GIÁO TRÌNH DẠY PHỤ ĐẠO HS 11

TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
1>HÀM SỐ SIN
sin :
sin
R R
x y x
→
=a
2>HÀM SỐ COS
cos :
cos
R R
x y x
→
=a
3>HÀM SỐ TAN
tan :
tan
D R
x y x
→
=a
4>HÀM SỐ COT
t :
t
co D R
x y co x
→
=a
Một số tính chất của

hàm số y=sinx
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số lẻ .
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=cos
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số chẵn
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=tanx
a >Tập xác đònh
/
2
D R k
π
π
 
= +
 

 

b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
Một số tính chất của
hàm số y=cotx
a>Tập xác đònh
{ }
/D R k
π
=
b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
BÀI TẬP
Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
2
2 2
2
2 cot
1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 1
4 / 5/ tan 6 / sin
cos 1 3 1

3 2
7 / 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 )
sin cos 3 3
1 1 sin
10 / 11/ 12/
4 5cos 2sin
2sin 3 cot 3
x
y x y x y
x
x x
y y y
x x
y x y y x x
x x
x
y y y
x x
x x
π π
π π
= − = + =
−
+
= = =
+ −
= − = = − + +
−
= = =
− −

− −
Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2
2 2
2
1 4cos
1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/
3
4 / 2sin cos 2 5/ 3 2 | sin | 6/ 3 1 sin 1
x
y x y x x y
y x x y x y x
+
= + = − =
= − = − = + −
PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN .
1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)
+Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt nào đó thì
đặt : a=
sin
α
khi đó ta có :

1
B

A
sin
α
=a=OK
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

2
sin sin
2
x k
x k Z
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

Chú ý :
2
sin sin

2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ii/Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì

arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a
x a k
π
π π
= +

= ⇔

= − +


*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 sin 7 sin 2 sin 0
2
2 2sin 3 0 8 sin3 0
3 2sin( ) 2 0 9 sin3 cos 0
3
4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0
6
5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0
4 3 4
6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0
3 6 3
13 s
x x x
x sinx x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =
> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =

>
2
in(2 ) cos( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)
+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/ Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt thì
đặt a=
cos
α
khi đó ta có :

2
cos cos
2
x k
x k Z
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈


=− +

Chú ý :
2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +

ii/ Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì

arccos 2
cos
arccos 2
x a k
x a
x sa k
π
π
= +


= ⇔

= − +


2
B
A
cos
α
=a=OH
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 cos 7 cos2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0
3
4 2cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 0
6
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0
4 3 4

6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0
3 6 3
13 c
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =
> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =
>
2
os(2 ) sin( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
3>Phương trình lương giác cơ bản tanx=a (3)
+Điều kiện :
2
x k

π
π
≠ +
+Nếu a là gía trò của góc đặc biệt thì
Đặt a=
tan
α
khi đó ta có: tanx=
tan
α
x k
α π
⇔ = +

Chú ý :
tan tanu v u v k
π
= ⇔ = +
+Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì

tan arctanx a x a k
π
= ⇔ = +
4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4)
+Điều kiện :
x k
π
≠
+Nếu a là giá trò của góc đặc biệt thì
Đặt

tana
α
=
khi đó ta có :
t tco x co x k
α α π
= ⇔ = +

Chú ý :
t tco u co v u v k
π
= ⇔ = +

+ Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì :
cot arc tx a x co a k
π
= ⇔= +
BÀI TẬP : Giải các phương trình :
3
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

1 tan 3 5 cot 3 0
2
2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0
3
3
3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0
4 2
2
4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0

3 5
9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2
4
x x
x x
x x
x x
x x x
π
π π
π π
π
> = > + =
> − = > − + =
> + − = > + + =
> − + = > − + =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
> − − = > +
) cot( ) 0
4 4
2 3
10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0
3 3 2 4
5 5
11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0
3 3 3 3
4 5
12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0
3 3 6 6
x

x x x x
x x x x
x x x x
π π
π π π π
π π π π
π π π π
− + =
> + + − = > − + − =
> − + − = > − − + =
> + + − = > + + + =
5>TÓM LẠI :
CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN :
*
2
sin sin
2
arcsin 2
sin
arcsin 2
x k
x k Z
x k
x a k
x a
x a k
α π
α
π α π
π

π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +


2
sin sin
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +


*

2
cos cos
2
cos 2
cos
cos 2
x k
x k Z
x k
x arc a k
x a
x arc a k
α π
α
α π
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +


2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +


*
tanx=tan x= +k
tan arctanx a x a k
α α π
π
⇔
= ⇔ = +

tan tanu v u v k
π
= ⇔= +

*
t t
cot cot

co x co x k
x a x arc a k
α α π
π
= ⇔ = +
= ⇔ = +

t tco u co v u v k
π
= ⇔= +


BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác :
4
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

