Bai 05 DABTTL cac van de ve goc phan 02

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hình h c không gian

CÁC V N
V GÓC (PH N 02)
BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các v n đ v góc (Ph n 02) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c
tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA
 (ABCD). G i M, N l n l t là trung đi m c a SA và SB.
a) Ch ng minh r ng các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc h p b i các m t ph ng (SCD) và (ABCD).
Gi i:
a) Ch ng minh r ng các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông.

SA  AB
SA   ABCD   

 các tam giác SAB, SAD vuông t i A
SA  AD
T ng t :
 BC  AB
 BC  SB  SBC vuông t i B

 BC  SA
CD  AD
 CD  SD  SDC vuông t i D

CD  SA
b) Tính góc h p b i các m t ph ng (SCD) và (ABCD).
(SCD)  ( ABCD)  CD
AD  ( ABCD), AD  CD , SD  ( SCD), SD  CD
Suy ra:

 ( SCD), ( ABCD)   SDA;

cos SDA 

AD a 3
21


SD a 7
7

21
7
Bài 2: Cho t di n S.ABC có SA, SB, SC đôi m t vuông góc và SA = SB = SC.

G i I, J l n l t là trung đi m AB, BC. Tính góc gi a 2 m t ph ng (SAJ) và (SCI)
Gi i:
Do SA = SB = SC  AB = BC = CA  tam giác ABC đ u
Trong tam giác ABC, g i H là giao c a SJ và CI.
Khi đó H v a là tr ng tâm v a là tr ng tâm c a tam giác ABC
Ta có (SAJ)  ( SCI )  SH ,
  ( SCD), ( ABCD)   SDA  ar cos

do đó, đ xác đ nh góc gi a 2 mp (SAJ) và (SCI),
tr c tiên ta xác đ nh mp vuông góc v i SH
Ta có : AH  BC (1) do tam giác ABC đ u
L i có SA, SB, SC đôi m t vuông góc nên SA  (SBC)  SA  BC (2)
T (1) và (2) ta đ c BC  (SAH) suy ra BC  SH (*)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

T

ng)

Hình h c không gian

ng t ta c ng có

 AB  CH
 AB  CH

 AB  (SCH )

SC  (SAB)  AB  SC
Hay AB  SH (**)
T (*) và (**) suy ra SH  (ABC)
( ABC )  (SAJ)  AJ
Mà 
 ((SAJ),( SCI ))  (AJ, CI )
( ABC )  (SCI )  CI
Do tam giác ABC đ u nên CHJ  900  HCJ  900  300  600
V y (( SAJ), ( SCI ))  (AJ, CI )  CHJ  600
Bài 3: Cho hình vuông ABCD c nh a, d ng SA  a 3 và vuông góc v i (ABCD). Tính góc gi a các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Gi i:
a. G i O là giao đi m c a AC và BD
a 2
2
Khi đó (SAB)  ( ABC )  AB

Suy ra: AO  AC 

 AB  SA

Ta có : 
 AB  (SAD)
 AB  AD
( SAD)  ( SAB)  SA
M t khác 
 (( SAB),( ABC ))  ( SA, AD)  SAD  900
(
)
(
)


SAD
ABC
AD

b. (SBD)  ( ABD)  BD
 BD  SA
Ta có 
 BD  (SAC )
 BD  AC
(SAC )  (SBD)  SA
M t khác 
 ((SBD),( ABD))  (SO, AO)  SOA
(SAC )  ( ABD)  AO
Trong tam giác vuông SOA ta có:

SA a 3

 6  (( SBD),( ABD))  arctan 6

AO a 2
2
c. (SAB)  (SCD)  Sx / / AB / /CD
tan SOA 

Mà AB  (SAD)  Sx  (SAD)

