một số bài toán về cực trị hàm trùng phương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT GIAO THỦY C
(TÊN CƠ QUAN, ĐƠN VỊ CHỦ QUẢN)
(TÊN CƠ QUAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN)

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
BÁO CÁO SÁNG KIẾN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
CỦA HÀM SỐ
(Tên sáng kiến)

y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0)

Tácgiả:
giả:...................................................................
Tác
VŨ THỊ LOAN
Trìnhđộđộchuyên
chuyênmôn:
môn:...........................................
Trình
Cử nhân Toán
Chứcvụ:
vụ:.................................................................
Chức
Giáo viên
Nơicông
công tác:
tác:...................................................................
Nơi

Trường THPT Giao Thuỷ C

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: M ộ t s ố b à i t o á n v ề c ự c t r ị h à m s ố
1


1. Tên sáng kiến: Một số bài toán về cực trị của hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) .
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chương trình lớp 12 môn Toán THPT.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến
Từ ngày 20 tháng 08 năm 2014 đến ngày 21 tháng 03 năm 2015.
4. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Thị Loan
Năm sinh: 1985
Nơi thường trú: Hoành Sơn – Giao Thủy – Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Giao Thủy C
Điện thoại: 0949.838.472
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%
5. Đồng tác giả (nếu có) không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Giao Thủy C.
Địa chỉ: Hồng Thuận – Giao Thủy – Nam Định.
Điện thoại: 03503742046

2

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Hàm số và bài toán có liên quan luôn là một chủ đề hay, thường xuyên có
trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, thi THPT Quốc gia. Mặc dù, các câu hỏi của chủ
đề thường ở mức độ thông hiểu và vận dụng thấp, nhưng với nhiều học sinh, đặc
biệt là các em có lực học yếu, trung bình thì đây cũng là một chủ đề không dễ dàng
để các em vượt qua. Mỗi một vấn đề nhỏ trong chủ đề này đều chứa trong nó sự đa
dạng, phong phú và thách thức với học sinh. Trong các bài toán về cực trị của hàm
số ( đồ thị hàm số) thì cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, ( a ≠ 0) dễ làm học sinh
nản lòng hơn cả. Nguyên nhân do các em thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm

y = ax 4 + bx 2 + c, ( a ≠ 0) tạo thành một tam giác đặc biệt, và những bài toán xoay
quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp
kiến thức từ chương trình THCS. Nguyên nhân khác là do đôi khi giáo viên không
đưa ra được những tình huống kích thích trí tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được
hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh. Cần phải có một cách dạy phù hợp, cần
phải có một tài liệu hệ thống, cần phải có sự sáng tạo ở cả người dạy lẫn người học.
Và trên hết người giáo viên phải tự làm phong phú nguồn kiến thức của mình, tự
nghiên cứu, học hỏi để tìm ra những cách thức, những phương pháp phù hợp nhất
với đối tượng học sinh thì mới hy vọng thắp lửa, truyền lửa cho người học, đồng
thời nâng cao chất lượng dạy – học. Xuất phát từ tầm quan trọng của chủ đề, từ thực
tế còn tồn tại ở đơn vị đang công tác, từ những trăn trở nghề nghiệp và mong muốn
hoàn thiện bản thân, tác giả chọn chủ đề “Một số bài toán về cực trị của hàm số

y = ax 4 + bx 2 + c, ( a ≠ 0) ” để nghiên cứu.
II. Mô tả giải pháp
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trong một số năm dạy chương trình lớp 12, tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh
lúng túng khi đứng trước bài toán về cực trị của hàm số. Nguyên nhân do các em

thấy khó khi 3 điểm cực trị của hàm y = ax 4 + bx 2 + c, ( a ≠ 0) tạo thành một tam
3


giác đặc biệt, và những bài toán xoay quanh tam giác lại vô cùng phong phú đa
dạng, đòi hỏi các em phải biết tổng hợp kiến thức từ chương trình THCS. Nguyên
nhân khác là do đôi khi giáo viên không đưa ra được những tình huống kích thích trí
tò mò, sáng tạo, không khơi dậy được hứng thú học tập chủ đề này cho học sinh. Để
khắc phục những mặt còn tồn tại trên, tác giả lựa chọn chủ đề “Một số bài toán về
cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) ” để nghiên cứu.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
A – Kiến thức bổ trợ
- Hệ thức lượng trong tam giác
+ Định lý cosin trong tam giác: cho tam giác ABC với BC = a, AC=b, AB =c. Ta có
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ba cos C

