ĐỀ THI HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP

HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và
không bắt đầu bởi 123.
(ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán,
4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn
sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
(ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp
chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi

có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với
nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
(ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác
nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
(ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4
viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ
cả 3 màu?
(ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt
(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
(ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu
nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
(HV Ngân hàng TPHCM 1999)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3,
4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
(ĐH Hàng hải 1999)
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài

sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.


2
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999)
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ
số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và
khơng chia hết cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4
cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học
sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2
thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách
trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
13. (ĐH Huế khối A chun ban 2000)
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để
lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chun ban 2000)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đơi một.

2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi
một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đơi
một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn
cơng tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi
có bao nhiêu cách?
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các
chữ số khác nhau từng đơi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Ngun khối AB 2000)
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
18. (ĐH Thái Ngun khối D 2000)
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong
đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Ngun khối G 2000)


Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao
nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu
không nằm liền nhau.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó
các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là
một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng
sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ
ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3
người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít
nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một
dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên
bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ
số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo
chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2
em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32. (ĐH An ninh khối D 2001)


4
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ
số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số
khác có mạt đúng 1 lần.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng
liền nhau.
34. (HV Chính trị quốc gia 2001)
Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau
và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó khơng có q 1 nam.
35. (ĐH Giao thơng vận tải 2001)
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số
khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho khơng có chữ số nào lặp lại đúng

3 lần?
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự
lễ mittinh tại trường với u cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
38. (HV Kỹ thuật qn sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách
chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số
có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đơi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ
số đơi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác
nhau mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nơng nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2
học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà
chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau, trong đó có mặt
chữ số 0 nhưng khơng có mặt chữ số 1.

45.
46.

47.

48.

49.
50.

51.
52.

53.
54.
55.

2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần,
chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
(ĐHSP HN II 2001)
Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6
chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
(ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?
(ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,
2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3,

4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.
(ĐH Văn Lang 2001)
Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm
công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó
phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
(ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ
số khác nhau và không lớn hơn 789?
(ĐH khối D dự bị 1 2002)
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối
12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh
trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
(ĐH khối A 2003 dự bị 2)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
(ĐH khối B 2003 dự bị 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6
chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi
số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
(ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học
sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
(ĐH khối D 2003 dự bị 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn
mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
(CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.

b) 6 đường tròn phân biệt.


6
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói
trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau
và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số
khác nhau.
59. (ĐH khối B 2004)
Trong một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề
kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi
(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi,
sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn
bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)

Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập
một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số
gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm
nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng q 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C,
chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối
C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ
số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả
các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)


Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Trên đường thẳng d 1 cho 10 điểm
phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.

BÀI GIẢI
1.

2.

3.

(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
X ⊂ A
X = { 1} ∪ Y

1. 1∈ X ⇔ 
.
Y ⊂ { 3,4,5,6,7,8}
2 ∉ X

Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}
Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
2. Gọi
* m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy
từ A.
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy
từ A và bắt đầu bởi 123.
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n
• Tính m: Lập một số chẵn a5a4a3a2a1 gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2, a3, a4, a5
∈ A, có nghĩa là:
Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} → có 4 cách
Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A → có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
• Tính n: Lập một số chẵn 123a2a1 bắt đầu bởi 123; a1,a2∈ A; a1 ≠ a2
Lấy a1 từ {4,6,8} → có 3 cách

Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} → có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
(ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách
Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán:
2! cách
Nhóm sách Văn:
4! cách
Nhóm sách Anh:
6! cách
Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
(ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B
B A B A B A
B A B A B A

A B A B A B


8
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6
chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi.

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có
6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi
đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e ∈
{0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng 0bcde . Có 3 cách chọn e, và A36 cách chọn b, c, d từ
X \ {0,e}. Vậy có 3. A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde .
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả u cầu đề bài.
2. n = abcde
* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vị trí cho 1. Sau đó
chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có A74 cách.
Như thế: có 3. A74 = 2520 số hình thức thoả u cầu đề bài.
* Xem các số hình thức 0bcde . Có 2 cách chọn vị trí cho 1. Chọn chữ số khác
nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A36 .

5.

Như thế: có 2. A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde .
Kết luận: số các số n thoả u cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
(ĐH Huế khối A chun ban 1999)
4
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C15
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C24C15C16 = 180

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C14C52C16 = 240

6.

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C14C15C62 = 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra khơng đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645.
(ĐH Huế khối D chun ban 1999)
1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo u cầu đề bài.


2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn
là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}.
Do đó:
f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}.

* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có 9 chữ số
trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4,
5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1
lặp 5 lần).
9!
Vậy: có tất cả A94 =
= 6.7.8.9 = 3024 số.
5!
9. (ĐH Hàng hải 1999)
1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:

Tuyển tập Đại số tổ hợp
6
A10

Trần Só Tùng

10

5
− A10

= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:
A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
A69 − A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (khơng chọn chữ số 0)
Có A34 khả năng chọn 3 chữ số cuối.
⇒ Có 4. A34 = 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có A34 = 24 số
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có A32 = 6 khả
năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5.

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là A69 = 60480
2. Nhận xét: khơng thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
6
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
= 665280
A12
Số cách chọn sao cho khơng còn sách Văn là:

A56 .7 = 5040

Số cách chọn sao cho khơng còn sách Nhạc là:

A64 .A82 = 20160

Số cách chọn sao cho khơng còn sách Hoạ là:
A36 .A39 = 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ĐH Huế khối A chun ban 2000)
1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
* 2 nữ, 4 nam

→

2
4
có C15
cách
.C30

hoặc

* 3 nữ, 3 nam

→

3
3
có C15
cách
.C30

hoặc

* 4 nữ, 2 nam

→

4
2
có C15
cách
.C30

hoặc

* 5 nữ, 1 nam

→

5
có C15
.C130 cách

hoặc

* 6 nữ

→

6
có C15
cách

2
4
3
3
4
2
5
6
Vậy: có C15
+ C15
+ C15
+ C15
cách
.C30
.C30

.C30
.C130 + C15


2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C645 .
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0 hoặc abc2 hoặc abc4
* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
⇒ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
⇒ Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4
Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5 .
* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 5.4 = 20 số
* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
⇒ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể
là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
→ có 4 số
* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử → có
3! = 6 số.
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
15. (ĐH Y HN 2000)
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
C15 .C13 .C14 = 5.3.4 = 60
Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: C13 .C42 = 18

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: C32 .C14 = 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5
1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có A54 = 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có A52 cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có A34 = 24 cách.
Vậy có A52 . A34 = 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)


Tuyển tập Đại số tổ hợp

12

Trần Só Tùng

2
3
C10
.C10

1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ:
có 5400 cách
3

2
* 3 nam và 2 nữ:
có C10
= 5400 cách
.C10
4
* 4 nam và 1 nữ:
có C10
.C110 = 2100 cách
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
18. (ĐH Thái Ngun khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ
số này, xét các số khơng có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chọn
chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có mặt đủ các chữ
số 2, 3, 4.
19. (ĐH Thái Ngun khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a1a2a3a4 . Có hai khả năng:
1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 ∈ {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5
số có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là một số lẻ.
2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a 5 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số
có 5 chữ số a1a2a3a4a5 với tổng các chữ số là một số lẻ.
Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra
5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số
có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ.

20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có:
C52 cách chọn ra 2 viện bi đỏ.
4
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
C13
4
Vậy có: C52 . C13
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có C39 .C35 cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có C92 .C52 .C24 cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có C19 .C15 .C44 cách
Vậy có tất cả: C39 .C35 + C92 .C52 .C24 + C19 .C15 .C44 = 3045 cách.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn → có 5!5! cách


2. Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4,
1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng
còn lại 2 ô điền chữ số 6.
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5. C24 .1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 là 9.105 số
Với mỗi số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập được 5 số có 7 chữ số

a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5
chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5
chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng
sau lớn hơn chữ số liền trước.
9!
C59 =
Vậy số các số cần tìm là:
= 126.
5!4!
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả: C39 .C62 = C94 .C52 = C92 .C74 = 1260 cách
26. (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
2
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có C12 .C18
* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có C22 .C118
2
Vậy số chọn là: C12 .C18
+ C22 .C118 = 324 cách.
27. (HV Quân y 2000)
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số
cách xếp là A37 .
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số
cách xếp là C34 .

Vậy số cách xếp khác nhau là: A37 . C34 = 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau

chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau. Số
các hoán vị là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh
đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)


14
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:
u1 = 100017, 100035, …, un = 999999
với cơng sai d = 18. Do đó:
un = u1 + (n – 1)d ⇔ 999999 = 100017 + (n – 1).18 ⇔ n = 50000
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x = a1a2a3a4a5a6
Từ giả thiết ⇒ a1 ∈ {5,6,7,8,9}, a6 ∈ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a1 lẻ:
* a1 có 6 cách chọn
* a6 có 4 cách chọn
* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , mỗi cách chọn ứng với một chỉnh
hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. A84 = 40320 số
2. a1 chẵn:

* a1 có 2 cách chọn
* a6 có 5 cách chọn
* a2a3a4a5 có A84 cách chọn
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. A84 = 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5
là: 5. A35 = 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên khơng có mặt chữ số 0 là:
A54 = 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn u cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam:
có C39 cách
Chọn 2 em nữ:

có C62 cách

Vậy có: C39 . C62 = 1260 cách.
32. (ĐH An ninh khối D 2001)
Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ơ của hình sau:


Thế thì:
* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn C36 = 20 cách chọn vị trí cho 3 chữ
số 4.
* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chọn cho 3
chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.

