Bài tập Phương trình vi phân và cách giải

Searchr fb :Tài Li u WRU

I H C TH Y L I
*******

h c t t Toán 4A

Facebook

: Tài Li u WRU

S T Liên h

: 01659592156
1


Searchr fb :Tài Li u WRU

BÀI T P TRANG 23
Bài 5: y’ = y + 2e
+)y’ = e )’ =e -

=e + e

e

e

; y=e - e

Thay vào pt ta có
e + e =e - e +

e

e + e + e = e +

 e +

e = e +

V yy=e - e

e

e

(T/M)

là nghi m c a pt trên.

Bài7
y’’-2y’+2y=0
+)TH1 :y= e

;

y = e cosx ;

y

e sinx
2


Searchr fb :Tài Li u WRU

y’ = e

+ e cosx’

= e cosx - e sinx

y’’=( e cosx )’-(e sinx)’

= e cosx - e sinx - e sinx - e cosx =- e sinx

Thay vào pt ta có
- e sinx - 2( e cosx - e sinx) + 2e cosx = 0

- e sinx - 2 e cosx + 2e sinx) + 2e cosx=0 (t/m)
V y y = e cosx là ngi m c u pt
+)TH2: y
y

e

e sinx

sinx + e sinx’ = e cosx + e sinx

y = e cosx + e sinx + e cosx - e sinx =2e cosx

Thay vào pt ta có:

2e cosx ậ 2( e cosx + e sinx) + e sinx =0

2e cosx ậ 2( e cosx - e sinx + e sinx =0
V yy

(t/m)

e sinx là nghi m c a pt.

Bài 9 :
, y’ + 2xy = 0 ;

y=
3


Searchr fb :Tài Li u WRU

+) y’ =

=

y =
Thay vào pt ta có:
+ 2.x.

V y y=

=0 (t/m)

là nghi m c a pt trên.

Bài 10:
x

+ xy’ ậy =lnx ; y

+) TH1 y= x ậ lnx

x

lnx

; y = ậ lnx

+) y’ = x’ ậ(lnx)’ =1+)y’’ = 1’ ậ (
Thay vào pt ta có:
x

) - (x-lnx) = lnx

1 + x -1 ậx +lnx ậlnx =0 (t/m)
V y y=x-lnx là nghi m c a pt
4

Searchr fb :Tài Li u WRU

+)TH2 y = ậ lnx

ậ (lnx)’ =-

+) y =

)’ =

+)y

Thay vào pt ta có:
x .(

) - ( ậ lnx ) = lnx

) + x.( -

 +1-

ậ lnx =0 (t/m)

- 1-

V y y = ậ lnx là nghiejm c a pt.
Bài 11:
x .y’’ + 5xy’ +4y = 0 ; y

+)TH1 : y

;y =

+)y’ =

+)y’’=
Thay vào pt ta có
x .

 -

+ 5x(
+

) +4

=0

=0 (t/m)
5


Searchr fb :Tài Li u WRU

V yy

+)TH2: y =

à

+)y’=

=

+)y’’ =

=

Thay vào pt ta có:

x .


+

=>y =

là nghi m c a pt.

+ 5x

+4
+

=0
=0 (t/m)

BÀI T P TRANG 34
Bài 2 :

= x

; y(2) =1

Dùng pp phân li bi n s ta có
dy = x

 dy =

dx
x

dx

y=

+c

i u ki n ban đ u y(2) =1
6


Searchr fb :Tài Li u WRU

1=

Bài 6 :

+c => c=1 v y nghi m c a pt y =

=x x

;

+1

y(-4)=0

Dùng pp phân li bi n s ta có:
dy = x x
x x

dx  dy =

x x

d x

+C = . x

y=

dx  dy =
+C

i u ki n ban đ u : y(-4)=0
0= .

+ C => C =

V Y PT CÓ NGI M : y = . x
Bài 7:

=

;

y(0) =0

Dùng pp phân li bi n s ta đ
dy =



+

dy =

c:
 y = 10arctanx +C

+đi u ki n ban đ u :y(0) =0 thay vào ta đ

c:
7


Searchr fb :Tài Li u WRU

0 = 10arctan0 +C =>C=0

V Y PT CÓ NGI M : y =10arctanx
= xe

Bài 10:

;

y(0)=1

Dùng pp phân li bi n s ta đ
dy = xe



=>I = x. e

+

tính I = xe
=



e

c:

dy =
e

xe
u x
,đ t
dv
e

*

= x. e


- e

du
v
+C

dx
e

=I

y= e

i u ki n ban đ u y(0) = 1

Thay vào * ta đ

c: 1= e

=> C=2

V y nghi m c a pt : y = e
BÀI T P TRANG 71

+ 2 xy =0 

Bài 2:

Dùng pp phân li bi n s ta đ
dy =

xy



=

c:

xy

=

xy

8


Searchr fb :Tài Li u WRU


y=

= x +C
=ysinx 

Bài 3 :


=

=

ln|y| = -cosx +C  y = e
Bài 7 :
=

xy

= x y



Dùng pp phân li bi n s ta đ
= x

 y =

y =

y=

Bài 8 :


x .

=
C

c:
x

x +C

x

= xsecy 

= 2x

cosydy =2xdc
9


Searchr fb :Tài Li u WRU

Dùng pp phân li bi n s ta đ
cosydy =

siny = x

c:

xdc

+ C  y = arcsin(x + C)

Bài 10 :



x

=
x

=

y

y dx 

Dùng pp phân li bi n s ta đ
=


=

=

c:



=

+C 1+x =1+y+c

y = x - c
Bài 12:
y.y’ = x (y +1) y


= x (y +1)

= xdx

Dùng pp phân li bi n s ta đ
= xdx 

 ln|y +1| =

c:

+ c  y +1 = e

= xdx
10

Searchr fb :Tài Li u WRU

y= e

Bài 14

 (

=

)dy = (

Dùng pp phân li bi n s ta đ

y +

dy =

=x+

)dx

c:
dx

+c

Bài 18:

.y’ = 1 

.

+

= (1+



=



)-

(1+

)

=1.

+
= (1+

) (1-

)

dx

Dùng pp phân li bi n s ta đ

c:

 arctany =

=
 y =tan(

.

-x +c

-x +c)

Bài 22

11


Searchr fb :Tài Li u WRU

=4

yậy

;

y(1) = -3

+) theo đ bài :
 =(4

=4

yậy

=(4

ậ1) y

ậ1)dx

Dùng pp phân li bi n s ta đ

c:

dx  ln |y| =

=
y=

- x + c

(*)

+theo gi thi t : y(1) = -3
nh n xét: y(1) = -3 < 0

lân c n đi m y <0

ln |y| = ln(-y)
Thay vào (*) ta có :
 -3=

-3=
y=

 ln(-3) = c  c =-ln3

=

Bài 25
x

=

y

;y(1) = 1

ta có:
x

=

y x =

Dùng pp phân li bi n s ta đ

y + yx

=

y

c:
12


Searchr fb :Tài Li u WRU

dx

=
 ln|y| =

+ ln|x| + c (*)

Theo gi thi t y(1)=1 >0
ln|y|=ln|y|

lân c n t i đi m 1 :y > 0

Thay vào (*) ta có :
+ ln|1| + c  c = -1

ln|1| =

+ ln|x ậ 1

 ln|y| =
y=
y=
Bài 27:



;

y(0) = 0

e

dy = 6. e

Dùng pp phân li bi n s ta đ


e

dy =6.

e = 3. e

 y = ln(3. e

e

+c

dx
c

d x

+ c) (*)

i u ki n ban đ u y(0) = 0

Thay vào (*) ta đ

c:
13


Searchr fb :Tài Li u WRU

 0 = ln(3. e

+ c) => c = -2

=>y = ln(3. e

- 2)

Bài 28

= cos y

2

;

y(4) =

Theo đ bài
2


= cos y 2
=

tany =
tany =

=cos y.dx

+c
+c

y = arctan(

+ c) (*)

i u ki n ban đ u : y(4) =
Thay vào (*) ta đ
= arctan(

c:

+ c) => c = -1

 y = arctan(

- 1)

Bài t p trang 89
Bài 3:
y’ + 3y = 2x. e



+ 3y = 2x. e

(PTVPTT c p 1 )
14


Searchr fb :Tài Li u WRU

�

xe

=e

e

Nhân 2 v v i
e

=e

+ 3y. e

 Dx [ y. e

ta đ

= 2x. e

=e

c:

.e

=2x

tích phân 2 v :

y. e

=

 y. e

x dx

=x

y =

+ c

Bài 6:
Xy’ +5y = 7


+

= 7x

=e

x

Nhân 2 v v i
x +

;

y(2) = 5
(PTVPTT c p 1)

e

=e

. x = 7x. x

=e

ta đ

c:

=x
15


Searchr fb :Tài Li u WRU



x +

 Dx [ y. x

.x =7 x
=7 x

tích phân 2 v :

y. x

=

 y. x

y =

x dx

=x

+ c
(*)

i u ki n ban đ u : y(2) = 5
Thay vào (*) ta đ

c:

c = 32

5 =
 y=
bài 7 :
2xy’ + y = 10


+

 2x

=

=e

+ y = 10
(PTVPTT c p 1)

e

=e

=
16


Searchr fb :Tài Li u WRU

Nhân 2 v v i
+

=

 Dx [ y.

ta đ

=

c:

.

=5

tích phân 2 v :
= y

y.
 y.

=

y =

dx

x +c

bài 11 :
xy’ + y = 3xy

;



=3xy ậ y



=y(3x ậ 1)

y(1) = 0

(3x ậ 1)



=



- (3 ậ

=e

)y = 0

(PTVPTT c p 1)

e

=e

=

.e
17


Searchr fb :Tài Li u WRU

Nhân 2 v v i

- (3 ậ

.e



e



e

 Dx [ y.

ta đ

= .e

)y. . e

- (3 . e

=0

e

=0

c:

)y =0

tích phân 2 v :
y.
 y.

e

=
=

dx

+c

y =
đi u ki n ban đ u : y(1) = 0 => c = 0
y =
Bài 16 :
y’ = (1 - y)cosx

;



= (1 - y)cosx 



+ ycosx = cosx

cosx
cosx

=e

Nhân 2 v v i

e

=e



y(

=2

= cosx - ycosx
(PTVPTT c p 1)

ta đ

=e

c:
18


Searchr fb :Tài Li u WRU



e

+ ycosx. e

 Dx [ y e

tích phân 2 v :

y e

=

y e
 y. e

= e

y =

= cosx . e

cosx e

=

e

= cosx . e

dx

+c

đi u ki n ban đ u : y(

d sinx

=22=

=> c=1

 y=
bài 18:
xy’ = 2y +

cosx

x

- 2y =

cosx



- y=

cosx

=e

cosx

e

=e

=
19


Searchr fb :Tài Li u WRU

Nhân 2 v v i


- y.

 Dx [ y.

ta đ

=
=

c:

cosx.

= cosx

tích phân 2 v :
y.
 y.
y=

= cosx dx

= sinx +c

sinx +c )

bài 19 :

y’ + ycotx = cosx
+ ycotx = cosx
cotx
cosx

=e

Nhân 2 v v i

(PTVPTT c p 1)

e

=sinx ta đ

=e

= sinx

c:

. sinx + ycotx .sinx = cosx .sinx
 Dx [ y sinx

tích phân 2 v :

= cosx . sinx
20


Searchr fb :Tài Li u WRU

y sinx

= cosx sinx dx

 y sinx =

 y sinx =

cosx d sinx
+ c

y =

bài 20 :
y’ = 1+ x +y +xy



;

y(0) = 0

=( 1+ x ) + y( x + 1 )
=



=

x

x dx

y

Dùng pp phân li bi n sô ta đ

 ln |y+1| = x +

c:

x dx

+c

 y +1 = e

 y =e

i u ki n ban đ u : y(0) = 0 => c=0
21


Searchr fb :Tài Li u WRU

=>y =e
Bài 21
xy’ = 3y +

cosx

;

x

= 3y +



=

+

cosx



-

=

cosx

=e

cosx

cosx

Nhân 2 v v i

=



=

.

-

 Dx [ y

y(2 ) = 0

e

(PTVPTT c p 1)

ta đ

=e

=

c:

cosx.

= cosx

tích phân 2 v :
y
y
y =

=
=

cosx dx

+ c
c

22


Searchr fb :Tài Li u WRU

đi u ki n ban đ u: y(2 ) = 0  0=
 c =0
y =

c

bài 22 :
y’ = 2xy + 3x e

2xy = 3x e



=e

e

 Dx [ y e

y(0) = 5
(PTVPTT c p 1)

x
x e

e

Nhân 2 v v i


;

=e

2xy. e

= 3x

ta đ

=e

= 3x e

e

c:

tích phân 2 v :

y e

y e
y =

=

x dx

=x + c

đi u ki n ban đ u : y(0) = 5
5=

=> c =5
23


Searchr fb :Tài Li u WRU

y =
Bài t p trang 114
Bài 2 :
2xy.y’ =
2xy.


+2
=

+2

=

 =
+đ y v =

*
=>

=

 y =x.v 

.x +v

Thay vào * ta đ
.x +v =



c:

+v

.x =
=



= ln |x| + c

Hay:
= ln |x| + c

24


Searchr fb :Tài Li u WRU

 y = x. ln x

c

Bài 8:
y’ = xy +


=

( chia 2 v cho

+

+đ t v =

=>

(*)
=

 y =x.v 
Thay vào (*) ta đ

.x +v
c:

.x +v = v +


.x =



=



= ln |x| + c

v = -ln(-ln |x| + c)
Hay:
= -ln(-ln | | + c)
 y = - x.ln(c - ln | | )
25