+ Định lý sin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ta có
a
b
c
=
=
= 2 R , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
sin A sin B sin C
+ Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1

2
2
2
1
1
1
S= ab sin c = ac sin b = bc sin A
2
2
2
abc
S=
4R

S= aha = bhb = chc

S=p.r
+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm các dạng phương trình đường thẳng,
phương trình đường tròn, phương trình elip, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách
từ một điểm đến đường thẳng.
- Véc tơ và các phép toán về véc tơ, độ dài véc tơ, góc giữa hai véc tơ.
- Cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0)
Tập xác định: D = ¡
x = 0
y = 4ax + 2bx, y = 0 ⇔  2 −b
x =
2a

'

3

'

4


+ Trường hợp 1: Hàm số (đồ thị hàm số) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi
phương trình y ' = 0 có nghiệm duy nhất ⇔

−b
≤0
2a

+ Trường hợp 2: Hàm số (đồ thị hàm số) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương
trình y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔

−b
>0
2a

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
D(0; c), E (

−b
−b
−b
−b
; y(

)) và F ( −
; y(
)) . Điểm D thuộc Oy, E và F đối xứng
2a
2a
2a
2a

nhau qua Oy, do đó ta luôn có tam giác DEF cân tại D.

5


B – Một số bài toán
Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ tập trung vào khai thác một số bài
toán về cực trị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) theo hướng phân loại các dạng
bài tập. Trong mỗi dạng bài tập,tác giả phân tích một số khó khăn mà học sinh có
thể sẽ gặp, một số vấn đề khi dạy giáo viên cần quan tâm theo kinh nghiệm của tác
giả. Đồng thời, tác giả đưa ra một số bài toán điển hình, hướng dẫn giải của bài toán
đó và những tình huống có thể hỏi thêm, phát triển thêm để tạo ra được hứng thú
cho người học, đồng thời giúp người học nắm bắt bản chất vấn đề. Cuối cùng, tác
giả đề xuất một số bài toán tương tự.
Dạng 1. Tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị
x = 0
Phân tích: Ta thấy y = 4ax + 2bx; y = 0 ⇔  2 −b
nên số điểm cực trị của
x =
(1)
2a


'

3

'

hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1).
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0
và y’ đổi dấu một lần khi qua x = 0. Khi đó hàm số chỉ có một cực trị.
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì nó chỉ có thể có nghiệm kép x = 0, khi đó
phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và y’ đổi dấu một lần khi qua x = 0.
Khi đó hàm số chỉ có một cực trị.
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì cả hai nghiệm phân biệt đó đều
khác 0, khi đó y’ lần lượt đổi dấu khi qua các nghiệm, vì vậy trong trường hợp này
hàm số có 3 điểm cực trị.
Như vậy, hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) hoặc là có một điểm cực trị hoặc là có
3 điểm cực trị.
Bài toán 1: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x 4 − (2m 2 + 5m + 2) x 2 + 3m − 4 có
đúng một điểm cực trị.
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
y = 4 x − 2(2m + 5m + 2) x ; y = 0 ⇔  2 2m 2 + 5m + 2
x =

2
6
'

3

2

'

(1)


Hàm số có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có nghiệm duy
nhất ⇔ ( 1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0

1
⇔ 2m 2 + 5m + 2 ≤ 0 ⇔ m ∈ [-2;- ]
2
Bài toán 2: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x 4 + (m 2 + 5m + 6) x 2 − 3m − 2 có 3
điểm cực trị
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
2
y = 4 x + 2(m + 5m + 6) x; y = 0 ⇔  2
 x = − m + 5m + 6 (1)

2
'