33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách để bố trí 7
học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 học
sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trị quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số
nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam ⇒
số cách chia là: C36 .C24 = 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: C56 = 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:
C64 .C14 = 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 .
+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7.
Vậy có A57 = 2520 số.
+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có đúng một
trong 5 vị trí còn lại là a 2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4)
sẽ chỉ còn A64 số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. A64 = 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
• Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
• Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a ∈ {1,2,3,..,9}
⇒ có
9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:

Tuyển tập Đại số tổ hợp

16

Trần Só Tùng

* a111 với a ∈ {2,3,4, …,9} ⇒ có 8 số
* 1b11 với b ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
* 11c1 với c ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
* 111d với d ∈ {0,2,3,…, 9} ⇒ có 9 số
⇒ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi
chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
• Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó khơng có chữ số nào lặp lại
đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
5
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: C13
= 1287
* Số cách chọn 5 em tồn nam là: C57 = 21
* Số cách chọn 5 em tồn nữ là: C56 = 6
Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
38. (HV Kỹ thuật qn sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì khơng phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách
chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học
sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
• Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có C52 = 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có C58 = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
⇒ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
• Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có C35 = 10 cách chọn 3 học sinh khá.
* Có C84 = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.
⇒ Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ơ sau để viết số có 5 chữ số:


• Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: A35
⇒ Số các số thu được là: 4.4. A35 = 960 số
• Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: A54
⇒ Số các số thu được là: 5. A54 = 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn
chữ số hàng đơn vị. Vậy có 9.9.8 = 648 số.
2. • Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn
tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: A74 = 840
• Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.
* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)

* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
⇒ Số các số tạo thành: 3.6. A36 = 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
số các số có chứa 61 là 5! = 120
Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9.
Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi học sinh nữ
đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí (1;3;5); (2;4;6);
(3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).


18
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ.
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam vào 6 vị trí còn
lại là 6!.
Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9.
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng: a1a2a3a4a5a6 . Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a 2 đến a6:
có 5 cách xếp. Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này:

có A58 cách.
Vậy tất cả có: 5. A58 = 33600 cách.
2. Số được xét có dạng: a1a2a3a4a5a6a7 .
Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có C72 cách.
Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C35 cách.
Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2! C82 cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:
C72 . C35 .2! C82 = 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.
Đối với các số 0a2a3a4a5a6a7 :
* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có C62 cách.
* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C34 cách.
* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có: C62 . C34 .7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một lập từ
6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x = a1a2a3a4a5 ∈ X.
Nếu chọn a5 = 1 thì a1a2a3a4 ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 3, 4,
5, 7, 8 ⇒ có A54 số có chứ hàng đơn vị là 1.
Tương tự có A54 số có chứ hàng đơn vị là 3; …
⇒ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x ∈ X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). A54 = 3360.


Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x ∈ X là:
3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000

= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
2
20
1. Số tập con của A là: C020 + C120 + C20
= 220
+ ... + C20
2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
4
20
T = C220 + C20
+ ... + C20
2
20
Ta có: 0 = (1 – 1)20 = C020 − C120 + C20
− ... + C20
2
4
20
⇒ C020 + C20
= C120 + C320 + ... + C19
+ C20
+ ... + C20
20

(

0
2
4

20
2
20
⇒ C020 + C120 + C20
= 2 C20 + C20 + C20 + ... + C20
+ ... + C20
4
20
⇒ T = C220 + C20
=
+ ... + C20

)

220
− C020 = 219 – 1.
2

47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E.
Vì x chẵn nên c ∈ {2;4} ⇒ có 2 cách chọn c.
Với mỗi cách chọn c, có A24 cách chọn bc .
Vậy tất cả có: 2. A24 = 24 số chẵn.
2. Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345.
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta đều có x =
abc < 345. Loại này có: 2. A52 = 40 số.

b = 1hoaëc 2;
c ∈ E \ { a,b}

* Nếu a = 3 thì x = 3bc < 345 ⇔ 
c = 1hoaëc 2
b = 4;
Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2
trường hợp:
2
3
* 2 nam và 3 nữ: có C10
cách.
.C10
3
2
* 3 nam và 2 nữ: có C10
cách.
.C10
2
3
Vậy tất cả có: 2. C10
= 10800 cách.
.C10
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4
trường hợp:
4
* 1 nam và 4 nữ: có C110 .C10
cách.

Tuyển tập Đại số tổ hợp

Trần Só Tùng

20

2
3
* 2 nam và 3 nữ: có C10
cách.
.C10
3
2
* 3 nam và 2 nữ: có C10
cách.
.C10
4
1
* 4 nam và 1 nữ: có C10 .C10 cách.
4
2
3
Vậy tất cả có: 2. C110 .C10
+ 2. C10
.C10

= 15000 cách.

49. (ĐH Y HN 2001)
Ta xét các trường hợp sau:

1. Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 ⇒ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách
chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn
7 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách
chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.
2. Chữ số hàng đơn vị là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã
chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục.
⇒ Số các số thu được là: 6 số.
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.
50. (ĐH khối D dự bị 1 2002)
8
Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là: C18
= 43758
Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em
được chọn (số cách phải tìm).
Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số
em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên khơng có cách chọn nào mà cả 8 em thuộc
cùng một khối).
Bộ phận II có thể chia thành ba loại:
8
• 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có C13
cách.
8

• 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: có C12
cách.
8
• 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: có C11
cách.
8
8
8
8
Vậy số cách phải tìm là: C18
– ( C13
+ C12
+ C11
) = 41811 cách.
51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2)
Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0, 1, (2; 3),
4, 5. Số hốn vị của 5 phần tử này là P 5, phải loại trừ số trường hợp phần tử 0 ở
vị trí đầu gồm P4 trường hợp. Chú ý rằng đối với phần tử kép, ta có thể giao hốn
nên số trường hợp sẽ được nhân đơi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là:
2(P5 – P4) = 192 số.


52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1)
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số đã cho có
dạng: a1a2a3a4a5a6 (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj )
sao cho:
a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1
⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10

(1)
Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn trong 3 khả
năng sau:
• a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6}
• a1, a2, a3 ∈ {1; 4; 5}
• a1, a2, a3 ∈ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép
với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 . Vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6
chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! = 108 số.
53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Có 3 khả năng:
• 5 nam và 1 nữ: có C55 .C17 cách
• 4 nam và 2 nữ: có C54 .C72 cách
• 3 nam và 3 nữ: có C35 .C37 cách
Vậy tất cả có: C55 .C17 + C54 .C72 + C35 .C37 = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 cách.
54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc 2, 4, 6, 8.
• Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6
của 8 phần tử. Do đó có A68 số thuộc loại này.
• Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì 6 chữ số
còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu).

(

)

Vậy số các số loại này là: 4. A68 − A57 .

(

)

Vậy tất cả có: A68 + 4. A68 − A57 = 90720 số.
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa
2
của 10 đường thẳng phân biệt là C10
= 45 điểm.
b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa của
6 đường tròn phân biệt là 2. C62 = 30 điểm.
2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường tròn có tối đa 12 giao điểm. Do đó số giao điểm
tối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường tròn là: 10.12 = 120.
Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:
45 + 30 + 120 = 195 điểm.


22
Tuyển tập Đại số tổ hợp
Trần Só Tùng
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2 của n phần
tử ⇒ Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là: Cn2
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường chéo
n(n − 1)
⇒ Cn2 = n + 2n ⇔
= 3n ⇔ n2 – n = 6n
2
n = 7
⇔ n2 – 7n = 0 ⇔ 
n = 0 (loại)

Vậy n = 7.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Gọi số cần tìm là: x = a1a2a3
Vì x < 245 nên a1 = 1 hoặc a1 = 2
• a1 = 1:
x = 1a2a3
a2, a3 là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5
⇒ Có: A24 = 4.3 = 12 số
• a1 = 2:
x = 2a2a3
a2 có 2 khả năng:
* a2 < 4 ⇒ a2 ∈ {1, 3} ⇒ a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại
⇒ Có 2.3 = 6 số
* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a3 có 2 cách chọn ⇒ Có 2 số
⇒ Có 6 + 2 = 8 số x = 2a2a3
Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả u cầu đề bài.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 .
Chọn a4 từ {1, 5, 9} ⇒ có 3 cách chọn.
Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ có 3 cách chọn.
Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ có 3 cách chọn.
Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ có 2 cách chọn.
Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn u cầu đề bài.
59. (ĐH khối B 2004)
Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp sau:
2
2
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó ⇒ có C15
.C10
.C15 đề.

