bằng công cụ đạo hàm. Với mong muốn thông qua đạo hàm giúp học sinh
giải một số lớp bài toán về tổ hợp, phương trình vô tỉ, phương trình mũ và
logarít cũng như có một cái nhìn mới, nhiều phía về các vấn đề đã được học, tôi
chọn đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm của mình là :
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TỔ HỢP VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẠO HÀM
-2-
II. Nội dung của đề tài :
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng để giải toán sơ cấp, do khuôn khổ có hạn, trong
đề tài này tôi chỉ trình bày hai ứng dụng mà học sinh thường gặp trong các kỳ
thi vào các trường Trung học chuyên nghiệp, Cao đẳng và Đại học đó là:
 Các bài toán về tổ hợp
 Giải các phương trình vô tỉ, mũ, logarít
Tôi cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách
giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm có hiệu quả
cao.
Sau đây tôi xin đi vào từng phần cụ thể
1. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp
Khi tính đạo hàm của hàm số lũy thừa: (ax
n
)’ = a.n.x
n-1
nếu quan sát kỹ thì
thấy ngay rằng a.n là hệ số của x
n-1
trong biểu thức đạo hàm a.x
n

. Mà khi giải
các bài toán liên qua đến tổ hợp học sinh gặp rất nhiều các dạng toán liên quan
đến các hệ số của các số hạng khi khai triển nhị thức Niutơn, từ đây tôi hướng
học sinh đến suy nghĩ liệu rằng có một mối liên hệ nào đó giữa đạo hàm với nhị
thức Niutơn hay không ? để trả lời câu hỏi này tôi xin giới thiệu :
Phương pháp đạo hàm trong 2 bài toán cơ bản :
• Tính hệ số của một số hạng nào đó trong khai triển NiuTơn.
• Tính toán liên quan đến tổng các hệ số của các số hạng của một đa thức .
Đối với dạng toán này ta chú ý đến một tính chất hết sức quan trọng là
(ax
n
)’ = a.n.x
n-1
-3-
ta thấy rằng hệ số a.n chẳng qua là kết quả thu được của đạo hàm biểu thức a.x
n
sau đó chọn x=1
Như vậy tôi nhấn mạnh cho Học sinh thấy khi gặp bài toán có chứa hệ số kiểu
a.n ta chú ý ngay đến cách dùng đạo hàm
1.1.Tính hệ số của một số hạng trong khai triển một biểu thức :
Bài toán 1 . Gọi a
1
, a
2
, a
3
, a
11
là các hệ số trong khai triển sau :
(x+1)

10
.(x+2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+...+ a
11
.
Hãy tính hệ số a
5
.
Giải Bài toán 1.
Cách 1. ( Cách giải truyền thống )
Ta có (x+1)
10
=
10
10
9
10
28
10
91
10

100
10
CxCxC...xCxC
+++++
⇒
(x+1)
10
.(x+2) = (
10
10
9
10
28
10
91
10
100
10
CxCxC...xCxC
+++++
)(x+2)
=
xCxCxC...xCxC
10
10
29
10
38
10
101

10
110
10
+++++
+
+
10
10
9
10
28
10
91
10
100
10
C2xC2xC2...xC2x2C
+++++
a
5
chính là hệ số của số hạng chứa x
6
nên ta có a
5
=
4
10
2C
+
5

10
C
= 672
Đối với bài toán này các tài liệu tham khảo đều đi theo hướng giải trên,
với cách giải này trước hết học sinh khai triển nhị thức (x+1)
10
, sau đó nhân số
hạng để xác định được biểu thức nào có chứa số hạng cần tìm mới đi đến được
kết quả.
Ta xét một bài toán phức tạp hơn
Bài toán 2 .
Khai triển biểu thức (x
2
+ 3x+1)
20
chứa số hạng a.x
2
.
Tính a.
Giải Bài toán 2.
Cách 1. ( Cách giải truyền thống )
-4-
Dùng khai triển nhị thức NiuTơn ta có :
(x
2
+ 3x+1)
20
= [x
2
+ (3x+1)]

20
=
2020
20
19219
20
1842
20
381
20
400
20
1)(3xC1)(3xxC1)(3xxC...1)(3xxCxC
+++++++++
Từ đây ta thấy
các số hạng chứa x
2
chỉ có thể nằm ở hai biểu thức :
19219
20
1)(3xxC
+
và
2020
20
1)(3xC
+
+) đối với
19219
20

