PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Kiến thức cơ bản
Để chứng minh một mệnh đề chứa biến
( )
A n
là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên
dương của
( )
*
n p p≥ ∈ ¥
, ta thực hiện hai bước sau:
• Bước 1. Chứng minh
( )
A n
là mệnh đề đúng khi n = p.
• Bước 2. Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết
( )
A n
là mệnh đề đúng khi
n k=
, ta phải chứng minh
( )
A n
cũng là mệnh đề đúng khi
1n k
= +
II. Các bài toán
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau:
( ) ( )
2
1.2 2.5 ... 3 1 1n n n n+ + + − = +

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
2n ≥
.
2
1 1 1 1
1 ... 2
4 9 n n
+ + + + < −
Bài 3. Giả sử
0 x
π
≤ ≤
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
sin sinnx n x≤
Bài 4. Chứng minh rằng
( )
1.1! 2.2! ... . ! 1 ! 1n n n+ + + = + −
với mọi số nguyên đương n.
Bài 5. Chứng minh rằng
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1.2.3 2.3.4 ... 1 2
4
n n n n
n n n
+ + +
+ + + + + =
với mọi số
nguyên dương n.

Bài 6. Chứng minh rằng
1 2 1
4 5
n n+ −
+
chia hết cho 21 với mọi số nguyên dương n.
Bài 7. Chứng minh rằng
1 1 1
1 ... 2 1 2
2 3
n
n
+ + + + > + −
với mọi số nguyên dương n.
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
1n
≥
và với mọi
2 ,x k k
π
≠ ∈ ¢
ta có:
1.
1
sin
2
sin sin 2 ... sin sin
2
sin
2

n
x
nx
x x nx
x
+
+ + + =
2.
1
sin
2
1 cos cos2 ... cos cos
2
sin
2
n
x
nx
x x nx
x
+
+ + + + =
Bài 9. Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x
1
, x
2
, …, x
n
thỏa mãn điều kiện
1 2

... 1
n
x x x =
. Chứng minh rằng
1 2
...
n
x x x n+ + + ≥
.
Bài 10. Chứng minh bất đẳng thức
( )
( )
*
1.3.5... 2 1
1
,
2.4.6... 2
3 1
n
n
n
n
−
< ∀ ∈
+
¥
.