Lời giải một số bài tập về hạng và nghiệm tổng quát của ma trận

NguyễnThịVân

BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI 3
( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)
PHẦN 5:
+ Hạng và dạng rút gọn theo hàng
+ Nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát) của Ax = 0 và Ax = b.
1. Tìm hạng của ma trận sau bằng phương pháp khử
⎡1 4 0⎤
A = ⎢⎢ 2 11 5 ⎥⎥
⎢⎣ −1 2 10 ⎥⎦

ĐS:

r (A) = 2;

⎡1 0 1 ⎤
B = ⎢⎢1 1 2 ⎥⎥
⎢⎣1 1 q ⎥⎦

q ≠ 2 thì r(B) = 3.

q = 2 thì r(B) = 2,

⎡1 1 5 ⎤
2. Tìm hạng của ma trận A, AT A, AAT trong đó A = ⎢
⎥

⎣1 0 1⎦

3. (23T188)

Chọn số q sao cho hạng của ma trận A là (a) 1

(b) 2

(c) 3

4
2⎤
⎡6
⎢
A = ⎢− 3 − 2 − 1⎥⎥
⎢⎣ 9
6
q ⎥⎦

ĐS: +) Hạng của A bằng 1 khi và chỉ khi q = 3;
+) Hạng của A bằng 2 khi và chỉ khi q ≠ 3 ;
+) Không tồn tại q để hạng của ma trận bằng 3.
4. Tìm hạng của mỗi ma trận sau:
−1
−3

⎛ 2 −1 3 − 2 4 ⎞
⎜
⎟
a) ⎜ 4 − 2 5 1 7 ⎟ ,

⎜ 2 −1 1 8 2 ⎟
⎝
⎠

⎛3
⎜
5
b) ⎜⎜
1
⎜
⎜7
⎝

ĐS: (a) r = 2

(b) r = 3.

3
2

−3 −5

⎛3
⎜
λ
5. Tìm 𝜆 sao cho ma trận sau có hạng nhỏ nhất: A = ⎜⎜
1
⎜
⎜2
⎝

−5

1

5 ⎞
⎟
4 ⎟
.
0 − 7⎟
⎟
4 1 ⎟⎠

2
3

1 1 4 ⎞
⎟
4 10 1 ⎟
.
7 17 3 ⎟
⎟
2 4 3 ⎟⎠

ĐS: λ = 0
1

NguyễnThịVân

⎡ x⎤
⎡1 3 1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡1⎤
y
6. ( 4T186) Tìm nghiệm tổng quát của hệ : ⎢⎢2 6 4 8 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢3⎥⎥
⎢z⎥
⎢⎣0 0 2 4⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎣t ⎦

ĐS: Nghiệm riêng x p = (1 / 2,0,1 / 2,0) ; Các nghiệm đặc biệt của phương trình.
s1 = (1/ 2,0, −3/ 2,1); s2 = (−5 / 2,1,1/ 2,0) ;

Nghiệm tổng quát của phương trình là

x = x p + c1s1 + c2 s2 .

7. Cho hệ phương trình

⎧ x1 − 2 x2 + ax3 = 3
⎪
⎨3x1 − x2 − ax3 = 2
⎪2 x + x + 3 x = b
2
3
⎩ 1

(a) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất.
(b) Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm.
ĐS: +) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2a + 3 ≠ 0 ⇔ a ≠ −3 / 2
⎧a = −3 / 2
+) Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi 2a + 3 = 0 và b + 1 = 0 ⇔ ⎨
⎩b = −1

8. ( 21T188) Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng x p + xn đối với những hệ sau
(a) x + y + z = 4

ĐS: a)

⎡ −1⎤
⎡ −1⎤ ⎡ 4⎤
x = c1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + c2 ⎢⎢1 ⎥⎥ + ⎢⎢0 ⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦

(b)