1)(3xxC
+
=
=
19
20
C
x
2
[
19
19
18
19
217
19
181
19
190
19
C(3x)C(3x)C...(3x)C(3x)C
+++++
]
⇒
hệ số của x
2
là :
19
20
C

.
19
19
C
= 20
+) đối với
2020
20
1)(3xC
+

=
=
20
20
C
[
20
20
19
20
218
20
317
20
191
20
200
20
C)3(C(3x)C(3x)C...(3x)C(3x)C

++++++
x
]
⇒
hệ số của x
2
là :
20
20
C
.
18
20
C9
= 1710
Vậy hệ số của số hạng chứa x
2
của khai triển (x
2
+ 3x+1)
20
là : 1730
Đối với loại toán này đa số các tài liệu tham khảo đều đi theo hướng giải
trên, với cách giải này khó hơn bài toán 1: trước hết học sinh cần phải khéo léo
tách khai triển của 3 số hạng về khai triển của 2 số hạng để từ đó áp dụng khai
triển nhị thức NiuTơn , sau đó phải nhận dạng được biểu thức nào có chứa số
hạng cần tìm mới đi đến được kết quả.
Theo tôi các bài toán này nên giải bằng công cụ đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
Trước hết ta xét ví dụ sau :
Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)

3
= x
3
+6x
2
+12x+8
đạo hàm f’(x)= 3x
2
+12x+ 12 , f”(x) = 6x +12 =6x+ 6.2
từ đây rút ra nhận xét
• Hệ số tự do của đạo hàm cấp 1: f’(x) chính là hệ số của x
1
, của biểu thức
f(x).
-5-
• Hệ số tự do của đạo hàm cấp 2: f”(x) chính là tích của: hệ số của x
2
( của
biểu thức f(x) ) với 2.
Từ những nhận xét hết sức quan trọng này tôi hình hành cho học sinh các
bước giải như sau:
Bước 1. Nhận dạng biểu thức cần khai triển: ( ax
2
+ bx+ c)
n
hoặc
( ax
2
+ bx+ c)
n

.( Ax
2
+ Bx+ C)
m
có dạng là một đa thức.
Bước 2. Nhận dạng cấp đạo hàm cấp k cần tính : thông qua hệ số cần tính là hệ
số của lũy thừa k.
Bước 3. Thay x = x
0
thích hợp .
Tôi xin minh họa lời giải bằng công cụ đạo hàm của 2 bài toán vừa nêu trên .
Giải Bài toán 1.
Cách 2.
Bước 1. Khai triển có dạng f(x)= x
11
+ a
1
x
10
+ a
2
x
9
+...+ a
11
.
Bước 2. Cần tính đạo hàm cấp 6
Bước 3. Chọn x
Vậy để tính được a
5

thì các số hạng còn lại phải triệt tiêu, do đó chọn x=0 thì
thu được a
5
=
6!
(0)f
(6)
(1)
Ta có f(x) = (x+1)
10
.(x+2) = (x+1)
11
+ (x+1)
10
f’(x) = 11(x+1)
10
+10(x+1)
9
f”(x) = 11.10.(x+1)
9
+ 10.9.(x+1)
8
......
f
(6)
(x) = 11.10.9.8.7.6.(x+1)
5
+ 10.9.8.7.6.5.(x+1)
4

⇒
a
5
=
6!
(0)f
(6)
=
6.5.4.3.2.1
5.6.7.8.9.106.7.8.9.10.11
+
= 672
Giải Bài toán 2.
Cách 2.
Bước 1. Khai triển có dạng f(x)= a
40
.x
40
+ a
39
.x
39
+...+a
3
.x
3
+a
2
.x
2

+a
1
.x
1
+a
0

-6-
Bước 2. Cần tính đạo hàm cấp 2
Ta có : f’(x) = 40.a
40
.x
39
+ 39.a
39
.x
38
+...+3.a
3
.x
2
+2.a
2
.x+a
1
f ”(x) = 40.39.a
40
.x
38
+ 39.38.a

