Bai 2 HDGBTTL phuong trinh phan 2

Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

BÀI 2. PH

NG TRÌNH CH A C N (PH N 2)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 2. Ph ng trình ch a c n (ph n 2) thu c khóa h c
LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn giúp các b n ki m tra, c ng c l i các
ki n th c đ c giáo viên truy n đ t trong bài gi ng Bài 2. Ph ng trình ch a c n (ph n 2).
s d ng hi u qu , b n
c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1. Ch ng minh r ng ph

ng trình: 2x3  3x  6 5x2  x  1  6  0 không có nghi m âm.

Gi i

1
1
t: f ( x)  x3  x  5x2  x  1  1 , hàm s xác đ nh x  R
3

2
1
10 x  1
Ta có: f '( x)  x2  
2 2 5 x2  x  1
19
Và f ''( x)  2 x 
2
4  5 x  x  1 . 5 x2  x  1
Nh n th y f’’(x) < 0 x  0 , nên f’(x) là hàm ngh ch bi n trên  ,0
Suy ra f’(x) > f’(0) = 0 x  0 . V y f(x) là hàm đ ng bi n trên kho ng  ,0 .
Do đó f(x) < f(0) = 0 x  0 . V y ph

ng trình đã cho không có nghi m âm.

Bài 2. Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m: x2  x  1  x2  x  1  m
Gi i
ph ng trình đã cho có nghi m thì 2 đ th :

 y  x2  x  1  x2  x  1; x  R
ph i c t nhau.


y  m

Xét hàm y  x2  x  1  x2  x  1; x  R
Ta có: y ' 

2x 1
2 x2  x  1

Xét hàm f (t ) 

t
3
t 
4



2x 1
2 x2  x  1



x

1
2
2

1 3

 x  
2 4




x

1
2
2

1 3

 x  
2 4


;t  R

2

f '(t ) 

3
3

4.  t 2  
4


3

 0t

1
1



=> f(t) là hàm đ ng bi n => f  x    f  x   x
2
2


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

=> y '  0x => y là hàm đ ng bi n.
lim y  lim

x

x

lim y  lim

x





x

x2  x  1  x2  x  1  lim



2x
x2  x  1  x2  x  1

x





 lim

Do đó ta có b ng bi n thiên:
x
-
y’

y
-1

x

2x
x  x 1  x  x 1
2

2

2
1 1
1 1
 1  2  1  2
x x
x x

ng trình   x  2 

Ph

Xét hàm f (t )  t



2
1 1
1 1
1  2  1  2

x x
x x

1

 1

+
1

ng trình:  x  2

Gi i

x

+

T b ng bi n thiên suy ra giá tr c n tìm là -1 < m < 1
Bài 3. Gi i ph



 lim



 



x2  4 x  7  1  x

x2  3  1  0

  x  2  3 1  x. x  3 1 (*)
2

2



t 2  3 1

Ta có: f '(t )  1  t 2  3 

t2

 0t  R
t2  3
V y f(t) là hàm đ ng bi n. Do đó ta có (*)  f(x + 2) = f(-x)  x + 2 = -x  x = -1
áp s : x = -1
Bài 4. Gi i ph ng trình
x3
2
; đi u ki n: x 
1) 4 x  1  3x  2 
5
3
x3

x3


 5  x  3   x  3 4 x  1  3 x  2
5
4 x  1  3x  2



  x  3 .







4 x  1  3x  2  5  0

 Ho c: x + 3 = 0  x = -3 (lo i)
Ho c:

4 x  1  3x  2  5  4 x  1  2

 4 x  13x  2   3x  2  25

26


26  7 x  0

x 
 2 12 x  5 x  2  26  7 x  
7
2  
2
4
12
5
2
26
7




x
x
x




2

 x  344 x  684  0


2

26


x 

 x2
7

 x  342; x  2
áp s : x = 2





2) 3 2  x  2  2 x  x  6 ; đi u ki n: x  2
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

