các công thức tính tích phân

Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
sin x
=1
a) lim
x ®0 x
x
=1
x ®0 sin x

Hệ quả: lim

sin u(x)
=1
u(x)®0 u(x)

u(x)
=1
u(x)®0 sin u(x)

ln(1 + x)
=1
x® 0
x

lim

lim

lim

x

ỉ 1ư
b) lim ç 1 + ÷ = e, x Ỵ R
x ®¥ è
xø
1

Hệ quả: lim (1 + x) x = e.
x®0

lim

ex - 1
=1
x® 0
x

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x a )' = ax a-1
(ua )' = aua-1u '
1
ỉ1ư
ç ÷' = - 2
èxø
x
( x )' = 1
2 x
x

(e )' = ex

u'
ỉ1ư
ç ÷' = - 2
u
èù
( u ) ' = u'
2 u
u
(e )' = u'.e u

(ax )' = a x .ln a
(a u )' = a u .ln a . u '
1
u'
(ln x )' =
(ln u )' =
x
u
1
u'
(loga x ') =
(loga u )' =
x.ln a
u.ln a
(sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’.cosu
1
u'

(tgx)' =
= 1 + tg 2 x
(tgu)' =
= (1 + tg 2 u).u'
2
2
cos x
cos u
-1
- u'
(cot gx)' =
= -(1 + cot g 2 x)
(cot gu)' =
= - (1 + cot g 2 u).u'
2
2
sin x
sin u
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x Ỵ (a; b) . Cho số
gia Dx tại x sao cho x + Dx Ỵ (a; b) . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)

Trang 1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§Bài 1: NGUYÊN HÀM
1. Đònh nghóa:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x
thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:
F '(a+ ) = f(x) và F '(b - ) = f(b)
2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/
Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/
Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ò f(x)dx. Do
đó viết:

ò f(x)dx = F(x) + C
Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.
3. Các tính chất của nguyên hàm:
·
·
·
·

( ò f(x)dx ) ' = f(x)

ò af(x)dx = f(x)dx (a ¹ 0)
ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C

(u = u(x))

4. Sự tồn tại nguyên hàm:
·

Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Trang 2


BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
thường gặp
(dưới đây u = u(x))

ò dx = x + C

ò du = u + C

x a+1
ò x dx = a + 1 + C

(a ¹ -1)

ua+1
ò u du = a + 1 + C

dx

= ln x + C
x

(x ¹ 0)

ò

a

ò

ò e dx = e
x

x
ò a dx =

x

du
= ln u + C
u

ò e du = e
u

+C

ax
+C

ln a

(a ¹ -1)

a

u
ò a du =

(0 < a ¹ 1)

u

(u = u(x) ¹ 0)

+C

au
+C
ln a

(0 < a ¹ 1)

ò cos xdx = sin x + C

ò cos udu = sin u + C

ò sin xdx = - cos x + C

ò sin udu = - cos u + C

dx
2
ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C

du
2
ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C

dx

ò sin

2

x

= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C

dx
= x +C
x

ò2

du

ò sin

2

du
= u +C
u

ò2

(x > 0)
1

ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

(a ¹ 0)

1
sin(ax
+
b)dx
=
cos(ax + b) + C
ò
a

(a ¹ 0)

dx

1

ò ax + b = a ln ax + b + C

òe
ò

ax + b

u

= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

1
dx = eax + b + C
a

(a ¹ 0)

dx
2
ax + b + C
=
ax + b a

(a ¹ 0)

Trang 3

(u > 0)


Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b)
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a+)
Xác đònh F’(b–)
ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b)
ï
+ Bước 2: Chứng tỏ rằng íF '(a + ) = f(a)
ï
ỵF '(b ) = f(b)
Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x 2 + a) với a > 0
1

là một nguyên hàm của hàm số f(x) =

x2 + a

trên R.

Giải:
Ta có: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' =

(x + x 2 + a)'
x + x2 + a

2x

1+

2 x2 + a
x + x2 + a

=
=

x2 + a + x
x 2 + a(x + x 2 + a)

=

Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
ìïex
Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í 2
ïỵ x + x + 1

khi x ³ 0
khi x < 0

ìex
khi x ³ 0
trên R.
Là một nguyên hàm của hàm số f(x) = í
+
<
2x
1
khi

x
0
ỵ
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x ¹ 0 , ta có:
ìe x
khi x > 0
F '(x) = í
ỵ2x + 1 khi x < 0
b/ Với x = 0, ta có:
Trang 4

1
x2 + a

= f(x)


·

Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 - ) = limx®0

·

F(x) - F(0)
x 2 + x + 1 - e0
= lim= 1.
x ®0

x-0
x

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0.
F '(0 + ) = lim+
x®0

F(x) - F(0)
ex - e0
= lim+
= 1.
x®0
x-0
x

Nhận xét rằng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1.
ìe x
khi x ³ 0
= f(x)
Tóm lại: F '(x) = í
ỵ2x + 1 khi x < 0
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b)
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.

Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a+)
Xác đònh F’(b–)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:
ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b)
ï
+
Þ giá trò của tham số.
íF '(a ) = f(a)
ï
ỵF '(b ) = f(b)
Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
·

Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C

·

Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Trang 5


ìx2
khi x £ 1
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: F(x) = í
ỵax + b khi x > 1

ì2x
là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = í
ỵ2

khi x £ 1
khi x > 1

trên R.

Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
ì2x khi x < 1
a/ Với x ¹ 1 , ta có: F '(x) = í
ỵ2 khi x > 1
b/ Với x = 1, ta có:
Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do
đó :
lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a
(1)
x ®1

x ®1

· Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1.
F'(1) = lim
x ®1

f(x) - F(1)
x2 - 1
= lim= 2.

x ®1 x - 1
x -1

· Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0.
F '(1+ ) = lim+
x ®1

F(x) - F(1)
ax + b - 1
ax + 1 - a - 1
= lim+
= lim+
= a.
x ®1
x ®1
x -1
x -1
x -1

Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2.

(2)

Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x là một nguyên hàm của
F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x trên R.
Giải:

Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = éë-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x
Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R
Û F '(x) = f(x), "x Ỵ R
Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Ỵ R
ìa = 1
ìa = 1
ï
ï
Û ía - b = 4
Û í b = -3
ï
ï
ỵ b - 2c = -7
ỵc = 2
Vậy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .

Trang 6


BÀI TẬP
ỉ x pư
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số F(x) = ln tg ç + ÷
è2 4ø
Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
.
cos x

ì ln(x 2 + 1)

,x¹0
ï
Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số F(x) = í
x
ï0
,x = 0
ỵ
ì 2
ln(x 2 + 1)
,x¹0
ï 2
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = í x + 1
x2
ï1
,x=0
ỵ
Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x là một nguyên hàm của
hàm số f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x trên R.
ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/
b/

Tính nguyên hàm F(x) của f(x) =

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin 2

ĐS: a/ F(x) =
Bài 5. a/

x 3 + 3x 2 + 3x - 7

và F(0) = 8.
(x + 1)2

x2
8
+x+
;
2
x +1

x
ỉ pư p
và F ç ÷ = .
è2ø 4
2

1
b/ F(x) = (x - sin x + 1)
2

Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:
F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 là một nguyên hàm của hàm số:
f(x) =

b/

20x 2 - 30x + 7
ỉ3
ư
trên khoảng ç ; + ¥ ÷

è2
ø
2x - 3

Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.

ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1;

b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.

Trang 7


Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG

CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

1

ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ 0.

Ví dụ 1: CMR , nếu ò f(x)dx = F(x) + C thì

Giải:
1
Ta luôn có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ 0.
a
Áp dụng tính chất 4, ta được:

1

1

ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) .

Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, với u = u(x)
Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

3
ò (2x + 3) dx

b/ ò cos4 x.sin xdx

c/ ò

2e x
dx
ex + 1

d/ ò

(2 ln x + 1)2
dx
x

Giải:
1

1 (2x + 3)4
(2x + 3)4
3
+C=
+ C.
a/ Ta có: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = .
2
2
4
8
3

b/ Ta có: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = c/ Ta có:

cos5 x
+C
5

2ex
d(ex + 1)
x
dx
=
2
ò ex + 1
ò ex + 1 = 2 ln(e + 1) + C

(2 ln x + 1)2
1
1

dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C.
d/ Ta có: ò
x
2
2
Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