2
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó ⇒ có C15
.C110 .C52 đề.
3
1
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó ⇒ có C15
.C10
.C15 đề.
Vậy tất cả có:
2
2
2
3
1
C15
.C10
.C15 + C15
.C110 .C52 + C15
.C10
.C15 = 23625 + 10500 + 22750
= 56875 đề.
60. (ĐH khối B 2005)


4
Có C13C12
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi

cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có C12C84 cách
phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công

các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có C11C44 cách
phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba.
4
Vậy tất cả có: C13C12
. C12C84 . C11C44 = 207900 cách phân công.
61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)
Gọi x = a1a2a3a4a5a6 là số cần lập.
YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} hoặc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}
a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5}
• Có 6 cách chọn a1
• Có 5 cách chọn a2
• Có 3! cách chọn a3, a4, a5
• Có 4 cách chọn a6
⇒ Có: 6.5.6.4 = 720 số x.
b) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x.
Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x.
62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)
Ta có các trường hợp:
5
• 3 nữ và 5 nam: có C35C10
= 2520 cách.
4
• 4 nữ và 4 nam: có C54C10
= 1050 cách.
3
• 5 nữ và 3 nam: có C55C10
= 120 cách.
Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.
63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
• Cách 1: Gọi x = a1a2a3a4a5 là số cần lập.

Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có A52 = 20 cách.
Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên.
4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai.
3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba.
Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số.
• Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có A52 = 20 cách.
* Bước 2: có A35 = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại.
Vậy có 20.60 = 1200 số.
64. (ĐH khối D 2006)
4
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C12
= 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:


24
Tuyển tập Đại số tổ hợp
• Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.

Trần Só Tùng

⇒ Số cách chọn là: C52C14C13 = 120

• Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là: C15C42C13 = 90
• Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:

⇒ Số cách chọn là: C15C14C32 = 60

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
• Số cách chọn 2 học sinh khối C là: C52 = 10
• Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn bất kì là:
C13
25 = 5200300
4
9
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: C15
C10
3 10
Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: C15
C10
⇒ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là:
4
9
3 10
+ C15
C15
C10
C10 = 13650 + 455 = 14105

⇒ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(

)

4
9
3
10
C13
25 − C15 .C10 + C15 .C10 = 5186195

• Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:
4
9
3
10 
C52 C13
25 − C15 .C10 + C15 .C10  = 51861950
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C24 cách.
Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách.
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách.
Vậy tất cả có: C24 .3. A82 = 1008 số thoả u cầu đề bài.
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
• Gọi ab là số tự nhiên phải tìm ⇒ a ≠ 0
Do ab chẵn nên b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
Có 2 trường hợp:
* Nếu b = 0 thì a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⇒ có 9 cách chọn a.
⇒ có 9 số a0
* Nếu b ≠ 0 thì b ∈ {2, 4, 6, 8} ⇒ có 4 cách chọn b.
Khi đó có 8 cách chọn a.
⇒ có 4.8 = 32 số ab
Vậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm.

(

)


• Đặt S là tổng của 41 số đó.
S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
10 + 98
= 45.
– 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.
2
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
2
• Hai đỉnh thuộc d1, một đỉnh thuộc d2: có C10
.8 tam giác

• Hai đỉnh thuộc d2, một đỉnh thuộc d1: có C82 .10 tam giác
2
Vậy tất cả có: C10
.8 + C82 .10 = 640 tam giác.

Phần II. BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON
1.
2.

3.
4.

5.

6.

(CĐSP TPHCM 1999)
k
k+ 2
k +1
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:
C14
+ C14
= 2C14
(ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
6
7
8
9
10
Tính tổng: C10
+ C10
+ C10
+ C10
+ C10
trong đó Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử.
(ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
Tìm các số nguyên dương x thoả:
C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 − 14x
(ĐH Bách khoa HN 1999)
Tính tổng: S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn
trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.
(ĐHQG HN khối A 2000)
+1

1001
Chứng minh rằng:
Ck2001 + Ck2001
≤ C1000
2001 + C2001
(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)
(ĐHQG HN khối B 2000)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:
17

7.

8.

 1

4

+ x3 ÷ , x ≠ 0
3 2
÷
 x

(ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
1 2
6
A2x − A2x ≤ .C3x + 10
Giải bất phương trình:
2
x

(ĐHSP HN khối A 2000)
n

28 

−
Trong khai triển nhị thức  x3 x + x 15 ÷ , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào

÷



9.

x, biết rằng Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79
(ĐHSP HN khối BD 2000)