 3 x  2  x  6  2x  6



8  x  3
3 x 2  x 6





 2  x  3  4  x  3   3 x  2  x  6  x  3 





  x  3 3 x  2  x  6  4  0

 Ho c: x = 3





Ho c: 3 x  2  x  6  4  3 x2  4 x  12  14  5 x

 14
x




14
5
0
x

11  45
5



 x
2  
2
2
9  x  4 x  12   14  5 x
 x  11  45



2
x  3
áp s : 
 x  11  45

2
3) HKB 2010

1
3x  1  6  x  3x2  14 x  8  0 ; đi u ki n   x  6
3





 



3x  1  4  1  6  x  3x2  14 x  5  0
3  x  5



 x  5

3x  1  4 1  6  x

  x  5  3 x  1  0

1
1


  x  5 

 3 x  1  0  x  5  0  x  5

 3x  1  4 1  6  x

1

 0
3x  1  4

1
1
1

 
0 

 3 x  1  0
Vì:
1 6  x

  3x  1  4 1  6  x

3x  1  0



4)

x  1  1  4 x2  3x ; đi u ki n: x  0

 4 x2  1  3x  x  1  0   2 x  1 2 x  1 

2x 1
0
3x  x  1

1
1


  2 x  1  2 x  1 
  0   2 x  1  0  x  2
3x  x  1 

1


Vì:  2 x  1 
0
3x  x  1 

5)

3x2  7 x  3  x2  2  3x2  5x 1  x2  3x  4

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

3 x2  7 x  3  0
 2
x  2  0
i u ki n:  2
3 x  5 x  1  0
 x2  3 x  4  0

Ph



ng trình:  3x2  7 x  3  3x2  5x 1  x2  2  x2  3x  4

2  x  2 
3x2  7 x  3  3x2  5x  1



3 x  2
x2  2  x2  3x  4



2
3
  x  2 

0

2
2
x2  2  x2  3x  4 
 3x  7 x  3  3x  5 x  1
_______________________________________________________________________________
0

 x 2  0  x  2
V i x = 2 th vào đi u ki n ta th y th a mãn.
V y nghi m c a ph ng trình là x = 2.
6)

x2  91  x2  x  2 , đi u ki n: x  2

 x2  91 10  x  2 1  x2  9


x2  9
x  91  10
2



x3
  x  3 x  3 = 0
x  2 1



1
x3
  x  3 

 x  3  0
2
x  2 1
 x  91  10





1
1
  x  3   x  3  
 1 
0
2
x  2  1 
 x  91  10 






1
1
 1 
Do:  x  3 
  0 x  2
2
x  2  1 

 x  91  10 
Nên ph ng trình  x  3  0  x  3

7) x  1  3  x  3x2  4 x  2
Gi i
i u ki n: 1  x  3
Ph

ng trình:  x  1  1  3  x  1  3x2  4 x  4



2 x
x 2

  x  2  3 x  2 
3  x 1
x 1 1

1
1


  x  2 

 3x  2   0
3  x 1
 x 1  1

D th y v i 1  x  3 thì bi u th c trong ngo c vuông là hàm ngh ch bi n và t i x = 1 thì bi u th c đó
5  4 2
 0 . Ch ng t v i m i 1  x  3 thì bi u th c trong d u ngo c vuông luôn âm. Do
1 2
đó ph ng trình có nghi m duy nh t là x = 2.
Bài 5. Gi i ph ng trình
nh n giá tr là

1.

2x2  5x  2  x2  x  2  3x  6
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

Gi i
i u ki n: x  2  x  1
Ph

 2 x  1 x  2   x  1 x  2 

ng trình: 

+) V i x = -2 thì ph
+) V i x  1thì ph

3 x  2

ng trình th a mãn.
ng trình:  2 x  1  x  1  3

 2x 1  x 1  3

 2 x  1  x  2  2 3  x  1  2 3  x  1  x  1

x  1

2
 4 3  x  1   x  1  x2  14 x  13  
 x  13
x  1
áp s :  x  13
 x  2

x2  4x  3  2x2  3x  1  x 1
Gi i
1
i u ki n: x   x  1  x  3
2

2.

