Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

Các bài tập về định thức và lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.29 MB, 10 trang )

Toán3



NguyễnThịVân

BÀI TẬP TOÁN III – BUỔI 2
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 3:
+ Khái niệm & tính chất của định thức
+ Các cách tính định thức
+ Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo
1.( 1T287) Khi một ma trận cỡ 4×4 có detA =
Đs: det(2A) = 8 , det(- A) =1/2, det( A2 ) =

1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1).
2

1
, det( A−1 ) = 2.
4

2. ( 3T287) Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai:
(a)

Định thức của I + A bằng 1 + detA.

(b) Định thức của ABC bằng |A||B||C| với A, B, C là các ma trận vuông.
(c)


Định thức của 4A bằng 4|A|.

(d) Định thức của AB − BA bằng không (Thử cho một ví dụ.)
Đs: sai, đúng, sai, sai.

a b c
3. Cho d e f = 7. Tính các định thức sau dựa vào định thức đã biết.
g h i
a b 4c
a) d e 4f ;

a b c+a
b) d e f + d ;

g h i
c) d e f ;

g h 4i

g h i+g

a b c

Đs: a) 28

b) 7

c) -7

a b 2c + a

d) d e 2f + d .
g h 2i + g
d) 14

⎡1 2 3⎤
4. ( 1T301) Tính các định thức của A bằng cách tính tổng của sáu phần tử: A = ⎢3 1 2⎥


⎢⎣3 2 1⎥⎦

Đs: 12
5. ( 14T288) Áp dụng các phép toán hàng hoặc cột để đưa các ma trận về dạng ma trận tam giác trên U,

1



Toán3



⎡1
⎢2
rồi tính det ⎢
⎢− 1

⎣0

NguyễnThịVân


2 3 0⎤
6 6 1⎥⎥
0 0 3⎥

2 0 7⎦

Đs: 36
6. ( 19T289) Tìm định thức của U, U

−1

⎡1 4 6 ⎤
(a) U = ⎢0 2 5⎥


⎢⎣0 0 3⎥⎦

2

và U :

⎡a b ⎤

(b) U = ⎢

⎣0 d ⎦

(b): ad, 1/ad, (ad)2.

Đs: (a): 6, 1/6, 36


⎡1 2
⎢0 − 3
7. Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số: A = ⎢
⎢3 0

⎣b 4

1 ⎤
5 ⎥⎥
2 6⎥

0 − 4⎦

a
0

Đs: 24a + 26b -18ab – 16

⎡1 1
⎢ a −3
8. Tính định thức của ma trận A = ⎢
⎢2 1

⎣2 7

3 5⎤
x b ⎥⎥
3 5⎥


0 y⎦

Đs: xy + 21b – 35x + 9y
9. Tính các định thức

a)

2 −5
3 −4

4 3
7 5

4 −9

8 5

−3 2

−5 3

;

b)

3−3 −2 −5
2 5 4 6
5 5

8 7


4 4

5 6

;

c)

5 1
3 0

2 7
0 2

1 3

4 5

2 0

0 3

10. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng việc sử dụng công thức phần phụ đại số biết
⎡0 1
A= ⎢⎢ 2 3
⎢⎣ 4 4

2⎤
3⎥⎥ .

4⎥⎦

2



Toán3

Đs: A

_1



NguyễnThịVân

⎛ 0 4 −3 ⎞
1 ⎜

=
4 −8 4 ⎟

4 ⎜

⎝ −4 4 −2 ⎠

11. Giải các hệ sau bằng quy tắc Cramer
a) x + 2y + 4z = 31,

b) 2x + 5y - 2z - 14 = 0


5x + y + 2z = 29,

9x - y + 4z - 3

=0

3x -

x - 4 y + 2z +9

=0

y + z = 10.