⎧x + y + z = 4
⎨
⎩x − y + z = 4

⎡ −1⎤
b) x = c ⎢⎢0 ⎥⎥ +
⎢⎣1 ⎥⎦

⎡4⎤
⎢0 ⎥

⎢ ⎥
⎢⎣0 ⎥⎦

9. Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với
⎡3 −2 1 ⎤
A = ⎢⎢5 −3 0 ⎥⎥ , biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng x p = (0,1,1) .
⎢⎣0 1 −5⎥⎦

ĐS:

⎡ −3⎤
xn = ⎢⎢5 ⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦

⎡ −3⎤
⎡0⎤
⎢
⎥
x = c ⎢5 ⎥ + ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦

10. Giải hệ phương trình bằng cách viết nghiệm tổng quát dưới dạng x p + xn :

2

⎡2
⎢4
⎢
⎢⎣ 2

NguyễnThịVân

⎡ x1 ⎤
−3
5
7 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡1 ⎤
x2
−6
2
3 ⎥⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎢ 2⎥⎥
⎢x ⎥
− 3 − 11 − 15⎥⎦ ⎢ 3 ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦
⎣ x4 ⎦

⎡ 55 ⎤
⎡3⎤
⎢ 16 ⎥
⎢ 2 ⎥ ⎡1 ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥ + c ⎢1 ⎥ + ⎢0⎥
x

=
c
ĐS:
1⎢
2 ⎢ ⎥
11⎥
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢− ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦
⎢ 8⎥
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦

PHẦN 6:
+ Hệ véc tơ độc lập tuyến tính
+ Hệ véc tơ cơ sở
+ Chiều của bốn không gian con cơ bản: C(A) , C(AT) , N(A) , N(AT)
11.( 1T203) Chứng minh rằng v1, v2, v3 là hệ độc lập tuyến tính nhưng v1, v2, v3, v4 lại
phụ thuộc tuyến tính:
⎡1⎤
⎡1⎤
⎡1⎤
⎡ 2⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
v1 = ⎢0⎥ ; v 2 = ⎢1⎥ ; v3 = ⎢1⎥ ; v4 = ⎢⎢3⎥⎥ .

⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
⎢⎣4⎥⎦

12. ( 41T208) Hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R3?
(a)

(1, 2, 0); (0, 1, −1)

(b)

(1, 1, −1) ; (2, 3, 4 ); (4, 1, −1); (0, 1, −1)

(c)

(1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 0)

(d)

(1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 6)

Đs: Hệ (c).
13. Trong ! 4 cho các vecto α 1 = ( 1, -3, 2, -4 ); α 2 = ( 3, 4, -1, 3 ); α 3 = ( 2, 7, -2, 5 );
α 4 = ( 2, -6, 4, m ). Tìm m để hệ phụ thuộc tuyến tính.
Đs: m = - 8
14. Trong ! 3 cho hệ các vecto α 1 = ( 2, -1, 4 ); α 2 = ( 4, 2, 3 ); α 3 = ( 2, 7, -6 ).
a) {α 1, α 2, α 3 } có phải là một cơ sở của ! 3 không ?
3

NguyễnThịVân

b) Tìm cơ sở, số chiều của không gian span( α 1 , α 2, α 3 ).
Đs : a) Không
b) số chiều của span( α 1 , α 2, α 3 ) là 2 và cơ sở là {α 1 , α 2 }
15. Cho các vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4). Ký hiệu W là không gian
con của R3 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2, v3. Tính số chiều của W.
16. Cho không gian véc tơ con W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! 3 | x1 + x3 = 0 }. Tìm dimW
Đs:

dim W =2

17. Hãy tìm cơ sở và số chiều của các không gian con sau :
V1 := { ( x1, x2, u, v ) ∈ R4 ⎪ u = x1 + x2, v = x1 - x2}
V2 := { (0, x2, x3, 0) ∈ R4 }
V3 := { (x1, x2, x3, x4 ) ∈ R4 ⎪ x1 = x2 = x3 }.

{ (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} và dim V = 2
Cơ sở của V là { ( 0,1,0,0 ); ( 0, 0,1, 0 )} và dim V = 2
Cơ sở của V là { (1,1,1,0 ); ( 0, 0,0, 1)} và dim V = 2
Đs: Cơ sở của V1 là
2

3

1

2

3

18. ( 3 T217) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian trong bốn không gian con liên kết với
A
⎡0 1 2 3 4 ⎤
A = ⎢⎢0 1 2 4 6 ⎥⎥
⎢⎣0 0 0 1 2 ⎥⎦

Đs: r(A) = 2. Không gian hàng và không gian cột có số chiều bằng 2; không gian nghiệm
có số chiều bằng 5-2=3; Không gian nghiệm bên trái có số chiều bằng: 3-2 = 1.
Cơ sở không gian cột: (1, 1, 0) và (3, 4, 1); Cơ sở không gian hàng: (0, 1, 2, ,3, 4) và (0,
1, 2, 4, 6); cơ sở không gian nghiệm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1); cơ sở
không gian nghiệm bên trái: (1, -1, 1)
19. Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con cơ bản liên quan đến ma trận

4







NguyễnThịVân

⎡1 3 0 5 ⎤
A = ⎢2 6 1 16 ⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣5 15 0 25⎥⎦

Đs: A có các cột trụ là cột 1 và cột 3, A có các hàng trụ là hàng 1 và hàng 2, còn r(A) = 2.
C(A) có: Cơ sở là (1, 2, 5) và (0, 1, 0) (hai cột trụ). Số chiều là 2.
C(AT) có: Cơ sở là (1, 3, 0, 5) và (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ). Số chiều là 2.
N(A) có: Cơ sở là (-3, 1, 0, 0) và (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt của Ax = 0). Số chiều
là 2.
N(AT) có: Cơ sở là (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt của ATy = 0). Số chiều là 1.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
2 ⎤
2 ⎤
⎡6 4 2⎤
⎡6 4
⎡6 4
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
3. A = −3 −2 −1 ⎯⎯
0 ⎥ ⎯⎯
→ ⎢0 0 6 − 2q ⎥⎥
⎢
⎥ → ⎢0 0
⎢⎣ 9 6 q ⎥⎦
⎢⎣0 0 6 − 2q ⎥⎦

⎢⎣0 0
0 ⎥⎦

Kết luận:
+) Hạng của A bằng 1 khi và chỉ khi q = 3
+) Hạng của A bằng 2 khi và chỉ khi q ≠ 3
+) Không tồn tại q để hạng của ma trận bằng 3
6. Dùng phương pháp khử đối với ma trận

[A b] ta có

⎡1 3 1 2 1⎤ ⎡1 3 1 2 1⎤ ⎡1 3 1 2 1 ⎤ ⎡1 3 0 0 1/2⎤
⎢2 6 4 8 3⎥ → ⎢0 0 2 4 1⎥ → ⎢0 0 1 2 1/2⎥ → ⎢0 0 1 2 1/2⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣0 0 2 4 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 4 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 0 ⎥⎦

Các cột 1 và 3 chứa các số trụ, các biến x2 , x4 là các biến tự do. Cho chúng nhận
các giá trị bằng 0 thì ta được nghiệm riêng x p = (1 / 2,0,1 / 2,0) .
Các nghiệm đặc biệt của phương trình s1 = (0,0,−2,1); s2 = (−3,1,0,0) .
Nghiệm tổng quát của phương trình là x = x p + c1s1 + c2 s2 .
5

