Sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng để viết phương trình mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.MATHVN.com

Email:

SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG ĐỂ VIẾT
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Gửi tặng: Mathvn.com
Trong chương trình THPT khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa một đường thẳng và
thỏa mãn một điều kiện cho trước, học sinh và đôi khi là giáo viên sử dụng phương pháp chùm mặt
phẳng, phương pháp đó cũng khá là ngắn gọn và hay nhưng hiện nay chỉ dùng phương pháp đó với hình
thức tham khảo, điều đó làm khó khăn cho học sinh trong quá trình làm bài tập, cũng như giáo viên
trong quá trình giảng dạy. Bài viết này hi vọng sẽ giúp đỡ các em, cũng như các bạn đồng nghiệp khơng
cần sử dụng phương pháp đó vẫn có thể làm bài tập, không những chỉ làm với dạng bài tập đó mà cịn
mở rộng sang các dạng khác
Một số dạng cụ thể
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Điều kiện cho trước là
- Vng góc với hai mặt phẳng cho trước
- Song song với hai đường thẳng cho trước
- Vng góc với một mặt phẳng và song song với một đường thẳng cho trước…
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Điều kiện cho trước là
- Vng góc với một mặt phẳng cho trước
- Song song với một đường thẳng cho trước
- Tạo với một mặt phẳng một góc cho trước…
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước
- Đi qua một điểm không thuộc đường thẳng đã cho
- Song song với một đường thẳng cho trước

- Vng góc với một mặt phẳng cho trước
- Tiếp xúc với một mặt cầu cho trước
- Tạo với đường thẳng hay mặt phẳng một góc cho trước…
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song với nhau
Phương pháp chung cho tất cả các dạng:
Bước 1: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 

 mặt phẳng có vtpt n   A; B; C 
Bước 2: Từ điều kiện giả thiết dẫn tới một hệ ba phương trình 4 ẩn là A, B, C và D

www.mathvn.com
1


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
Bước 3: Từ 2 trong 3 phương trình ta rút C và D theo A và B từ đó sẽ dẫn tới hai dạng phương trình là
TH 1:  A   B  0 , chọn A   , B    C , D  phương trình mặt phẳng cần tìm
2

A
 A
TH 2:  A   AB   B  0          0....  quay lại TH 1  phương trình mặt phẳng cần tìm
B
 B
Để đơn giản, khi giải phương trình   ta có thể chọn luôn B  1   A2   A    0
2

2

B 0

Chú ý:
- Đối với TH1 khi rơi vào trường hợp đặc biệt là  A  0  A  0 thì ta chọn B  1 (vì   0 ) và ngược lại
- Thơng thường để sử dụng phương pháp này thì bao giờ cũng phải có ba điều kiện thì sẽ tương đương với một
hệ bốn ẩn, ba phương trình và ta làm như trên
- Để giảm độ phức tạp ta sẽ dùng phương pháp “dồn ẩn” như sau
B
C
D
B
C
D
Giả sử A  0 khi đó ta chia hai vế cho A ta được x  y  z   0 . Đặt  b,  c,  d
A
A
A
A
A
A
2
2
Khi đó ta được x  by  cz  d  0  b  c  0  , thì khi gặp ba điều kiện của giả thiết ta được ba phương trình
ba ẩn, bấm máy tính là xong, tuy nhiên chúng ta phải thử trước nhé, biết đâu A  0... thì sao?
- Vì  A2  B 2  C 2  0  tức là ít nhất một trong ba hệ số A, B và C phải khác 0 nên ta có thể tính A và D theo B
và C hoặc A và C theo B và D hoặc A và B theo C và D hoặc B và C theo A và D điều này khơng ảnh hưởng gì
tới kết quả của bài tốn

- Ở đây Tơi chỉ dụng phương pháp tổng quát, còn các phương pháp khác hiệu quả hơn (xem trong chuyên đề
mặt phẳng – đường thẳng – mặt cầu của Tôi), tuy nhiên trong một số trường hợp nếu khơng dung phương pháp
tổng qt (khơng tính phương pháp chùm) thì làm sao đây….
Bài tập minh họa cho các dạng:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng    đi
qua điểm M  2; 1; 2  , song song với trục Oy và vng góc với mặt phẳng   : 2 x  y  3 z  4  0
Giải:
Giả sử mặt phẳng    có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

- Mặt phẳng    đi qua điểm M  2; 1; 2   A.2  B.(1)  C.2  D  0 1
 
- Mặt phẳng    song song với trục Oy  n . j  0  A.0  B.1  C.0  0  2 
 
- Mặt phẳng    vng góc với mặt phẳng    n .n  0  A.2  B.  1  C.3  0
Giải hệ (1), (2) và (3)  A  3, B  0, C  2, D  2.
Vậy mặt phẳng    có phương trình là : 3 x – 2 z – 2  0

 3

Bài 2: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm
M  3; 1; 5 đồng thời vng góc với hai mặt phẳng    : 3x – 2 y  2 z  7  0 và    : 5 x – 4 y  3z  1  0

Giải:

Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

www.mathvn.com
2


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
- Mặt phẳng   đi qua điểm M  3; 1; 5  A.3  B.(1)  C.  5  D  0 1
 
- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng     n .n  0  A.3  B.  2   C.2  0  2 
 
- Mặt phẳng   vng góc với mặt phẳng     n .n  0  A.5  B.  4   C.3  0  3
3
21
A, D  6 B  A thế vào (3) ta được A  2 B chọn
2
2
B  1, A  2  C  2, D  15

Từ (1) và (2) ta được C  B 

Vậy phương trình mặt phẳng   là 2 x  y – 2 z – 15  0
Bài 3: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A  0;1; 2  và hai đường thẳng
x  1 t
x y 1 z 1

d: 

, d ' :  y  1  2t
2
1
1
z  2  t

Viết phương trình mặt phẳng   đi qua A đồng thời song song với d và d’

Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

- Mặt phẳng   đi qua điểm M  A.0  B.1  C.2  D  0 1

 
- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d  n .ud  0  A.2  B.1  C.  1  0  2 
 
- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d’  n .ud '  0  A.1  B.  2   C.1  0  3

Từ (1) và (2) ta được C  2 A  B, D  4 A  3B thế vào (3) ta được A  3B chọn
A  1, B  3  C  5, D  13
Vậy phương trình mặt phẳng   là x  3 y  5 z  13  0
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1; 2;3  và tạo với mặt phẳng Ox, Oy các góc tương
ứng là 450 , 300
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)



Gọi n  A; B; C  là vtpt của mặt phẳng  P  . Các vtcp của trục Ox và Oy là i 1;0;0  và j  0;1;0  .
Theo giả thiết ta có hệ

A
1
0

sin 45 


2
A2  B 2  C 2

A  2 B
A  2 B



2
2

2
B
1
A  B  C
C  B
sin 300 




2
2
2
2
A  B C

Chọn B  1 ta được A   2, C  1
Vậy phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1; 2;3  là

2  x  1   y  2    z  3  0;  2  x  1   y  2    z  3  0

www.mathvn.com
3


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
Bài 5: Cho mặt phẳng  P  có phương trình x  y  2 z  0 và điểm M  2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng

 Q  đi qua M vng góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng một góc

450

Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)

Gọi n  A; B; C  là vtpt của mặt phẳng  Q  . Theo giả thiết ta có hệ phương trình

 A  B  2C  0



A
1 . Giải hệ trên ta được n 1;1;0  , n  5; 3;4 


 2
2
2
2
 A  B C
Vậy phương trình mặt phẳng  Q  đi qua điểm M  2; 3;1 là

x  y  1  0 hoặc 5  x  2   3  y  3  4  z  1  0
x 1 y  3 z

 và điểm
1

1
4
M  0; 2; 0  . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng

Bài 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : ax  by  cz  d  0

a

2

 b2  c 2  0 

Phẳng phẳng  P  đi qua M  0; 2;0   d  2b suy ra  P  : ax  by  cz  2b  0 .

Đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;0) và có một vectơ chỉ phương u  (1;1; 4)

 n.u  a  b  4c  0
(1)
  / /( P)

Từ giả thiết ta có 
  | a  5b |
4
(2)
 d ( A; ( P ))  4
 2

2
2
 a b c
a
c  4
2
2
2
2
2
Thế b   a  4c vào (2) ta có (a  5c)  (2a  17c  8ac)  a  2ac  8c  0  
 a  2
c

a
Với  4 chọn a  4, c  1 b  8 . Phương trình mặt phẳng  P  : 4 x  8 y  z  16  0.
1
c
a
Với  2 chọn a  2, c  1 b  2 . Phương trình mặt phẳng  P2  : 2 x  2 y  z  4  0.
c
Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z  0 và cách điểm
M 1; 2; 1 một khoảng bằng

2

Giải:
Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng : Ax + By + Cz = 0 với  A2  B 2  C 2  0 
Vì (P)  (Q) nên 1. A  1.B  1.C  0  A  B  C  0  C   A  B (1)
A  2B  C

Theo giả thiết d  M ;  P    2 
 2  ( A  2 B  C ) 2  2( A2  B 2  C 2 ) (2)
2
2
2
A  B C

www.mathvn.com
4


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

B  0
Thay (1) vào (2) , ta được : 8 AB  5B  0  
B   8A
5

(1)
TH 1: B  0  C   A. Chọn A  1, C  1 thì  P  : x  z  0

1
2

8A

(1)
. Chọn A  5, B  1  C  3 thì  P2  : 5 x  8 y  3 z  0

5
x y z 1
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :  
và điểm M  0;3; 2  . Viết
1 1
4
phương trình mặt phẳng (P) qua M, song song  và khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 3.
HD:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 

TH 2: B = 



 3B  2C  D  0
 B  2C

Từ giả thiết ta có hệ  A  B  4C  0

 B  8C

CD

3
 A2  B 2  C 2

TH 1: B  2C chọn C  1, B  2  A  2, D  8

TH 2: B  8C chọn C  1, B  8  A  4, D  26
( d (;  P )  d ( M ,  P ) , với M(0; 0; 1)   )
Vậy có 2 mp (P) thỏa mãn là: 2 x  2 y  z – 8  0; 4 x – 8 y  z  26  0.
Bài 9: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  5  0 , mặt
phẳng (Q): 2x + y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P). Biết rằng mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;2),
vng góc với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : ax  by  cz  d  0  a 2  b 2  c 2  0 
Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2)  a  x  1  b  y  1  c  z  2   0
Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2; 2  bán kính R = 2


Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ  (2;1; 6)

 2a  b  6c  0

3b
Ta có (P) vng góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên 
2
 2
2
2
 a b c
 a  2c

 2 a  6c  b
 b  2c
 2 a  6c  b
 2 a  6c  b


 2
 2
  b  2c
  b  5c
2
2
2
2

9b  4a  4b  4c
b  3bc  10c  0
 b  5c

 a  11 c

2


(I)

www.mathvn.com
5


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
Nếu c = 0 thì a = b = 0 (loại) suy ra c  0 .
TH 1: Chọn c  1  a  1, b  1   P  : 2 x  2 y  z  6  0
1

TH 2: Chọn c  1  a 

Email:

11
11
, b  5   P2  :  x  1  5  y  1   z  2   0  11x  10 y  2 z  5  0
2
2

Chú ý:
Nếu thay đổi giả thiết là (P) đi qua một điểm M, song song với đường thẳng d và tiếp xúc với một mặt cầu thì
cũng làm tương tự
Bài 10: (ĐH – D 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0
và  Q  : x  y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  R  vng góc với  P  và  Q  sao cho khoảng cách từ
O đến  R  bằng 2.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  R  có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 
 
- Mặt phẳng  R  vng góc với mặt phẳng  P   nR .nP  0  A.1  B.1  C.1  0 1
 
- Mặt phẳng  R  vng góc với mặt phẳng  Q   nR .nQ  0  A.1  B.  1  C.1  0  2 
- Khoảng cách d  0;  R    2 

D

 2  D   2 2  3
2
Cộng (1) và (2) ta được A  C  0 , chọn A  1  C  1, B  0 kết hợp với (3) ta được hai phương trình mặt
phẳng cần tìm là  R1  : x  z  2 2  0 và  R2  : x  z  2 2  0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 11: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi
qua hai điểm M 1; 0;1 , N  5; 2;3 và vng góc với mặt phẳng    : 2 x – y  z – 7  0
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

- Mặt phẳng   đi qua M 1;0;1  A.1  B.0  C .1  D  0 1
- Mặt phẳng   đi qua N  5; 2;3  A.5  B.2  C .3  D  0  2 
 
- Mặt phẳng   vng góc với mặt phẳng     n .n  0  A.2  B.  1  C.1  0

 3

Từ (1) và (2) ta được C  – 2 A – B, D  A  B thể vào (3) ta được –2 B  0 chọn A  1, B  0  C  2, D  1
Vậy phương trình mặt phẳng   là x – 2 z 1  0
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm
 x  1  t

M  2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d có phương trình là: d :  y  2t
 z  3  2t


Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

www.mathvn.com
6


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
- Mặt phẳng   đi qua M  2;1;3   A.2  B.1  C .3  D  0 1

Email:

- Mặt phẳng   đi qua N 1; 2;1  A.1  B.  2   C.1  D  0  2 

 
- Mặt phẳng   song song với đường thẳng d  n .ud  0  A.1  B.2  C.  2   0

 3

1
3
1
7
Từ (1) và (2) ta được C   A  B, D   A  B thế vào (3) ta được 2 A  5 B chọn

2
2
2
2
1
19
A  5, B  2  C  , D  
2
2
1
19
Vậy phương trình mặt phẳng   là 5 x  2 y  z   0  10 x  4 y  z  19  0
2
2
Bài 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M  1;1; 0  , N  0; 0; 2  và I 1;1;1 . Viết

phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ I tới mặt phẳng  P  bằng
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

3.

 B2  C 2  0

- Mặt phẳng  P  đi qua M  1;1; 0   A.  1  B.1  C .0  D  0 1
- Mặt phẳng  P  đi qua N  0; 0; 2   A.0  B.0  C.  2   D  0  2 

Từ (1) và (2) ta được C 

1
 A  B, D  A  B
2

Nên mặt phẳng  P  có phương trình là Ax  By 

1
 A  B z   A  B  0
2

Theo giả thiết
A B
d  I ;  P   3 

1
 A  B   A  B
2

1

A2  B 2    A  B  
2


2

 3  5 A2  2 AB  7 B 2  0 

A
A 7
 1  
B
B 5

A
 1 chọn A  1, B  1  C  1, D  2   P  : x  y  z  2  0
B
A 7
TH 2:
 chọn A  7, B  5  C  1, D  2   P  : 7 x  5 y  z  2  0
B 5
Bài 14: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A 1; 2;1 , B  2;1;3 , C  2; 1;1 và D  0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A, B sao cho khoảng

TH 1:

cách từ C đến mặt phẳng  P  bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng  P 
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : ax  by  cz  d  0

a

2

 b2  c 2  0 

- Mặt phẳng  P  đi qua A 1; 2;1  a.1  b.2  c.1  d  0 1
- Mặt phẳng  P  đi qua B  2;1;3  a.  2   b.1  c.3  d  0  2 

Từ (1) và (2) ta được c 

3
1
5
a  b, d    a  b 
2
2
2

www.mathvn.com
7


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

1 
5
3
Nên mặt phẳng  P  có phương trình là ax  by   a  b  z   a  b   0
2 
2
2
Theo giả thiết d C ,  P    d  D,  P  





1 
5
5
3
a.2  b.  1   a  b  .1  a  b
2 
2
2
2
2

1 
3
a  b   a  b
2 
2
 2a  4b
 a  3b  a  b  
 2b  0
2

2



1 
5

5
3
a.0  b.3   a  b  .1  a  b
2 
2
2
2
1 
3
a  b   a  b
2 
2
2

2

2

Với 2a  4b chọn a  4, b  2  c  7, d  15   P  : 4 x  2 y  7 z  15  0
1
3
5
3
5
, d     P2  : x  z   0   P2  : 2 x  3 z  5  0
2
2
2
2
Bài 15: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A  0; 1; 2  ,

Với 2b  0 chọn b  0, a  1  c 

B 1; 0;3 và tiếp xúc với mặt cầu  S  có phương trình: ( x  1) 2  ( y  2)2  ( z  1) 2  2

Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : ax  by  cz  d  0

a

2

 b2  c 2  0 

- Mặt phẳng  P  đi qua A 1; 2;1  a.0  b.  1  c.2  d  0 1
- Mặt phẳng  P  đi qua B  2;1;3  a.1  b.0  c.3  d  0  2 
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2; 1 và có bán kính R  2

a.1  b.2  c.  1  d

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu  d  I ,  P    R 

a2  b2  c2

 2

 3

a
 b  1

2
2
Từ (1) và (2) ta được c  a  b, d  2a  3b thể vào (3) và rút gọn ta được 3a  8b  11ab  0  
a   8
b
3

a
TH 1:  1 . Chọn a  1, b  1  c  0, d  1 , suy ra phương trình  P  : x  y  1  0
1
b
a
8
TH 2:   . Chọn a  8, b  3  c  5, d  7 , suy ra phương trình  P2  : 8 x  3 y  5 z  7  0
b
3
Bài 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) và N (1;1;3) . Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K  0; 0; 2  đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N nên ta có

www.mathvn.com

8


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
 A.0  B.  1  C.2  D  0 1


 A.  1  B.1  C.3  D  0  2 


www.MATHVN.com

Email:

Từ (1) và (2) ta được A   2 B  C  , D  B  2C
  P  :  2 B  C  x  By  Cz  B  2C  0

Khoảng cách từ K đến mp(P) là: d  K ,  P  

B
2
2
4 B  2C  4 BC

TH 1: Nếu B  0 thì d  K ,  P    0 (loại)
TH 2: Nếu B  0 thì d  K ,  P   

B
4 B 2  2C 2  4 BC

1



2



C

2   1  2
B 

1
2

Dấu “=” xảy ra khi B = – C. Chọn C = 1 và B = – 1
Vậy phương trình mặt phẳng  P  : x  y – z  3  0
Chú ý:
Cũng có thể dùng khảo sát hàm số tìm Max với TH 2
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và thỏa mãn điều kiện cho trước
Chú ý:
Đối với dạng 3 này ngoài cách chọn hai điểm thuộc một đường thẳng và thuộc mặt phẳng cần tìm ta được
phương trình (1) và (2) ta cũng có thể chọn một điểm và áp dụng điều kiện đường thẳng chứa trong mặt phẳng

nên n.u  0 từ đó ta được phương trình (1) và (2)
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua giao tuyến của hai mặt
phẳng   : x – y  z – 3  0 và    : 3 x  y  5 z – 1  0 đồng thời song song với mặt phẳng