Ph

 x  1 x  3   x  1 2 x 1  x 1

ng trình:

+) V i x  3 thì ph



 x  3 

ng trình 

x 1 

 x  3   2 x 1 

x 1

 2 x  1

Bình ph ng hai v ta có: 2 2x2  3x 1  1  2x
Ph ng trình này vô nghi m vì v i x  3 thì v ph i âm.
+) V i x = 1 thì ph ng trình th a mãn.
1
+) V i x  thì ph ng trình  1  x 3  x  1  x1  2 x  1  x
2



 3  x  1  2 x   1  x



 3  x  1  x  1  2 x

 2 x2  4x  3  3 (Vô nghi m)
áp s : x = 1
Bài 6. Gi i ph ng trình
1.

x 1  2 x  2  x 1  2 x  2  1
Gi i

Ph

ng trình 

 x  2 1

+) N u





2

x  2 1 





x  2 1

2

 1; đi u ki n x  2

x  2 1  1

x  2  1  0  x  2  1  x  3 thì ta có:

 x  2 1





x  2  1  1  2  1 (vô nghi m)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

+) N u

ng

Ph

ng trình ch a c n

x  2  1  0  2  x  3 thì ta có:





 x  2 1  x  2 1  1

 2 x 2 1 x 2 
áp s : x 
2.

1
9
 x
4
4

9
4
x5
2

x  2  2 x 1  x  2  2 x 1 
Gi i

Ph



ng trình 

 x 1 1

+) N u



2

x 1 1 





x 1 1

2



x5
2

x  1 1 

x  1  1  0  x  1  1  x  0 thì ph

 x  1  1 x  1 1 

x5
; đi u ki n x  1
2

ng trình t

ng đ

ng:

x5
2

 4 x  1  x  5  16  x  1   x  5

2

 x2  6 x  9  0  x  3
+) N u

x  1  1  0  x  1  1  1  x  0 thì ph

 x 1 1 x 1 1 

ng trình t

ng đ

ng:

x5
x5
2

 x  1
2
2

áp s : x = 3; x = -1
Bài 7. Gi i ph ng trình
1.  x  4   6 x3  3x  13
2

Gi i

i u ki n: x3  3x  0  x  x2  3  0  x  0
Ph ng trình  x2  8x  3  6 x3  3x  0
+) V i x = 0 thì ph ng trình không th a mãn.
+) V i x > 0 thì ph

ng trình  x  8 

3
3
6 x  0
x
x

3
t: t  x  ; t  4 12
x

t  2
ng trình, ta có: t 2  6t  8  0  

t  4
+) V i t = 2, ta có x = 1; x = 3.
Thay vào ph

+) V i t = 4, ta có: x  8  61
2.

x  1  x2  4 x  3 

 x  2

3

Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

i u ki n: x  1

 x  1 x  3   x  2 

ng trình  x  1 

Ph

3

t t  x 2 1
Thay vào ph

ng trình ta đ

t t  t  1


2
t  1  t t  t  1





c:

t 1  t 2 1  t t  t 2 1  t t  t 1

t  1
 2
3
t  1  t  t  1  2t t  t  1

2

t  1
t  1

2


 t  t  1  1  0
 t  t  1  1



t



1 5
5 3
 x
2
2

3. x2   x  2 . x 1  x  2
Gi i

i u ki n x  1
Ph

ng trình:  x2  x
t





x  1  1  2 x  1  2  x  1  0

x  1  t; t  0

ng trình ta có: x2  xt 1  2t  2t 2  0

Thay vào ph

  x  2t  x  t  1  0
 x  2t  0 (do x + t + 1 > 0)
 x  2t  x  2 x  1  x2  4  x  1
 x2  4 x  4  0  x  2

4.

x2
3 9 x

2





1

4 3  9  x2



1

Gi i
i u ki n: 3  x  0  0  x  3
t: t  9  x2 ; t  0, t  3
 x2  9  t 2 , thay vào ph

ng trình ta có:

9  t2
1
2

 1  4 3  t   4 3  t   1  0
3  t 4 3  t 

  2  3  t   1  0  2  3  t   1
2

t 

5
5
11
 x2  9   x  
2
2
2

5. 1  x2  2 3 1  x2  3
Gi i
i u ki n: 1  x  1
t 6 1  x2  t; t  0
Thay vào ph

ng trình ta có: t 3  2t 2  3  0   t 1  t 2  3t  3  0  t  1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

 6 1  x2  1  x  0
6.

