Tải bản đầy đủ (.doc) (22 trang)

GIÁO TRÌNH DẠY PHỤ ĐẠO HS 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.8 MB, 22 trang )

TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
1>HÀM SỐ SIN
sin :
sin
R R
x y x

=a
2>HÀM SỐ COS
cos :
cos
R R
x y x

=a
3>HÀM SỐ TAN
tan :
tan
D R
x y x

=a
4>HÀM SỐ COT
t :
t
co D R
x y co x

=a
Một số tính chất của


hàm số y=sinx
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số lẻ .
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=cos
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số chẵn
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=tanx
a >Tập xác đònh
/
2
D R k
π
π
 
= +
 

 

b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
Một số tính chất của
hàm số y=cotx
a>Tập xác đònh
{ }
/D R k
π
=
b>Tập giá trò hàm số R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
BÀI TẬP
Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
2
2 2
2
2 cot
1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 1
4 / 5/ tan 6 / sin
cos 1 3 1

3 2
7 / 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 )
sin cos 3 3
1 1 sin
10 / 11/ 12/
4 5cos 2sin
2sin 3 cot 3
x
y x y x y
x
x x
y y y
x x
y x y y x x
x x
x
y y y
x x
x x
π π
π π
= − = + =

+
= = =
+ −
= − = = − + +

= = =
− −

− −
Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2
2 2
2
1 4cos
1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/
3
4 / 2sin cos 2 5/ 3 2 | sin | 6/ 3 1 sin 1
x
y x y x x y
y x x y x y x
+
= + = − =
= − = − = + −
PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN .
1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)
+Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt nào đó thì
đặt : a=
sin
α
khi đó ta có :

1
B

A
sin
α
=a=OK
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

2
sin sin
2
x k
x k Z
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

Chú ý :
2
sin sin

2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ii/Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì

arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a
x a k
π
π π
= +

= ⇔

= − +


*BÀI TẬP : Giải phương trình :


1
1 sin 7 sin 2 sin 0
2
2 2sin 3 0 8 sin3 0
3 2sin( ) 2 0 9 sin3 cos 0
3
4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0
6
5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0
4 3 4
6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0
3 6 3
13 s
x x x
x sinx x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =
> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =

>
2
in(2 ) cos( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)
+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/ Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt thì
đặt a=
cos
α
khi đó ta có :

2
cos cos
2
x k
x k Z
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈


=− +

Chú ý :
2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +

ii/ Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì

arccos 2
cos
arccos 2
x a k
x a
x sa k
π
π
= +


= ⇔

= − +


2
B
A
cos
α
=a=OH
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 cos 7 cos2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0
3
4 2cos(2 ) 1 0 10 cos 2 sin 3 0
6
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0
4 3 4

6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0
3 6 3
13 c
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =
> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =
>
2
os(2 ) sin( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
3>Phương trình lương giác cơ bản tanx=a (3)
+Điều kiện :
2
x k

π
π
≠ +
+Nếu a là gía trò của góc đặc biệt thì
Đặt a=
tan
α
khi đó ta có: tanx=
tan
α
x k
α π
⇔ = +

Chú ý :
tan tanu v u v k
π
= ⇔ = +
+Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì

tan arctanx a x a k
π
= ⇔ = +
4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4)
+Điều kiện :
x k
π

+Nếu a là giá trò của góc đặc biệt thì
Đặt

tana
α
=
khi đó ta có :
t tco x co x k
α α π
= ⇔ = +

Chú ý :
t tco u co v u v k
π
= ⇔ = +

+ Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì :
cot arc tx a x co a k
π
= ⇔= +
BÀI TẬP : Giải các phương trình :
3
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

1 tan 3 5 cot 3 0
2
2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0
3
3
3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0
4 2
2
4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0

3 5
9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2
4
x x
x x
x x
x x
x x x
π
π π
π π
π
> = > + =
> − = > − + =
> + − = > + + =
> − + = > − + =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
> − − = > +
) cot( ) 0
4 4
2 3
10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0
3 3 2 4
5 5
11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0
3 3 3 3
4 5
12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0
3 3 6 6
x

x x x x
x x x x
x x x x
π π
π π π π
π π π π
π π π π
− + =
> + + − = > − + − =
> − + − = > − − + =
> + + − = > + + + =
5>TÓM LẠI :
CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN :
*
2
sin sin
2
arcsin 2
sin
arcsin 2
x k
x k Z
x k
x a k
x a
x a k
α π
α
π α π
π

π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +


2
sin sin
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +


*

2
cos cos
2
cos 2
cos
cos 2
x k
x k Z
x k
x arc a k
x a
x arc a k
α π
α
α π
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +



2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

=− +


*
tanx=tan x= +k
tan arctanx a x a k
α α π
π

= ⇔ = +

tan tanu v u v k
π
= ⇔= +

*
t t
cot cot

co x co x k
x a x arc a k
α α π
π
= ⇔ = +
= ⇔ = +

t tco u co v u v k
π
= ⇔= +


BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác :
4
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