ò 2sin

2

x
dx
2

b/ ò cot g2 xdx

c/ ò tgxdx
Giải:

a/ Ta có: ò 2sin 2

x
dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C
2

ỉ 1
ư
b/ Ta có: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C

è sin x ø
c/ Ta có: ò tgxdx = ò

sin x
d(cos x)
dx = - ò
= - ln cos x + C
cos x
cos x

Trang 8

d/ ò

tgx
dx
cos3 x


d/ Ta có:

tgx

ò cos

3

x

dx = ò

sin x
d(cos x)
1
1
dx = - ò
= - cos -3 x + C = + C.
4
4
cos x
cos x
3
3cos3 x

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

x

ò 1 + x dx
2

b/

òx

2

1
dx

- 3x + 2
Giải:

a/ Ta có:

x
1 d(1 + x 2 ) 1
dx
=
= ln(1 + x 2 ) + C
2
ò 1 + x2
ò
2 1+ x
2

b/ Ta có:

òx

1
1
1 ư
ỉ 1
dx = ò
dx = ò ç
÷dx
- 3x + 2
è x - 2 x -1 ø
(x - 1)(x - 2)

2

= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln

x-2
+ C.
x -1

BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
x
a/ f(x) = cos2 ; b/
2
ĐS: a/

1
(x + sin x) + C ;
2

f(x) sin 3 x.
1
- cos x + cos3 x + C.
3

b/

Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/

ò e (2 - e

d/

e2-5x + 1
ò ex dx;

x

-x

)dx; b/
e/

ĐS: a/ 2e - x + C;
x

d/

ex
ò 2x dx ;

c/

2 2x.3x.5x
ò 10x dx .

ex
ò ex + 2dx
ex

+ C;
(1 - ln 2)2 x

b/

1
- e2-6 x - e- x + C; e/
6

c/

6x
+C
ln 6

ln(ex + 2) + C .

Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/

ò

d/

ò (1 - 2x)

x 4 + x -4 + 2 dx ;
2001

dx; e/

x3 1
ĐS: a/
- + C;
3 x
d/

ò

b/

ò

3

x 5 x dx ; c/

òx

x 2 + 1 dx ;

3 - 4 ln x
dx
x
55 7
x + C;
7

b/

1 (1 - 2x)2002
- .
+ C;
2
2002
Trang 9

e/

c/

1 2
(x + 1) x 2 + 1 + C ;
3

1
(3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C.
6


Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
·

Với f(x) = (x 3 - 2)2 thì viết lại f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.

·

Với f(x) =

x 2 - 4x + 5
2
.
thì viết lại f(x) = x - 3 +
x -1
x -1

·

Với f(x) =

1
1
1
thì viết lại f(x) =
x - 5x + 6
x -3 x -2

·

Với f(x) =

·

Với f(x) = (2 x - 3x )2 thì viết lại f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.

·

Với f(x) = 8 cos3 x.sin x thì viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x

2

1
1
thì viết lại f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1)
2
2x + 1 + 3 - 2x

= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x.
·

tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1

·

cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1

·

x n (1 + x 2 ) + 1
1
= xn +
.
2
1+ x
1 + x2

Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.
Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(1 - x)2002 dx.
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 .
Khi đó:
I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x)
=-

(1 - x)2003 (1 - x)2004
+
+ C.
2003
2004

Tổng quát: Tính tích phân bất đònh:

I = ò x(ax + b)a dx, với a ¹ 0

1
1
Sử dụng đồng nhất thức: x = .ax = [(ax + b) - b]
a
a
Trang 10


Ta được:
1

1
x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)]
a
a
Ta xét ba trường hợp :
·

Với a = 2, ta được: I =
=

·

1
1
[ln ax + b +
] + C.
2
a
ax + b

Với a = –1, ta được:
I=

·

1
[ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)]
2 ò
a

1
1
[ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C.
2 ò
a
a
I=

Với a Ỵ R \ {-2; - 1}, ta được:

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I =

òx

2

1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1
+
[
] + C.
a+2
a +1
a2

dx
- 4x + 3
Giải:

Ta có:

1
1
1 (x - 1) - (x - 3) 1 ỉ 1
1 ư
=
= .
= .ç
÷
x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1)
2 è x - 3 x -1ø
2

1 ỉ dx
dx ư 1 d(x - 3)
d(x - 1) 1
' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C
-ò
-ò
Khi đó: I = . ç ò
÷ = [ò
2 è x -3
x -1 ø 2
x -3
x -1
2
=

1 x -3
ln
+ C.

2 x -1

Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

dx
x +2 + x -3
Giải:

Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:
1
1
1
1
2
I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)]
5
5
2
= [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C.
15

Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I =

dx

ò sin x.cos
Giải:

Sử dụng đồng nhất thức: sin 2 x + cos2 x = 1,

Trang 11

2

x

.