39
.x
37
+...+3.2.a
3
.x+2.a
2
.
Bước 3. Chọn x
Vậy để tính được a= a
2
thì các số hạng còn lại phải triệt tiêu, do đó chọn x=0 thì
thu được a
2
=
2
(0)f"
(1)
mặt khác f ’(x)= 20(x
2
+ 3x+1)
19
(2x+3)
f ”(x) = 20.[19.(x
2
+ 3x+1)
18
(2x+3)
2
+ 2(x

2
+ 3x+1)
19
]
=> f ”(0)= 20(19.9+2)= 20.173 (2)
từ (1) và (2) ta có a
2
=
2
(0)f"
= 1730.
Giải loại toán này bằng công cụ đạo hàm là một cách làm khá mới đối
với việc giải toán sơ cấp, nhưng được trình bày rất nhiều trong các giáo trình
toán cao cấp nên với mong muốn thông qua cách giải học sinh nắm được mối
liên hệ giữa các kiến thức với nhau, thông qua đó giúp học sinh phát triển tư
duy tổng hợp, phân tích và làm tiền đề để giải loại bài toán ở sau đây.
1.2. Liên quan đến tổng các hệ số của các số hạng trong một khai triển :
Bài toán 3.
Khai triển f(x)= (1+x)
100

Có dạng f(x) = a
100
.x
100
+ a
99
.x
99
+...+a

3
.x
3
+a
2
.x
2
+a
1
.x
1
+a
0
Tính tổng S= a
0
+ a
1
+ 2.a
2

+ 3.2.a
3
.2

+ ... + 100.99.a
100
.2
98
Bài toán 4.
Khai triển (1+x-2x

2
+x
3
)
10
= a
30
.x
30
+ a
29
.x
29
+...+a
3
.x
3
+a
2
.x
2
+a
1
.x
1
+a
0
.
-7-
Tính Tổng S= a

0
+a
1
+ 2a
2
+3a
3
+...+29a
29
+30a
30
Rõ ràng loại toán này nếu dùng khai triển nhị thức Niutơn sẽ rất phức tạp thậm
chí không thể giải được .
Theo tôi các bài toán này nên sử dụng công cụ đạo hàm khá đơn giản.
Trước hết ta xét ví dụ sau :
Ví dụ : Xét khai triển sau f(x)= (x+2)
3
= x
3
+6x
2
+12x+8
= a
3
.x
3
+a
2
.x
2

+a
1
.x+a
0
.
đạo hàm f’(x) = 3.a
3
.x
2
+2.a
2
.x+ a
1
, f”(x) = 3.2.a
3
.x
2
+2.a
2

từ đây rút ra nhận xét
• f’(1)= 3.a
3
+2.a
2
+ a
1

• f”(1) = 3.2.a
3

+2.a
2

Từ những nhận xét hết sức quan trọng này tôi hình hành cho học sinh các bước
giải như sau :
Bước 1. Nhận dạng tổng cần tính có thể sử dụng đạo hàm : dựa vào số hạng thứ
n của tổng có dạng : n.(n-1).a
n
.a
n-2
Bước 2. Nhận dạng cấp đạo hàm cấp cần tính : thông qua số hạng tổng quát thứ
n.
Bước 3. Thay x = a thích hợp.
Dưới đây tôi xin minh họa bằng 2 bài toán
Giải Bài toán 3.
Bước 1. nhận dạng tổng cần tính
Ta nhận xét u
100
=100.99.2
99
.a
100
thì 100.99.2
99
là hệ số của (x
100
)”, sau đó thay
x = 2
Bước 2. cần tính đạo hàm cấp 2
Ta có : f’(x)= 100.a

100
.x
99
+ 99.a
99
.x
98
+...+3.a
3
.x
2
+2.a
2
.x+a
1
f ”(x) = 100.99.a
100
.x
98
+ 99.98.a
99
.x
97
+...+3.2.a
3
.x+2.a
2
.
-8-
Bước 3. Chọn x = 2

ta được S*= 2.a
2

+ 3.2.a
3
.2

+ ... + 100.99.a
100
.2
98
=f”(2)
còn a
0
=f(0), a
1
=f’(0)
nên S= f(0)+f’(0)+S*
a
0
=f(0)=1
mặt khác f’(x)= 100(x+1)
99
=> a
1
= f ’(0) = 100
f”(x)= 100.99.(x+1)
98
=> S*= f”(2)=100.99.3
98