2 2
1 2sin 2 sin 0 8 sin cos2 1 0
4 2
2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0
3 3
2
3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1
3 3 6 3
3 2
4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0
2 2 3 3
2
5 sin (5 ) cos (
5

x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x
π π
π π π π
π π π
π
π
> + = > + − =
> + + + = > + + =
> − + − = > + + + =
> + + + = > + + + + =
> + −
2 2
) 0 12 tan 5 .tan 1
4
2
6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0
3 3 6
7 tan 2 .tan 3 1
x x
x x x x
x x
π
π π π
+ = > =

> + − = > − + =
> =
II>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1)Phương trình bậc nhất .
* asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 .
BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau :
1>3sinx+2=0
2>-2sinx-3=0
3>
2 cos 1 0x + =
4>3cosx+5=0
5> 3 tan 3 0x + =
6>3cot 3 0x + =

2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .
A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin
* asin
2
x+bsinx+c=0
Đặt sinx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 2sin
2
x+3sinx+1=0 2/ sin
2
x+sinx-2=0 3/

2
2sin (2 3)sin 3 0x x− + + =
4/ 6-4cos
2
x-9sinx=0 5/
2
4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + =
6/ sin
2
3x-2sin3x-3=0
7/ sin
2
x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin
2
x+cos
2
+sinx-1=0 9/ cos
2
x+sinx+1=0
10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos
2
x+cos2x+sinx+2=0 12>
sin cos 2 4 0
6 3
x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   

B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos .
* acos
2
x+bcosx+c=0
Đặt cosx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 3cos
2
x+2cosx-1=0 2/2sin
2
x+5cosx+1=0 3>cos
2
-4cosx+5/2=0
5
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
4/cos
2
+cosx-2=0 5/16-15sin
2
x-8cosx=0 6/4sin
2
2x+8cos
2
x-8=0
7/
2 2

5 4sin 8cos 4
2
x
x− − = −
8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin
2
x-2cos
2
x+cos2x=0
10>sin
2
x+cos2x+cosx=0 11>
2
cos( ) cos(2 ) 2 0
3 3
x x
π π
+ + + − =
12>(1+tan
2
x)(cosx+2)-sin
2
x=cos
2
x
C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
* atan
2
x+btanx+c=0
Đk

2
x k
π
π
≠ +
Đặt tanx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
* acot
2
x+bcotx+c=0
Đk :
x k
π

Đặt cotx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1>tan
2
x-tanx-2=0
2>
2
cot (1 3)cot 3 0x x− − + =
3>
2
3 cot 4cot 3 0x x− + =
4>
2

3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
Phương trình có dạng : Asin
2
x+Bsinxcosx+Ccos
2
x=D
+B
1
: xét cosx=0
+B
2
: với
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được :
(A-D)tan
2
x+Btanx+C-D=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình :

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 2sin (1 3)sin cos (1 3)cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0
3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3 cos 6sin cos 3 3
5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3sin 2 2cos 4
7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
> + − + − = > + + =
> + − − = > + = +
> + − + = > + − =
> + = > −
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
8sin cos 7 cos 0
1
9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0
2
11 3sin 5cos 2cos 2 4sin 2 0
12 2sin 6sin cos 2(1 3) cos 5 30
x x x

x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ =
> + − = > − + + =
> + − − =
> + + + = +
4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .
(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)
Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)
Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c
6
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :
2 2 2
a +b -c 0

Khi đó ta chia hai vế của phương trình với
2 2
a b+
khi đó ta được :
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Do
2 2

2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
nên đặt :
2 2 2 2
sin , cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +
Khi đó ta được :
2 2 2 2
sin sin cos cos cos( )
c c
nx x x
a b a b
α α α
+ = ⇔ − =
+ +
Bài tập : Giải các phương trình :
1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3sin 2
3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2
5/ 5cos2 12sin 2 13 6/ 2sin 5cos 4

7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
− = + =
+ = + =
− = − =
+ =
7
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PH ẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I>QUI TẮC ĐẾM .
a>Qui tắc cộng .
Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m
cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện khơng trùng với bất kỳ hành động nào của hành động
một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện .
b>Qui tắc nhân .
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .
BÀI TẬP
II>HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a>Hốn vị :
Có tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hốn vị của b phần tử .
Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .

Ta viết số hốn vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)…..3.2.1 .
b>Chỉnh hợp :
Cho tập A gồm n phàn tử
( )
1n ≥
. Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo
một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
!
( 1)...( 1)
!
k
n
n
A n n n k
k
= = − − +
.
c>Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k
của n phần tử của tập đã cho .
Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là :
!
!( )!
k
n
n

C
k n k
=

Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .
b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .
III>NHỊ THỨC NIU TƠN
Cơng thức sau gọi là cơng thức nhị thức niu tơn

( )
0 0 1 1 1 1 1 1 0
... ...
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a b C a b C a b C a b C a b
− − − −
+ = + + + + + +
Số hạng thứ k+1 là :
1
k n k k
k n
T C a b

+
=
.
8

×