1
1
sin 2 x + cos2 x sin x
1
sin x
2 . 1 .
Ta được:
=
=
+
=
+
sin x.cos 2 x
sin x.sin 2 x
cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x
2
2
1
ỉ xư

d ç tg ÷
sin x
d(cos x)
1
x
2
+ò è 2ø =
+ ln tg + C.
dx + ò
dx = - ò
Suy ra: I = ò
2
2
x x
x
cos x
cos x
cos x
2
cos2 tg
tg
2 2
2
Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I =

dx

ò cos

4

x

.

Giải:
Sử dụng kết quả:
ta được: I = ò

dx
= d(tgx)
cos2 x

1
dx
1 3
2
2
.
=
(1
+
tg
x)d(tgx)
=
d(tgx)
+
tg
xd(tgx)
=

tgx
+
tg x + C.
ò
ò
cos2 x cos2 x ò
3

BÀI TẬP
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ;

b/

f(x) =

2 x - x 3ex - 3x 2
;
x3

(2 + x )2
;
x

d/

f(x) =

1
3x + 4 - 3x + 2

c/ f(x) =

12 5 8 7
x - x +C ;
5
7

b/

-

24 6
3
x x + x 3 x 2 + C;
7
5

d/

1é
3
3ù
ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C.
9

ĐS: a/ x - 2x 3 +
c/ 6 3 x 2 +

4

- e x + ln x + C;
3x x

Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) =

1
;
2
x - 6x + 5

b/

f(x) =

4x 2 + 6x + 1
;
2x + 1

c/ f(x) =

4x 3 + 4x 2 - 1
;
2x + 1

d/

f(x) =

-4x 3 + 9x + 1

;
9 - 4x 2

ĐS: a/

1 x-5
ln
+ C;
4 x -1

1
b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C;
2

2
1
1
1
c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ;
3
2
2
4
Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

Trang 12

x2 1
2x - 3
- ln

+ C.
d/
2 12 2x + 3


a/ (sin x + cos x)2 ;

pö
pö
æ
æ
b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ;
è
3ø
4ø
è

d/ cos 4 x;

e/ sin 4 x + cos4 x;

1
ÑS: a/ x - cos2x + C ;
2

b/

c/ cos3 x;

f/ sin 6 2x + cos6 2x.

1
7p ö 1 æ
pö
æ
sin ç 5x +
÷ + sin ç x - ÷ + C
10 è
12 ø 2 è
12 ø

c/

3
1
sin x + si n3x + C;
4
12

d/

3
1
1
x + si n2x + si n4x + C;
8
4
31

e/

3
sin 4x
x+
+ C;
4
16

f/

5
3
x + sin 8x + C.
8
64

Trang 13


Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu ò f(x)dx = F(x) + C và u = j(x) là hàm số có đạo hàm thì ò f(u)du = F(u) + C .
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt.
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu
Cách chọn
p
p
é
x = a sin t với - £ t £
ê
2
2
a2 - x 2
ê
êë x = x cos t với 0 £ t £ p
a
é
é p pù
x
vớ
i
t
=
Ỵ
ê
êë - 2 ; 2 úû \ {0}
sin t

ê
p
a
ê
êë x = cos t với t Ỵ[0; p] \ { 2 }
p
p
é
=
<
<
x
a
tgt
vớ
i
t
ê
2
2
ê
êë x = a cot gt với 0 < t < p

x 2 - a2

a2 + x 2
a+ x
a-x
hoặc
a-x

a+x
(x - a)(b - x)

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I =

x = acos2t
x = a + (b – a)sin2t

ò

dx
(1 - x 2 )
Giải:

Đặt x = sin t; -

p
p
2
2
Trang 14

.


Suy ra: dx = cos tdt &

dx
(1 - x 2 )3

Khi đó: I = ò d(tdt) = tgt + C =

=

cos tdt
dt
=
= d(tgt)
3
cos t cos2 t

x
1- x

2

(1 - x 2 )3 = cos3 t và tgt =

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
là bởi: -

+ C.

p
p
< t < Þ cos t > 0 Þ
2
2

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

x
1 - x2

ìï cos2 t = cos t
í
ïỵcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2
x 2 dx
x2 - 1

Giải:
Vì điều kiện x > 1 , ta xét hai trường hợp :
·

Với x > 1
1
p
2 cos 2tdt
;0Suy ra: dx =
sin 2t
4
sin 2 2t
x 2 dx
2dt
2(cos2 t + sin 2 t)2 dt
=- 3 =sin 2t

