Không gian vectơ thực và không gian con

$. 4 KHÔNG GIAN VECTƠ
VÀ KHÔNG GIAN CON
_____________________________________________


4.1 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ


ĐỊNH NGHĨA 4.1.1 Một không gian vectơ V trên ! là
một tập hợp không rỗng có hai phép toán:
* Phép cộng vectơ : ∀ u, v ∈ V → u + v ∈ V. Phép
cộng thỏa mãn các điều kiện V1 đến V4.
V1. v + u = u + v ∀ v, u ∈ V (luật giao hoán)
V2. v +(u + w)= (v + u)+ w ∀ v, u, w ∈ V (luật kết hợp)
V3. ∃ 0 ∈ V : v + 0 = v ∀v ∈V
V4. Đối với mỗi v ∈ V ∃ (-v) ∈ V sao cho v + (-v) = 0


* Phép nhân với vô hướng: ∀ u ∈ V, c ∈ ! → cu ∈ V.
Phép nhân thỏa mãn các điều kiện V5 đến V8.
V5. 1v = v ∀ v ∈V
V6. (ab)v = a(bv) ∀ a, b ∈R và ∀v ∈V (luật kết hợp)
V7.a(v + u)=av+au ∀a∈R, ∀v,u∈V (luật phân phối phải)
V8.(a + b)v = av + bv ∀a, b∈R,∀v ∈V (luật phân phối
trái)


CHÚ Ý: Gọi 0 là vectơ-không, gọi -v là vectơ đối của v
VD4.1.1 Cho V = {(x, 1) | x ∈ ! } với phép cộng và phép
nhân với vô hướng quen thuộc.
Chứng minh V không phải là

không gian vectơ.


VD4.1.2 Cho ! 2 = V = {(x, y) | x,y ∈ ! } với phép cộng và
phép nhân với vô hướng.
Chứng minh: V là một không gian vectơ


VD4.1.3 F(U) =

{f |

f :U → !} l

Phép cộng: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x∈U, f và g ∈ F(U)
Phép nhân : (af )(x) = af(x) ∀x∈U, a ∈R, f∈ F(U)
Khi đó F(U) là một không gian vectơ.


TÍNH CHẤT Đối với không gian vectơ V
1) Vectơ-không là duy nhất.
2) Với mọi vectơ u, vectơ đối của u là duy nhất.
3) Nếu u + w = v + w, thì u = v (luật giản ước)
Nếu u + w = v, thì u = v - w (luật chuyển vế)
4) 0u = 0 và x0 = 0.
5) Nếu xu = 0 thì hoặc x = 0 hoặc u = 0.
6) (-x)u = x(-u) = -(xu). Đặc biệt (-1)u = -u.


4.2 ¡ KHÔNG GIAN VECTƠ CON

Mặt phẳng P2

Mặt phẳng P1


ĐỊNH NGHĨA 4.2.1 Cho không gian vectơ thực V. Nếu
W ≠ ∅, W ⊂ V và thỏa mãn:
(i) cv ∈ W ∀v ∈W và ∀ c ∈ !
(ii) v + u ∈ W ∀ v và u ∈ W
thì W được gọi là một không gian (vectơ) con của V.


Chú ý
(1) Mọi không gian con của V đều chứa vectơ-không
của V.
(2) Z = {0} (không gian-không) và V là hai không gian
con của V.
(3) Có thể gộp hai điều kiện này lại thành:
∀ v và u ∈W, x và y ∈ ! thì xv + yu ∈W.


3

VD4.2.1 Cho P1 = {(x, y, 0)| x, y ∈ ! } ⊂ ! . Chứng
minh là P1 là một không gian con của !

3

3

VD4.2.2 Cho P2 = {(x, y, 1)| x, y ∈ ! } ⊂ ! . Chứng
minh là P2 không là một không gian con của !

3


4

VD4.2.3 W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! | x3 = x1 + x2 , x1 = x4 }
4

có phải là một không gian con của không gian vectơ ! ?


4.3 BỐN KHONG GIAN CON
LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN

ĐỊNH NGHĨA 4.3.1 Cho A là ma trận m×n, có các vectơ
cột cj (j = 1,..., n). Khi đó không gian cột của A là
C(A) ={ b : b = Ax }
= { b : b = x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xncn | xj ∈R }


⎡1 0 ⎤
⎡1 ⎤
⎡0 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢
⎥

VD4.3.1 Ax = 4 3 ⎢ ⎥ = x1 ⎢4⎥ + x2 ⎢3⎥ .
⎢
⎥ ⎣ x2 ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣2 3⎥⎦
⎢⎣2⎥⎦
⎢⎣3⎥⎦
3

C(A) là một mặt phẳng trong R với cặp vectơ chỉ
phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3).


Định lý 4.3.1 Nếu A là ma trận m×n, thì C(A) là một
m

không gian con của R .
Chứng minh
n

Nếu v, u ∈C(A), thì ∃ x và y ∈R sao cho v = Ax, u =
Ay.
Với t và s ∈R, thì tv + su = tAx + sAy = A(tx +sy),nên tv
+ su thuộc C(A). Do đó C(A) là một không gian con. J


ĐỊNH NGHĨA 4.3.2 Không gian nghiệm của A là
N(A) ={ x: Ax = 0 }
VD4.3.2

⎡ x ⎤
1
⎡
⎤
⎢
⎥ = 0
Ax = 1 1
⎣
⎦⎢ x ⎥
⎣ 2 ⎦
N(A) là một đường thẳng trong
2

R đi qua gốc toạ độ.


Định lý 4.2.2 Nếu A là ma trận m×n, thì N(A) là một
n

không gian con của R .
Chứng minh
∀ v và u ∈N(A), với mọi vô hướng a và b, thì
A(av + bu) = aAv + bAu = a0+b0 = 0,
nên av + bu cũng thuộc N(A). Do đó N(A) là một không
gian con J


T

ĐỊNH NGHĨA 4.2.3 C(A ) là không gian hàng của A,
T

N(A ) là không gian nghiệm bên trái của A.
VD4.3.3

Hãy mô tả không gian hàng và không gian

nghiệm trái của các ma trận:

⎡1 2⎤
a) A = ⎢
;
⎥
⎣3 6⎦

⎡ 1 2 ⎤
b) B = ⎢
⎥
⎣ −2 5 ⎦


T

Định lý 4.2.3 Nếu A là ma trận m×n, thì C(A ) là một
n

T

không gian con của R và N(A ) là một không gian con

m

của R .


NHỮNG Ý CHÍNH
1. Không gian vectơ thực.
2. Không gian con.
3. Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận A:
T

T

C(A), N(A), C(A ), N(A ).