DABTTL cuc tri ham trung phuong

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

C C TR HÀM TRÙNG PH
NG
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng C c tr hàm trùng ph ng thu c khóa h c Luy n thi
Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c
tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ
y

Bài 1: Cho hàm s

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

4

x
 (3m  1) x2  2(m  1)

4

Tìm m đ đ th hàm s có 3 đi m c c tr l p thành m t tam giác có tr ng tâm là g c t a đ .
Gi i:

y '  x3  2(3m  1) x  x  x2  2(3m  1) 
đ th hàm s có 3 đi m c c tr thì ph

ng trình y '  0  x  x2  2(3m  1)   0 ph i có 3 nghi m

phân bi t  x2  2(3m  1)  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x  0 .

  8(3m  1)  0
1
 2
 m 
3
0  2(3m  1)  0
x  0
y'  0  
 các đi m c c tr c a hàm s là:
 x   6m  2



 

A(0; 2m  2); B  6m  2; 9m2  4m  1 ; C



6m  2; 9m2  4m  1 .

O(0; 0) là tr ng tâm c a tam giác ABC ta ph i có:

 0  6m  2  6m  2
2

m   (lo i)
0


3
3
 18m2  6m  4  0  

2
2
m  1
 2m  2  9m  4m  1  9m  4m  1  0

3

3
áp s : m 

1
.
3

Bài 2: Cho hàm s

y  x4  2mx2  m2  m (1). Tìm m đ đ th hàm s (1) có 3 đi m c c tr t o thành

m t tam giác có 1 góc b ng 1200.
Gi i:
y '  4 x3  4mx  4 x( x2  m)

đ th hàm s (1) có 3 c c tr (có C , CT) thì ph

ng trình y’=0  4 x( x2  m) ph i có 3 nghi m

phân bi t.

 x2  m  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x  0 .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

  4m  0
 2
 m 0
0  m 
x  0
V i m < 0  y'  0  
 t a đ các đi m c c tr c a đ th hàm s là:
x
m







 

A(0; m2  m); B  m; m ; C



m; m

Do A thu c tr c tung Oy còn B và C đ i x ng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân t i A b i v y tam
giác ABC có 1 góc 1200 khi và ch khi BAC  1200 .
 
1
AB. AC
0

 cosBAC  cos120     
2
AB AC






 m,  m  . 
m, m2 .
2

 1 
2
 m,  m 

m, m2

2

 m2  m4
m  m . m  m
4

4



1

2

 2(m  m4 )   (m4  m)2  2(m  m4 )  (m4  m)  3m4  m  0
(lo i)
m  0

m   1
3

3
Bài 3: Cho hàm s : y  x4  2(1  m) x2  2
Tìm m đ đ th hàm s có 3 đi m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng 32.
Gi i:
y '  4 x3  4(1  m) x  4 x( x2  1  m)

đ th hàm s có 3 đi m c c tr thì ph

ng trình y '  4 x( x2  1  m)  0 ph i có 3 nghi m phân bi t

 m1
x  0
V i m < 1 thì y '  0  
 các đi m c c tr là:
x   1 m



 

 A(0; 2); B  1  m; 2  (1  m)2 ; C

1  m; 2  (1  m) 2



G i H là trung đi m c a BC  H (0; 2  (1  m) 2 )

SABC  32 

1
BC. AH  32  1  m.(1  m) 2  32
2

 (1  m)5  322  45  1  m  4  m  3 (th a mãn)

áp s : m = -3.
Bài 4: Cho hàm s : y  x4  2m(m  1) x2  m  1
Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u và các đi m c c tr t o thành m t tam giác vuông cân.
Gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

y '  4 x3  4m(m  1) x  4 x( x2  m2  m)

hàm s có C , CT thì y '  4 x( x2  m2  m)  0 ph i có 3 nghi m phân bi t  m  0  m  1
Các đi m c c tr là A(0; m  1); B



 



m2  m; m2 (m 1)2  m  1 ; C  m2  m; m2 (m 1)2  m  1

 
1 5
(th a mãn)
Tam giác ABCvuông cân  AB. AC  0  m 
2

áp s : m 

1 5
.
2

Bài 5: Cho hàm s : y  ( x  m) 2 ( x  1) 2 . Tìm m đ đ th hàm s có 3 đi m c c tr t o thành 3 đ nh c a

m t tam giác đ u.
Gi i:
y '  2( x  m)( x  1) 2  2( x  1)( x  m) 2  2( x  m)( x  1)(2 x  m  1)


x  m

y'  0  x  1

m 1
x 

2
- N u m = 1 thì đ th ch có 1 đi m c c tr là A(1; 0).
 m  1  m  1 4 
;
- N u m  1 thì đ th s có 3 đi m c c tr là: A(1;0); B(m;0); C 
 2  2  



 m 1   m 1 
 m 1   m 1 
2
Ta có: AB  (m  1) ; AC  
 
 ; BC  
 

 2   2 

 2   2 
2

2

2

8

2

8

2

 m 1   m 1 
Do đó tam giác ABC đ u  AB  AC  BC  (m  1)  
 

 2   2 
2

2

2

2

8

2

 (m  1) 6  26.3  m  1  2 6 3 .