( SAD)  (SAB)  SA
Do 
 ((SAB),( SCD))  ( SA, SD)  ASD
( SAD)  (SCD)  SD
AD
a
1


 ASD  300  (( SAB), ( SCD))  300
Trong tam giác vuông ASD: tan ASD 
SA a 3
3
Bài 4: Cho hình l p ph ng ABCDA’B’C’D’ c nh a. G i E, F, M l n l t là trung đi m c a AD, AB,
CC’. G i  là góc gi a (ABCD) và (EFM). Tìm cos
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hình h c không gian

Bài gi i:
G i I là giao đi m c a EF v i AC=> góc   MIC vì IC  EF , IM  EF
IC 2  IM 2  CM 2
2 IC.IM
a
3
3
3
AB2  BC 2  a 2, CM 
c ó IC  AC 
4
4
4
2
a 11
có tam giác MIC vuông=>IM= IC 2  CM 2 
2 2
2
a
9
11
.2.a 2  a 2 
8

4 = 3 11
 Cos   16
11
a 11
3
2. a 2.
4
2 2

Cos  =

áp s :

3 11
11

Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông v i AB//CD, AB =2a; CD = a, đ

ng cao AD

= a. Gi s SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và SA = a 2 . Tìm góc gi a hai m t ph ng (SBC) và
(SCD).
H ng d n gi i:
T C ta k CN, CM l n l

t là các đ

ng vuông góc v i SD, SB. Khi đó góc gi a 2 mf (SDC) và

(SBC) là góc NCM . Ta đi tính các c nh CM,CN,MN

+ c nh CN:
Có SA  ( ABCD)  SA  AB, AC, AD
SD  a 3, SC  2a , SD  a 6

S d ng đ nh lý Cos cho góc DSC trong tam giác DSC=> Cos DSC
=>NC= sin DSC . SC
+ C nh CM t ng t
+ C nh MN:
-

Tính c nh DB=>Cos DSB

-

Tính NS = Cos DSC . SC

-

Tính SM = Cos BSC . SC



MN 2  SN 2  SM 2  2SN.SM.CosDSB


 CosNCM 

áp s : arccos

CN 2  CM 2  MN 2

2.CN.CM

6
3

Bài 6: Cho hình vuông ABCD c nh a, d ng SA  a 3 và vuông góc v i (ABCD). Tính góc gi a các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hình h c không gian

a. G i O là giao đi m c a AC và BD
a 2
2
Khi đó (SAB)  ( ABC )  AB

Suy ra: AO  AC 

 AB  SA
Ta có : 
 AB  (SAD)
 AB  AD
( SAD)  ( SAB)  SA
M t khác 
 (( SAB),( ABC ))  ( SA, AD)  SAD  900
( SAD)  ( ABC )  AD
b. (SBD)  ( ABD)  BD

 BD  SA
Ta có 
 BD  (SAC )
 BD  AC
(SAC )  (SBD)  SA
M t khác 
 ((SBD),( ABD))  (SO, AO)  SOA
(SAC )  ( ABD)  AO
Trong tam giác vuông SOA ta có:

SA a 3

 6  (( SBD),( ABD))  arctan 6
AO a 2
2
c. (SAB)  (SCD)  Sx / / AB / /CD
tan SOA 

Mà AB  (SAD)  Sx  (SAD)

( SAD)  (SAB)  SA
Do 
 ((SAB),( SCD))  ( SA, SD)  ASD
( SAD)  (SCD)  SD
Trong tam giác vuông ASD: tan ASD 

AD
a
1


 ASD  300  (( SAB), ( SCD))  300
SA a 3
3

Bài 7 (t gi i): Cho đi m M ngoài m t ph ng (P). K MA vuông góc v i (P) v i MA = a và cho B,C là
hai đi m thu c (P) sao cho MB vuông góc v i MC và c hai đ ng th ng MB và MC cùng t o v i (P) góc
là 30o .
a) Tính đo n BC .
b) Tính góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (MBC) .
áp s :

a) BC  2a 2

b) [(ABC),(MBC)] = 45o

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph

Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -