XẤP xỉ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

XẤP XỈ
PHÂN PHỐI CHUẨN THÀNH PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
BIÊN SOẠN : LÃ VĂN TOÀN
BẢN QUYỀN THUỘC VỀ: TBL - Learning
Chào các bạn! Đang kỳ thi giữa kỳ nên có rất nhiều bạn inbox facebook mình để
hỏi bài. Mình cũng khá bận nên không tiện trả lời từng tin nhắn. Mong các bạn thông
cảm. Tuy nhiên mình thấy nhiều bạn gặp khó khăn trong phần “xấp xỉ phép phân
phối” nên mình viết tài liệu này để các bạn tham khảo. Mong là giúp ích được cho
các bạn.
Đọc tài liệu của mình bao giờ cũng khác so với những tài liệu và giáo trình khác.
Khác ở đây là gì? Các bạn không phải lo lắng rằng khác về kiến thức hay cách giải
để rồi sợ rằng học theo tài liệu này làm bài không được điểm vì không giống cách
thầy cô. Ở đây mình muốn nói là khác về cách diễn đạt để các bạn hiểu. Mình sẽ
diễn giải sao cho dễ hiểu nhất và đưa ra một bài giải hoàn thiện mà khi làm sẽ được
trọn điểm câu này.
Cách đọc tài liệu này như thế nào?
Bước 1: Nhận xét sự khác nhau giữa các bài toán. (Mục đích để các bạn phân
biệt được các dạng toán)
Bước 2: Mình sẽ giải như cách thầy cô giải. ( Đây được coi là lời giải mà các
bạn có thể trình bày vào bài thi)
Tuy nhiên đọc lời giải chưa chắc các bạn đã hiểu nên tiếp tục qua bước 3
Bước 3: Mình sẽ giải đáp một cách bản chất để các bạn hiểu. Hiểu để các bạn
còn áp dụng vào tất cả những bài khác. Tránh trường hợp biết làm bài này mà bài
khác lại không làm được.
Bước 4: Làm bài tập rèn luyện.

1


Xét hai bài toán sau:
Bài toán 1:

Một sinh viên phải làm 5 câu trắc nghiệm. Biết mỗi câu trắc nghiệm có 4 đáp án để
chọn (A, B, C, D) nhưng chỉ có một đáp án đúng duy nhất. Như vậy xác suất để sinh
viên đó trả lời đúng trong mỗi câu là

1
 0, 25  25% . Tính xác suất để sinh viên đó
4

trả lời đúng từ 2 câu trở lên.
Bài toán 2:
Một sinh viên phải làm 50 câu trắc nghiệm. Biết mỗi câu trắc nghiệm có 4 đáp án để
chọn (A, B, C, D) nhưng chỉ có một đáp án đúng duy nhất. Như vậy xác suất để sinh
viên đó trả lời đúng trong mỗi câu là

1
 0, 25  25% . Tính xác suất để sinh viên đó
4

trả lời đúng từ 30 câu trở lên.

BƯỚC 1: NHẬN XÉT HAI BÀI TOÁN
Thật ra bài toán 2 là bản Copy của bài toán 1 đó! Nhưng số liệu lại khác nhau?
Số liệu ở bài toán 1 nhỏ hơn rất nhiều so với số liệu của bài toán 2. Tuy nhiên số liệu
có sự chênh lệch như vậy có tạo nên sự khác nhau giữa cách giải của hai bài toán
không?
Chúng ta cùng xem lời giải nhé!

BƯỚC 2: LỜI GIẢI BÀI TOÁN
Lời giải bài toán 1:
1. Nếu chưa học chương biến ngẫu nhiên thì các bạn chỉ cần trả lời rồi áp dụng công

thức Bernoulli là Ok.
Giải:
Xác suất để sinh viên đó trả lời đúng từ 2 câu trở lên là :
P  C52 .(0, 25)2 .(0,75)3  C53.(0, 25)3.(0,75)2  C54 .(0, 25)4 .(0,75)1  C55 .(0, 25)5 .(0,75)0  Casio

2


2. Nếu học chương biến ngẫu nhiên rồi:
- Các bạn để ý phép phân phối nhị thức liên quan đến công thức Bernoulli
- Vậy nên ta trình bày theo kiểu biến ngẫu nhiên như sau
Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên
X là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối nhị thức
X ~ B (5;0,25) với n = 5 ; p = 0,25 ; q = 1-p = 1-0,25 = 0,75
Xác suất để sinh đó trả lời đúng từ 2 câu trở lên là:

P(2  X  5)
 P( X  2)

 P( X  3)

 P( X  4)

 P( X  5)

 C52 .(0, 25)2 .(0, 75)3  C53 .(0, 25)3 .(0, 75)2  C54 .(0, 25)4 .(0, 75)1  C55 .(0, 25)5 .(0, 75)0

Nhận xét: Nếu học chương biến ngẫu nhiên rồi thì chỉ cần viết thêm phần màu
xanh trước khi áp dụng công thức Bernoulli để lấy điểm tuyệt đối. Chứ bản chất
công thức không có gì thay đổi cả.

Lời gỉai bài toán 2:
Nào! Giờ đến bài toán 2. Giống y bài toán 1 ( Nhưng vẫn phải đọc hết nhé. Có điều
đặc biệt đó)
Lần này mình sẽ không giải theo cách “chưa học biến ngẫu nhiên nữa” , mình sẽ
giải theo cách đã học chương biến ngẫu nhiên rồi.
Lời giải:
Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên
X là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối nhị thức
X ~ B (50;0,25) với n = 50 ; p = 0,25 ; q = 1-p = 1-0,25 = 0,75
Xác suất để sinh đó trả lời đúng từ 30 câu trở lên là:
P(30  X  50)
 P( X  30)
 P( X  31)
 P( X  32)
 ....

 P( X  50)

 C5030 .(0, 25)30 .(0,75)20  C5031.(0, 25)31.(0,75)19  C5032 .(0, 25)32 .(0,75)18

 C5050 .(0, 25)50 .(0,75)0

 ....

 Casio

3

Ở bài trên bấm máy tính casio còn được. Bài dưới bấm cũng được nhưng rất
“mỏi tay” hoặc có một số bài toán ngoài khả năng tính toán của Casio vì quá lớn.
Chính vì nhiều phép tính như vậy nên người ta mới ra đời phương pháp “xấp xỉ”.
Tức là bài toán này không thể dùng cách trên để giải mà phải dùng cách xấp xỉ
phân phối nhị thức thành phân phối chuẩn.
Lời giải chính xác:
Gọi X là số câu trả lời đúng của sinh viên
X là biến ngẫu nhiên có dạng phân phối nhị thức
X ~ B (50;0,25) với n = 50 ; p = 0,25 ; q = 1-p = 1-0,25 = 0,75
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
  np  50.0, 25  12,5
Khi đó giá trị kỳ vọng
Giá trị phương sai:  2  npq  50.0, 25.0, 75  9,375
2
Giá trị độ lệch chuẩn     9,375  3, 06
Xác suất để sinh đó trả lời đúng từ 30 câu trở lên là:

P(30  X  50)
50  
30  
 (
)  (
)





50  12,5
30  12,5

)  (
)
3, 06
3, 06
 (12, 26)   (5, 72)
 (

Ở đây đề thi sẽ cho các bạn giá trị của thông số (12, 26) và (5, 72) để thay vào tìm
ra kết quả.
Đó! Như vậy là thay vì thực hiện một loạt phép tính trên ta chỉ đi thực hiện một
phép tính nhỏ. Đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên cái gì cũng có cái ưu và nhược.
Tuy là đơn giản hơn những KQ chỉ mang tính tương đổi. Chính vì vậy mà người ta
gọi phương pháp này là “xấp xỉ”
Vậy cả hai bài toán nhìn đề rất giống nhau nhưng do số liệu bài toán 2 lại lớn hơn
(máy tính không tính được) nên chúng ta phải dùng phương pháp xấp xỉ.