8sin 3 t cos3 t
x2 - 1

Đặt: x =
ú

1
1
1
1
= - (cot gt. 2 + tgt.
+
)dt
2
4
sin t
cos t sin t cos t
1
1
1
2 1
= - (cot gt. 2 + tdt.
+
)
2
4
sin t
cos t tgt cos2 t
1
d(tgt)

= - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + 2
].
4
tgt
1
d(tgt)
I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + 2 ò
]
4
tgt
1 1
1
1
1
= - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C
4 2
2
8
2
1
1
= x x2 - 1 - ln x - x2 - 1 + C.
2
2
Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm

Khi đó:

·

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 và tgt = x - x 2 - 1
cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t
4
1
là bởi: cot g t - tg t =
=
=
=
-1
cos2 t.sin 2 t
sin 2 2t
sin 2 2t
sin 2t sin 2 2t
2

2

1
1
sin t
2sin 2 t
1 - cos2t
1
cos2 2t
tgt =
=
-1
=
=
=

2
cos t 2sin t.cos t
sin 2t
sin 2t
sin 2t sin 2t
sin 2 2t

Trang 15


Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: I =

dx
ò (1 + x 2 )3
Giải:

Đặt: x = tgt; -

p
p
dt
&
< t < . Suy ra: dx =
cos2 t
2
2

Khi đó: I = ò cos tdt = sin t + C =

x

1 + x2

dx
(1 + x 2 )3

=

cos3 tdt
= cos tdt.
cos2 t

+C

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:

1
1 + x2

= cos t và sin t =

x
1 + x2

ì cos2 t = cos t
p
p
ï
là bởi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í
x

2
2
ïsin t = tgt.cos t =
1 + x2
ỵ
2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:
I=

ò

dx
2

(a + x 2 )2 k +1

, với k Ỵ Z.

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I = ò f(x)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân dt = y '(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó I = ò g(t)dt.
Dấu hiệu
Hàm số mẫu có
Hàm số f(x, j(x)
a.sin x + b.cos x
Hàm f(x) =
c.sin x + d.cos x + e

Hàm f(x) =

1
(x + a)(x + b)

Trang 16

Cách chọn
t là mẫu số
t = j(x)
x
x
t = tg (với cos ¹ 0)
2
2
· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt:
t = x+a + x+b
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt:
t = x - a + -x - b


Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx.
Giải:
Đặt: t = 2 - 3x .
2

Suy ra: dt = 6xdx

x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx =
Khi đó: I =

2-t 2-t 8 ỉ 1 ư 1 9
.t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt.
=
3
3
è 6 ø 18

1
1ỉ 1
2 ư
1 10 1 9
(t 9 - 2t 8 )dt = ç t10 - t 9 ÷ + C =
t - t +C
ò
18
18 è 10
9 ø
180
81

Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

x 2dx
1- x
Giải:

Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2

Suy ra: dx = - 2tdt &

x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt)
=
= 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt
t
1- x

2
2
ỉ1
ư
Khi đó: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C
3
15
è5
ø
=-

2
2
[3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C
15
15

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx.
Giải:
3
1 - t3
Đặt: t = 1 - 2x Þ x =

. Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt,
2
2
3

2

2

x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx =
Khi đó: I =

3 7 4
(t - t )dt =
8ò

1 - t3 2 ỉ 3 2 ư 3 7 4
.t ç - t dt ÷ = (t - t )dt.
2
è 4
ø 8

3ỉ1 8 1 5 ư
3
(5t 6 - 8t 3 )t 2 + C
ç t - t ÷+C=
8è8
5 ø
320

=

3
[5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C
320

=

3
(20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C.
320

Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò sin 3 x cos xdx.
Giải:
Đặt: t = cos x Þ t 2 = cos x
dt = sinxdx,
Trang 17


sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx
= (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt.
1 ư
2
ỉ1
Khi đó: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C
3 ø
21
è7
=

2
(cos3 x - 7 cos x) cos x + C.
21

cos x.sin 3 xdx
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò
1 + sin 2 x
Giải:
Đặt: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x
Suy ra: dt = 2sin x cos xdx,
cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 ỉ 1 ư
=
=
= ç 1 - ÷ dt.
1 + sin 2 x
1 + sin 2 x
2t
2è t ø
Khi đó: I =

1 ỉ 1ư
1
2
2
ç 1 - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C
ò
2 è tø
2

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: I =

cos2 xdx
ò sin8 x .
Giải:

Đặt: t = cotgx
1
dx,
sin 2 x
cos2 xdx cos2 x dx
1
dx
dx
=
= cot g 2 x 4
= cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2
8
6
2
2
sin x
sin x sin x
sin x sin x
sin 2 x
= t 2 .(1 + t 2 )2 dt.

