slide môn học cơ sở thông tin số

Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Layout

1

Optimum Receivers for AWGN Channels
Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Kênh AWGN là kênh chỉ có duy nhất quá trình nhiễu cộng Gaussian
trắng ảnh hưởng lên tín hiệu r (t) = sm (t) + n(t).
n(t) là một thể hiện cụ thể của quá trình nhiễu trắng Gaussian, có
giá trị trung bình bằng 0 và phổ công suất N0 /2.
Bộ thu nhận được r (t), đưa ra quyết định tối ưu là bản tin m nào
đã được truyền đi.

Nguyên tắc quyết định là tối thiểu hoá xác suất quyết định sai giữa
bản tin thực sự truyền đi m và bản tin sau quyết định m:
ˆ
Pe = P[m
ˆ = m].
Tìm hiểu kênh AWGN có hai tác dụng chủ yếu: nhiễu cộng Gaussian
trắng là loại nhiễu điển hình trong nhiều loại kênh và loại nhiễu này
được sử dụng để nghiên cứu và phân tích nhiều loại nhiễu khác.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Bằng việc sử dụng một cơ sở trực chuẩn {φj (t), 1 ≤ j ≤ N}, mỗi tín
hiệu sm (t) được biểu diễn bởi một vector sm ∈ RN .
Mọi cơ sở trực chuẩn đều có thể sử dụng trong khai triển quá trình
Gaussian trắng giá trị trung bình bằng 0, và các hệ số của khai triển
là các biến ngẫu nhiên Gaussian, có giá trị trung bình bằng 0, sai
phương N0 /2 (tức là có phân bố giống nhau).
Chúng ta chuyển từ r (t) = sm (t) + n(t) sang dạng vector
r = sm + n, với các vector là N chiều, và các thành phần của n là
các biến Gaussian có phân bố giống nhau, giá trị trung bình bằng 0
và sai phương N0 /2.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát

Các thành phần nhiễu nj , 1 ≤ j ≤ N đều có chung luật phân bố
N(0, N0 /2):
N
2
1
− n
p(n) = √
e N0
πN0
Chúng ta tìm hiểu mô hình kênh tổng quát trong phần này, mà
không giới hạn là kênh AWGN.
Trong mô hình kênh tổng quát, các vector sm được lựa chọn từ tập
hợp các vector tín hiệu có thể có, tương ứng với các xác suất tiên
nghiệm Pm .


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát
Ký hiệu hàm xác định ở phía thu là g (r), nếu g (r) = m
ˆ thì xác suất
xác định đúng là xác suất m
ˆ thực sự đã được truyền đi:
P[correct decision|r] = P[m
ˆ sent|r]
P[correct decision] =

P[m
ˆ sent|r]p(r)dr

Mục tiêu của chúng ta là thiết kế một bộ xác định tối ưu làm tối
thiểu hoá sai số hay cực đại hoá xác suất xác định đúng
P[correct decision]:
m
ˆ = gopt (r) = arg maxP[m|r]
1≤m≤M


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát
Bộ thu tối ưu MAP và ML

Luật xác định tối ưu ở trên là luật cực đại hoá xác suất hậu nghiệm,
còn gọi là luật MAP. Luật này viết đơn giản thành
m
ˆ = arg max
1≤m≤M

Pm p(r|sm )
= arg maxPm p(r|sm )
p(r)
1≤m≤M

Công thức này đơn giản hơn công thức trước do Pm và các xác suất
mô tả kênh p(r|sm ) là có thể tính được trực tiếp.
Khi các bản tin có cùng xác suất tiên nghiệm, luật xác định tối ưu
đơn giản thành
m
ˆ = arg maxp(r|sm )
1≤m≤M

p(r|sm ) được gọi là khả năng của bản tin m, và bộ thu được gọi là
bộ thu cực đại hoá khả năng, hay bộ thu ML.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát

Miền xác định
Mọi bộ xác định đều phân chia không gian đầu ra RN thành M
miền, D1 , D2 , . . . , DM mà nếu r ∈ Dm , thì m
ˆ = g (r) = m.
Miền Dm được gọi là miền xác định cho bản tin m.
Nếu tương ứng với r, hai hay nhiều bản tin cùng cực đại hoá xác
suất hậu nghiệm thì chúng ta có thể gán tuỳ ý r cho một trong các
miền xác định.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát
Xác suất lỗi
Khi sm được truyền đi, lỗi xảy ra khi r không nằm trong Dm (xác
suất sai ký hiệu hay xác suất sai bản tin):
M

M

Pe =
m=1

Pm P[r ∈ Dm |sm sent] =

Pm Pe|m
m=1

M

=

p(r|sm )dr

Pm
m=1

′

1≤m ≤M
m′ =m

Dm ′

Tính xác suất sai bit đòi hỏi có nhiều thông tin hơn về quá trình
điều chế và quĩ đạo tín hiệu phải đối xứng, và chúng ta không xét
trong bài này.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN

Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát
Ví dụ
Xét hai bản tin có xác suất giống nhau s1 = (0, 0) và s2 = (1, 1).
Kênh có nhiễu phân bố mũ với các thành phần n1 , n2 , độc lập thống
kê và có phân bố giống nhau
p(n) =

e −n
0

n≥0
n<0

Do hai bản tin có xác suất giống nhau nên bộ xác định MAP là
tương đương với bộ xác định ML, và miền xác định D1 là
D1 = {r ∈ R2 : p(r|s1 ) > p(r|s2 )}


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát

Hình: Miền xác định D1 , D2


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh tổng quát
Chú ý p(r|s = (s1 , s2 )) = p(n = r − s), ta có
với

D1 = {r ∈ R2 : pn (r1 , r2 ) > pn (r1 − 1, r2 − 1)}
pn (n1 , n2 ) =

e −n1 −n2
0

n1 , n2 > 0
các giá trị khác

Như vậy, nếu r1 hoặc r2 nhỏ hơn 1 thì r thuộc D1 , nếu cả r1 , r2 lớn
hơn 1 thì r thuộc D2 .
Khi s2 được truyền đi, bất kể nhiễu thế nào thì r luôn thuộc D2 và
không có lỗi khi thu.
Khi s1 được truyền đi và r thuộc D2 thì sẽ có lỗi và
1
P[r ∈ D2 |s1 = (0, 0) được truyền đi]

2
∞
1 ∞ −n1
1
=
e dn1
e −n2 dn2 = e −2
2 1
2
1

Pe =


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Layout

1

Optimum Receivers for AWGN Channels
Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Optimum Receivers for AWGN Channels

Với kênh AWGN thì r (t) = sm (t) + n(t) với n(t) là quá trình
Gaussian trắng giá trị trung bình bằng 0.
Với khai triển trực giao/trực chuẩn chúng ta có:
N

N

rj φj (t)+n2 (t)

(smj +nj )φj (t)+n2 (t) =

r (t) = sm (t)+n1 (t)+n2 (t) =
j=1

j=1

nj là các biến ngẫu nhiên Gaussian, có phân bố giống nhau, giá trị
trung bình bằng 0 và sai phương N0 /2.
Với i = j, ni và nj là không tương quan, và do chúng là các biến
ngẫu nhiên Gaussian, chúng độc lập thống kê.
n2 (t) không có tương quan và độc lập thống kê với tất cả các biến

ngẫu nhiên nj , và do đó độc lập thống kê với n1 (t), và không ảnh
hưởng tới quá trình xác định.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh AWGN

Luật xác định MAP cho kênh AWGN là
m
ˆ = arg max[ηm + r · sm ],
1≤m≤M

ηm =

1
N0
ln Pm − ζm
2
2

Miền xác định Dm là
Dm = {r ∈ RN : r·sm +ηm > r·sm′ +ηm′ , for all 1 ≤ m′ ≤ M and m′ = m}

Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh AWGN
Đinh nghĩa 3 độ đo thường được sử dụng:
Độ đo khoảng cách: D(r, sm ) = r − sm 2 .
Độ đo khoảng cách điều chỉnh: D ′ (r, sm ) = −2r · sm + sm 2 .
Độ đo tương quan:
∞
∞
C (r, sm ) = −D ′ (r, sm ) = 2 −∞ r (t)sm (t)dt − −∞ sm2 (t)dt

Luật MAP trở thành
m
ˆ = arg max[N0 ln Pm − D(r, sm )] = arg max[N0 ln Pm + C (r, sm )]
1≤m≤M

1≤m≤M

và luật ML trở thành
m
ˆ = arg maxC (r, sm )
1≤m≤M


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu cho kênh AWGN
Ví dụ: Xác định tối ưu tín hiệu nhị phân đối cực
Tín hiệu nhị phân đối cực là s1 (t) = s(t) = −s2 (t). Xác suất các
bản tin là p and 1 − p, số chiều của tín hiệu
√ là N = 1, và√vector
biểu diễn hai tín hiệu là số vô hướng s1 = ζs và s2 = − ζs với ζs
là năng lượng của mỗi tín hiệu và bằng ζb .
Miền xác định D1 là D1 = {r : r > rth },

rth =

N0
√
4 ζb

ln 1−p
p

Khi p → 0, thì rth → ∞ và toàn bộ trục thực trở thành D2 .

Khi p → 1, thì toàn bộ trục thực trở thành D1 .
Khi p = 21 , rth = 0 và luật xác định trở thành luật khoảng cách tối
thiểu.
Xác suất xác định sai Pe = pQ

√
√ζb −rth
N0 /2

+ (1 − p)Q

√
r√
th + ζb
N0 /2

.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Giới hạn của xác suất lỗi trong xác định ML

Với kênh AWGN chúng ta có
p(r|sm )dr =

Pe|m =
1≤m′ ≤M
m=m′

Dm ′

1
√
πN0

N

e
1≤m′ ≤M
m=m′

−

r−sm 2
N0

dr

Dm ′

Rất ít sơ đồ tín hiệu có miền xác định Dm′ hình vuông (hoặc chữ
nhật), do đó việc xác định giới hạn trên của xác suất lỗi sẽ có nhiều
ý nghĩa hơn.
Giới hạn hợp (union bound) là đơn giản nhất và khá chặt khi SNR
cao.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Giới hạn của xác suất lỗi trong xác định ML
Với xác định ML, Dm′ được biểu diễn thành
Dm′ = {r ∈ RN : p(r|sm′ > p(r|sk ),

for all 1 ≤ k ≤ M and k = m′ }

Ta định nghĩa Dmm′ as Dmm′ = {p(r|sm′ ) > p(r|sm )}.
Giới hạn hợp cho kênh tổng quát
Pe ≤

1
M

M

Pm→m′ ,

Pm→m′ =

p(r|sm )dr
Dmm′

m=1 1≤m′ ≤M
m=m′

Đối với kênh AWGN thì
Pe ≤

1
2M

M

e
m=1 1≤m′ ≤M
m=m′

d2 ′
mm
− 4N
0



≤ (M − 1)Q 



2
dmin


2N0

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Optimum Receivers for AWGN Channels

Giới hạn của xác suất lỗi trong xác định ML
Một giới hạn dưới của xác suất lỗi
Với các sơ đồ tín hiệu M mức đồng xác suất, xác suất lỗi là
Pe =

1
M

M

p(r|sm )dr
m=1

c
Dm

Ký hiệu Nmin là số tối thiểu các điểm tín hiệu có khoảng cách dmin
tới một điểm khác, ta có
Pe ≥

Nmin
Q

M

dmin
√
2N0


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Layout

1

Optimum Receivers for AWGN Channels
Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Tín hiệu có bằng tần hạn chế là các tín hiệu có các đặc điểm sau:
có yêu cầu về băng thông tương đối hẹp (nhỏ),
ít chiều, và số chiều độc lập với số lượng tín hiệu (khác nhau) trong
sơ đồ tín hiệu,
hiệu quả về công suất giảm đi khi số lượng tín hiệu tăng lên.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu ASK
Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm tín hiệu là
dmin =

12 log2 M
ζbavg
M2 − 1

Xác suất sai ký hiệu là
Pe =

1
M

M

P[error|m sent] =
m=1

2(M − 1)
Q
M

d
√ min
2N0

Thay thế dmin vào công thức, ta có
Pe = 2 1 −

1
M

Q

6 log2 M ζbavg
M 2 − 1 N0

≈ 2Q

6 log2 M ζbavg
M 2 − 1 N0

Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu ASK

ζ

bavg
2M
Chú ý giá trị trung bình của SNR/bit N
,
được nhân với 6Mlog2 −1
0
điều này có ý nghĩa là để giữ xác suất lỗi không đổi khi tăng M,
SNR/bit phải tăng lên.

Với M lớn, tăng gấp đôi giá trị M có ý nghĩa là để tốc độ truyền
tăng thêm 1 bit, sẽ đòi hỏi SNR/bit tăng khoảng 4 lần, tức là 6dB
để có cùng độ hiệu quả.


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu PSK

Hình: Sơ đồ tín hiệu PSK


Optimum Receivers for AWGN Channels

Thu tối ưu cho kênh tổng quát
Thu tối ưu cho kênh AWGN
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có băng tần hạn chế
Xác định tối ưu và xác suất lỗi cho tín hiệu có công suất hạn chế

Xác định tối ưu và xác suất lỗi tín hiệu PSK
Giả thiết các bản tin là đồng xác suất, khi đó các miền xác định dựa
trên luật về khoảng cách tối thiểu.
√
Xác suất sai của hệ thống bằng với xác suất sai khi √
s1 = ( ζ, 0)
được truyền đi. Vector nhận được là r = (r1 , r2 ) = ( ζ + n1 , n2 ).
r1 , r2 là hai biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập √
thống kê có sai phương
σ 2 = 12 N0 và giá trị trung bình tương ứng là ζ và 0, như vậy
√

p(r1 , r2 ) =

1 − (r1 − Nζ)2 +r22
0

e
πN0

Với tín hiệu PSK nhị phân, hai tín hiệu s1 (t) và s2 (t) là đối cực
(antipodal), và xác suất sai là
Pe = Pb = Q

2ζb
N0