Toán3
NguyễnThịVân
BÀI TẬP TOÁN III – BUỔI 2
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 3:
+ Khái niệm & tính chất của định thức
+ Các cách tính định thức
+ Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo
1.( 1T287) Khi một ma trận cỡ 4×4 có detA =
Đs: det(2A) = 8 , det(- A) =1/2, det( A2 ) =
1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1).
2
1
, det( A−1 ) = 2.
4
2. ( 3T287) Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai:
(a)
Định thức của I + A bằng 1 + detA.
(b) Định thức của ABC bằng |A||B||C| với A, B, C là các ma trận vuông.
(c)
Định thức của 4A bằng 4|A|.
(d) Định thức của AB − BA bằng không (Thử cho một ví dụ.)
Đs: sai, đúng, sai, sai.
a b c
3. Cho d e f = 7. Tính các định thức sau dựa vào định thức đã biết.
g h i
a b 4c
a) d e 4f ;
a b c+a
b) d e f + d ;
g h i
c) d e f ;
g h 4i
g h i+g
a b c
Đs: a) 28
b) 7
c) -7
a b 2c + a
d) d e 2f + d .
g h 2i + g
d) 14
⎡1 2 3⎤
4. ( 1T301) Tính các định thức của A bằng cách tính tổng của sáu phần tử: A = ⎢3 1 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 2 1⎥⎦
Đs: 12
5. ( 14T288) Áp dụng các phép toán hàng hoặc cột để đưa các ma trận về dạng ma trận tam giác trên U,
1
Toán3
⎡1
⎢2
rồi tính det ⎢
⎢− 1
⎢
⎣0
NguyễnThịVân
2 3 0⎤
6 6 1⎥⎥
0 0 3⎥
⎥
2 0 7⎦
Đs: 36
6. ( 19T289) Tìm định thức của U, U
−1
⎡1 4 6 ⎤
(a) U = ⎢0 2 5⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 3⎥⎦
2
và U :
⎡a b ⎤
(b) U = ⎢
⎥
⎣0 d ⎦
(b): ad, 1/ad, (ad)2.
Đs: (a): 6, 1/6, 36
⎡1 2
⎢0 − 3
7. Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số: A = ⎢
⎢3 0
⎢
⎣b 4
1 ⎤
5 ⎥⎥
2 6⎥
⎥
0 − 4⎦
a
0
Đs: 24a + 26b -18ab – 16
⎡1 1
⎢ a −3
8. Tính định thức của ma trận A = ⎢
⎢2 1
⎢
⎣2 7
3 5⎤
x b ⎥⎥
3 5⎥
⎥
0 y⎦
Đs: xy + 21b – 35x + 9y
9. Tính các định thức
a)
2 −5
3 −4
4 3
7 5
4 −9
8 5
−3 2
−5 3
;
b)
3−3 −2 −5
2 5 4 6
5 5
8 7
4 4
5 6
;
c)
5 1
3 0
2 7
0 2
1 3
4 5
2 0
0 3
10. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng việc sử dụng công thức phần phụ đại số biết
⎡0 1
A= ⎢⎢ 2 3
⎢⎣ 4 4
2⎤
3⎥⎥ .
4⎥⎦
2
Toán3
Đs: A
_1
NguyễnThịVân
⎛ 0 4 −3 ⎞
1 ⎜
⎟
=
4 −8 4 ⎟
⎜
4 ⎜
⎟
⎝ −4 4 −2 ⎠
11. Giải các hệ sau bằng quy tắc Cramer
a) x + 2y + 4z = 31,
b) 2x + 5y - 2z - 14 = 0
5x + y + 2z = 29,
9x - y + 4z - 3
=0
3x -
x - 4 y + 2z +9
=0
y + z = 10.
12. Dùng tiêu chuẩn về định thức để tìm điều kiện của tham số sao cho ma trận sau khả nghịch.
⎛2 1
⎜
⎜3 2
⎜1 1
⎜
⎜2 −1
⎝
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
1 1⎟
⎟
0 a ⎟⎠
Đs: a ≠ 0
PHẦN 4:
+ Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không
gian con hay không?
+ Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT).
13. ( 10T146) Tập hợp con nào sau đây của R 3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường
3
3
trong ! là không gian con của ! ?
(a) Mặt phẳng chứa các vectơ
( x, y, z ) : x = y
(b) Mặt phẳng chứa các vectơ
( x, y, z ) : x = 0
(c) Mặt phẳng chứa các vectơ
( x, y, z ) :
x. y . z = 0
(d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1, 4, 0) và w = (2, 2, 2)
(e) Tất cả các vectơ
( x, y, z) : x + y + z = 0
(f) Tất cả các vectơ
( x, y, z ) : x ≤ y ≤ z .
Đs: * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) là không gian con;
* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con.
3
Toán3
NguyễnThịVân
!
14. Cho W là tập tất cả các vectơ thuộc ! mà có dạng v = (x + y, x - y + 2z, y, z). Chứng minh rằng
4
4
W là không gian con của ! .
3
15. Cho W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! | x1 + x3 = m }, trong đó m là hằng số thực. Tìm m để W là một
không gian con.
Đs: m = 0
16. Tập hợp W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! 4 | x3 = x1 + x2 ,x1 = x4 } có phải là một không gian con của
4
không gian vectơ ! ?
⎡ 1 2 3⎤
17. Cho A = ⎢ 2 4 6⎥ . Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận A? . Từ đó chỉ ra véc
⎢
⎥
⎢⎣ −1 4 6⎥⎦
tơ (0,0,6) ∈ C ( A) và (-2,2,3) ∈ C ( AT ) .
Đs:
C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2) ,
⎡0 ⎤
! ⎢ ⎥
v = ⎢0 ⎥ ∈C( A)
⎢⎣6 ⎥⎦
C ( AT ) là mặt phẳng trong không gian
với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)
⎡ −2 ⎤
! ⎢ ⎥
v = ⎢ 2 ⎥ ∈C( AT )
⎢⎣7 ⎥⎦
18.
⎡ 2 4 2⎤
Mô tả hình học bốn không gian của ma trận B = ⎢0 4 4⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 8 8⎥⎦
( )
Đs: +) Không gian cột C B = ! 3
( ) {
(
)
}
+) Không gian nghiệm N B = x = c1 1,−1,1 ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1)
trong không gian ! 3
+) Không gian hàng C ( BT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và
4
Toán3
NguyễnThịVân
( 0, 1, 1).
( ) {
(
)
+) Không gian nghiệm N BT = x = c1 0,−2,1 ; c1 ∈!
}
là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2,
1) trong không gian ! 3
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1. det A =
1
⇒ det(2A) = 24 det A = 8
2
1
4
det( A2 ) = (det A) 2 =
det(- A) = (−1) 4 det A =
,
,
1
2
det( A−1 ) = (det A)−1 = 2
2. (a) Sai.
⎛1 2⎞
⎟ ⇒ det A = 4 – 6 = - 2 và A + I =
⎝3 4⎠
Ví dụ: A= ⎜
⎛ 2 2⎞
⎜
⎟ ⇒ det (A + I) = 10 – 6 = 4 ≠ det A + 1
⎝3 5⎠
(b) Đúng vì det(ABC) = det((AB).C) = det(AB).detC = detA .detB. detC
(c) Sai
⎛1 2⎞
⎟ ⇒ det A = -2 và 4A =
⎝3 4⎠
Ví dụ: A = ⎜
(d) Sai.
⎛1 2⎞
⎟, B =
3
4
⎝
⎠
Ví dụ: A = ⎜
⎛1 0 ⎞
⎜
⎟
⎝1 1 ⎠
⎛4 8⎞
⎜
⎟ ⇒ det(4A) = 56 – 96 = - 40 ≠ 4det A
⎝12 16 ⎠
⎛ 3 2⎞
⎟ , B.A =
7
4
⎝
⎠
⇒ A.B = ⎜
⎛1 2⎞
⎜
⎟
⎝4 6⎠
⎛2 0 ⎞
⎛2 0 ⎞
⎟ ⇒ det(AB - BA) = det ⎜
⎟=-4
⎝ 3 −2 ⎠
⎝ 3 −2 ⎠
⇒ AB – BA = ⎜
a b 4c
a b c
3. a) d e 4 f = 4 d e f = 28
g h 4i
g h i
a b c+a
a b c a b a
a b c
b) d e f + d = d e f + d e d = d e f = 7
g h i+g g h i g h g g h i
5
Toán3
NguyễnThịVân
g h i
a b c
c) d e f = − d e f = −7
a b c
g h i
a b 2c + a
a b c
a b a
a b c
d) d e 2 f + d == 2 d e f + d e d = 2 d e f = 14 .
g h 2i + g
g h i g h g
g h i
4. +) detA = 1.1.1 + 3.3.2 + 3.2.2 – 3.1.3 – 1.2.3 – 1.2.2 = 12 ≠ 0. Các hàng của A độc lập .
+) detB = 1.4.7 + 3.4.6 + 5.4.2 – 5.4.3 – 7.4.2 – 1.6.4 = 0. Các hàng của B không độc lập.
+) det C = 1.1.0 + 1.0.1 + 1.0.1 – 1.1.1 – 0.1.1 – 0.0.1 = -1. Các hàng của C không độc lập.
⎛1
⎜
2
5. +) det ⎜
⎜ −1
⎜
⎝0
2 3 0⎞
⎛1
⎟
⎜
6 6 1⎟
0
= det ⎜
⎜0
0 0 3⎟
⎟
⎜
2 0 7⎠
⎝0
⎛ 2 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
−1 2 −1 0 ⎟
+) det ⎜
⎜ 0 −1 2 −1⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 2⎠
1
.2 h2 + h1
2
=
1
.4 h4 + h3
4
=
6.
2 3 0⎞
⎛1
⎟
⎜
2 0 1⎟
0
= det ⎜
⎜0
2 3 3⎟
⎟
⎜
2 0 7⎠
⎝0
2 3 0⎞
⎟
2 0 1⎟
= 1× 2 × 3 × 6 = 36
0 3 2⎟
⎟
0 0 6⎠
⎛ 2 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
0 3 −2 0 ⎟
1
det ⎜
⎜ 0 −1 2 −1⎟
2
⎜
⎟
⎝ 0 0 −1 2 ⎠
1
.3 h3 − h2
3
=
⎛ 2 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
1 ⎜ 0 3 −2 0 ⎟
det
6 ⎜ 0 0 4 −3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 −1 2 ⎠
⎛ 2 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
0 3 −2 0 ⎟
1
1
det ⎜
=
× 2 × 3× 4 × 5 = 5
⎜ 0 0 4 −3 ⎟ 24
24
⎜
⎟
⎝0 0 0 5 ⎠
⎛1 4 6⎞
1
1
(a) U = ⎜ 0 2 5 ⎟ ⇒ detU = 1.2.3 = 6 ⇒ det U −1 =
=
⎜
⎟
6
detU
⎜ 0 0 3⎟
⎝
⎠
⎛a b ⎞
⎟ ⇒ detU = ad
0
d
⎝
⎠
(b) U = ⎜
⇒ det U −1 =
1
(a, d ≠ 0)
ad
⇒ det U 2 = (det U )2 = 36
⇒ det U 2 = (ad )2
6
Toán3
7 Khai triển Laplace dòng thứ 2 ⇒ detA = (−3).(−1)
NguyễnThịVân
2+ 2
⎛1 a 1 ⎞
⎛1 2 a⎞
⎜
⎟
⎟
2+ 4 ⎜
⎜ 3 2 6 ⎟ + 5.(−1) ⎜ 3 0 2 ⎟
⎜ b 0 −4 ⎟
⎜b 4 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
= 24a + 26b – 18ab – 31.
⎡1 1
⎢ a −3
8. det A = det ⎢
⎢2 1
⎢
⎣2 7
3 5⎤
1
⎡ 1
⎥
⎢
x b⎥
a −3
= det ⎢
⎢1 + 1 1
3 5⎥
⎥
⎢
0 y⎦
7
⎣ 2
3 5⎤
⎡1 1
⎥
⎢ a −3
x b⎥
= det ⎢
⎢1 1
3 5⎥
⎥
⎢
0 y⎦
⎣2 7
3 5⎤
⎡0 1
⎥
⎢0 −3
x b⎥
+ det ⎢
⎢1 1
3 5⎥
⎥
⎢
0 y⎦
⎣0 7
3 5⎤
x b ⎥⎥
3 5⎥
⎥
0 y⎦
⎡1 3 5 ⎤
= det ⎢ −3 x b ⎥ = xy + 21b – 35x + 9y
⎢
⎥
⎢⎣7 0 y ⎥⎦
10. Công thức: A−1 =
⎛ C11 C12
⎜
C = ⎜ C21 C22
⎜C
⎝ 31 C32
1 T
i+ j
C ; Cij = ( −1) M ij
A
C13 ⎞
⎟
C23 ⎟ =
C33 ⎟⎠
⎛ 0 4 −4 ⎞
⎜
⎟
⎜ 4 −8 4 ⎟
⎜ −3 4 −2 ⎟
⎝
⎠
detA = 2. C21 + 4. C31 = − 4.
4 −3 ⎞
4 −3 ⎞
⎛ 0
⎛ 0
1 ⎜
⎜
⎟
⎟
_1
C = ⎜ 4 −8 4 ⎟ → A =
4 −8 4 ⎟
⎜
4 ⎜
⎜ −4 4 −2 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎝ −4 4 −2 ⎠
T
11. Cho hệ phương trình tuyến tính n × n : Ax = b .
Nếu det A ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: xi =
det Bi
det A
(1 ≤ i ≤ n ) .
Bi nhận được từ
A khi thay véc tơ b vào cột thứ i.
12. Nếu A có det A ≠ 0 thì tồn tại ma trận A khả nghịch hay A có ma trận nghịch đảo.
7
Toán3
⎛2 1
⎜
3 2
det ⎜
⎜1 1
⎜
⎝ 2 −1
0 0 ⎞
⎟ 1 . 2 h −h
0 0 ⎟2 1 2 1
=
det
1 1 ⎟
2
⎟
0 a⎠
⎛
⎛1 0 0
1⎜
3+ 4
⎜
= ⎜1. ( −1) det ⎜ 3 2 0
2⎜
⎜ 2 −1 0
⎝
⎝
⎛1 0
⎜
⎜3 2
⎜1 1
⎜
⎝ 2 −1
NguyễnThịVân
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
1 1 ⎟
⎟
0 a⎠
⎞
⎛1
4+ 4
⎟
⎜
⎟ + a ( −1) det ⎜ 3
⎟
⎜1
⎠
⎝
⎞⎞
⎟⎟ 1
⎟ ⎟ = 2 .a.2 = a
⎟⎟
⎠⎠
0 0
2 0
1 1
det A ≠ 0 ⇔ a ≠ 0
13. * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) cùng với các phép toán thỏa mãn hai yêu cầu của một không gian con
* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con vì:
+ Nếu lấy hai vectơ (1, 2, 0) và (0, 1, 2) tập hợp (c) thì tổng của chúng là (1, 3, 2) không còn thuộc (c).
+ Nếu lấy vectơ (1, 2, 3) thuộc tập hợp (f) thì -1(1, 2, 3) = (-1, -2, -3) không còn thuộc vào (f).
15. W ⊂ ! . Để W là không gian con thì
3
!
"!
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈W : x1 + x3 = m, y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈W: y1 + y3 = m thỏa mãn:
! "!
x + y ∈W
!
c x ∈W
(1);
( 2)
! "!
Từ (1) x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ): x1 + y1 + x3 + y3 = m → 2m = m → m = 0
!
(
!