3

2

'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ( 1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ −(m 2 + 5m + 6) > 0 ⇔ m ∈ (-3;-2)
Bài tập tương tự
a) y = x 4 − ( 2m 2 − 4m + 3 − m) x 2 + m − 2 , m là tham số
Kết quả : ⇔ m ∈ [1;3]
b) y = x 4 − ( m 2 + 3 − 2) x 2 + m − 2 , m là tham số
Kết quả : m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
Dạng 2. Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác
có số đo góc cho trước.
Phân tích: cần để ý rằng hai khái niệm điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của
đồ thị hàm số là khác nhau. Do đó, khi dạy học sinh về cực trị giáo viên cần giúp
học sinh hiểu rõ các khái niệm này để các em hiểu rõ yêu cầu của mỗi bài toán đưa
ra, tránh sự hiểu lầm đáng tiếc.
Như ở trên tác giả đã phân tích, khi đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) có 3
điểm cực trị thì 3 điểm cực trị ấy luôn luôn là 3 đỉnh của một tam giác cân, khi đó
các bài toán về góc của tam giác cân được khai thác khá phong phú.

7


Bài toán 3: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.
Hướng dẫn giải :
Tập xác định: D = ¡
x = 0

'
3
'
Ta có y = 4 x − 4mx; y = 0 ⇔ 

2
x = m

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm
phân biệt ⇔ m > 0
Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
D(0; 2m + m 4 ), E ( m ; m 4 − m 2 + 2m) và F ( − m ; m 4 − m 2 + 2m)

Ta có
uuur
DE m; −m 2 ⇒ DE 2 = m + m 4
uuur
DF − m; −m 2 ⇒ DF 2 = m + m 4

(
(

)

)

FE 2 = 4m
Do đó tam giác DEF cân tại D nên tam giác DEF đều khi và chỉ khi DE = EF
m = 3 3
⇔ 4m = m + m 4 ⇔ −3m + m 4 = 0 ⇔ 
 m=0

Vậy m = 3 3
Nhận xét: Do tam giác DEF cân tại D nên tam giác DEF đều khi và chỉ khi tam

giác có một góc bằng 600. Trong trường hợp này vai trò của các góc là như nhau nên
µ = 600 . Gọi H là trung điểm của FE, ta có tam giác DEH vuông tại
ta có thể chọn E
4
2
2
H và H ( 0;m − m + 2m ) ,DH = m ,EH = m . Trong tam giác vuông DEH ta có

µ =
tan E

DH
=m m ⇒m m = 3⇔m= 33.
EH

Hoặc ta có thể dùng định lý cosin trong tam giác để giải bài toán trên.
Để phát triển tư duy sáng tạo và tăng tính chủ động tìm tòi của học sinh, giáo viên
khi đưa ra bài toán này nên tạo cơ hội cho học sinh giải quyết bài toán theo nhiều ta
8


sẽ khác nhau. Đồng thời đưa ra nhiều cách đặt vấn đề cho cùng một nội dung.
Chẳng hạn, bài toán trên có thể hỏi khác đi như sau: Tìm các giá trị của m để đồ
thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó có một góc
bằng 60 0 .
Sau khi học sinh hiểu được cách giải quyết bài toán trên ta có thể đưa ra các tình
huống khác
Tình huống 1. Nếu bài toán hỏi “Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông” thì ta sẽ

giải quyết bài toán như thế nào?
Tình huống 2. Nếu bài toán hỏi “Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác tù (nhọn) ” thì ta

sẽ giải quyết bài toán như thế nào?
Tình huống 3. Nếu bài toán hỏi “Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có ít nhất một

góc bằng 300 ” thì ta sẽ giải quyết bài toán như thế nào?...
Với những cách đặt vấn đề như vậy, giáo viên không những giúp học sinh hiểu cốt
lõi của vấn đề nằm ở yếu tố tam giác cân tại D mà còn giúp học sinh cảm thấy hào
hứng với chủ đề này, không còn cảm thấy cực trị của hàm trùng phương là rắc rối,
nhàm chán. Đồng thời các em sẽ tự mình tìm tòi lời giải cho các bài toán tương tự,
hay là tự đưa ra các tình huống rồi giải quyết các tình huống đó.
Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác đều
a) y = x 4 − 2(m − 1) x 2 + (m − 1) 2 , m là tham số
b) y = x 4 + 2mx 2 + 2m + m3 , m là tham số
c) y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − m 4 , m là tham số
Bài toán 4: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + 1 có 3 điểm cực
trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
9


y ' = 4 x 3 − 4m 2 x
x = 0
y' = 0 ⇔  2
2
x = m

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m ≠ 0.