12. Dùng tiêu chuẩn về định thức để tìm điều kiện của tham số sao cho ma trận sau khả nghịch.

⎛2 1

⎜3 2
⎜1 1

⎜2 −1


0 0 ⎞

0 0 ⎟
1 1⎟


0 a ⎟⎠

Đs: a ≠ 0
PHẦN 4:
+ Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không
gian con hay không?
+ Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT).
13. ( 10T146) Tập hợp con nào sau đây của R 3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường
3
3
trong ! là không gian con của ! ?

(a) Mặt phẳng chứa các vectơ

( x, y, z ) : x = y

(b) Mặt phẳng chứa các vectơ

( x, y, z ) : x = 0

(c) Mặt phẳng chứa các vectơ

( x, y, z ) :

x. y . z = 0

(d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1, 4, 0) và w = (2, 2, 2)
(e) Tất cả các vectơ

( x, y, z) : x + y + z = 0


(f) Tất cả các vectơ

( x, y, z ) : x ≤ y ≤ z .

Đs: * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) là không gian con;
* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con.
3



Toán3



NguyễnThịVân
!
14. Cho W là tập tất cả các vectơ thuộc ! mà có dạng v = (x + y, x - y + 2z, y, z). Chứng minh rằng
4

4
W là không gian con của ! .

3

15. Cho W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! | x1 + x3 = m }, trong đó m là hằng số thực. Tìm m để W là một
không gian con.
Đs: m = 0

16. Tập hợp W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! 4 | x3 = x1 + x2 ,x1 = x4 } có phải là một không gian con của

4

không gian vectơ ! ?
⎡ 1 2 3⎤
17. Cho A = ⎢ 2 4 6⎥ . Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận A? . Từ đó chỉ ra véc


⎢⎣ −1 4 6⎥⎦

tơ (0,0,6) ∈ C ( A) và (-2,2,3) ∈ C ( AT ) .
Đs:

C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2) ,

⎡0 ⎤
! ⎢ ⎥
v = ⎢0 ⎥ ∈C( A)
⎢⎣6 ⎥⎦

C ( AT ) là mặt phẳng trong không gian

với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)

⎡ −2 ⎤
! ⎢ ⎥
v = ⎢ 2 ⎥ ∈C( AT )
⎢⎣7 ⎥⎦

18.


⎡ 2 4 2⎤
Mô tả hình học bốn không gian của ma trận B = ⎢0 4 4⎥


⎢⎣0 8 8⎥⎦

( )

Đs: +) Không gian cột C B = ! 3

( ) {

(

)

}

+) Không gian nghiệm N B = x = c1 1,−1,1 ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1)
trong không gian ! 3
+) Không gian hàng C ( BT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và
4



Toán3



NguyễnThịVân


( 0, 1, 1).

( ) {

(

)

+) Không gian nghiệm N BT = x = c1 0,−2,1 ; c1 ∈!

}

là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2,

1) trong không gian ! 3
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1. det A =

1
⇒ det(2A) = 24 det A = 8
2
1
4

det( A2 ) = (det A) 2 =

det(- A) = (−1) 4 det A =

,


,

1
2

det( A−1 ) = (det A)−1 = 2

2. (a) Sai.

⎛1 2⎞
⎟ ⇒ det A = 4 – 6 = - 2 và A + I =
⎝3 4⎠

Ví dụ: A= ⎜

⎛ 2 2⎞

⎟ ⇒ det (A + I) = 10 – 6 = 4 ≠ det A + 1
⎝3 5⎠

(b) Đúng vì det(ABC) = det((AB).C) = det(AB).detC = detA .detB. detC
(c) Sai

⎛1 2⎞
⎟ ⇒ det A = -2 và 4A =
⎝3 4⎠

Ví dụ: A = ⎜


(d) Sai.