9 x2 

4 3 x2  2 x  2

x2
x

Gi i
i u ki n: x  0
Ph

ng trình:  9 x2 
t t  3x 

4
2
 3x   2
2
x
x

2
4

4
 t 2  9 x2  2  12  9 x2  2  t 2  12
x
x
x

Khi đó ta có ph

ng trình:

V i t = 2, ta có: 2  3 x 

t  2
t  2  0
t2
t 2  12  t  2   2
2  

t
2



t
t
12
2






2
1 7
 3 x2  2 x  2  0  x 
x
3

7.  x  3 x  1  4  x  3 .

x 1
 3
x3

Gi i

 x 1
0

i u ki n:  x  3
 x  1  x  3

x  3
t t   x  3
Thay vào ph

x 1
 t 2   x  3 x  1
x3

t  1
ng trình ta có: 4t 2  4t  3  0  
t  3

x 1
 1
x3
- V i x > 3 thì ph ng trình vô nghi m.
- V i x  1, ta có: (x - 3)(x + 1) = 1

+) V i t = -1, ta có:  x  3

x  1 5
 x2  2 x  4  0  
 x  1  5 (loai )

+) V i t = -3 ta có:  x  3

x 1
 3
x3

- V i x > 3 thì ph ng trình vô nghi m.
- V i x  1, ta có (x - 3)(x + 1) = 9
 x  1  13 (loai )
 x2  2 x  12  0  
 x  1  13
x  1 5
áp s : 
 x  1  13

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

Ph

ng trình ch a c n

4x

2x 1  1 2x 

8.

ng

1  4 x2

Gi i

1
1

i u ki n:   x 
2
2
2 x  1  u, u  0

t:

1  2 x  v, v  0

 u 2  v2  4 x . Thay vào ph
Khi đó ta l i có ph
T ph

ng trình ta có: u  v 

ng tình: 1  4 x2  2 x  1  1  2 x

ng trình suy ra:

2x 1  1  2x  0  2x 1  1  2x  2x 1  1  2x

<=> x > 0, k t h p đi u ki n ta có: 0  x 
Bình ph

u 2  v2
u v
1
 uv  u  v
u.v
u.v

1
2

ng hai v ta có: 1  4x2  2  2 1  4 x2  1  4 x2  2 1  4 x2  2  0

t 1  4 x2  t; t  0
t  1  3 (loai )
Khi đó ta có: t 2  2t  2  0  
t  1  3

V i t  1  3 ta có: 1  4x2  3 1  1  4 x2  4  2 3

2 3 3
2 3 3
 x
4
2
Bài 8: Gi i ph ng trình
 x2 

1.

(4 x 1) x2  1  2 x2  2 x  1
Gi i
t t  x2  1; t  1 t  x2  1; t  1  x2  t 2 1

Thay vào ph

ng trình đã cho ta đ

c: (4 x  1)t  2(t 2  1)  2 x  1

 2t 2  (4 x  1)t  2 x  1  0
 1
t  1
 2

t  2 x  1

t  2 x  1  x2  1  2 x  1  3x2  4 x  0
x  0

x  4
3

V i x = 0 (lo i) do t  1  2x 1  1  x  1
3
2. (3x  1) 2 x2  1  5 x2  x  3
2
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -

Khóa h c LT H KIT-1: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

i u ki n: 2 x2  1  0  x 
Ph

ng

Ph

ng trình ch a c n

1
1
x
2
2

ng trình  2(3x  1) 2x2 1  10 x2  3x  6

 2(3x  1) 2 x2 1  4(2 x2 1)  2 x2  3x  2
t t  2 x2 1; t  0
Thay vào ph

ng trình ta có: 4t 2  2(3x  1)t  2 x2  3x  2  0

 2x 1  2x 1
2
t  x
 2  2x 1



t  x  2
 x  2  2 x2  1

 2
2

Gi i ra ta đ

c x

6 1
2  60
; x
2
7

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng

Hocmai.vn

- Trang | 10 -