  : x  y  2 z – 3  0
Giải:
Gọi  là giao tuyến của   và      có phương trình
x  y  z  3  0
:
3 x  y  5 z  1  0
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

Chọn hai điểm M 1  7;0; 4  và M 2 1; 2; 0   
- Mặt phẳng  P  đi qua M 1  7;0; 4   A.7  B.0  C.  4   D  0 1
- Mặt phẳng  P  đi qua M 2 1; 2; 0   A.1  B.  2   C.0  D  0  2 
B  3A
và D  2 B – A
2

B  3A 

Nên mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B;

2 


Từ (1) và (2) ta được C 

www.mathvn.com
9


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498

Mặt phẳng    có vtpt n  1;1; 2  , mặt phẳng  P  song song với   

Email:



A B B  3A
 
chọn A  1, B  1  C  2, D  1
 n P và n cùng phương 
1 1
2. 2
Vậy mặt phẳng  P  có phương trình là x  y  2 z  1  0
Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng  P 
a. Đi qua điểm M o  2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng  Q  và  R  có phương trình lần lượt là:

x – y  z – 4  0 và 3 x – y  z – 1  0
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3 x – y  z – 2  0 và    : x  4 y – 5  0 đồng thời vng góc với
mặt phẳng    : 2 x – z  7  0
Giải:
a. Gọi  là giao tuyến của  Q  và  R    có phương trình
x – y  z – 4  0

:
3 x – y  z – 1  0
 3 11 
 3 11 
Chọn hai điểm M   ;  ;0  và N   ; 0;   
2
 2 2 
 2
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 

 3 11 
 3
 11 
- Mặt phẳng  P  đi qua M   ;  ;0   A.     B.    C.0  D  0 1
 2 2 
 2
 2
11
 3 11 
 3
- Mặt phẳng  P  đi qua N   ; 0;   A.     B.0  C .  D  0  2 
2
2
 2
 2
- Mặt phẳng  P  đi qua M o  2;1; 1  A.2  B.1  C .  1  D  0  3
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A  15, B  7, C  7, D  16   P  : 15 x – 7 y  7 z – 16  0
b. Gọi  là giao tuyến của   và      có phương trình
3 x  y  z  2  0
: 

x  4 y  5  0
Chọn hai điểm M  5; 0; 13 và N 1;1; 0   
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

- Mặt phẳng  P  đi qua M  5; 0; 13  A.5  B.0  C.  13  D  0 1
- Mặt phẳng  P  đi qua N 1;1; 0   A.1  B.1  C .0  D  0  2 
4A  B
và D   A  B
13

4A  B 

Nên mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B;

13 


Từ (1) và (2) ta được C 

www.mathvn.com
10


Giáo viên: Nguyễn Thành Long

Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498

Mặt phẳng    có vtpt n   2;0; 1 , mặt phẳng  P  vng góc với   

 
 4A  B 
 nP .n  A.2  B.0  
 .  1  0  22 A   B chọn A  1, B  22  C  2, D  21
 13 
Vậy mặt phẳng  P  có phương trình là x – 22 y  2 z  21  0
Bài 19: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vng góc Oxyz cho hai đường thẳng
x  1  t
x  2 y  z  4  0

2 :  y  2  t
1 : 
x  2 y  2z  4  0
 z  1  2t

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng  2
Giải:

 4 8
Chọn hai điểm M  ; 0;  và N  0; 2; 0   1
 3 3
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

4
8
 4 8
- Mặt phẳng  P  đi qua M  ; 0;   A.  B.0  C.  D  0 1
3
3
 3 3
- Mặt phẳng  P  đi qua N  0; 2; 0   A.0  B.  2   C.0  D  0  2 
1
3
Từ (1) và (2) ta được C   A  B và D  2 B
2
4

1
3 

Nên mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B;  A  B 
2
4 



Đường thẳng  2 có vtcp u2  1;1; 2  , mặt phẳng  P  song song với đường thẳng  2


 
3 
1
 1
 nP .u2  A.1  B.1    A  B  .2  0  5B  0 chọn A  1, B  0  C   , D  0
4 
2
 2
1
Vậy mặt phẳng  P  có phương trình là x – z  0  2 x  z  0
2
x 1 y z 1
Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :
 
và
2
1
1
x y  2 z 1
d2 : 

. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và hợp với d 2 một góc 300.
1
1
1
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 

 mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C 

- Trên đường thẳng d1 lấy 2 điểm M 1; 0; 1 , N  1;1; 0 
 AC  D  0
C  2 A  B
Do  P  qua M , N nên: 

 A  B  D  0
 D  A B
Nên ( P) : Ax  By  (2 A  B) z  A  B  0 .

www.mathvn.com
11


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
1. A  1.B  1.(2 A  B)
1
- Theo giả thiết ta có  sin 300 
2
12  (1)2  12 . A2  B 2  (2 A  B) 2

 2 3 A  2 B  3(5 A2  4 AB  2 B 2 )  21A2  36 AB  10 B 2  0

18  114
21
18  114
15  2 114
3  114

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
x y
z
 0.
21
21
21
Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A 1; 2;0  , B  0; 4; 0  , C  0; 0;3 . Viết phương trình mặt
Dễ thấy B  0 nên chọn B  1 , suy ra: A 

phẳng  P  chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến  P  bằng khoảng cách từ C đến  P 
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng : Ax  By  Cz  D  0

A

2

 B2  C 2  0

- Vì  P  chứa OA suy ra  P  đi qua 2 điểm O  0;0; 0  và A 1; 2; 0  .
D  0
D  0


 A  2B  0
 A  2 B
Suy ra mp(P) có phương trình là:  2 Bx  By  Cz  0
- Theo giả thiết thì:
4B

3C
B
3
d  B,  P    d  C ,  P   

 4 B  3C  4 B  3C   
2
2
2
2
C
4
5B  C
5B  C
Chọn C = 4 suy ra B =  3
Vậy có 2 mp thoả mãn:  P  : 6 x  3 y  4 z  0 ;  P2  : 6 x  3 y  4 z  0.
1
Bài 22: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
x  y  2  0
thẳng d : 
sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt
2 x  z  6  0
cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  1  0 là đường tròn có bán kính r = 1.
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)
- Chọn hai điểm M  2; 0; 2  , N  3;1; 0   d
A B

 A.2  B.0  C .  2   D  0 C  


- Mặt phẳng  P  chứa d nên M , N   P   

2
 A.3  B.1  C.0  D  0

 D  3 A  B

A B
Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax  By 
z  3A  B  0
2
2
2
2
- Mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  4 có tâm I  1;1; 1 và bán kính R  2
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trịn có bán kính r  1

www.mathvn.com
12


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

A.  1  B.1 
 d ( I ; P) 

R2  r 2  3 

A B
.  1  3 A  B
2

 A B
A2  B 2  

 2 

2

Email:

 3

A
B 1
7 A  5B
2
2

 3  17 A  10 AB  7 B  0  
5 A2  5B 2  2 AB
A   7
B
17

A
TH 1:  1 . Chọn A  B  1  C  1, D  4  ( P ) : x  y  z  4  0

1
B
A
7
TH 2:   . Chọn A  7, B  17  C  5, D  5  ( P2 ) : 7 x  17 y  5 z  4  0
B
17
Bài 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có
x 1
phương trình:  P  : x  2 y  z  5  0 và d :
 y  1  z  3 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường
2
thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất
Giải:
Giả sử mặt phẳng  Q  có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)
- Chọn hai điểm M  1; 1;3 , N 1;0; 4   d

 A.  1  B.  1  C.3  D  0 C  1A  B

- Mặt phẳng  Q  chứa d nên M , N   Q   

 A.1  B.0  C.4  D  0
 D  7 A  4B



Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax  By   2 A  B  z  7 A  4 B  0 và có vtpt nQ   A; B; 2 A  B 


- Mặt phẳng (P) có vtpt nP  1; 2; 1 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có

cos  

3
6

A B
5 A2  2 B 2  4 AB

TH 1: A  0 khi đó cos  

TH 2: A  0 khi đó cos  

. Xét hai trường hợp
B

3
6

3
6

2B2



3

 
2
6

1

B
A
2

B
B
5  2   4
A
 A

. Đặt x 

B
và f  x   cos 2 
A

9 x2  2 x  1
 
Xét hàm số f  x   .
, khảo sát hàm số này ta thấy Min f  x   0  cos   0    
6 5  2x2  4x
2 6
Vậy chỉ có TH 1 thỏa mãn, tức là A  0 , chọn B  1  C  1, D  4   P  : y  z  4  0

Chú ý:
Ta có thể xét trường hợp B  0 , B  0 hoặc A  B  0 , A  B  0

www.mathvn.com
13


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

www.MATHVN.com

Email:

x  1  t

Bài 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y  2  t
 z  2t

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất

Giải:
- Giả sử mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)
- Chọn hai điểm M 1; 2; 0  , N  0; 1; 2   d
A B

 A.1  B.  2   C.0  D  0 C 

- Mặt phẳng  P  chứa d nên M , N   P   

2
 A.0  B.  1  C.2  D  0  D   A  2 B



 

A B
A B
Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax  By 
z  A  2 B  0 và có vtpt nP   A; B;

2
2 

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và Oy ta có

sin  

B



2B

2
5 A2  5B 2  2 AB
 A B
A2  B 2  

 2 
TH 1: B  0  sin   0    00
2
A

TH 2: B  0  sin  
. Đặt x 
và f  x   sin 2 
2
B
A
 A
5   5  2
B
 B
4
5
1
f  x  2
, khảo sát hàm số này ta được Maxf  x    x 
6
5
5x  2 x  5
0
Hiển nhiên trong trường hợp này   0
A 1
Vậy TH 2 thỏa mãn tức là  . Chọn A  1, B  5  C  2, D  9   P  : x  5 y  2 z  9  0
B 5
Chú ý:
Có thể làm TH 2 bằng tam thức bậc hai như sau như sau
2
2
2 5
1
B  0  sin  



x
2
2
5
24
A
1  24
 A

5   5  2
5 x   
B
5
5
B


Bài 25: (ĐH – A 2008) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
x 1 y z  2
d:
 
. Viết phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A đến () lớn nhất.
2
1
2
Giải:
Giả sử mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)


 mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C 

www.mathvn.com
14


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498


- Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2; 0  và có vtcp ud   2;1; 2 

Email:

- Vì  P  chứa d , nên nói riêng chứa điểm (1,0,2) vậy có  M   P   A  2C  D  0 1
 
 
và nP .ud  0  2 A  B  2C  0  2 
2A  B

C  
Từ (1) và (2) ta được 
2
D  A  B


suy ra mặt phẳng  P  : 2 Ax  2 By   2 A  B  z  2 A  2 B  0
TH 1: B  0 thì  P  : 2 Ax  2 Az  2 A  0  x  z  1  0 (vì A  0 )
Khi đó d  A,  P   

2  3 1

 0 (loại)
12  12
TH 2: B  0 . Chọn B  1 thì  P  : 2 Ax  2 y   2 A  1 z  2 A  2  0

Khi đó d  A,  P   

4 A  10  6 A  3  2 A  2
8 A2  4 A  5



9
8 A2  4 A  5

9



2



1 3

2 2A   
2 2


9 2
3

1
1
0 A
2
4
1
1
3
Với A   , B  1  C   , D    P  : x  4 y  z  3  0
4
4
4
Bài 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 10; 2; 1 và đường thẳng d có

Vậy d  A,  P   Max  2 A 

 x  1  2t

phương trình  y  t
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P)
 z  1  3t

là lớn nhất.
Giải:
- Giả sử mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)


 mặt phẳng  P  có vtpt nP   A; B; C 


- Đường thẳng d đi qua điểm M 1;0;1 và có vtcp ud   2;1;3

- Mặt phẳng đi qua điểm A 10; 2; 1  10 A  2 B  C  D  0 1
 
 
- Mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d nên nP .ud  0  2 A  B  3C  0  2 
2A  B
32 A  7 B
,D 
3
3
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình 3 Ax  3By   2 A  B  z  32 A  7 B  0

Từ (1) và (2) ta được C  

d  d ,  P   d  M ,  P  

3 A.1  3B.0   2 A  B 1  32 A  7 B
9 A2  9 B 2   2 A  B 

2



33 A  6 B
13 A2  10 B 2  4 AB

www.mathvn.com
15


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
Email:
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
Xét hai trường hợp B  0 hoặc B  0 ta được phương trình  P  : 7 x  y  5 z  77  0
…Bạn đọc tự giải
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước
Bài 27: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng   đi
qua ba điểm M  3; 0; 0  ; N  0; 2; 0  và P  0; 0; 1
Giải:
Giả sử mặt phẳng   có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)
- Mặt phẳng   đi qua M  3; 0; 0   A.  1  B.0  C.0  D  0 1
- Mặt phẳng   đi qua N  0; 2; 0   A.0  B.  2   C.0  D  0
- Mặt phẳng   đi qua P  0; 0; 1  A.0  B.0  C .  1  D  0
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 .
Vậy mặt phẳng   có phương trình là 2 x  3 y  6 z  6  0

 2
 3

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa hai đường thẳng 1 và  2 cắt nhau hoặc song song với
nhau
Nhận xét:
Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt trong đó lấy hai điểm thuộc
đường thẳng này mà một điểm thuộc đường thẳng kia (dạng 4)
Bài 28: (ĐH – D 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

x  y  z  2  0
x 1 y  2 z 1
d1 :


và d 2 : 
. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau .Viết phương trình
3
1
2
 x  3 y  12  0
mặt phẳng   chứa cả hai đường thẳng d1 và d2
Giải:
- Chứng minh d1 và d2 song song với nhau ,ta có

d1 đi qua điểm M 1; 2; 1 và có vtcp u1 = (3;-1;2)


d2 có vtcp u 2 = (3;-1;2) = u1 và M1  d2 vậy d1 // d2
- Viết phương trình mặt phẳng   chứa cả d1 và d2
Chọn hai điểm N  3;5; 0  và Q 12; 0;10   d 2 .
Mặt phẳng   chứa d1 // d2  mặt phẳng   đi qua ba điểm M, N và Q
Giả sử mặt phẳng   có dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0)
- Mặt phẳng   đi qua M 1; 2; 1  A.1  B.  2   C.  1  D  0 1
- Mặt phẳng   đi qua N  3;5; 0   A.  3  B.5  C.0  D  0  2 
- Mặt phẳng   đi qua Q 12; 0;10   A.12  B.0  C .10  D  0  3
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A  15, B  11, C  17 và D  10 .

www.mathvn.com
16

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
www.MATHVN.com
DĐ: 01694 013 498
Vậy mặt phẳng   có phương trình là 15 x  11 y  17 z  10  0

Email:

Bài tập áp dụng:
Bài 1:
a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M  3; 4;1 , N  2;3; 4  , E 1; 0; 2  . Viết
phương trình mặt phẳng   đi qua điểm E và vng góc với MN.
(Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
b. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua K 1; 2;1 và vng góc với đường
 x  1  t

thẳng d :  y  1  2t .
 z  1  3t


Đs: a.   : x  y  3 z  5  0

(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
b.   : x  2 y  3 z  8  0

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M  1; 1; 0  và mặt phẳng (  P  có phương trình:

x  y  2 z  4  0. Viết phương trình mặt phẳng   đi qua M và song song với  P 
Đs:   : x  y  2 z  2  0

(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M  2;3;1 và vng góc với hai mặt phẳng

 P  : 2 x  y  2 z  5  0 và  Q  : 3x  2 y  z  3  0
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs:   : 3x  4 y  z  19  0
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua M  1; 1;3 , N 1;0; 4  và tạo với mặt phẳng

 Q : x  2 y  z  5  0
Đs:  P  : y  z  4  0

một góc nhỏ nhất .

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua hai điểm M 1; 2;3 , N  2; 2; 4  và song song với Oy.
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs:   : x  z  2  0
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  7  0 . Viết phương trình mặt
phẳng (  ) đi qua A 1;1; 0  , B  1; 2; 7  và vng góc với  P 
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs:   :11x  8 y  2 z  19  0
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình

x  2 y 1 z 1


và mặt
1
2
3

phẳng  P  : x  y  3 z  2  0 . Viết phương trình mặt phẳng   chứa d và vng góc với  P 
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2007)

www.mathvn.com
17


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Đs:   : 3 x  z  5  0

www.MATHVN.com

Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa d :

 

Email:

x 1 y 1 z  2


sao cho khoảng cách từ A  5;1; 6  đến
2
1
5

lớn nhất.

Đs:   : 2 x  y  z  1  0

Bài 9: Trong các mặt phẳng đi qua điểm A  2; 1; 0  và song song với đường thẳng d :

x 1 y  2 z 1


.
1
1
1

Viết phương trình mặt phẳng   tạo với mặt phẳng  xOy  một góc nhỏ nhất
Đs:   : x  y  2 z  1  0
Bài 10: Trong các mặt phẳng đi qua A 1;1; 1 và vng góc với mặt phẳng    : 2 x  y  z  2  0 . Viết
phương trình mặt phẳng tạo với Oy một góc lớn nhất.
5
1
Đs:   : y  z  0;   : x  y  z  3  0
2
2
Bài 11: Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A 1; 2; 1 , B  1;1; 2  , viết phương trình mặt phẳng   tạo với
mặt  xOy  một góc nhỏ nhất.
Đs:   : 6 x  3 y  5 z  7  0
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :
y2
x2
z 5
d:x
 z và d ’ :
 y 3
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d’ một góc

1
2
1
300
Đs: x  2 y  z  4  0 ; x  y  2 z  2  0
LỜI KẾT:
Chuyên đề gồm 28 bài tập giải mẫu và 12 bài tập tự giải có đáp số tuy chưa minh họa hết các dạng
bài tập nhưng cũng minh họa được một cách tối ưu phương pháp dùng PTTQ của mặt phẳng
Tơi khơng có tư tưởng của một nhà viết sách hay gì cả, tơi chỉ viết lên những dịng suy nghĩ và
những mạch cảm xúc của mình và chỉ mong các em học tốt hơn, nhưng tôi mong rằng khi ai đó đọc tài
liệu này và sử dụng nó để giảng dạy… hãy nhớ tới tôi như một người bạn… Chào thân ái
Mọi yêu cầu thắc mắc, bổ sung xin gửi theo địa chỉ Email:
Hoặc địa chỉ:
Nguyễn Thành Long: Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – TP. Thanh hóa
... Tôi sẽ trả lời cho bạn..
Vẫn biết rằng “ Biển học vô bờ “ nhưng đừng lo nhé, tôi luôn ở bên cạnh bạn, nào chúng ta hãy cùng
nắm tay nhau nhé các bạn

www.mathvn.com
18