⎛1 2⎞
⎟, B =
3
4



Ví dụ: A = ⎜

⎛1 0 ⎞


⎝1 1 ⎠

⎛4 8⎞

⎟ ⇒ det(4A) = 56 – 96 = - 40 ≠ 4det A
⎝12 16 ⎠
⎛ 3 2⎞
⎟ , B.A =
7
4



⇒ A.B = ⎜

⎛1 2⎞



⎝4 6⎠

⎛2 0 ⎞
⎛2 0 ⎞
⎟ ⇒ det(AB - BA) = det ⎜
⎟=-4
⎝ 3 −2 ⎠
⎝ 3 −2 ⎠

⇒ AB – BA = ⎜

a b 4c
a b c
3. a) d e 4 f = 4 d e f = 28
g h 4i
g h i
a b c+a
a b c a b a
a b c
b) d e f + d = d e f + d e d = d e f = 7
g h i+g g h i g h g g h i
5



Toán3




NguyễnThịVân

g h i
a b c
c) d e f = − d e f = −7
a b c

g h i

a b 2c + a
a b c
a b a
a b c
d) d e 2 f + d == 2 d e f + d e d = 2 d e f = 14 .
g h 2i + g
g h i g h g
g h i
4. +) detA = 1.1.1 + 3.3.2 + 3.2.2 – 3.1.3 – 1.2.3 – 1.2.2 = 12 ≠ 0. Các hàng của A độc lập .
+) detB = 1.4.7 + 3.4.6 + 5.4.2 – 5.4.3 – 7.4.2 – 1.6.4 = 0. Các hàng của B không độc lập.
+) det C = 1.1.0 + 1.0.1 + 1.0.1 – 1.1.1 – 0.1.1 – 0.0.1 = -1. Các hàng của C không độc lập.

⎛1

2
5. +) det ⎜
⎜ −1

⎝0


2 3 0⎞
⎛1


6 6 1⎟
0
= det ⎜
⎜0
0 0 3⎟


2 0 7⎠
⎝0

⎛ 2 −1 0 0 ⎞


−1 2 −1 0 ⎟
+) det ⎜
⎜ 0 −1 2 −1⎟


⎝0 0 0 2⎠

1
.2 h2 + h1
2

=


1
.4 h4 + h3
4

=

6.

2 3 0⎞
⎛1


2 0 1⎟
0
= det ⎜
⎜0
2 3 3⎟


2 0 7⎠
⎝0

2 3 0⎞

2 0 1⎟
= 1× 2 × 3 × 6 = 36
0 3 2⎟

0 0 6⎠


⎛ 2 −1 0 0 ⎞


0 3 −2 0 ⎟
1
det ⎜
⎜ 0 −1 2 −1⎟
2


⎝ 0 0 −1 2 ⎠

1
.3 h3 − h2
3

=

⎛ 2 −1 0 0 ⎞


1 ⎜ 0 3 −2 0 ⎟
det
6 ⎜ 0 0 4 −3 ⎟


⎝ 0 0 −1 2 ⎠

⎛ 2 −1 0 0 ⎞



0 3 −2 0 ⎟
1
1
det ⎜
=
× 2 × 3× 4 × 5 = 5
⎜ 0 0 4 −3 ⎟ 24
24


⎝0 0 0 5 ⎠

⎛1 4 6⎞
1
1
(a) U = ⎜ 0 2 5 ⎟ ⇒ detU = 1.2.3 = 6 ⇒ det U −1 =
=


6
detU
⎜ 0 0 3⎟



⎛a b ⎞
⎟ ⇒ detU = ad
0
d




(b) U = ⎜

⇒ det U −1 =

1
(a, d ≠ 0)
ad

⇒ det U 2 = (det U )2 = 36

⇒ det U 2 = (ad )2

6



Toán3



7 Khai triển Laplace dòng thứ 2 ⇒ detA = (−3).(−1)

NguyễnThịVân
2+ 2

⎛1 a 1 ⎞
⎛1 2 a⎞




2+ 4 ⎜
⎜ 3 2 6 ⎟ + 5.(−1) ⎜ 3 0 2 ⎟
⎜ b 0 −4 ⎟
⎜b 4 0⎟





= 24a + 26b – 18ab – 31.