2 2
1 2sin 2 sin 0 8 sin cos2 1 0
4 2
2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0
3 3
2
3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1
3 3 6 3
3 2
4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0
2 2 3 3
2
5 sin (5 ) cos (
5

x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x
π π
π π π π
π π π
π
π
> + = > + − =
> + + + = > + + =
> − + − = > + + + =
> + + + = > + + + + =
> + −
2 2
) 0 12 tan 5 .tan 1
4
2
6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0
3 3 6
7 tan 2 .tan 3 1
x x
x x x x
x x
π
π π π
+ = > =

> + − = > − + =
> =
II>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1)Phương trình bậc nhất .
* asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 .
BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau :
1>3sinx+2=0
2>-2sinx-3=0
3>
2 cos 1 0x + =
4>3cosx+5=0
5> 3 tan 3 0x + =
6>3cot 3 0x + =

2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .
A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin
* asin
2
x+bsinx+c=0
Đặt sinx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 2sin
2
x+3sinx+1=0 2/ sin
2
x+sinx-2=0 3/

2
2sin (2 3)sin 3 0x x− + + =
4/ 6-4cos
2
x-9sinx=0 5/
2
4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + =
6/ sin
2
3x-2sin3x-3=0
7/ sin
2
x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin
2
x+cos
2
+sinx-1=0 9/ cos
2
x+sinx+1=0
10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos
2
x+cos2x+sinx+2=0 12>
sin cos 2 4 0
6 3
x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   

B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos .
* acos
2
x+bcosx+c=0
Đặt cosx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 3cos
2
x+2cosx-1=0 2/2sin
2
x+5cosx+1=0 3>cos
2
-4cosx+5/2=0
5
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
4/cos
2
+cosx-2=0 5/16-15sin
2
x-8cosx=0 6/4sin
2
2x+8cos
2
x-8=0
7/
2 2

5 4sin 8cos 4
2
x
x− − = −
8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin
2
x-2cos
2
x+cos2x=0
10>sin
2
x+cos2x+cosx=0 11>
2
cos( ) cos(2 ) 2 0
3 3
x x
π π
+ + + − =
12>(1+tan
2
x)(cosx+2)-sin
2
x=cos
2
x
C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
* atan
2
x+btanx+c=0
Đk

2
x k
π
π
≠ +
Đặt tanx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
* acot
2
x+bcotx+c=0
Đk :
x k
π
≠
Đặt cotx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1>tan
2
x-tanx-2=0
2>
2
cot (1 3)cot 3 0x x− − + =
3>
2
3 cot 4cot 3 0x x− + =
4>
2

3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
Phương trình có dạng : Asin
2
x+Bsinxcosx+Ccos
2
x=D
+B
1
: xét cosx=0
+B
2
: với
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được :
(A-D)tan
2
x+Btanx+C-D=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình :

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 2sin (1 3)sin cos (1 3)cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0
3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3 cos 6sin cos 3 3
5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3sin 2 2cos 4
7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
> + − + − = > + + =
> + − − = > + = +
> + − + = > + − =
> + = > −
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
8sin cos 7 cos 0
1
9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0
2
11 3sin 5cos 2cos 2 4sin 2 0
12 2sin 6sin cos 2(1 3) cos 5 30
x x x

x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ =
> + − = > − + + =
> + − − =
> + + + = +
4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .
(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)
Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)
Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c
6
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :
2 2 2
a +b -c 0
≥
Khi đó ta chia hai vế của phương trình với
2 2
a b+
khi đó ta được :
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Do
2 2

2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
nên đặt :
2 2 2 2
sin , cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +
Khi đó ta được :
2 2 2 2
sin sin cos cos cos( )
c c
nx x x
a b a b
α α α
+ = ⇔ − =
+ +
Bài tập : Giải các phương trình :
1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3sin 2
3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2
5/ 5cos2 12sin 2 13 6/ 2sin 5cos 4

7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
− = + =
+ = + =
− = − =
+ =
7
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PH ẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I>QUI TẮC ĐẾM .
a>Qui tắc cộng .
Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m
cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện khơng trùng với bất kỳ hành động nào của hành động
một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện .
b>Qui tắc nhân .
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .
BÀI TẬP
II>HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a>Hốn vị :
Có tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hốn vị của b phần tử .
Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .

Ta viết số hốn vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)…..3.2.1 .
b>Chỉnh hợp :
Cho tập A gồm n phàn tử
( )
1n ≥
. Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo
một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
!
( 1)...( 1)
!
k
n
n
A n n n k
k
= = − − +
.
c>Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử của tập đã cho .
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là :
!
!( )!
k
n
n

C
k n k
=
−
Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .
b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .
III>NHỊ THỨC NIU TƠN
Cơng thức sau gọi là cơng thức nhị thức niu tơn

( )
0 0 1 1 1 1 1 1 0
... ...
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a b C a b C a b C a b C a b
− − − −
+ = + + + + + +
Số hạng thứ k+1 là :
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
.
8