slide môn học cơ sở thông tin số

Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Layout

1

Signal and System Theory
Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Đa số các tín hiệu số mang thông tin được truyền đi dưới dạng điều
chế, xử dụng một tín hiệu mang (carrier modulation).
Kênh truyền vật lý nói chung cũng bị (hoặc được thiết kế) giới

hạn/hạn chế về băng thông với tần số trung tâm là tần số của tín
hiệu mang (hoặc xấp xỉ).
Tín hiệu (và hệ thống/kênh) nếu có độ rộng băng tần (băng thông)
nhỏ hơn nhiều so với tần số tín hiệu mang được gọi là tín hiệu và hệ
thống băng hẹp, thông dải.
Không mất tính tổng quát và để đơn giản trong việc biểu diễn toán
học, người ta biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải thành tín hiệu
và hệ thống thông thấp tương đương.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn các tín hiệu thông dải

Hình: Phổ tín hiệu thông dải

Giả thiết một tín hiệu giá trị thực s(t) là tín hiệu băng hẹp với tần
số trung tâm là fc .
Ta xây dựng tín hiệu chỉ có các thành phần tần số dương của tín
hiệu s(t)
S+ (f ) = 2u(f )S(f )


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn các tín hiệu thông dải
Như vậy
∞

s+ (t) =

S+ (f )e j2πft df = F −1 [2u(f )] ⋆ F −1 [S(f )]

−∞

= δ(t) +

j
1
⋆ s(t) = s(t) + j
⋆ s(t) = s(t) + jˆs (t)
πt
πt

1
h(t) = πt
gọi là đáp ứng xung của phép biến đổi Hilbert. Về bản
chất, nó dịch pha 90o tất cả các thành phần tần số của tín hiệu vào.

Chúng ta nhận được tín hiệu tần số thấp tương đương qua việc dịch
chuyển tần số Sl (f ) = S+ (f + fc ).

Biểu diễn ở miền thời gian
sl (t) = s+ (t)e −j2πfc t = [s(t) + jˆs (t)]e −j2πfc t


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn các tín hiệu thông dải
Nói chung sl (t) là tín hiệu có giá trị phức
sl (t) = x(t) + jy (t) = a(t)e jθ(t)
s(t) = x(t) cos 2πfc t − y (t) sin 2πfc t = ℜ[sl (t)e j2πfc t ]
= a(t) cos[2πfc t + θ(t)]

ˆs (t) = x(t) sin 2πfc t + y (t) cos 2πfc t
x(t) và y (t) gọi là các thành phần vuông góc (quadrature
components) của tín hiệu thông dải s(t).
a(t) và θ(t) gọi là đường bao (envelope) và pha của s(t).
Mối liên hệ giữa S(f ) và Sl (f ) là:
S(f ) =

1
[Sl (f − fc ) + Sl∗ (−f − fc )]

2


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn các tín hiệu thông dải

Năng lượng của s(t):
∞

C=

s 2 (t)dt

−∞
∞

1
2
1
≈
2
=

−∞
∞
−∞

|sl (t)|2 dt +
|sl (t)|2 dt

1
2

∞
−∞

|sl (t)|2 cos[4πfc t + 2θ(t)]dt


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn các hệ thống tuyến tính thông dải
Một bộ lọc (hay hệ thống) tuyến tính có thể được mô tả bởi đáp
ứng xung h(t) hay đáp ứng tần số H(f ). Do h(t) là thực nên
H ∗ (f ) = H(f ).
Định nghĩa Hl (f − fc ):
Hl (f ) =

H(f ) (f > 0)
=⇒ Hl∗ (−f − fc ) =
0
(f < 0)

0
(f > 0)
H ∗ (−f ) (f < 0)

Như vậy ta có
H(f ) = Hl (f − fc ) + Hl∗ (−f − fc )

h(t) = hl (t)e j2πfc t + hl∗ (t)e −j2πfc t = 2ℜ[hl (t)e j2πfc t ]

Nói chung hl (t) có giá trị phức.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Đáp ứng của hệ thống thông dải với tín hiệu vào thông dải

Đầu ra của hệ thống ở miền tần số là:
R(f ) = S(f )H(f )

1
= [Sl (f − fc ) + Sl∗ (−f − fc )] [Hl (f − fc ) + Hl∗ (−f − fc )]
2
1
= [Sl (f − fc )Hl (f − fc ) + Sl∗ (−f − fc )Hl∗ (−f − fc )]
2
1
= [Rl (f − fc ) + Rl∗ (−f − fc )]
2


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Đáp ứng của hệ thống thông dải với tín hiệu vào thông dải

Rõ ràng là

∞

rl (t) =
−∞

sl (τ )hl (t − τ )dτ

Mối quan hệ đơn giản này cho phép chúng ta bỏ qua việc dịch
chuyển tần số tuyền tính trong quá trình điều chế tín hiệu (phối hợp
giữa băng thông của kênh và phổ tần số tín hiệu).


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải
Trong phần này, chúng ta mở rộng việc biểu diễn cho các thể hiện
cụ thể của một quá trình ngẫu nhiên dừng và thông dải.
Giả thiết n(t) là một thể hiện cụ thể của một quá trình ngẫu nhiên
dừng (theo nghĩa rộng) có giá trị trung bình bằng 0 và phổ mật độ
công suất Φnn (f ), phổ này giả thiết là có giá trị bằng 0 tại các tần
số bên ngoài dải tần số có giá trị trung tâm là ±fc .
Với các giả thiết như vậy, n(t) được biểu diễn thành
n(t) = a(t) cos[2πfc t + θ(t)]
= x(t) cos 2πfc t − y (t) sin 2πfc t

= ℜ[z(t)e j2πfc t ]


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải

Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải
Do n(t) có giá trị trung bình bằng 0, x(t) và y (t) cũng có giá trị
trung bình bằng 0.
Tính chất dừng của n(t) nói lên hàm tự tương quan và tương quan
chéo của x(t) và y (t) thoả mãn tính chất
φxx (τ ) = φyy (τ ),

φxy (τ ) = −φyx (τ )

Chúng ta cũng có:
φnn (τ ) = φxx (τ ) cos 2πfc t − φyx sin 2πfc t
Đối với các quá trình thông thấp tương đương và thông dải, chúng
ta có:
1
E [z ∗ (t)z(t + τ )] = φxx (τ ) + jφyx (τ )
2
φnn (τ ) = ℜ[φzz (τ )e j2πfc t ]
φzz (τ ) =


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp

Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải

Như vậy hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên thông dải
φnn (τ ) được xác định bởi hàm tự tương quan của quá trình ngẫu
nhiên tần số thấp tương đương φzz (τ ) và tần số mang fc .
Phổ mật độ công suất:
Φnn (f ) =

1
[Φzz (f − fc ) + Φzz (−f − fc )]
2

Vì φzz (τ ) = φ∗zz (−τ ), Φzz (f ) có giá trị thực.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải
Biểu diễn nhiễu trắng
Nhiễu trắng là một quá trình ngẫu nhiên dừng có phổ mật độ công
suất đồng đều trên toàn miền tần số.

Chúng ta biểu diễn nhiễu tại phía thu khi cho cả tín hiệu và nhiễu
qua bộ lọc thông dải lý tưởng có dải thông chứa phổ tín hiệu nhưng
rộng hơn nhiều.
Nhiễu ở dạng tần số thấp tương đương z(t) có phổ mật độ công suất
Φzz (f ) =

N0
0

(|f | ≤ B/2)
(|f | > B/2)

và hàm tự tương quan
φzz (τ ) = N0

sin πBτ
πτ


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Biểu diễn quá trình ngẫu nhiên dừng, thông dải

Như vậy phổ mật độ công suất của nhiễu trắng (và nhiễu trắng

thông dải) có tính đối xứng qua gốc f = 0, và φxy (τ ) = 0 với mọi τ .
Từ đó
φzz (τ ) = φxx (τ ) = φyy (τ )
Như vậy, các thành phần vuông góc x(t) and y (t) là không có
tương quan với mọi dịch chuyển thời gian τ và các hàm tự tương
quan của z(t), x(t), y (t) là giống nhau.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Layout

1

Signal and System Theory
Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên


Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu

Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Signal and System Theory

Không gian vector
Một vector v trong không gian n chiều có thể được biểu diễn bằng
một tổ hợp tuyến tính (linear combination) của các vector đơn vị
hay các vector cơ sở
n

v=

vi ei
i =1

Tích vô hướng (inner product) của hai vector n chiều
n

v1 · v2 =

v1i v2i
i =1

Hai vector v1 and v2 là trực giao nếu v1 · v2 = 0.
Chuẩn (norm) của vector v
n

v = (v · v)1/2 =

vi2
i =1


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Không gian vector
Tập hợp m vector được gọi là trực chuẩn (orthonormal) nếu các
vector là trực giao với nhau và mỗi vector có chuẩn đơn vị.
Tập hợp m vector được gọi là độc lập tuyến tính nếu không vector
nào trong tập hợp này có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến
tính của các vector còn lại.
Một biến đổi tuyến tính trong không gian vector n chiều là một ma
trận có dạng
′
v = Av
′

Trong trường hợp đặc biệt v = λv, với λ là một số vô hướng, v
được gọi là vector riêng/eigenvector của phép biến đổi và λ là giá trị
riêng/eigenvalue tương ứng.
Thủ tục Gram-Schmidt để xây dựng tập hợp các vector trực chuẩn
từ tập hợp các vector n chiều.

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Signal and System Theory

Không gian tín hiệu
Đối với tín hiệu, chúng ta có thể xây dựng các khái niệm tương tự
như với không gian vector.
Tích vô hướng của hai tín hiệu phức
b

x1 (t), x2 (t) =
a

x1 (t)x2∗ (t)dt

Hai tín hiệu được gọi là trực giao nếu có tích vô hướng bằng 0.
Chuẩn của tín hiệu
1/2

b
2

x(t) =
a

|x(t)| dt

Tập hợp m tín hiệu là trực chuẩn nếu chúng trực giao đôi một và
tất cả có chuẩn bằng đơn vị.
Tập hợp m tín hiệu là độc lập tuyến tính nếu không có tín hiệu nào
có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu
còn lại trong tập hợp.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
Trong phần này, chúng ta xây dựng một biểu diễn vector cho tín
hiệu, điều này sẽ cho thấy sự giống nhau giữa biểu diễn tín hiệu và
biểu diễn vector.
Giả thiết s(t) là tín hiệu xác định, giá trị thực, có năng lượng hữu
∞
hạn Cs = −∞ [s(t)]2 dt.
Giả thiết tồn tại tập hợp các hàm trực chuẩn
{fn (t), n = 1, 2, . . . , N}:
∞

fn (t)fm (t)dt =

−∞

0 (m = n)
1 (m = n)

Chúng ta sẽ xấp xỉ s(t) bởi
K

ˆs (t) =

sk fk (t)
k=1


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
Chúng ta chọn các hệ số {sk } để tối thiểu hoá năng lượng sai số Ce .
Với tiêu chuẩn trung bình bình phương sai số (MSE), Ce sẽ nhỏ nhất
khi sai số trực giao với mỗi tín hiệu (hàm) trong khai triển chuỗi.
K

∞
−∞

s(t) −

sk fk (t) fn (t)dt = 0,

n = 1, 2, . . . , K

k=1

Do {fn (t)} là trực chuẩn, ta có
∞

s(t)fn (t)dt,

sn =

n = 1, 2, . . . , K

−∞

Sai số MSE nhỏ nhất là Cmin = Cs −

K
2
k=1 sk

Khi sai số MSE Cmin = 0, s(t) sẽ "bằng" khai triển chuỗi của nó
theo nghĩa năng lượng của sai số bằng 0.

Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
Ví dụ chuỗi Furier
Tín hiệu có năng lượng hữu hạn s(t), tức là bằng 0 bên ngoài dải
0 ≤ t ≤ T , và có hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng này,
được biểu diễn bằng chuỗi Furier
∞

ak cos

s(t) =
k=0

2πkt
2πkt
+ bk sin
T
T

Các hệ số {ak , bk } làm tối thiểu hoá sai số MSE là
1
ak = √
T

T

s(t) cos
0

2πkt
dt,
T

1
bk = √
T

T

s(t) sin
0

2πkt
dt
T

Tập hợp { 2/T cos 2πkt
2/T sin 2πkt
T ,
T } là đầy đủ, và khai triển
chuỗi có sai số MSE bằng 0.

Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
Phương pháp Gram-Schmidt khai triển trực chuẩn tín hiệu
Giả thiết có một tập hợp các tín hiệu có năng lượng hữu hạn
{si (t), i = 1, 2, . . . , M}.
Bắt đầu với tín hiệu thứ nhất s1 (t) có năng lượng C1 , tín hiệu đầu
tiên của tập hợp các tín hiệu trực chuẩn là
s1 (t)
f1 (t) = √
C1
Tín hiệu thứ hai được xây dựng từ s2 (t) bằng cách loại bỏ thành
phần của s2 (t) mà có thể được biểu diễn qua f1 (t):
∞

c12 =

′

s2 (t)f1 (t)dt,
−∞

′

f2 (t) = s2 (t) − c12 f1 (t),

f2 (t)
f2 (t) = √
C2

Quá trình trực chuẩn hoá sẽ kết thúc khi tất cả M tín hiệu được
biểu diễn hoàn toàn qua N ≤ M tín hiệu trực chuẩn.


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
Ví dụ về thủ tục Gram-Schmidt

Hình: Các tín hiệu


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên

Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu

Hình: Các tín hiệu trực giao tương ứng


Signal and System Theory

Biểu diễn tín hiệu và hệ thống thông dải
Biểu diễn không gian tín hiệu
Các biến ngẫu nhiên thường gặp
Quá trình ngẫu nhiên
Khai triển chuỗi các quá trình ngẫu nhiên

Khai triển trực giao tín hiệu
s1 (t) có năng lượng C1 = 2, và như vậy f1 (t) = 12 s1 (t).
c12 = 0, như vậy
√ s2 (t) và f1 (t) là trực giao, và
f2 (t) = s2 (t)/ C2 = 12 s2 (t).
√
Để có f3 (t), ta tính c13 = 2 và c23 = 0. Như vậy,
′

f3 (t) = s3 (t) −
′

√

2f1 (t) =

−1 (2 ≤ t ≤ 3)
0
(các giá trị khác)
′

Do f3 (t) có năng lượng đơn vị nên f3 (t) = f3 (t).
√
Để xác định f4 (t), ta thấy c14 = − 2, c24 = 0, c34 = 1. Như vậy,
√
′
f4 (t) = s4 (t) + 2f1 (t) − f3 (t) = 0
s4 (t) là tổ hợp tuyến tính của f1 (t) và f3 (t), như vậy f4 (t) = 0.