⎡1 1
⎢ a −3
8. det A = det ⎢
⎢2 1

⎣2 7

3 5⎤
1
⎡ 1


x b⎥
a −3
= det ⎢
⎢1 + 1 1

3 5⎥


0 y⎦
7
⎣ 2

3 5⎤
⎡1 1

⎢ a −3
x b⎥
= det ⎢
⎢1 1
3 5⎥


0 y⎦
⎣2 7

3 5⎤
⎡0 1

⎢0 −3
x b⎥
+ det ⎢
⎢1 1
3 5⎥



0 y⎦
⎣0 7

3 5⎤
x b ⎥⎥
3 5⎥

0 y⎦

⎡1 3 5 ⎤
= det ⎢ −3 x b ⎥ = xy + 21b – 35x + 9y


⎢⎣7 0 y ⎥⎦
10. Công thức: A−1 =

⎛ C11 C12

C = ⎜ C21 C22
⎜C
⎝ 31 C32

1 T
i+ j
C ; Cij = ( −1) M ij
A

C13 ⎞

C23 ⎟ =

C33 ⎟⎠

⎛ 0 4 −4 ⎞


⎜ 4 −8 4 ⎟
⎜ −3 4 −2 ⎟



detA = 2. C21 + 4. C31 = − 4.
4 −3 ⎞
4 −3 ⎞
⎛ 0
⎛ 0
1 ⎜



_1
C = ⎜ 4 −8 4 ⎟ → A =
4 −8 4 ⎟

4 ⎜
⎜ −4 4 −2 ⎟



⎝ −4 4 −2 ⎠
T


11. Cho hệ phương trình tuyến tính n × n : Ax = b .
Nếu det A ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: xi =

det Bi
det A

(1 ≤ i ≤ n ) .

Bi nhận được từ

A khi thay véc tơ b vào cột thứ i.
12. Nếu A có det A ≠ 0 thì tồn tại ma trận A khả nghịch hay A có ma trận nghịch đảo.

7



Toán3



⎛2 1

3 2
det ⎜
⎜1 1

⎝ 2 −1


0 0 ⎞
⎟ 1 . 2 h −h
0 0 ⎟2 1 2 1
=
det
1 1 ⎟
2

0 a⎠


⎛1 0 0
1⎜
3+ 4

= ⎜1. ( −1) det ⎜ 3 2 0
2⎜
⎜ 2 −1 0



⎛1 0

⎜3 2
⎜1 1

⎝ 2 −1

NguyễnThịVân


0 0 ⎞

0 0 ⎟
1 1 ⎟

0 a⎠


⎛1
4+ 4


⎟ + a ( −1) det ⎜ 3

⎜1



⎞⎞
⎟⎟ 1
⎟ ⎟ = 2 .a.2 = a
⎟⎟
⎠⎠

0 0
2 0
1 1

det A ≠ 0 ⇔ a ≠ 0
13. * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) cùng với các phép toán thỏa mãn hai yêu cầu của một không gian con

* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con vì:
+ Nếu lấy hai vectơ (1, 2, 0) và (0, 1, 2) tập hợp (c) thì tổng của chúng là (1, 3, 2) không còn thuộc (c).
+ Nếu lấy vectơ (1, 2, 3) thuộc tập hợp (f) thì -1(1, 2, 3) = (-1, -2, -3) không còn thuộc vào (f).
15. W ⊂ ! . Để W là không gian con thì
3

!
"!
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈W : x1 + x3 = m, y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈W: y1 + y3 = m thỏa mãn:
! "!
x + y ∈W

!
c x ∈W

(1);

( 2)

! "!
Từ (1) x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ): x1 + y1 + x3 + y3 = m → 2m = m → m = 0
!

(

!

