Bai 06 DABTTL cac van de ve goc phan 03

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC V N

ng)

Hình h c không gian

V GÓC (PH N 03)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các v n đ v góc (Ph n 03) thu c khóa h c Luy n
thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c
tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, tâm O. C nh SA = a và
SA  (ABCD). G i E, F l n l t là hình chi u vuông góc c a A lên các c nh SB và SD.
a) Ch ng minh BC  (SAB), CD  (SAD).
b) Ch ng minh (AEF)  (SAC).
c) Tính tan  v i  là góc gi a c nh SC v i (ABCD).
Gi i:
a. Vì SA  ( ABCD)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB)

SA  ( ABCD)  SA  CD, CD  AD  CD  (SAD)

b. SA  ( ABCD), SA  a , các tam giác SAB, SAD vuông cân

 FE là đ ng trung bình tam giác SBD  FE  BD
BD  AC  FE  AC, SA  ( ABCD)  BD  SA FE  SA
FE  (SAC ), FE  ( AEF )  (SAC )  ( AEF )
c. SA  ( ABCD) nên AC là hình chi u c a SC trên (ABCD)    SCA

 tan  

SA
a
1
2
2



   arctan(
)
AC a 2
2
2
2

Bài 2: Cho hình chóp S .ABCD co SA  (ABCD), đay ABCD la hinh vuông c
AH, AK lân l t la đ ng cao cua các tam giác SAB và SAD.
1) Ch ng minh :  SAD ;  SDC là nh ng tam giác vuông.
2) Ch ng minh: AK  (SDC) ; HK  (SAC)
3) Tính góc gi a đ ng th ng SD và m t ph ng (SAC).
Gi i:

1). C/m:  SAD là tam giác vuông.
Ta có : SA  (ABCD) ; AD  (ABCD)
S
 SA  AD
  SAD vuông t i A.
K
C/m:  SDC là tam giác vuông.
H
Ta có : SA  (ABCD) ; DC(ABCD)
A
 DC  SA
DC  AD (do ABCD vuông)
o
 DC  (SAD)
B
C
SD  (SAD)
 DC  SD   SDC vuông t i D.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

nh a ; SA = a 6 . G i

D

- Trang | 1 -

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

2). C/m: AK  (SDC)
Ta có: DC  (SAD) ; AK  (SAD)
 AK  DC
AK  SD
(gi thi t)
 AK  (SDC) (đpcm)
C/m: HK  (SAC)
Ta có :  SAB =  SAD (c-g-c) SB=SD
Mà H, K là hình chi u c a A lên SB, SD
SH SK


SB SD
 HK // BD
(1)
Xét tam giác cân SBD
OB=OD (O là tâm hvuông ABCD)
(2)
SO  BD
T (1),(2)  HK  SO (*)
M t khác:
AO  BD (3)
T (1),(3)  HK  AO (**)

T (*),(**)
HK  (SAO)
Hay HK  (SAC) (đpcm)
3). Tính góc gi a SD và mp (SAC).
Ta có: SO  OD
 SO là hình chi u c a SD trên mp (SAC)
 góc gi a SD và mp (SAC) là góc h p b i SD và SO.
DO=

2
a , SD= 7a
2

2
a
DO
1
 2 
Sin DSO =
SD
7a
14

1
14
Bài 3: Cho hình chóp đ u S.ABCD, đáy có c nh b ng a và có tâm O. G i M,N l n l t là trung đi m
SA;BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 600.Tính MN, SO, góc gi a MN và m t ph ng (SAO)
Gi i:
G i P là trung đi m AO. Khi đó MP // SO và SO  (ABCD).
Do đó (MN;(ABCD)) =  MNP = 600

Trong  NCP , theo đ nh lý hàm s Cosin ta có:

V y DSO = arcsin

NP 2  CN 2  CP 2  2CN.CP .cos450
2

a2  3
a 3
2

   a 2   2. . a 2.
4 4
2 4
2

a 2 18a 2 12a 2 10 2
 

 a
4
16
16
16

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

PN
Trong tam giác vuông MNP ta có MN 

cos600

ng)

Hình h c không gian

a 10
4  a 10  a 5
1
2
2
2

a 10
a 30
a 30
. 3
 SO  2 MP 
4
4
2

G i H là trung đi m OC. Suy ra NH // BD mà BD  (SAC), do đó (MN;(SAC)) =  NMH.

và PM  PN.tan 600 

1
a 2
5
, MN  a
. Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có
Ta có NH  OB 
2
4
2
NH
1
sin NHM 

MN 2 5

V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) là 1 góc có giá tr  th a mãn sin  

1

;0   



.
2
2 5

Bài 4: Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a n m trong 2 m t ph ng vuông góc. G i I là
trung đi m AB. CMR: SI  (ABCD) và tính góc h p b i SC v i (ABCD)
Gi i:
S d ng tính ch t 2 mp vuông góc ta có:
 SI  ( SAB)

( SAB)  ( ABCD)  AB  SI  ( ABCD)
 SI  AB

Khi đó, I là hình chi u c a S lên (ABCD) suy ra SC có hình chi u lên (ABCD) là IC
 (SC,( ABCD))  ( SC, IC )  SCI ( do tam giác SIC vuông t i I nên góc SCI là góc nh n)

SI là đ

ng cao c a tam giác đ u ABC nên SI 

a 3
2

Trong tam giác vuông ICB:
a2
a 5
 a2 
IC  IB  BC 
4
2
2

2

a 3
SI
3
15
 tan SCI 
 2 

CI a 5
5
5
2

V y ( SC , ( ABCD))  SCI  arctan(

15
)
5

Bài 5. Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a

trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau.

G i O là trung đi m c a c nh AB.
1. Tìm góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD)
2. Tìm góc gi a SO và m t ph ng (SCD)
3. Tìm góc gi a SC, SD và m t ph ng (SAB)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài gi i:
1. G i O là trung đi m c a AB=> SO vuông góc v i m t ph ng (ABCD)
góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD) l n l t là các góc
SAB  600 , SBA  600 , SCO, SDO

OC  BC 2  OB2  a 2 

a2
5
a
4
4

a2
3
a
SO  SB  OB  a 
4
4

2

2

 tan SCO 

SO
15

OC
5

 SCO  arctan(
T
2. T

2

ng t ta tính đ

15
)
5
c SDO  arctan(

15
)
5

OK vuông góc v i DC => góc gi a SO và m t ph ng (SCD) là góc:

O k


3 2 3
OK
 a :  a

3
SO
4 

2 3
 OSK  arctan 

 3 

OSK  tan OSK 

3. T ng t nh ý : ta có góc gi a SC, SD v i m t ph ng (SAB) l n l

t là các góc:

OSC  OSD  450
Bài 6 (t gi i): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh là a . K SA vuông góc v i
(ABCD) và SA  a
a) Tính góc gi
b) Tính góc gi
c) Tính góc gi
áp s :

2 .
a SC và (ABCD) .
a SC và (SAB) .
a SC và (SBD) .

a) [SC,(ABCD)] = 45o

b) [SC,(SAB)] = 30o

c) [SC,(SBD)] = arcsin

1
10

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 4 -