Vậy ta có S= 101+100.99.3
98
.
Giải Bài toán 4.
Bước 1. nhận dạng tổng cần tính
Ta chú ý u
30
= 30.a
30
thì 30 là đạo hàm của (x
30
)’ , ứng với x=1
Bước 2. cần tính đạo hàm cấp 1
Đặt f(x)= a
30
.x
30
+ a
29
.x
29
+...+a
3
.x
3
+a
2
.x
2
+a

1
.x
1
+a
0

Ta có : f’(x)= 30.a
30
.x
29
+ 29.a
29
.x
28
+...+3.a
3
.x
2
+2.a
2
.x+a
1
=> f’(x)= 30.a
30
.x
29
+ 29.a
29
.x
28

+...+3a
3
.x
2
+2a
2
.x
1
+a
1

Bước 3. Chọn x=1
Ta có f’(1)= a
1
+ 2a
2
+3a
3
+...+29a
29
+30a
30
= S* và a
0
= f(0)=1 => S=S*+f(0)
ta lại có f’(x)= 10(1+x-2x
2
+x
3
)

9
(3x
2
-4x+1) => f’(1)= 0
Vậy ta có S= 1.
Các bài tập làm thêm
Bài 1. Xét khai triển nhị thức (3x+2)
15
(3x+3) .
Tính hệ số của số hạng chứa x
3
trong khai triển.
Bài 2. Xét khai triển ( 2x
3
-3x+1)
10
.
Tính hệ số của số hạng chứa x
1
trong khai triển .
Hai bài 1,2 làm hoàn toàn như trong các bài toán mẫu. Tôi muốn khắc sau lại
cho học sinh các kỹ năng cơ bản của phương pháp này.
-9-
Các bài sau là các bài tập nâng cao để các em phát triển tư duy và kỹ năng phối
hợp nhị thức Niutơn và đạo hàm.
Bài 3. Với số nguyên dương r và r
≤
n. Chứng minh rằng :
0.CC1)(....CC1)(.CC1)(
n

n
r
n
n1r
n
r
1r
1rr
n
r
n
r
=−++−+−
+
+
+
HD : xét khai triển (1+x)
n
• Đạo hàm đến cấp r theo biến x, hai vế.
• Chia 2 vế cho r! và thay x=-1.
Đây là chẳng qua là bài toán tính tổng và tôi muốn nhấn mạnh thêm cho học
sinh là khi chứng minh các đẳng thức liên quan đến tổ hợp ta chú ý đến khai
triển gốc (1+x)
n
.
Bài 4. Chứng minh rằng :
1-nn
n
2
n

1
n
0
n
2).2(n1)C(n...3.C2.CC +=+++++
HD : xét hàm số f(x) = x(1+x)
n
• Khai triển và đạo hàm cấp 1, hai vế theo biến x
• Thay x = 1.
Ở bài toán này tôi muốn rèn luyện kỹ năng lựa chọn hàm số .
Bài 5. Chứng minh rằng :
2
2n
n
33
n
22
n
21
n
]1)!-[(n
1)!-(2n
)n.(C...)3.(C)2.(C)(C
=++++
HD : Xét hàm số f(x)= (1+x)
n
• Đạo hàm cấp một theo x, hai vế và suy ra x.f’(x) (1)
• Thay x bởi
x
1

, ta được (2)
• Nhân (1) cho (2), ta thu được hệ số của số hạng không chứa x là đẳng
thức chứng minh .
Bài 6. Chứng minh rằng :
-10-
1
1)(n
1)C(n
...
1)(n
2.C
1)-(n
C
n
n
n
3
3
n
2
2
n
=
−
−
++
−
+
, với n
≥

2 là số nguyên.
HD : Xét hàm số f(x)= x.
n
x
1
1






+
• Đạo hàm cấp một theo x, hai vế
• Thay x = n-1.
2. Ứng dụng giải phương trình :
Khi giải phương trình vô tỉ, mũ, logarít học sinh gặp một số phương trình mà
việc giải các phương trình này bằng phương pháp thông thường ( phương
pháp :đặt ẩn phụ, lũy thừa,...) gặp khó khăn, vậy phải dùng công cụ nào để giải
quyết đây ?
Nhìn lại định nghĩa về phương trình thì thấy rằng mỗi một phương trình
chẳng qua là sự tương giao của 2 đồ thị của 2 hàm số nào đó trong một phương
trình đã cho, mà một trong những công cụ khảo sát đồ thị của một hàm số một
cách “lợi hại” đó chính là đạo hàm. Vậy thử sử dụng công cụ đạo hàm có được
không ? nếu sử dụng thì sử dụng như thế nào ?
Trước hết tôi yêu cầu học sinh phải nắm được các tính chất cơ bản sau :
 Tính chất 1. Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên tập D
⊂
R, với x
1