)

Thay m = 0 thì c x = cx1 , cx2 ,cx3 : cx1 + cx3 = c.0 = 0 → c x ∈W


!
Ngoài ra, khi m = 0 thì 0 ∈W nên W ≠ ∅
3

Vậy m = 0 thì W là không gian con của ! .
17. +) Không gian cột C(A) là tổ hợp tuyến tính của các cột:

⎡a⎤
⎡1 ⎤
⎡2⎤
⎡3 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
! ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
v = ⎢ b ⎥ ∈C( A) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢6 ⎥ = x1 ⎢ 2 ⎥ + (2x2 + 3x3 ) ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ c ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 4 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
8




Toán3



NguyễnThịVân

C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2)

⎡0 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1 ⎤
! ⎢ ⎥
!
⎢ ⎥
⎢ ⎥
v = ⎢0 ⎥ ∈C( A) vì v = (−2). ⎢ 2 ⎥ + 2. ⎢ 2 ⎥
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
+) Không gian C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:

⎡a⎤
⎡1 ⎤
⎡2⎤
⎡ −1⎤
⎡1 ⎤
⎡ −1⎤
! ⎢ ⎥
!









⎢ ⎥
v = ⎢ b ⎥ ∈C( AT ) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥ = (x1 + 2x2 ) ⎢ 2 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥
⎢⎣ c ⎥⎦
⎢⎣3 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣6 ⎥⎦

C ( AT ) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)
⎡ −2 ⎤
⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤
! ⎢ ⎥
!
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
T
v = ⎢ 2 ⎥ ∈C( A ) vì v = (−1). ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 4 ⎥
⎢⎣7 ⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦
18.

+)


Không

gian

cột

C(B)



tổ

hợp

tuyến

tính

của

các

cột:

⎧⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎫
⎡a ⎤
⎡ 2⎤
⎡ 4⎤
⎡ 2⎤

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪
v = ⎢⎢b ⎥⎥ ∈ C ( A) ⇔ v = x1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + x2 ⎢⎢ 4⎥⎥ + x3 ⎢⎢ 4⎥⎥ . Bên cạnh đó, ⎨ ⎢0 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ ⎬ độc lập tuyến tính
⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎪
⎢⎣c ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭

→ C ( B) = !3

⎡ 2 4 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ ⎥
+) Không gian nghiệm N(B) là tập nghiệm của Bx = 0: ⎢ 0 4 4 ⎥ . x2 = ⎢0 ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 8 8 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦

⎡2 4 2 0⎤ ⎡2 4 2 0⎤
⎡ x3 ⎤
⎡1 ⎤

⎥ ⎢



⎢ ⎥
⎢ 0 4 4 0 ⎥ → ⎢ 0 4 4 0 ⎥ . Nên x1 + 2 x2 + x3 = 0; x2 + x3 = 0 . Vậy x = ⎢ − x3 ⎥ = x3 ⎢ −1⎥ .
⎢⎣ 0 8 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 ⎥⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦

⎢⎣1 ⎥⎦

{

}

→ N ( B ) = x = c1 (1,−1,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1) trong không gian ! 3
+) Không gian hàng C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:
9



Toán3



NguyễnThịVân

⎡a ⎤
⎡ 2⎤
⎡0 ⎤
⎡0⎤
⎡ 2⎤
⎡0⎤











T
v = ⎢b ⎥ ∈ C ( A ) ⇔ v = x1 ⎢ 4⎥ + x2 ⎢ 4⎥ + x3 ⎢8 ⎥ = x1 ⎢ 4⎥ + (4 x2 + 8 x3 ) ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣c ⎥⎦
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣ 4⎥⎦
⎢⎣8 ⎥⎦
⎢⎣ 2⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦

C ( AT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và ( 0, 1, 1).
+) Không gian nghiệm N(BT) là tập nghiệm của BTy = 0:

⎡ 2 0 0⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤
⎢ 4 4 8 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ → ⎢ 4 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥
⎥ ⎢
⎥ ⎢


⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ 2 4 8 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 2 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦
⎡0

⎡0 ⎤


Nên x1 = 0; x2 + 2 x3 = 0 . Vậy x = −2 x3 = x3 ⎢ −2 ⎥ .



⎢ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦

( ) {

}

→ N BT = x = c1 ( 0,−2,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2, 1) trong không gian
!3

10




×