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0;1), E (m; −m 4 + 1) và F (−m; −m 4 + 1) Ta có
DE = DF. Suy ra tam giác DEF cân tại D. Tam giác DEF vuông cân khi và chỉ khi
uuur uuur

DE vuông góc DF ⇔ DE.DF = 0 ⇔ m = ±1 (thỏa mãn)
Cách hỏi khác: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh
của một tam giác vuông
Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác vuông
a) y = x 4 − 2mx 2 + 2m 2 , m là tham số
b) y = x 4 + 2(m + 1) x 2 + 1 + 2m + m 2 , m là tham số
c) y = x 4 + 2mx 2 + 2m 2 − m 4 , m là tham số
Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 + 2(m + 1) x 2 − m có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác, trong đó có 1 góc bằng 120 0
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
y ' = 4 x 3 + 4(m + 1) x
x = 0
y' = 0 ⇔  2
 x = −(m + 1)

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m < −1

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
D(0; −m), E ( −m − 1; −(m + 1) 2 − m) và F (− −m − 1; −(m + 1) 2 − m )

Ta có DE = DF. Suy ra tam giác DEF cân tại D, có 1 góc bằng 120 0
uuur uuur
1
⇔ cos( DE , DF ) = cos1200 ⇔ m = −1 − 3 (thỏa mãn)
3
10


µ =α
Lưu ý: Tam giác DEF cân tại D, mà tam giác có 1 góc α ≥ 900 ⇒ D

Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác, trong đó có 1 góc bằng 150 0
a) y = x 4 − 2mx 2 + 2m 2 , m là tham số
b) y = x 4 + 2mx 2 + 2m + m 2 , m là tham số
c) y = − x 4 + 2m 2 x 2 + m − m3 , m là tham số
Bài toán 6: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh
của một tam giác, trong đó có ít nhất 1 góc bằng 30 0
y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + m , m là tham số

Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
y ' = 4 x3 − 4(m + 1) x; y ' = 0 ⇔  2
x = m +1

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m > −1 . Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
D(0; m), E ( m + 1; −(m + 1) 2 + m) và F ( − m + 1; −(m + 1) 2 + m)

Ta có DE = DF. Suy ra tam giác DEF cân tại D

Trường hợp 1:

µ = 300
D

uuur uuur
⇔ cos( DE , DF ) = cos300 ⇔ m = −1 + 3 (2 + 3) 2 (thỏa mãn)
µ = F$ = 300 ⇒ D
µ = 1200
Trường hợp 2: E
uuur uuur
1
cos( DE , DF ) = cos1200 ⇔ m = −1 + 3 (thỏa mãn)
3
µ = α hoặc
Lưu ý: Tam giác DEF cân tại D, mà tam giác có 1 góc α < 900 ⇒ D
µ =F
µ =α .
E

Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác vuông
a) y = − x 4 + 2mx 2 − 1 + m3 , m là tham số
b) y = − x 4 + 2(m + 1) x 2 + m 2 , m là tham số
c) y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 4 , m là tham số
11


Dạng 3. Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác
có chu vi, diện tích thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phân tích: khi dạy phần này tác giả luôn cố gắng giúp học sinh nhận biết được dấu
hiệu dùng các công thức diện tích tam giác. Nếu học sinh phán đoán sai công thức
diện tích thì có thể bài toán có lời giải rất dài và phức tạp, còn nếu dựa vào dữ kiện
của bài toán cho, học sinh tìm đúng công thức sẽ dùng thì hiệu quả sẽ cao hơn. Đặc
biệt, trong phần này cần hạn chế học sinh sử dụng công thức Hê-rông để giải quyết
vấn đề, vì sự cồng kềnh phức tạp của công thức, và với những bài toán không “đẹp”
thì công thức này bộc lộ nhiều hạn chế.
Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m có 3 điểm cực
trị là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
'
y ' = 4 x 3 + 4mx ; y = 0 ⇔  2
 x = −m

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
⇔ m < 0 . Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
D(0; m), E ( −m ; −m 2 + m) và F ( − −m ; −m 2 + m) .

Tam giác DEF cân tại D. Gọi H là trung điểm của EF ta có DH là đường cao của
2
2
tam giác và H ( 0; −m + m ) ,DH = m ,FE = 2 −m

S DEF =

1
1
DH .EF = m 2 . −4m = 2 ⇒ m = − 5 4 (thỏa mãn)
2

2

Nhận xét: Trong bài toán này các điểm D, E, F, H hoàn toàn xác định được tọa độ
nên độ dài của các đoạn thẳng DE, EF, DH là hoàn toàn xác định. Do đó khai thác
công thức tính diện tích như trên là hợp lý. Ngoài ra ta còn có thể giải quyết bài toán
1
2

theo công thức tính diện tích S = a.b.sin C
Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2
a) y = − x 4 + 2mx 2 + 2m − m 2 , m là tham số
12


b) y = − x 4 + 2mx 2 + 4m 2 , m là tham số
c) y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 2 − 2m 4 , m là tham số
Bài toán 8: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 2m 2 + 1 có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
y ' = 4 x 3 + 4mx; y ' = 0 ⇔  2
 x = −m

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0
Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
D(0; 2m 2 + 1), E ( −m ; m 2 + 1) và F (− −m ; m 2 + 1) , gọi H là trung điểm FE, ta có

H ( 0;m 2 + 1) ,DH = m 2 ,FE = 2 −m ,DE = DF = m 4 − m
S DEF =

1
DE.DF .EF
DH .EF =
⇒ 2 DH = DE 2 ⇔ 2m 2 = m 4 − m ⇔ m 4 − 2m 2 − m = 0
2
4R

 m = −1
⇔
 m = 1 − 5 (thỏa mãn)

2

Nhận xét: những bài toán liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
luôn gợi cho ta liên hệ đến hai công thức rất phổ biến, đó là công thức của định lý
sin trong tam giác, và công thức tính diện tích áp dụng ở trên. Theo đó, bài toán này
dùng công thức định lý sin thì được giải quyết như sau
µ =
Trong tam giác DEF ta có sin E
µ =
ta có sin E

DF DF
=
. Mặt khác trong tam giác vuông DEH
2R
2

DH

DH DF
⇒
=
⇔ 2 DH = DE.DF
DE
DE
2

Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1
a) y = x 4 + 2mx 2 + 3m , m là tham số
b) y = x 4 + 2mx 2 + 1 + 2m 2 , m là tham số
13


c) y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − 1 , m là tham số
Bài toán 9: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + 1 có 3 điểm
cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 − 1
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
x = 0
y ' = 4 x 3 − 4mx; y ' = 0 ⇔  2
x = m

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0
Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị D(0; m 2 + 1), E ( m ;1) và F (− m ;1)
Ta có DE = DF = m + m 4 , FE = 2 m
1
1
d ( D, EF).EF = m 2 4m ,
2

2
DE + DF + EF
=
( 2 − 1) = m + m 4 + m
2

S DEF =
S DEF

(

)(

)

2 −1

⇒ m3 + 1 − m 2 2 = m 2 − 1 ⇔ m = 1 (thỏa mãn)

Nhận xét: giả thiết của bài toán cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác nên dấu
hiệu của công thức S = p.r là rõ ràng. Với học sinh khá thì không khó để các em
nhận ra rằng cần phải tính diện tích tam giác theo một cách khác nữa, nhưng với học
sinh trung bình và yếu thì phát hiện ra công thức đã là một thành công, do đó khi
đưa ra dạng toán này, tác giả cũng cố gắng phân tích lý do phải tính diện tích theo
một cách khác nữa, và cũng đưa ra một số bài toán tương tự để các em tự học.
Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r = 1
a) y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − 2 , m là tham số
b) y = x 4 − 2mx 2 + 1 + m 2 , m là tham số
c) y = x 4 − 2mx 2 + 1 , m là tham số