NguyễnThịVân

a
3
⎡1 −2 a 3 ⎤
⎡1 −2
⎢
⎥
⎢
7. [ A b] = 3 −1 −a 2 ⎯⎯
−4a
−7
⎢
⎥ → ⎢0 5
⎢⎣ 2 1
⎢⎣0 5 −2a + 3 b − 6
3 b ⎥⎦

a
3
⎤
⎡1 −2
⎥ ⎯⎯
⎢
−4a
−7
⎥ → ⎢0 5
⎥⎦

⎢⎣0 0 2a + 3 b + 1

⎤
⎥
⎥
⎥⎦

Kết luận
+) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2a + 3 ≠ 0 ⇔ a ≠ −3 / 2
⎧a = −3 / 2
+) Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi 2a + 3 = 0 và b + 1 = 0 ⇔ ⎨
⎩b = −1

⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡ c1 ⎤
!"
!"
!
!" "
⎢
⎥⎢ ⎥
11. c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 ⇔ ⎢ 0 1 1 ⎥ ⎢ c2 ⎥ =
⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢c ⎥
⎣
⎦ ⎣ 3⎦

⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢0 ⎥ → c3 = c2 = c1 = 0
⎢⎣0 ⎥⎦

!" !"
! !"
Vậy hệ v1 , v2 , v3 độc lập tuyến tính.
⎡ 1 1 1
!"
!"
!
!"
!"
! "
⎢
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 = 0 ⇔ ⎢ 0 1 1
⎢ 0 0 1
⎣

2
3
4

⎡c ⎤
⎤ ⎢ 1⎥
⎥ ⎢ c2 ⎥
⎥ ⎢c ⎥ =
⎥ ⎢ 3⎥
⎦
⎢⎣ c4 ⎥⎦

⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎢0 ⎥

⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦

Ma trận này cấp 3× 4 , có ba cột trụ là các cột 1, 2, 3 nên nó có một nghiệm đặc biệt:

!" !"
!
!" !"
! "
c1 = 1, c2 = 1, c3 = − 4, c4 = 1 ⇔ v1 + v2 − 4v3 + v4 = 0 .
!" !"
! !" !"
!
v1 , v2 , v3 , v4 phụ thuộc tuyến tính.

Tức

là

bốn

vectơ

12. (a) Hai vectơ không thể tạo thành một cơ sở trong ! 3 vì chiều của ! 3 bằng 3 =
số vectơ trong hệ cơ sở, trong khi ta có hai véc tơ.
(b) Bốn vectơ không thể tạo thành một cơ sở trong ! 3 vì chiều của ! 3 bằng 3 = số
vectơ trong hệ cơ sở, trong khi ta có bốn véc tơ.

6

NguyễnThịVân

(c) Xét ma trận A có các cột chính là các vectơ trên,

⎡1 − 1 0 ⎤
A = ⎢⎢2 2 8⎥⎥, det( A) = −24 ≠ 0
⎢⎣2 1 0⎥⎦

nên ba vectơ trên là một cơ sở của ! 3 .
⎡1 − 1 0 ⎤
(d) Xét ma trận A có các cột chính là các vectơ trên, A = ⎢⎢2 2 8⎥⎥, det( A) = 0 nên ba
⎢⎣2 1 6⎥⎦

vectơ trên không là cơ sở của ! 3 .
13. Xét ma trận vuông A cấp 4 thiết lập từ các véc tơ α 1; α 2; α 3 ; α 4 . Dùng phép biến đổi
Gauss trên A thấy rằng { α 1; α 2; α 3 ; α 4 } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi m = - 8.
⎡2 4 2⎤
14. Xét ma trận A = ⎢ −1 2 7 ⎥ . Biến đổi được r ( A) = 2; nhưng dim ! 3 = 3
⎢
⎥
⎢⎣ 4 3 −6 ⎥⎦

nên

α 1; α 2; α 3 không là cơ sở của ! 3 . Vì α 1; α 2 độc lập tuyến tính nên α 1; α 2 là cơ sở của
span{ α 1; α 2; α 3}

