DABTTL mat cau phan 01

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

M T C U (PH N 01)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng M t c u (Ph n 01) thu c khóa h c Luy n thi Qu c
gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr c
Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  ( ABCD) , SB  a 3 .
a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
b) Ch ng minh trung đi m c a SC là tâm m t c u đi qua các đi m S, A, B, C, D.
S
Gi i:
a)
1
VS. ABCD  dt  ABCD  .SA
3
1
1
 a 2 .SA  a 2 . SB2  AB2

3
3
A

D

3

1
a 2
 a 2 . 2a 2 
3
3
b) Ta có:
SA  AC, CB  SB, CD  SD

B
C

Nh v y 3 đi m A, B, D cùng nhìn SC c đ nh d i m t góc vuông nên chúng cùng n m trên m t c u
đ ng kính SC. Do đó tâm m t c u đi qua các đi m S, A, B, C, D (m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD)
là trung đi m c a SC.
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân t i A, m t bên (SBC) vuông góc v i (ABC),
SA = SB = AB = AC = a.
a) Ch ng minh r ng tam giác SBC vuông.
b) Tính di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC bi t r ng SC  a 2
S
Gi i:
a) G i I là trung đi m SC, H là trung đi m BC.

( ABC )  ( SBC )  BC


  AH  (SBC )
AH  ( ABC ), AH  BC 
 AH  SC
Tam giác SAC cân t i A  AI  SC
SC  AH 
  SC  ( AHI )  SC  HI
SC  AI 
HI / / SB 
  SB  SC  SBC vuông t i S.
HI  SC 
Ta có:

E
I
B
A
O
H

C

b) Do tam giác SBC vuông t i S suy ra AH là tr c c a đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng tròn ngo i ti p tam giác SBC.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

- G i E là trung đi m SA, qua E d ng m t ph ng trung tr c c a SA. M t ph ng này acwts tr c AH t i O
suy ra O là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC, bán kính m t c u này là R = OA.
Ta có hai tam giác vuông AOE và tam giác ASH đ ng d ng



.
OA AE
SAAE
SA2
a2

 OA 


2 AH 2 AI 2  HI 2
SA AH
AH

2

2
a 2
a2
1

2
Mà AI  SA  SI  SA   SC   a  
 
2
2

 2 
2

HI 

2

2

2

a
a2
1
SB   HI 2 
2
2

4

V y OA 

a2
a2 a2

2
2 4

 a  di n tích xung quanh c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC là

S  4. R2  4 .OA2  4 a 2
Bài 3: Cho chóp t giác đ u S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a, ASB   . Tính th tích
c a kh i c u gi i h n b i m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD theo a và  .
Gi i:
G i O là giao đi m c a AC và BD  SO  ( ABCD)  SO là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p hình vuông
ABCD.
- G i I là trung đi m c a SA, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a SA. M t ph ng này c t tr c SO t i E
nên E là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD, bán kính m t c u này là R = ES.
Ta có hai tam giác vuông SOA và SIE đ ng d ng nên
SA2
ES SI
AS.SI

 ES 

AS SO
SO
2.SO

G i M là trung đi m AB. Khi đó ta có : sin


2



AM
AM
a
 SA 



SA
sin
2sin
2
2

S



2
2
2
2
 a 2  a  2a .sin 2

a
2
2
2
SO  SA  AO 


  2 

4sin 2
4sin 2
2
2
2

a2
a cos

2  
cos  SO 

1  2sin




2  4sin 2
4sin 2 
2sin
2

2
2

I

a2

 ES 

SA2
a2
a cos
a
:




2SO 4sin 2 
sin
4sin
cos
2
2
2

E

O

ng chung c a h c trò Vi t

M

C
B



4
4
4
a
V y th tích kh i c u là : V   .R3   .(ES)3   . 
3
3
3  4sin  cos

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

A

D








3

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 4 : Cho t di n ABCD có AB = AC = BC = BD = a, AD  a 2; ( ACD)  ( BCD )
a) Ch ng minh tam giác ACD vuông
b) Tính di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD.
Gi i:
a) G i H là trung đi m CD, vì tam giác BCD cân t i B  BH  CD

B

( BCD)  ( ACD)  CD 
  BH  ( ACD)
BH  ( BCD), BH  CD 

I

Ta có hai tam giác vuông BHC  BHA HC  HA

1
  900
C
Xét tam giác ACD có : AH  HC  CD  CAD
2
t c tam giác CAD vuông t i A.
b) BH là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ACD
- G i I là trung đi m BD, qua I d ng m t ph ng trung tr c c a BD.
M t ph ng này c t tr c BH t i O suy ra O là tâm m t c u ngo i ti p t di n ABCD.
Bán kính R = OB
Ta có BIO đ ng d ng BHD 



Do đó: OB 

3a 2
2 a 
4

A

OB BI
DB.BI
DB2
a2
a2

 OB 




DB BH
BH
2.BH 2 BD2  DH 2 2 a 2  DH 2

M t khác : Tam giác ACD vuông t i A  CD  a 2  a 2

a2

D

H



2

1
a 3
 a 3  DH  CD 
2
2

a

2

V y di n tích m t c u ngo i ti p t di n ABCD là: S  4 R2  4 .OB2  4 .a 2
Bài 5: Cho hình l ng tr đ u ABC.A’B’C’ có t t c các c nh đ u b ng a

a) Tính di n tích xung quanh c a m t c u đi qua 6 đi m A, B, C, A’, B’, C’ (m t c u ngo i ti p hình l ng
tr ).
b) G i E là trung đi m c a A’B’. Xác đ nh tâm và bán kínhAm t c u ngo i ti p t di n ABCE.
C
Gi i:
G
a) G i G và G’ l n l t là tr ng tâm
H
c a các tam giác đ u ABC và A’B’C’
B
- G i O là trung đi m GG’, khi đó d th y:
K
I
OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’
O
 O là tâm m t c u ngo i ti p hình l ng tr .
Do đó bán kính m t c u ngo i ti p hình l ng tr là:
A'
2

7a 2
a 2 a 3
R  OA  OG  GA      .
 
G'
12
2 3 2 
E
b) G i H là trung đi m AB,
B'

I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác cân EAB
- Qua I k  // CH    ( EAB)   là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác EAB.
2

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

C'

2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

BÀI T P THAM KH O THÊM
Bài 1: Cho hai m t ph ng (P) và (Q) vuông góc v i nhau có giao tuy n là đ ng th ng  . Trên  l y 2
đi m A, B v i AB = a. Trong m t ph ng (P) l y đi m C, trong m t ph ng (Q) l y đi m D sao cho AC, BD
cùng vuông góc v i  và AC = BD = AB. Tính bàn kính m t c u ngo i ti p t di n ABCD và tính
kho ng cách t A đ n m t ph ng (BCD) theo a.

Gi i:
Vì ( P )  (Q) và CA   nên CA  (Q)  CA  AD.
T ng t BD  BC, nên các đi m B, A cùng nhìn đo n CD d i m t góc vuông, do đó m t c u ngo i ti p
CD
t di n ABCD có tâm là trung đi m CD và có bán kính R 
.
2
Áp d ng pitago cho các tam giác ABD, ACD
P
D
ta có:
1
1
3a
AC 2  AD 2 
AC 2  AB2  BD 2 
.
2
2
2
K AH  BC thì H là trung đi m c a BC
(Do tam giác ABC vuông cân t i A).
R

1
1
2a
AC 2  AB2 
Ta có: AH  BC 
.

2
2
2
Vì BD  (ABC)  BD  AH
nên AH  (CBD).

V y d(A, (BCD)) = AH 

H

G
A
F

Q

2a
.
2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a, BAD  600 và các c nh bên SA = SB
= SD. Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD bi t BSD  900 .
S
Gi i:
G i O là giao đi m c a 2 đ ng chéo c a hình thoi ABCD.
Theo bài ra ta có tam giác ABD là tam giác đ u c nh a
 BD = a. Mà tam giác SBD vuông t i S
2a
a
; SO  .

2
2
G i H là hình chi u c a S trên m t đáy thìH là tâm đ ng tròn
ngo i ti p tam giác ABD (do các c nh bên SA = SB = SC).
Ta có:

I

nên SB = SD 

D
C
K
H

O

A
6a
6a
, SC  SH 2  HC 2 
SH  SO  OH 
B
6
2
G i K là tâm c a tam giác đ u BCD thì K là trung đi m c a HC, tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCD
đi qua K và song song v i SH nên là trung tr c c a HC c t SC t i đi m I. Ta có I là trung đi m c a SC
nên IS = IC, do đó I chính là tâm m t c u ngo i ti p hình t di n SBCD.

2

2

Bán kính c a m t c u là R 

Hocmai.vn – Ngôi tr

1
6a
SC 
2
4

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A, D, AB = AD = a, CD = 2a. C nh bên SD
 (ABCD) và SD = a. G i E là trung đi m c a DC. Xác đ nh tâm và tính bán kính m t c u ngo i ti p
hình chóp S.BCE.
Gi i:

Vì AB = DE = AD = a và DBA 1v nên ABED là hình vuông. Tam giác BCD có EB = ED = EC = a
nên vuông t i B, BE  CD nên trung đi m M c a BC là tâm đ ng trong ngo i ti p tam giác EBC.
D ng  là tr c đ ng tròn ngo i ti p tam giác EBC thì  song song v i SD.
D ng m t ph ng trung tr c c a c nh SC, m t ph ng đó c t  t i I.
i m I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.BCE.
K SN // DM c t MI t i N, ta có SDMN là hình ch nh t v i SD = a và
DM 2 

BD 2  DC 2 BC 2 AB2  AD 2  DC 2 EC 2  EB2 5a 2




2
4
2
4
2
S

Ta có :

N

5
SI2 = SN2 + NI2 = SN2 + (NM – IM)2 = a 2  (a  IM )2
2

I

a2
Mà IC = IM + MC = IM 
2
Và R = IC = IS nên
2

2

2

2

J

a2
5a 2
3
2
2
 (a  IM )  IM 
 IM  a
2
2
2
V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.BEC là

R  IM 2 

a 2 a 11


2
2
.

D

E

C

M
A
B

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -