27 phân loại và viết phương trình mặt phẳng

Sở giáo dục & đào tạo hà nội

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Tên đề tài
Phân loại bài toán
viết ph-ơng trình mặt phẳng



sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Hoàng Văn T-ơi
- Ngày sinh: 23 / 07 / 1980
- Năm vào ngành: 2001
- Đơn vị công tác: Trung Tâm GDTX Mỹ Đức
- Trình độ chuyên môn: Cử nhân s- phạm Toán học
- Hệ đào tạo: Từ xa
- Bộ môn giảng dạy: Môn Toán THPT

Hà nội năm 2009


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
A. Lý do chọn đề tài
Bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khó
trong ch-ơng trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững
kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đ-ờng thẳng, mặt phẳng, mặt
cầu. Mức độ t- duy Lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc. Những phát hiện
lời giải hay và hấp dẫn ng-ời học.
Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần ph-ơng pháp toạ độ không gian
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.

Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX tôi thấy nhìn chung đối t-ợng học sinh ở
mức trung bình yếu, mức độ t- duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khi giải bài
toán dạng này, để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi
đ-a ra ph-ơng pháp phân lại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách
đơn giản dễ nhớ và từng b-ớc giúp học sinh hình thành lối t- duy giải quyết
vấn đề.
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi tốt nghiệp THPT, tiền đề để học sinh
b-ớc tiếp vào t-ơng lai.
B. Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đ-ợc thùc hiƯn trong ph¹m vi 3 líp 12B1, 12B2, 12B3 trung tâm
GDTX Mỹ Đức .
C. Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi ôn tập chuyên đề sau khi học song ch-ơng ph-ơng pháp toạ
độ trong không gian, các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2008 -2009
d. quá trình thực hiện đề tài
* Tr-ớc khi thực hiện đề tài:
Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài toán: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M( 1;2;3 ) và có pháp tuyến là n = ( 2;-4;1)
b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d

x 1 y  2 z


2
3
1

c/ (  ) ®i qua M(2;-1;3) vµ // (P): x+2y-3z + 1 = 0
d/ (  ) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Néi

2


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
*/Số liệu cụ thể tr-ớc khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12B1 ( sĩ số 50)
Câu a
Câu b
Câu c
Câu d

Làm đúng
12
4
4
2

Làm sai
30
26
21
17

Số h/s không có lời Lời giải
8
20
25
31

Kết quả của lớp 12B2 ( sĩ số 54)
Số h/s làm đúng
Số h/s làm sai
Câu a
4
26
Câu b
2
18
Câu c
2
17
Câu d
2
10

Số h/s không có lời Lời giải
24
34
35
42

Kết quả của lớp 12B3 ( sĩ số 54)
Làm đúng
Làm sai
Câu a
6
20
Câu b

2
21
Câu c
2
22
Câu d
1
21

Số h/s không có lời Lời giải
28
31
30
32

Nh- vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là rất thấp sau khi nêu
lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng
thú.
Nội dung thực hiện đề tài:

Phần I: nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là pháp tuyến của ( )
* n là pháp tuyến của ( ) thì k. n cũng là pháp tuyến của ( )
2. Ph-ơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Ph-ơng trình tổng quát của ( ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A2 + B2 + C2  0)
* NÕu (  ) cã ph-¬ng tr×nh Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của ( ) là
n ( A;B;C)

* Nếu ( ) đi qua điểm M(x 0;y0;z0) và nhận n (A;B;C) làm pháp tuyến thì
ph-ơng trình của ( ) lµ : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

3


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
* Nếu (  ) chøa hay song song víi gi¸ cđa hai véc tơ khác ph-ơng a =(a1;a2;a3)
b (b 1 ;b2 ;b3 ) thì pháp tuyến của ( ) là
n = [ a , b ] = ( a2 .b 3 - a3 .b 2 ; a3 .b1 -a1 .b 3 ; a1 .b2 - a2 .b1 )

* NÕu ( ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần l-ợt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) thì
( ) có ph-ơng trình là : x y z 1 ; (a.b.c 0 )
a

b

c

( ph-ơng trình trên gọi là ph-ơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
* (P)  (Q) th× n P. n Q = 0 ( n P, n Q lần l-ợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* (P) // (Q) thì n P = k. n Q ( n P, n Q lần l-ợt là pháp tuyến của (P) và (Q) )
* NÕu (  ): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x 0;y0;z0) thì khoảng cách từ M
đến ( ) là d (M, (  )) = | Ax0  2By0 2 Cz0 2 D |
A B C

* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(x B; y B ; zB)
- vÐc t¬ AB = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
- Toạ độ trung điểm I cđa AB lµ I= (

x A  xB y A  y B z A  z B
;
;
)
2
2
2

Quy -íc: Ph¸p tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n
Chỉ ph-ơng của đ-ờng thẳng ký hiệu là a

Phần 2: Nêu ph-ơng pháp chung để Lời giải toán:
Trong bài toán Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) thì ph-ơng pháp chung nhất là
đi xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( gọi chung là pháp tuyến) và toạ
độ một điểm mà mặt phẳng đi qua sau đó dựa vào công thức nhận xét của định
nghĩa( trang 72 sgk hh12) để viết ph-ơng trình mặt phẳng.

Phần III: các dạng bài tập th-ờng gặp
Dạng 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) khi biết pháp tuyến n (A;B;C) và
toạ độ điểm M(x 0;y0;z0) thuộc mặt phẳng .
H-ớng dẫn:
Ph-ơng trình mặt phẳng (  ) lµ: A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
 Ax + By + Cz -Ax0 - By0 - Cz0 = 0

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

4

Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M (1;2;3) và có pháp tuyến là n (3;2;4)
b/ ( ) đi qua gốc toạ độ và có pháp tuyến là n (3;-2;0)
Lời giải
a/ Ph-ơng trình mặt phẳng ( ) lµ: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) = 0
 3x + 2y +4z -19 = 0

b/ Ph-ơng trình mặt phẳng (  ) lµ : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) = 0
3x -2y = 0

Dạng 2 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A,B,C cho tr-ớc
không thẳng hàng.
H-ớng dẫn:
n = [ AB . AC ] là pháp tuyến của mặt phẳng ( )

Lấy A ( ) ph-ơng trình ( )
Ví dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) ®i qua 3 ®iĨm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)
b/ ( ) đi qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3)
Lời giải
a/ Ta cã AB =(2 ;1 ;-2)
AC =(-12 ;6 ;0)

 n = [ AB . AC ] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy n =(1 ;2 ;2) là pháp tuyến.

A(2;-1;3) ( ) Ph-ơng trình mặt phẳng (  ) lµ:
1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0
 x+ 2y + 2z - 6 = 0

b/ áp dụng công thức ph-ơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có ph-ơng trình
mặt phẳng ( ) là:

x
y
z


1
1 2 3

6x- 3y - 2z - 6 = 0

( cách giải khác giống nh- câu a)

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ §øc - TP Hµ Néi

5


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Dạng 3: Mặt phẳng ( ) đi qua một điểm và vài yếu tố khác.
Ph-ơng pháp : Tìm toạ độ véc tơ pháp tuyến ph-ơng trình.
Loại 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với
đ-ờng thẳng d.
H-ớng dẫn: n = a d bài toán trở về dạng 1
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và vuông gãc víi d

 x  2t


 y  3  t ( t lµ tham sè )
z  2  t


b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông gãc víi d

x 1 y  2 z


2
3
1

c/ (  ) đi qua điểm P(0;1;2) và vuông góc với trục Ox.
Lời giải
a/ Do ( ) vuông góc với d  n = a d = (2;1;-1)
M(1;2;3)  (  ) ph-ơng trình của ( ) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) = 0
 2x + y -z -1 = 0

b/ Do (  ) vu«ng gãc víi d  n = a d = (-2;3;1)
N(2;-1;3)  (  ) ph-ơng trình của ( ) là : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) = 0
 -2x +3y +z +4 = 0

c/ do (  ) vu«ng gãc víi Ox  n = i = (1;0;0)
P(0;1;2)  (  )  ph-ơng trình của ( ) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0
x=0

Loại 2 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song song với
mặt phẳng (P).

H-ớng dẫn :

n = n P bài toán trở về dạng 1

Ví Dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0
b/ (  ) ®i qua N(2;0;-3) và // (Oxy)
Lời giải
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

6


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
a/ do (  ) // (P)  n = n P = (1;2;-3)
M(2;-1;3) ( ) ph-ơng trình của (  ) lµ:
1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0
 x +2y -3z + 9 = 0

b/ do (  ) // (Oxy)  n = k =( 0;0;1)
N(2;0;-3)  (  ) ph-ơng trình của ( ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0
z+3= 0

Loại 3: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M song song với
đ-ờng thẳng d và vuông góc với mặt ph¼ng (P).
H-íng dÉn: n = [ a d. n P] đ-a bài toán về dạng 1.
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;3;-1) song song víi
 x  1  3t

d  y 2t

( t là tham số ) và vuông góc víi (P): x + y - z + 1 = 0
z  3  t


Lêi gi¶i
Ta cã :

a d = (-3 ;2 ;-1)
n P = (1 ;1 ;-1)

Do (  ) //d và vuông góc với (P) n = [ a d. n P] = (-1 ;-4 ;-5)
M(2;3;-1)  ( ) ph-ơng trình của ( ) lµ: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) = 0
 x +4y + 5z - 9 = 0

Loại 4: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với 2
mặt phẳng (P) và (Q).
H-ớng dẫn: n = [ n P. n Q] bài toán đ-a về dạng 1
Ví Dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời
vuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0, (Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0
Lêi gi¶i
Ta cã:

n P = (3;-2;2)
n Q= (5;-4;3)

Do ( ) vuông góc với (P) và (Q) n = [ n P. n Q] = (2;1;-2)
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

7

Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
M(3;-1;-5) ( ) ph-ơng trình của ( ) lµ:
2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0
 2x + y - 2z -15 = 0

Loại 5 Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đia qua điểm M và song song với d
vµ d’
H-íng dÉn : n = [ a d. a d] đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng th¼ng
 x  1  2t
x  2 y 1 z  3

d  y  3t ; ( t lµ tham sè ) vµ d’:


1
2
1
z  4  t


ViÕt ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với
d và d
Lời giải
Ta cã :

a d = (2 ;-3 ;1)
a d’= (1 ;2 ;-1)

Do (  ) // d vµ d’  n = [ a d. a d’] = (1;3;7)
Vµ M(1;2;3)  ( ) ph-ơng trình của ( ) lµ :
1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) = 0
 x + 3y + 7z - 28 = 0

Lo¹i 6 ViÕt ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và chứa d ( d không
đi qua M )
H-ớng dÉn:

- LÊy N  d
- n = [ a d, MN ] đ-a bài toán về dạng 1

Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và chứa đ-ờng
thẳng d :

x 2 y 1 z  3


1
2
1

Lêi gi¶i:
Ta cã: N(2;-1;3)  d
MN = (1;3;0)

a d = (1;2;-1) do (  ) chøa M vµ d  n = [ a d , MN ] =(-3;1;-1)

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

8


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
ph-ơng trình của ( ) là : -3(x-1) + 1(y-2) - 1(z - 3) = 0
 -3x + y - z + 4 = 0

Dạng 4 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm và các yếu tố
khác.
Loại 1 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M,N và song song với
đ-ờng th¼ng d.
H-íng dÉn: n = [ MN . a d]
Chän M ( ) đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ :Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M(2;1;3), N(1,-2,1) và song song
x 1  t

víi d  y  2t
( t lµ tham sè )
 z  3  2t


Lêi gi¶i
Ta cã: MN = (-1;-3;-2)
a d = (1;2;-2)

Do (  ) ®i qua M,N vµ song song víi d  n = [ MN . a d]= (10;-4;1)
M(2;1;3)  (  ) ph-ơng trình của ( ) là: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) = 0
 10x - 4y +z -19 = 0

Lo¹i 2: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M,N và vuông góc với (P)

(MN không vuông góc víi (P))
H-íng dÉn: n = [ MN . n P]
Chän M ( ) đ-a bài toán về dạng 1
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M(0;1;2), N(2;0;1) và vuông góc
với (P): 2x + 3y - z + 1 = 0 .
Lêi gi¶i
Ta cã: MN = (2;-1;-1)
n P= (2;3;-1)

Do (  ) ®i qua M,N và vuông góc với (P) n = [ MN . n P] = (4;0;8)
M(0;1;2)  (  ) ph-ơng trình của ( ) là: 4(x-0) + 0 (y-1) + 8(z-2) = 0
 4x + 8z - 16 = 0
 x + 2z - 4 = 0

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

9


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Dạng 5: Mặt phẳng chứa 1 đ-ờng thẳng và một yếu tố khác.
Loại 1: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) chøa d vµ song song víi d’.
H-íng dÉn: n = [ a d. a d’]
LÊy M  d  M ( ) đ-a bài toán về dạng 1.
Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng
x 1 2t
x 2 y 1 z  3
d  y  3t ; ( t lµ tham sè ) vµ d’:



1
2
1
z  4 t


Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau :
a/ ( ) chứa d vµ // d’
b/ (  ) chøa d vµ // d
Lêi gi¶i
a/ Ta cã : a d = (2 ;-3 ;1)
a d’= (1 ;2 ;-1)

Do (  ) chøa d vµ // d’  n = [ a d. a d’] = (1;3;7)
Vµ M(1;0;4)  d  M  ( ) ph-ơng trình của ( ) lµ :
1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) = 0
 x + 3y + 7z - 29 = 0

b/ Ta cã : a d = (2 ;-3 ;1)
a d’= (1 ;2 ;-1)

Do (  ) chøa d’ vµ // d  n = [ a d. a d’] = (1;3;7)
Vµ N(2;-1;3)  d’  N  (  )  ph-¬ng trình của ( ) là :
1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) = 0
 x + 3y + 7z - 20 = 0

Loại 2: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) chứa d và vuông góc với (P) ( d kh«ng
vu«ng gãc víi (P))
H-íng dÉn: n = [ a d. n P]
LÊy M  d  M  ( ) đ-a bài toán về dạng 1.

Ví dụ : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) trong các tr-ờng hợp sau:
a/ ( ) chứa d:

x 1 y 1 z 1


2
3
1

và vuông góc với (P): -x + y + 2z - 1 = 0

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

10


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
x  3t
b/ (  ) chøa d  y  1 t
z 2 2t


và vuông góc với (Oyz)

c/ ( ) chứa trục Oy và vuông gãc víi (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0
Lêi gi¶i
a/ Ta cã a d= ( 2 ;3 ;1)
n P = (-1 ;1 ;2)

Do (  ) chøa d và vuông góc với (P) n = [ a d. n P] = (5; -5;5)
M(-1;1;-1)  d  M ( ) ph-ơng trình của (  ) lµ :
5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0
 x-y+z+ 3=0

b/ Ta cã a d= ( 3 ;1 ;-2)
i = (1 ; 0 ; 0) là pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz)

Do ( ) chứa d và vu«ng gãc víi (Oyz)  n = [ a d. i ] = (0 ; -2 ; -1)
M(0 ;-1 ;2)  d  M  (  )  ph-¬ng trình của ( ) là :
0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) = 0
 -2y - z = 0

c/ Ta cã j = (0 ;1 ;0 ) là chỉ ph-ơng của ®-êng th¼ng chøa trơc Oy
n P= (2 ;3 ;-4)

Do ( ) chứa trục Oy và vuông góc với (P)  n = [ j . n P] = (-4 ;0 ;-2)
O(0 ;0 ;0)  Oy  O  ( ) ph-ơng trình của ( ) là : -4x - 2z =0
 2x + z = 0

D¹ng 6 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thắng MN.
H-ớng dẫn : n = MN
(  ) ®i qua trung ®iĨm I cđa MN
Ví dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là trung trực của MN biết M(1;3;2),
N(-1;1;0)
Lời giải .
( ) lµ trung trùc cđa MN  (  ) MN I ( I là trung điểm của MN)
Ta có toạ độ của I=(0;2;1) ( )
n = MN = (-2 ;-2 ;-2) là pháp tuyến của ( )

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ §øc - TP Hµ Néi

11


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
ph-ơng trình của ( ) là: -2 (x-0) - 2(y-2) -2(z-1) = 0
x+y+z-3=0

Dạng 7 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với (P) và tiếp xúc với mặt
cầu S(I ;R)
H-ớng dẫn : - ( ) // (P) dạng tổng quát của ( ) ( Ch-a biÕt D)
- (  ) tiÕp xóc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R  D=? ph-ơng trình ( )
Ví Dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) //(P):x - 2y + 2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S) có ph-ơng trình: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = 4.
Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;2) , bán kính R = 2
Do ( ) // (P) ph-ơng trình của (  ) cã d¹ng: x - 2y +2z + D = 0
Do (  ) tiÕp xóc víi mỈt cÇu (S)  d(I,(  )) = R


224 D
12  (2) 2  22

= 2  |D|=6  D = 6 hoặc D = -6

Vậy tìm đ-ợc hai mặt phẳng (  ) lµ : x - 2y + 2z + 6 = 0
Vµ x - 2y + 2z - 6 = 0
Dạng 8 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) vuông góc với đ-ờng thẳng d và tiếp
xúc với mặt cầu S(I ;R).

H-ớng dẫn : + n = a d dạng tổng quát của ( ) ( Ch-a biÕt D)
+ (  ) tiÕp xóc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R  D=? ph-ơng trình ( )
Ví Dụ: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cÇu
(S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 và vuông góc với đ-ờng thẳng
d:

x 1 y  2
z


1
2
2

Lêi gi¶i
Ta cã (S): x 2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0
 (x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 = 9
tâm I(1 ;-1 ;-2), bán kính R = 3

Do (  ) vu«ng gãc víi d  n = a d = (1;2;-2)
ph-ơng trình của (  ) cã d¹ng: x + 2y - 2z +D = 0

Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu S d(I,( )) = R
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

12


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng

1 2  4  D
12  22  (2) 2

 3  | D +3 | = 9  D = 6 hoặc D = -12

Vậy tìm đ-ợc hai mặt phẳng lµ: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0
Dạng 9 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với d, vuông góc (P) và
tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R). (d không vuông góc với (P))
H-ớng dÉn : + n = [ a d . n P] dạng tổng quát của ( ) ( Ch-a biÕt D)
+ (  ) tiÕp xóc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R  D=?  ph-ơng trình ( )
Ví Dụ : Viết ph-ơng trình mặt ph¼ng (  ) song song víi d:

x  2 y 1 z


1
3
1

, vu«ng

gãc víi (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = 9.
Lêi giải
Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 0), bán kính R = 3
n P = (2 ; 1 ; 1 )
a d = (1 ; 3 ; -1)

Do (  ) //d và vuông góc (P) n = [ a d . n P] = (- 4 ; 3 ; 5 )
ph-ơng trình của ( ) có d¹ng: - 4x + 3y + 5z + D = 0

Do (  ) tiÕp xóc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R 

83 D
(4) 2  32  52

=3

 | D - 11 | = 15 2  D = 11 + 15 2 hµy D = 11 - 15 2

Vậy tìm đ-ợc hai mặt phẳng (  ) lµ : - 4x + 3y + 5z +11 + 15 2 = 0
Vµ - 4x + 3y + 5z + 11 - 15 2 = 0
D¹ng 10 : Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với hai đ-ờng thẳng d và
d đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R).
H-ớng dẫn : + n = [ a d . a d’]  d¹ng tỉng qu¸t cđa (  ) ( Ch-a biÕt D)
+ (  ) tiÕp xóc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R D=? ph-ơng trình ( )

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S)
x 2 y 2 0
và
x  2z  0

x2 + y2+z2 - 2x + 2y + 4z -3 = 0 và hai đ-ờng thẳng d:

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

13


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng

d : x  1  y  z . ViÕt ph-¬ng trình mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) đồng thời
1

1

1

song song với d và d.
Lời giải
Ta có (S)  (x -1)2 + (y +1)2 + (z +2)2 = 9
tâm I(1;-1;-2), bán kính R = 3

Ta thấy đ-ờng thẳng d là giao của hai mặt phẳng (P): x + 2y -2 =0 vµ (Q):x - 2z= 0
 chỉ ph-ơng của d là a d = [ n P. n Q] = (-4; 2; -2)

Và chỉ phương của d’ lµ a d’ = (-1;1;-1)
Do (  ) // d vµ d’  n = [ a d . a d ] = (0; -2 ; -2)
Ph-ơng trình cđa (  ) cã d¹ng - 2y - 2z + D = 0

Do (  ) lµ tiÕp diƯn cña (S)  d(I,(  ) ) = R 

24 D
8

3  |D +6| =6 2

 D = - 6 + 6 2 hc D = -6 - 6 2

VËy tìm đ-ợc hai tiếp diện là :
- 2y - 2z - 6 + 6 2 = 0  y + z +3 - 3 2 = 0

vµ - 2y - 2z - 6 - 6 2 = 0  y + z +3 + 3 2 = 0

Bµi tËp tù luyện :
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi
qua 3 điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;;0;1)
( đề thi đại học- cao đẳng khối B năm 2008)
Bài 2: a/Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M(3;4;1), N(2;3;4),
E(1;0;2). Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm E và vuông góc với MN.
( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
b/ Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua K(1;-2;1) và vuông góc với
x 1 t

đ-ờng thẳng d: y 1  2t .
 z  1  3t


( ®Ị thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P)
có ph-ơng trình: x + y - 2z - 4 = 0.
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hà Nội

14


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua M và song song víi (P)
( ®Ị thi tèt nghiƯp THPT hƯ phân ban năm 2007)
Bài 4: Viết ph-ơng trình mặt phẳng (  ) ®ia qua ®iĨm M(2;-1;2), song song víi
trơc Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 .
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )

Bài 5: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với
hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 5 = 0 vµ (Q): 3x + 2y + z - 3 = 0
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )
Bài 6: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến
của hai mặt phẳng: x - y + z - 4 = 0 vµ 3x - y + z - 1 = 0.
( Sách bài tập nâng cao hình học 12 )
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đ-ờng
thẳng
x 1  t
x y 1 z 1


, d ':  y  1  2t
d: 
2
1
1
z  2  t


ViÕt ph-¬ng trình mặt phẳng ( ) đi qua A đồng thới song song với d và d
( đề thi đại học- cao đẳng khối B năm 2006)
Bài 8: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đia qua hai điểm M(1;2;3), N(2;-2;4) và
song song với Oy.
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có ph-ơng trình
-2x + 3y - z + 7 = 0. Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) đi qua A(1;1;0), B(-1;2;7) và
vuông góc với (P).
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đ-ờng thẳng

x 1 t
x 2 y  z  4  0

d: 
vµ d’:  y  2  t
x  2 y  2z  4  0
 z  1  2t


ViÕt ph-¬ng trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d
( đề thi đại học- cao đẳng năm 2002)

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

15


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình
x 2 y 1 z 1


1
2
3

và mặt phẳng (P) : x - y + 3z +2 =0

Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) chứa d và vuông góc với (P).
( đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007)

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm E(1;-4;5), F(3;2;7)
Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thẳng EF.
( đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007)
Bài 13: Viết ph-ơng trình mặt phẳng (  ) //(P): 2x - 2y + z + 4 =0 và tiếp xúc với
mặt cầu (S) có ph-ơng trình: x2 + y2 + z2 + 2x -2y + 4z - 3 = 0
Bài 14: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu
x 1  t

(S): (x - 2) + (y + 1) + (z - 1) = 9 và vuông góc với ®-êng th¼ng d:  y  1  2t .
 z 1 3t

2

2

2

Bài 15: Viết ph-ơng trình mặt phẳng ( ) song song với Oz, vuông góc với mặt
phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) :
x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 3 = 0
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Bài 16 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S)
x - y z - 4 0
vµ
3x - y  z - 1  0

x2 + y2+ z2 + 4x - 2y - 4z -7 = 0 và hai đ-ờng thẳng d:
d :

x 1 y 2

z


. Viết ph-ơng trình mặt phẳng (
1
2
2

) là tiếp diện của (S) đồng

thời song song với d và d.

đáp án:
Bài 1: x + 2y - 4z + 6 = 0
Bµi 2:a/ x + y - 3z + 5 = 0,

b/ x - 2y + 3z - 8 = 0

Bµi 3 : x + y - 2z + 2 = 0
Bµi 4 : 3x - 2z - 2 = 0
Bµi 5 : 3x - 4y - z + 19 = 0
Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

16


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
Bài 6 : 15x - 7y + 7 z - 16 = 0
Bµi 7: x + 3y + 5z - 13 = 0
Bµi 8 : x - z + 2 = 0

Bµi 9: 11x + 8y + 2z - 19 = 0
Bµi 10 : 2x - z = 0
Bµi 11 : 3x - z - 5 = 0
Bµi 12: x + 3y + z - 5 = 0
Bµi 13:

2x - 2y + z + 17 = 0

vµ 2x - 2y + z -1 = 0

Bµi 14:

x - 2y + 3z - 7 + 3 14 = 0

Bµi 15 :

x - y - 2 + 3 2 = 0 vµ x - y - 2 - 3 2 = 0

vµ

x - 2y + 3z - 7 - 3 14 = 0

Bµi 16 : - 4x + y - z - 7 + 12 2 = 0 vµ - 4x + y - z - 7 - 12 2 = 0

e- kÕt qu¶ thùc hiện
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là
một thành công của ng-ời giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đà tổ chức cho các em
học sinh lớp 12B1 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán viết
ph-ơng trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp 12A1 để
làm lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra ®ã. KÕt qu¶ rÊt kh¶ quan, cơ thĨ nh- sau:

Líp 12B1( Thùc nghiƯm)
Líp 12B2( Thùc nghiƯm)
Líp 12B3( Thùc nghiƯm)
Líp 12A1( Đối chứng)

Giỏi
14%
10%
12%
0%

Khá
50%
50%
48%
15%

Trung bình
30%
32%
32%
55%

Yếu
6%
8%
8%
30%

Rõ ràng là đà có sự khác biệt giữa hai đối t-ợng học sinh. Nh- vậy chắc chắn

ph-ơng pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đà giúp các em phận loại đ-ợc bài tập và
nắm khá vững ph-ơng pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong học
tập cũng nh- khi đi thi .

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

17


Phân loại bài toán viết ph-ơng trình mặt phẳng
f- kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài.
1/ Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rÃi các đề tài đ-ợc giải để các giáo viên
cùng tham khảo.
2/ Kiến nghị với trung tâm:
- Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giá
việc ôn lun cđa häc sinh.
- Mong mn lín nhÊt cđa t«i khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồng thời giúp
các em học sinh tr-ớc hết là bớt đi nỗi lo khi gặp các bài toán viết ph-ơng trình mặt
phẳng, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh về mối quan hệ của đ-ờng thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu trong không gian . Từ đó các em say mê học toán
Đề tài của tôi chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong quý thầy cô,
đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi, để đề tài của tôi đ-ợc hoàn
thiện hơn./.

Xin chân thành cảm ơn !
Nhận xét, đánh giám xép loại của
Hội đồng khoa học cơ sở

Mỹ Đức, ngày 29 tháng 5 năm 2009
Ng-ời viết

Hoàng Văn T-ơi

Hoàng Văn T-ơi - giáo viên TTGDTX Mỹ Đức - TP Hµ Néi

18