, x
2

∈
D khi
đó ta có
f(x
1
) = f(x
2
)
⇔
x
1
= x
2
.
 Tính chất 2. Nếu hàm số f(x) đơn điệu và liên tục liên tục trên khoảng
(a,b) thì tồn tại nhiều nhất một điểm x
0

∈
(a,b) để f(x
0
) = 0.
 Tính chất 3. ( Định lí Bolzano-Cauchy )
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một
điểm x
0
∈

(a,b) để f(x
0
) = 0.
-11-
 Tính chất 4. Nếu hàm số f(x) liên tục trên và đơn điệu trên [a,b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại duy nhất một điểm x
0
∈
(a,b) để f(x
0
) = 0.
2.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên [a,b] :
Ví dụ mở đầu .
a) Trước hết ta xét phương trình sau : 4
x
+3.2
x
= 10
Nhận Xét : đặt t = 2
x
, ta được phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình
này tính được t từ đó tính được nghiệm x của phương trình.
Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới : vế trái “có vẻ”
là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình, dựa vào tính chất 3 thì phương
trình tồn tại nhiều nhất một nghiệm và dễ dàng thấy x = 1 là nghiệm.
b) Xét phương trình phức tạp hơn :
x1
−
-
3x

+
= 2 (1)
Nhận Xét : phương trình này giải bằng cách :(1)
⇔
x1
−
=
3x
+
+ 2
bình phương 2 vế của phương trình 2 lần, tính được nghiệm.
Tuy nhiên : Nếu quan sát kỹ thì vế trái “có vẻ” là hàm số giảm trên TXĐ
của phương trình, dựa vào tính chất 3 thì phương trình tồn tại nhiều nhất
một nghiệm và dễ dàng thấy x = -3 là nghiệm.
Từ những nhận xét này tôi hình hành cho học sinh các bước giải như sau :
Bước 0. Bước phán đoán phương trình có nghiệm duy nhất ( có thể xem là bước
phân tích ).
Bước 1. Xây dựng hàm số f(x) trên MXĐ của phương trình.
Bước 2. Xét dấu đạo hàm f’(x) để phát hiện tính tăng giảm, nên phương trình
nếu có nghiệm thì chỉ có tối đa là một nghiệm ( dùng tính chất 4 )
Bước 3. Tìm một nghiệm x=x
0
của phương trình.
Tôi xin minh họa qua 6 bài toán cụ thể sau :
-12-
Bài toán 5.
Giải phương trình :
103x72x1x
+−=−++
( 5)

Nhận xét : Bài toán này học sinh thường giải như sau:
+) bình phương 2 vế của phương trình ta được
(5)
⇒
2x -1+ 2
2)-1)(x(x
+
= 3x +39-14
103x
+
+) tới đây không thể đặt ẩn phụ cũng như bình phương 2 vế được nữa vì rất
phức tạp
Do đó nghĩ đến một cách giải khác
Bước 0.
Dấu hiệu : nếu quan sát kỹ sẽ nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn là các hàm
số là các hàm số tăng ( hàm số bậc nhất có hệ số a > 0 ).
Nên ta nghĩ đến việc sử dụng công cụ đạo hàm .
Giải Bài toán 5.
ĐKXĐ của phương trình là : x
≥
2
Bước 1. Xây dựng hàm số : f(x)=
103x2x1x
++−++
-7 , với x
≥
2
Bước 2. Xét dấu đạo hàm
ta có f’(x)=

)(2;x 0,
103x2
3
2x2
1
1x2
1
+∞∈∀>
+
+
−
+
+
=> hàm số tăng trên [2;+
∞
)
do đó theo tính chất 4 thì phương trình f(x)= 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là
nghiệm duy nhất của phương trình.
Bước 3. Tìm một nghiệm
mặt khác f(3) = 0 nên x=3 là nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x= 3.
Bài toán 6.
Giải phương trình x+ sinx = 0
-13-