Dạng 4. Tìm tham số để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị cùng với 1 điểm cho
trước tạo thành tam giác, tứ giác có tính chất đặc biệt.
Phân tích : Để làm tốt một số bài tập trong dạng này thì học sinh cần vững kiến
thức về các điểm đặc biệt trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
14


ngoại tiếp. Tương tự như vậy, các em cũng cần nhớ được dấu hiệu nhận biết,
phương pháp chứng minh một tứ giác là hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình
chữ nhật, hình thang...trong phần này tác giả đưa ra một số bài toán điển hình
Bài toán 10: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − (3m − 1) x 2 + 2m − 4 có 3
8
3

điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm G(0; - )
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
y ' = 4 x 3 − 2(3m − 1) x
x = 0
y = 0 ⇔  2 3m − 1
x =

2
'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m >

1
3

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

D(0; 2m − 4), E (

3m − 1 3m − 1 2
3m − 1 3m − 1 2
; −(
) + 2m − 4) và F ( −
; −(
) + 2m − 4)
2
2
2
2

G là trọng tâm tam giác DEF
2
 xD + xE + xF = 3 xG
 3m − 1 
⇔
⇔ 3 ( 2m − 4 ) − 2 
÷ = −8 ⇔ m = 1 (thỏa mãn)
 2 
 yD + y E + y F = 3 yG

Nhận xét: từ bài toán này tác giả cũng đưa ra cho học sinh các tình huống khác như
Tình huống 1. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành
8
3

tam giác có trực tâm G(0; - ) ?
Tình huống 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành

8
3

tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp là G(0; - ) ?
Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác có trọng tâm G(0;

7
)
3

a) y = x 4 − 2mx 2 + 2m + 1 , m là tham số
15


b) y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 2 + 2 , m là tham số
c) y = x 4 − 2mx 2 + 3 , m là tham số
Bài toán 11: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x 4 − (3m − 1) x 2 + m + 1 có 3
điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh
của một hình vuông.
Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ¡
y ' = 4 x3 − 2(3m − 1) x
x = 0
y = 0 ⇔  2 3m − 1
x =

2
'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m >

1
3

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
D(0; m + 1), E (

3m − 1 3m − 1 2
3m − 1 3m − 1 2
; −(
) + m + 1) và F (−
; −(
) + m + 1)
2
2
2
2

Vì D thuộc trục Oy, E và F đối xứng nhau qua Oy nên 4 điểm D, E, F, O là 4 đỉnh
của hình vuông khi và chỉ khi trung điểm của OA thuộc EF và EF = OD ⇔ m = 1
(thỏa mãn)
Bài toán 12: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = − x 4 + 3mx 2 − 5m +

1
có 3
2

điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh
của một hình thoi (hình bình hành)
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡

y ' = −4 x 3 + 6mx
x = 0
y = 0 ⇔  2 3m
x =

2
'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔m>0

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
16


1
3m 3m 2
1
3m 3m 2
1
D(0; −5m + ), E (
;( ) − 5m + ) và F ( −
;( ) − 5m + )
2
2
2
2
2
2
2

Vì D thuộc trục Oy, E và F đối xứng nhau qua Oy nên 4 điểm D, E, F, O là 4 đỉnh
của hình thoi (hình bình hành) khi và chỉ khi trung điểm của OA thuộc EF
m = 1
⇔
(thỏa mãn)
m = 1
9


Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số sau có 3 điểm cực trị,
đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một hình
thoi (hình bình hành).
1
2

4
2
a) y = x − 3mx + 4m + , m là tham số

b) y = x 4 − 4mx 2 + 6m , m là tham số
a) y = − x 4 + 2mx 2 − 3m , m là tham số
Dạng 5. Một số bài toán khác
Bài toán 13: Tìm các giá trị của m để Parabol (P) y = − x 2 + 3 đi qua 3 điểm cực trị
đồ thị hàm số y = x 4 + 2mx 2 + 2m 2 + 1 , m là tham số
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
y ' = 4 x 3 + 4mx
x = 0
y' = 0 ⇔  2
 x = −m