Suy ra: dt = -

2
1 ư

ỉ1
Khi đó: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C
5
3 ø
è7
=

1
(15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C.
105

Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I =

òe

x

dx
- ex / 2
Giải:

Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
e- x / 2 dx

-2tdt
1
=
=
=
= 2(1 +
)dt
x
x/2
x
-x / 2
x/2
-x / 2
e -e
e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t
t -1
Trang 18


1 ư
ỉ
-x / 2
Khi đó: I = 2 ò ç 1 +
+ ln e- x / 2 + 1) + C.
÷ dt = 2(e
è t -1 ø
Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e - x / 2 ,
tuy nhiên với cách đặt t = ex / 2 chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

dx
1 + ex

.

Giải:
Cách 1:
Đặt: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x
Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =

2tdt
dx
2tdt
2tdt
&
.
= 2
= 2
2
t -1
1 + ex t(t - 1) t - 1

dt
t -1
1 + ex - 1
Khi đó: I = 2 ò 2
= ln
+ C = ln

+C
t -1
t +1
1 + ex + 1
Cách 2:
Đặt: t = e- x / 2
1
dx
Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 ,
2
e
dx
dx
dx
-2dt
=
=
=
1 + ex
ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1
t2 + 1
Khi đó: I = - 2 ò

dt
t +1
2

= - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I =

ò

dx
x +a
2

, với a ¹ 0. .

Giải:
Đặt: t = x + x + a
2

x
x2 + a + x
dx
dt
ỉ
ư
=
dx Û
Suy ra: dt = ç 1 +
÷ dx =
2
2
2
t
x +a ø
x +a
x +a

è
dt
Khi đó: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C.
t
dx
.
Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò
(x + 1)(x + 2)
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
ìx + 1 > 0
· Với í
Û x > -1
ỵx + 2 > 0
Đặt: t = x + 1 + x + 2
Trang 19


·

1 ư
( x + 1 + x + 2)dx
dx
2dt
ỉ 1
Suy ra: dt = ç
+
Û
=
÷ dx =

t
2 (x + 1)(x + 2)
(x + 1)(x + 2)
è 2 x +1 2 x + 2 ø
dt
Khi đó: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C
t
ìx + 1 < 0
Û x < -2
Với í
+
<
x
2
0
ỵ
Đặt: t = -(x + 1) + -(x + 2)
[ -(x + 1) + -(x + 2)]dx
1
1
é
ù
dx =
Suy ra: dt = êú
2 (x + 1)(x + 2)
ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û
dx
2dt
Û
=t

(x + 1)(x + 2)
Khi đó: I = - 2 ò

dt
= -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C
t

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
x4
x2 - x
a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10
; c/ f(x) =
;
x -4
(x - 2)3
2

ĐS:

a/

9

1
2
1
(x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C.
12
11

10

x2 - 1
d/ f(x) = 4
;
x +1
b/

1
x5 - 2
+ C.
ln 5
20 x + 2

1

x2 - x 2 + 1
d/
ln
+ C.
2 2 x2 + x 2 + 1

2x - 5
c/ ln x - 2 + C;
(x - 2)2
Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ f(x) =
ĐS:

a/

2x
x + x -1
2

;

b/ f(x) =

1
2

2 3

(x + a )

2 3 2
x (x 2 - 1)3 + C;
3
3

b/

(a > 0) ;
x

a

2

x +a
2

2

c/ f(x) =

+ C;

ỉ3x 6
ư
+ x + ln 6 x - 1 ÷ + C.
c/ 6 ç
è 2
ø
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1
cos5 x
;
a/ f(x) = 3
; b/ f(x) =
cos x
sin x

c/ f(x) =

sin x + cos x
;
sin x - cos x

3

cos3 x
1
d/ f(x) =
; e/ f(x) =
.
sin x
sin 4 x
ĐS:

a/

33 2
3
3
sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C;
2
14
4

Trang 20

1
3

x - x
2

.