4


BƯỚC 3: BẢN CHẤT BÀI TOÁN
Ở bước 2 chúng ta đã đi giải hai bài toán, hơn thế nữa là làm rõ được bài toán
nào áp dụng phương pháp xấp xỉ.
Bước 3 chúng ta đi giải thích bản chất của bài toán. Nhắc lại mình chỉ giải thích
bản chất của hướng làm chứ không giải thích công thức. Bạn nào muốn xin tài liệu
để hiểu rõ công thức thì inbox nick facebook của mình thì mình sẽ gửi tài liệu.
Tại sao lại là phép cộng các biểu thức
P(2  X  5)
 P( X  2)

 P( X  3)

 P( X  4)

 P( X  5)

 C .(0, 25) .(0, 75)  C .(0, 25) .(0, 75)  C .(0, 25) .(0, 75)  C55 .(0, 25)5 .(0, 75)0
2
5

2

3

3
5

3

2

4
5

4

1

- Nếu câu hỏi là “tính xác suất để sinh viên đó trả lời đúng 2 câu hỏi” thì kết quả là
P( X  2)  C52 .(0, 25)2 .(0,75)3

- Còn ở bài toán 1 câu hỏi là “Tính xác suất để sinh viên đó trả lời đúng từ 2 câu
trở lên”. Tức là nếu sinh đó chỉ trả lời đúng:
+ 2 câu  Cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán
( Coi đây là 1 Trường hợp)
+ 3 câu  Cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán
( Coi đây là 1 Trường hợp)
+ 4 câu  Cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán
( Coi đây là 1 Trường hợp)
+ 5 câu  Cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán
( Coi đây là 1 Trường hợp)
Như vậy môt công việc mà chia thành nhiều trường hợp hay nói cách khác là một
công việc chia ra nhiều phương án thực hiện thì ta dùng quy tắc cộng. Vậy nên ta
có phép toán:
P(2  X  5)
 P( X  2)

 P( X  3)

 P( X  4)

 P( X  5)

 C52 .(0, 25)2 .(0, 75)3  C53 .(0, 25)3 .(0, 75)2  C54 .(0, 25)4 .(0, 75)1  C55 .(0, 25)5 .(0, 75)0

Bản chất của phương pháp xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối
chuẩn là gì?
Ở đây mình sẽ giải đáp cho các bạn cách hiểu bản chất của bài toán. Trong
chương “biến ngẫu nhiên” chắc các bạn cũng biết có các đại lượng quen thuộc mà ở
5

phép phân phối nào cũng có đó chính là kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Vậy
nên khi xấp xỉ từ phân phối nhị thức thành phân phối chuẩn thì các đại lượng đó đều
không bị thay đổi. Nhưng ký hiệu của nó lại có thay đổi.

Nhìn vào bảng trên có thể hiểu là ta dữ nguyên dữ liệu chuyển từ phân phối nhị
thức thành phân phối chuẩn. Và khi tính toán thì dùng toàn bộ công thức của phân
phối chuẩn để tính. Như vậy sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên kết quả nó chỉ là “xấp xỉ”
chứ không đúng tuyệt đối.

BƯỚC 4: BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

/>Link trên là tổng hợp các đề thi năm 2014 – 2015 của VNUA. Theo mình
thấy thì đề thi năm đó rất hay và chi tiết hơn các đề thi năm trước. Các
bạn down bộ đề này về và làm hết thì cuối kỳ không cần phải lo lắng gì
nữa. Còn dạng bài tập “xấp xỉ” thì các bạn cứ làm trong đề thi này nhé!
Chúc các bạn học tốt!
6


7