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔m<0

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
D(0; 2m 2 + 1), E ( −m ; m 2 + 1) và F (− −m ; m 2 + 1) , D ∈ ( P ) ⇔ m = −1
m = −1 ⇒ E , F ∈ ( P ) . Vậy m = -1

Bài toán tương tự: Tìm các giá trị của m để Parabol (P): y = x 2 + 1 đi qua 3 điểm
cực trị đồ thị hàm số
17


a) y = − x 4 − 2mx 2 + 2m + 3 , m là tham số
b) y = − x 4 + 2m 2 x 2 + m2 , m là tham số
c) y = − x 4 − 2( m − 1) x 2 + m 2 + 1 , m là tham số
Bài toán 14: Tìm các giá trị của m để đường tròn (C): x 2 + ( y − 1) 2 = 1 đi qua 3 điểm
cực trị đồ thị hàm số y = x 4 − (3 − m 2 ) x 2 + m 4 + 1 , m là tham số
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡
y ' = 4 x 3 − 2(3 − m 2 ) x
x = 0
y = 0 ⇔  2 −m 2 + 3
x =

2
'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ m ∈ (− 3; 3)

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
3 − m2
m2 − 3 2
3 − m2
m2 − 3 2
4
D(0; m + 1), E (
; −(
) + m + 1) và F ( −
; −(
) + m 4 + 1)
2
2
2
2
4

D ∈ (C ) ⇔ m = ±1 (thỏa mãn)
m = ±1 ⇒ E , F ∈ (C ) . Vậy m = ±1

Nhận xét: bài toán này thực chất là cách hỏi khác của bài toán “Tìm các giá trị của
m để 3 điểm cực trị đồ thị hàm số y = x 4 − (3 − m 2 ) x 2 + m 4 + 1 , m là tham số, tạo
thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R =1’’. Hay “Tìm các giá trị của
m để 3 điểm cực trị đồ thị hàm số y = x 4 − (3 − m 2 ) x 2 + m 4 + 1 , m là tham số, tạo
thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp I(0 ; 1)’’. Hai bài toán này đã được đề
cập ở phần trên.
Bài toán 15: Tìm các giá trị của m để đường Elip (E): 3 x 2 + y 2 = 4 đi qua 3 điểm
cực trị đồ thị hàm số y = x 4 − (5 − 3m 2 ) x 2 + m 2 + 1 , m là tham số
Hướng dẫn giải : Tập xác định: D = ¡

18


y ' = 4 x 3 − 2(5 − 3m 2 ) x
x = 0
y = 0 ⇔  2 5 − 3m 2
x =

2
'

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

⇔ m ∈ (−

5 5
; )
3 3

Khi đó, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị :
D(0; m 2 + 1), E (

5 − 3m 2
5 − 3m 2 2
5 − 3m 2
5 − 3m 2 2
; −(
) + m 2 + 1) và F (−
; −(
) + m 2 + 1)

2
2
2
2

D ∈ ( E ) ⇔ m = ±1 (thỏa mãn)
m = ±1 ⇒ E , F ∈ ( E ) . Vậy m = ±1

III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:
Bài viết của tác giả tuy chưa mang lại hiệu quả về mặt kinh tế nhưng lại là tư
liệu chuyên môn rất hữu ích cho các đồng nghiệp đã, đang, và sẽ dạy lĩnh vực kiến
thức này. Đồng thời, bài viết cũng là một nguồn tài liệu hữu ích đối với các em học
sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia. Trong những năm vừa qua khi nghiên cứu đề tài
này và đưa vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy các em đã hiểu và không còn e ngại
những bài toán về cực trị của hàm trùng phương nữa.
Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều các tài liệu để viết và xin ý
kiến đóng góp của các đồng nghiệp và đưa vào giảng dạy cho học sinh để kiểm
nghiệm và dần hoàn thiện đề tài. Nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi
những hiểu biết và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, rất mong nhận được ý kiến
góp ý, bổ sung của các quý đồng nghiệp.
IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
Tôi xin cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền.
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

...........................................................................
19

...............................................................
Vũ Thị Loan

20