Lý thuyết cực trị hàm trùng phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (887.52 KB, 6 trang )
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
1
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
Đà Nẵng, ngày 30/10/2012
CHƯƠNG 3: CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Hàm số: =
()
=
4
+
2
+
Ta có:
=
= 4
3
+ 2
= 0 <=> 2
2
2
+
= 0 <=>
= 0
2
=
2
(1)
A. Kiến thức cơ bản:
- Hàm số luôn nhận = 0 làm 1 điểm cực trị
- Hàm số có 1 điểm cực trị khi phương trình
= 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1)
có 2 nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm
<=>
2
= 0 <=> = 0 ( é 0)
2
< 0
hay
2
0
- Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình
= 0 có 3 nghiệm thì phương trình (1)
có 2 nghiệm phân biệt khác 0
<=>
2
> 0 khi đó ta có
= 0 <=>
= 0
=
2
=
2
- Luôn giả sử được tọa độ các điểm cực trị là
0;
,
1
;
1
, (
2
;
2
)
hoặc
0;
,
2
;
,
2
;
và tam giác ABC luôn cân tại A.
B. Một số câu hỏi thường gặp
1. Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực trị.
B1: Tính
=
= 4
3
+ 2
B2: Giải pt:
= 0 <=> 2
2
2
+
= 0 <=>
= 0
2
=
2
(1)
B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì
= 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2
nghiệm kép bằng 0, hoặc phương trình (1) vô nghiệm.
<=>
2
0
2. Tìm đk để đồ thị hàm số có 3 cực trị.
B1: Tính
=
= 4
3
+ 2
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
2
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
B2: Giải pt:
= 0 <=> 2
2
2
+
= 0 <=>
= 0
2
=
2
(1)
B3: Để đồ thị hàm số có 1 cực trị thì
= 0 có 1 nghiệm thì phương trình (1) có 2
nghiệm nghiệm phân biệt khác 0.
<=>
2
> 0
3. Tìm đk để đồ thị hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 2 và cần thêm điều kiện < 0
4. Tìm đk để đồ thị hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 2 và cần thêm điều kiện > 0
5. Tìm đk để đồ thị hàm số có cực tiểu mà ko có cực đại.
Bài toán quay trở về dạng B. 1 và cần thêm điều kiện > 0
6. Tìm đk để đồ thị hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu.
Bài toán quay trở về dạng B. 1 và cần thêm điều kiện < 0
7. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông tại đỉnh A
Khi đó ta có đk:
.
= 0
Trong đó:
=
2
;
và
=
2
;
Như vậy ta sẽ có:
.
= 0 <=>
2
+
2
= 0
Cách khác: Dùng định lý Pi-ta-go.
Ta có:
2
+
2
=
2
<=> 2
2
=
2
8. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần cạnh bên bằng cạnh đáy, hay =
=>
2
=
2
<=>
2
+
2
=
2
Trong đó:
=
2
2
+
2
và =
2
2
2
+
2
= 2
2
2
Cách khác:
Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc
= 60
0
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
3
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
Ta sẽ có:
cos
=
.
<=>
1
2
=
2
+
2
2
2
+
2
.
2
2
+
2
<=>
1
2
=
2
+
2
2
2
+
2
9. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có 1 góc bằng
120
0
.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Do tam giác ABC đã cân nên chỉ cần có thêm góc
= 120
0
Gọi (0;
) là trung điểm của .
Ta có: cos
=
<=> 60
0
=
<=> = 2<=>
2
= 4
2
Trong đó:
=
2
2
+
2
=
0 0
2
+
2
=
2
Như vậy ta có:
2
2
+
2
= 4
2
Cách khác:
Do tam giác ABC đã cân nên chỉ có thể góc
= 120
0
Ta sẽ có:
cos
=
.
<=>
1
2
=
2
+
2
2
2
+
2
.
2
2
+
2
<=>
1
2
=
2
+
2
2
2
+
2
10. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc
< 90
0
.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Xét 2 trường hợp xảy ra
+ TH1:
=
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
4
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
Ta có: cos
=
.
=
+ TH2:
, tức là
=
=
Ta sẽ tính được
như sau:
= 180
0
+
= 180
0
2
Khi đó: cos
=
.
=
180
0
2
Lưu ý: Các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc 90
0
thì có ngay
= .
11. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích
0
cho
trước.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi (0;
) là trung điểm của .
Khi đó diện tích tam giác ABC sẽ là:
=
1
2
. <=> 2
0
= . <=> 4
0
2
=
2
.
2
Trong đó:
=
2
2
2
+
2
= 2
2
2
=
0 0
2
+
2
=
2
Như vậy ta có:
4
0
2
=
2
.
2
12. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường
tròn ngoại tiếp R cho trước.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi (0;
) là trung điểm của
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:
=
4
<=> =
4
=
. .
4.
1
2
.
=
2
2
Trong đó:
=
2
2
+
2
=
0 0
2
+
2
=
2
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
5
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
Như vậy:
=
2
2
+
2
2
2
13. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có bán kính đường
tròn nội tiếp r cho trước.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi (0;
) là trung điểm của
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC:
= . <=> =
=
1
2
.
1
2
+ +
=
.
2+
Trong đó:
=
2
2
+
2
=
0 0
2
+
2
=
2
=
2
2
2
+
2
= 2
2
2
Như vậy ta có: =
2
.
2
2
2
2
+
2
+
2
2
14. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có trọng tâm
0;
cho trước.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Vì
0;
là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
=
+
+
3
=
+ 2
3
<=> 3
= + 2
15. Tìm đk để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn
ngoại tiếp đi qua điểm
;
cho trước.
B1: Tính
B2: Giải pt
= 0, tìm ra tọa độ 3 điểm
B3: Gọi
;
là tâm đường tròn ngoại tiếp
Chuyên đề Luyện thi ĐH-CĐ Hs: Nguyễn Xuân Nam
6
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246
Ta có:
2
=
2
2
=
2
2
=
2
Trong đó:
=
0
2
+
2
=
2
2
+
2
=
2
2
+
2
=
2
+
2
+
2
=
2
+
2
Tài liệu soạn gấp nên nếu có sai sót xin được các bạn góp ý thêm, thank!
Mình sẽ cố gắng cập nhật các dạng mới lạ cho các bạn, sẽ có bản cập nhật mới cho các bạn
khi có các dạng câu hỏi mới. Hẹn gặp lại!
Chúc các bạn học tập tốt!
…………………HẾT…………………