)
Thay m = 0 thì c x = cx1 , cx2 ,cx3 : cx1 + cx3 = c.0 = 0 → c x ∈W
!
Ngoài ra, khi m = 0 thì 0 ∈W nên W ≠ ∅
3
Vậy m = 0 thì W là không gian con của ! .
17. +) Không gian cột C(A) là tổ hợp tuyến tính của các cột:
⎡a⎤
⎡1 ⎤
⎡2⎤
⎡3 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
! ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
v = ⎢ b ⎥ ∈C( A) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢6 ⎥ = x1 ⎢ 2 ⎥ + (2x2 + 3x3 ) ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ c ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
8
Toán3
NguyễnThịVân
C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2)
⎡0 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
! ⎢ ⎥
!
⎢ ⎥
⎢ ⎥
v = ⎢0 ⎥ ∈C( A) vì v = (−2). ⎢ 2 ⎥ + 2. ⎢ 2 ⎥
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
+) Không gian C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:
⎡a⎤
⎡1 ⎤
⎡2⎤
⎡ −1⎤
⎡1 ⎤
⎡ −1⎤
! ⎢ ⎥
!
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
v = ⎢ b ⎥ ∈C( AT ) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥ = (x1 + 2x2 ) ⎢ 2 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥
⎢⎣ c ⎥⎦
⎢⎣3 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
C ( AT ) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)
⎡ −2 ⎤
⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤
! ⎢ ⎥
!
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
T
v = ⎢ 2 ⎥ ∈C( A ) vì v = (−1). ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 4 ⎥
⎢⎣7 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦
18.
+)
Không
gian
cột
C(B)
là
tổ
hợp
tuyến
tính
của
các
cột:
⎧⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎫
⎡a ⎤
⎡ 2⎤
⎡ 4⎤
⎡ 2⎤
⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪
v = ⎢⎢b ⎥⎥ ∈ C ( A) ⇔ v = x1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + x2 ⎢⎢ 4⎥⎥ + x3 ⎢⎢ 4⎥⎥ . Bên cạnh đó, ⎨ ⎢0 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ ⎬ độc lập tuyến tính
⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎪
⎢⎣c ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭
→ C ( B) = !3
⎡ 2 4 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ ⎥
+) Không gian nghiệm N(B) là tập nghiệm của Bx = 0: ⎢ 0 4 4 ⎥ . x2 = ⎢0 ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 8 8 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
⎡2 4 2 0⎤ ⎡2 4 2 0⎤
⎡ x3 ⎤
⎡1 ⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 4 4 0 ⎥ → ⎢ 0 4 4 0 ⎥ . Nên x1 + 2 x2 + x3 = 0; x2 + x3 = 0 . Vậy x = ⎢ − x3 ⎥ = x3 ⎢ −1⎥ .
⎢⎣ 0 8 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 ⎥⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
{
}
→ N ( B ) = x = c1 (1,−1,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1) trong không gian ! 3
+) Không gian hàng C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:
9
Toán3
NguyễnThịVân
⎡a ⎤
⎡ 2⎤
⎡0 ⎤
⎡0⎤
⎡ 2⎤
⎡0⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
T
v = ⎢b ⎥ ∈ C ( A ) ⇔ v = x1 ⎢ 4⎥ + x2 ⎢ 4⎥ + x3 ⎢8 ⎥ = x1 ⎢ 4⎥ + (4 x2 + 8 x3 ) ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣c ⎥⎦
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 4⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
C ( AT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và ( 0, 1, 1).
+) Không gian nghiệm N(BT) là tập nghiệm của BTy = 0:
⎡ 2 0 0⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤
⎢ 4 4 8 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ → ⎢ 4 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ 2 4 8 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 2 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦
⎡0
⎤
⎡0 ⎤
⎢
⎥
Nên x1 = 0; x2 + 2 x3 = 0 . Vậy x = −2 x3 = x3 ⎢ −2 ⎥ .
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
( ) {
}
→ N BT = x = c1 ( 0,−2,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2, 1) trong không gian
!3
10