⎡x ⎤
⎡x ⎤
⎡1 ⎤
⎡0 ⎤
! ⎢ 1⎥
! ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
16. ∀ x = ⎢ x2 ⎥ ∈W : x1 + x3 = 0 → x = ⎢ x2 ⎥ = x1 ⎢0 ⎥ + x2 ⎢1 ⎥ . Ngoài ra
⎢x ⎥
⎢ −x ⎥
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎣ 3⎦
⎣ 1⎦

⎡1 ⎤
⎢0 ⎥ ;
⎢ ⎥
⎢⎣ −1⎥⎦

⎡0 ⎤
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣0 ⎥⎦

độc lập tuyến tính . Do đó dimW =2

⎡x ⎤
⎡x ⎤
⎡1 ⎤
⎡0 ⎤
! ⎢ 1⎥
! ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
17. ∀ x = ⎢ x2 ⎥ ∈W : x1 + x3 = 0 → x = ⎢ x2 ⎥ = x1 ⎢0 ⎥ + x2 ⎢1 ⎥
⎢x ⎥
⎢ −x ⎥
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎣ 3⎦
⎣ 1⎦

{ (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} là hệ sinh của V

1

⎡1 ⎤
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢
⎥
Nếu x1
+ x2 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ → x1 = x2 = 0 .

⎢ −1⎥
⎢1 ⎥ ⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣1 ⎦
⎣ −1⎦ ⎣0 ⎦

{ (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)}

độc lập tuyến

7







NguyễnThịVân

tính.

{ (1,0,1,1); (0, 1,1, − 1)} và dim V = 2
Tương tự, cơ sở của V là { ( 0,1,0,0 ); ( 0, 0,1, 0 )} và dim V = 2
Tương tự, cơ sở của V là { (1,1,1,0 ); ( 0, 0,0, 1)} và dim V = 2
Cơ sở của V1 là

1

2

2

3

3

⎡0 1 2 3 4 ⎤
⎡0 1 2 3 4 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
18. A = 0 1 2 4 6 ⎯⎯
⎢
⎥ → ⎢0 0 0 1 2 ⎥
⎢⎣0 0 0 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 0 0 0 ⎥⎦

Ma trận này có số trụ nằm trong cột 2 và cột 4. Hạng của A là 2.
Không gian hàng của A cũng chính là không gian hàng của U, cơ sở của nó chính là hai
hàng có chứa các số trụ: (0, 1, 2, ,3, 4) và (0, 1, 2, 4, 6). Số chiều là 2.
Không gian cột: Có chiều bằng 2, cơ sở của nó là : (1, 1, 0) và (3, 4, 1) – là hai cột có
chứa các số trụ.
Không gian nghiệm: Cơ sở của không gian nghiệm chính là các nghiệm đặc biệt, nó bao
gồm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1).
Không gian nghiệm trái: Có chiều bằng 1 và cơ sở của nó là (1, -1, 1)
⎡1 3 0 5 ⎤
19. A = ⎢ 2 6 1 16 ⎥ → U =

⎢
⎥
⎢⎣5 15 0 25⎥⎦

⎡1 3 0 5 ⎤
⎢0 0 1 6 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦

A có các cột trụ là cột 1 và cột 3, A có các hàng trụ là hàng 1 và hàng 2, còn r(A) = 2.
C(A) có: Cơ sở là (1, 2, 5) và (0, 1, 0) (hai cột trụ). Số chiều là 2.
C(AT) có: Cơ sở là (1, 3, 0, 5) và (2, 6, 1, 16) (hai hàng trụ). Số chiều là 2.
N(A) có: Cơ sở là (-3, 1, 0, 0) và (-5, 0, -6, 1) (hai nghiệm đặc biệt của Ax = 0). Số chiều
là 2.
N(AT) có: Cơ sở là (-5, 0, 1) (nghiệm đặc biệt của ATy = 0). Số chiều là 1.
8