Bài 6: Cho hàm s : y  x4  2(m2  1) x2  1. Ch ng minh r ng: v i m i m đ th hàm s luôn có 3 đi m
c c tr . V i giá tr nào c a m thì kho ng cách t đi m c c đ i đ n đ

ng th ng đi qua 2 đi m c c ti u c a

đ th hàm s nh nh t.
Gi i:
y '  4 x3  4(m2  1) x  4 x( x2  m2  1)

Xét ph

x  0
ng trình: y '  0  4 x( x2  m2  1)  0  
2
 x   m  1

Ta th y y’= 0 luôn có 3 nghi m phân bi t v i m i m. Ch ng t v i m i m đ th hàm s luôn có 3
đi m c c tr .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

-

x
y’

- m2  1
-

0

ng)

Hàm s

+

+

m2  1

0
0

-

0

+

1
y

1  ( m2  1) 2

1  ( m2  1) 2

 



Các đi m c c tr là: c c đ i A(0; 1); c c ti u B  m2  1;1  (m2  1)2 ; C
Ph

ng trình đ

m2  1;1  (m2  1)2



ng th ng BC là: y  1  (m2  1) 2

d ( A; BC )  1  (1  (m2  1)2  (m2  1)2  1
Do đó d(A, BC) nh nh t (d u “=” x y ra) khi m = 0.
V y v i m = 0 thì d(A, BC) nh nh t.
Bài 7: Cho hàm s : y  mx4  (m  1) x2  1  2m . Tìm m đ đ th hàm s ch có 1 đi m c c tr .
Gi i:

N u m = 0 thì y   x2  1

 y '  2 x, y '  0  x  0 . Nên hàm s ch có m t đi m c c tr .
V y v i m = 0 th a mãn.
N u m  0 thì y '  4mx3  2(m  1) x  2 x(2mx2  m  1) .

đ th hàm s ch có c c tr thì y’ = 0 ch

có 1 nghi m  2mx2  m  1  0 ph i vô nghi m ho c có nghi m kép x  0 .
   8m(1  m)  0

  8m(1  m)  0
 
 m  0, m  1

  0
0
m  1

  2m

áp s : m  0; m  1 .
Bài 8: Cho hàm s : y 

x4
3
 mx2  . Tìm m đ đ th hàm s ch có c c ti u mà không có c c đ i.
2
2

Gi i:
y '  2 x3  2mx  2 x( x2  m) . Do h s c a x4 d

ng nên đ th đi t trên đi xu ng d

i nên đ th ch

có c c ti u mà không có c c đ i.
Khi và ch khi y '  2 x( x2  m)  0 ch có 1 nghi m

 x2  m  0 vô nghi m ho c có nghi m kép x  0 .

m  0

 m 0
m  0
áp s : V i m  0 .
4
3
2
Bài 9: Cho hàm s y  x  mx  2x  3mx  1 (1) .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

y  x4  mx 3  2x 2  2mx  1 (1)
o hàm y /  4x3  3mx 2  4x  3m  (x  1)[4x 2  (4  3m)x  3m]

x  1
y/  0   2
 4x  (4  3m)x  3m  0
Hàm s có 2 c c ti u  y có 3 c c tr

(2)
 y/ = 0 có 3 nghi m phân bi t

  (3m  4)2  0
4
m .
 (2) có 2 nghi m phân bi t khác 1  
3
4  4  3m  3m  0
Gi s : V i m  

4
, thì y/ = 0 có 3 nghi m phân bi t x1 , x2 , x3

3

B ng bi n thiên:
x

x1

-

y/

-

y

0

x2
+

0

x3
-

0

C

+

CT

+
+
+

CT

T b ng bi n thiên ta th y hàm s có 2 c c ti u.

4
3

K t lu n: V y, hàm s có 2 c c ti u khi m   .
Bài 10: Cho hàm s : y  x4  2mx2  2m  m4 . Tìm m đ đ th hàm s có c c đ i, c c ti u và 3 đi m c c
tr đó l p thành m t tam giác đ u.
Gi i:
Các em làm t

ng t bài s 5.

áp s : m  3 3
Bài 11: Cho hàm s : y  (1  m) x4  mx2  2m  1 . Tìm m đ đ th hàm s đã cho có đúng 1 c c tr .
Gi i:
Các em tham kh o bài s 7.
áp s : m  0  m  1.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Bài 12: Cho hàm s y  x4  2mx2  m  1 (1) , v i m là tham s th c. Xác đ nh m đ hàm s (1) có ba
đi m c c tr , đ ng th i các đi m c c tr c a đ th t o thành m t tam giác có bán kính đ ng tròn ngo i
ti p b ng 1 .
áp s : m = 1 ho c m =

5 1
2

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -