32 chuyên đề định lý lucas và ứng dụng trong số học

t ề

t ố ọ ó t ó tr
trì tờ tr ỳ t ọ s ỏ
t số ọ q ế ồ t tố
tứ số tổ ợ

Cnp tờ t ó ố ớ ọ s

ị ý s ột tr ữ ị ý ẹ ủ ý tết
ồ t tố ết ớ tệ tr ổ ớ
ề ộ ị ý ứ ụ ột số t số ọ q
ế ồ t tố
ệ ó ý ĩ tự tễ tr ọ t t
tr ọ ổ t ì t số ọ t ó tr q trì
ọ t tr ề t ọ s ỏ
ù ố ó ẽ t ệ ò ữ ế
tế sót ì t rt ợ ý ế ó ó ủ
ồ ệ ọ





●✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ò

❆✳ ❈➡ së ❧ý ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ✈✃♥ ➤Ò

m, n ❧➭ ❝➳❝ sè
●✐➯ sö ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➡ së p ❝ñ❛ m, n ❧➭✿
❈❤♦

➜Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✳

tù ♥❤✐➟♥ ✈➭

p

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✳

m = mk .pk + mk−1 .pk−1 + . . . + m1 .p + m0
n = nk .pk + nk−1 .pk−1 + . . . + n1 .p + n0
✈í✐ 0
mi , ni p − 1, i = 0, 1, . . . k
❑❤✐ ➤ã✿

n
≡
Cm

k
i=0

ni
Cm
(mod p) ✭ ◗✉② ➢í❝ Cab = 0 ❦❤✐ a < b✮✳
i

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

• ◆Õ✉ m = n t❤× ➜Þ♥❤ ❧ý ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳

• ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ ❣✐➯ sö m > n✳
j
j
❚❛ ❝ã ♥❤❐♥ ①Ðt✿ (x + 1)p ≡ xp (mod p), ∀ j ∈ N ∗ .
k

❉♦ ➤ã✿

m

(1 + x) = (1 + x)

mi .pi

i=0

k

≡

i

(1 + xp )mi

i=0

❙✉② r❛

(1 + x)m ≡

k

mi

i=0 j=0
n

➜å♥❣ ♥❤✃t ❤Ö sè ❝ñ❛

i

j
Cm
xj.p (mod p)✳
i

x ë ✷ ✈Õ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ t❤ø❝ tr➟♥✱ s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❇✳ ❚❤ù❝ tr➵♥❣ ❝ñ❛ ✈✃♥ ➤Ò

❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❦ú t❤✐ ❤ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐✱ ❜➭✐ t♦➳♥ sè ❤ä❝ ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❤❛② ♥❤➢♥❣
❦❤ã ➤è✐ ✈í✐ ❤ä❝ s✐♥❤✱ ♥❤✃t ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤å♥❣ ❞➢ t❤❡♦ ♠➠
➤✉♥ ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ sè ❝➳❝ tæ ❤î♣

Cnp t❤➢ê♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ✧❧➵✧ ✈➭ ❦❤ã

➤è✐ ✈í✐ ❤ä❝ s✐♥❤✳ ➜ø♥❣ tr➢í❝ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❤➢ t❤Õ✱ ❤ä❝ s✐♥❤ t❤➢ê♥❣ r✃t ❧ó♥❣
tó♥❣ ❦❤➠♥❣ ❜✐Õt ❤➢í♥❣ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ❣✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ò ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳ ❇➭✐ ✈✐Õt ♥➭②
♥❤➺♠ ❝✉♥❣ ❝✃♣ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ➤Ó t✐Õ♣ ❝❐♥ ✈➭ ❣✐➯✐ q✉②Õt ♠ét sè ❜➭✐

t♦➳♥ ♥❤➢ tr➟♥ ❜➺♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✳

✷


ệ tế ể qết
ề

ột số í ụ ụ tể ể ọ sử ụ ị ý s
tr t số ọ q ế ồ t tố
q ữ í ụ ó ờ ọ sẽ ì ợ ý ồ ủ t tự rút
r t ỹ sử ụ ị ý
í ụ

số

n số tố p ứ r
n
Cnp
(mod p).
p

ờ

sử ể ễ sở

p ủ n

n = nk .pk + nk1 .pk1 + . . . + n1 .p + n0
ị ý s t ó

n
p

Cnp Cn11 n1
í ụ



ì tt số

(mod p).
n s Cnm số ớ ọ

m = 0, 1, . . . , n
ờ

ì ét tí ủ

Cnm t ét ể ễ ủ n, m

t ệ số

p = 2
sử n, m ể ễ t ệ số
k

k
i

n=

mi .2i ; ni , mi {0, 1}.

ni .2 , m =
i=0

i=0

ó t ị ý s t ó
k

Cnm

Cnmi i



(mod 2)

i=0

ó Cnm , m

= 0, 1, . . . , n số ỉ mi

ni ni =

1, i = 0, 1, . . . k
Cnm , m = 0, 1, . . . , n số ỉ tr ể ễ t

số ủ n ỉ ó ữ số tứ n = 2s 1.
í ụ



ị tt số

ớ ọ

n
k = 0, 1, . . . , [ ]
2

n

k
2 s Cnk
số

C2ms 1 1 (mod 2), 0 m 2s 1
ừ ó s r n + 1 ũ từ ủ 2 ì ế t t s = [log2 s]
ờ

ét

í ụ tr t ó

2s+1 2
k = n (2 1) = n
2

s



n

n n
=
2
2


k
Cn−k
= C2ks −1 ❧➭ ♠ét sè ❧❰✱ tr➳✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ✈í✐ n = 2s − 1✱ ➤Õ♠ sè ❝➳❝ ❝❤÷ sè ✵✱ ✶ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr♦♥❣
k
❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤Þ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ n − k ✈➭ k ✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✱ s✉② r❛ Cn−k
≡0
n
(mod 2), ∀ k = 0, 1, . . . , [ ].
2
❱❐② n = 2s − 1 t❤á❛ ♠➲♥ ❜➭✐ t♦➳♥✳

❑❤✐ ➤ã

C2kn ➤Ò✉ ❧➭ sè ❝❤➼♥ ✈í✐ ♠ä✐ k =
1, 2, . . . , 2n − 1 ✈➭ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét sè tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ➤ã ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 4✳
2n k−1
k

.C2n −1 , ∀ k = 1, 2, . . . , 2n − 1✱
▲ê✐ ❣✐➯✐✳ ❚r➢í❝ ❤Õt tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ C2n =
k
s✉② r❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè C2kn ➤Ò✉ ❧➭ sè ❝❤➼♥✳
❍➡♥ ♥÷❛✱ ❝ò♥❣ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ s✉② r❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè C2kn ➤Ò✉ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛
4✱ ✈í✐ ♠ä✐ k = 2n−1 ✳
n−1
n−1
❱í✐ k = 2n−1 t❤× C22n = 2.C22n −1−1 ✳
❱× 2n − 1 ❝❤Ø ❝❤ø❛ ➤ó♥❣ ♠ét ❝❤÷ sè 1 tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤❡♦ ❤Ö ❝➡ sè 2✱
n−1
n−1
♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s s✉② r❛ C22n −1−1 ❧➭ ♠ét sè ❧❰✱ ❝❤ø♥❣ tá C22n ❦❤➠♥❣
❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 4✳
❱Ý ❞ô

✹✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè

p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè ❧❰✳ ❚×♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ n
s❛♦ ❝❤♦ Cn1 , Cn2 , . . . , Cnn−1 ➤Ò✉ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p✳

❱Ý ❞ô ✺✳

❈❤♦

▲ê✐ ❣✐➯✐✳

●✐➯ sö tr♦♥❣ ❤Ö ❝➡ sè p✱

n ❝ã ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❧➭✿

n = nk .pk + nk−1 .pk−1 + . . . + n1 .p + n0 , 0
❳Ðt

1

m

n 0 , n1 , . . . , n k

p−1

n − 1✱ ❣✐➯ sö m ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ tr♦♥❣ ❤Ö ❝➡ sè p ❧➭✿

m = mk .pk + mk−1 .pk−1 + . . . + m1 .p + m0 , 0

m 0 , m1 , . . . , m k

p−1

❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✱ t❛ ❝ã✿
k

Cnm

Cnmi i

≡

(mod p).

i=0

• ◆Õ✉ n = pk t❤× ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ t❤á❛ ♠➲♥ ❜➭✐ t♦➳♥✳
• ◆Õ✉ n = pk t❤× ✈í✐ nk > 1✱ t❛ ①Ðt m = pk < n✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã✿
Cnm ≡ nk . 1.1 . . . 1 ≡ nk ≡ 0

(mod p).

k−1 ❧➬♥

❱❐②

n = pk t❤á❛ ♠➲♥ ❜➭✐ t♦➳♥✳

Sn ❧➭ tæ♥❣ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❝➳❝ ❤Ö sè tr♦♥❣ ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ♥❤Þ t❤ø❝
(1 + x) ✱ tr♦♥❣ ➤ã n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ x ❧➭ sè t❤ù❝ ❜✃t ❦ú✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
r➺♥❣ S2n + 1 ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 3✱ ✈í✐ ♠ä✐ n✳

❱Ý ❞ô

✻✳

●ä✐

n

✭ ❱✐Öt ◆❛♠ ❚❙❚ ✷✵✶✵✮

✹


▲ê✐ ❣✐➯✐✳

(1 + x)2n = (1 + x)n (x + 1)n s✉② r❛

❚õ ➤➻♥❣ t❤ø❝
2n

n
i
C2n
x2n−i

n

Cni xn−i

=

i=0

i=0

➜å♥❣ ♥❤✃t ❤Ö sè ❝ñ❛

i=0

xn tr♦♥❣ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✱ s✉② r❛✿

n

n
C2n

2n

Cni .Cnn−i

=

n
, ∀ n ∈ N ∗.
Sn = C2n

◆❤➢ t❤Õ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿
k

●✐➯ sö

ai .3i , 0

2n =

(Cni )2 .

=

i=0

❉♦ ➤ã

Cnn−i xi

.

i=0

✳
2n
+ 1) ✳✳ 3, ∀ n ∈ N ∗ .
(C4n

2, ∀ i = 0, 1, . . . , k ✳

ai

i=0

• ◆Õ✉ ai ∈ {0; 1}, ∀ i = 0, 1, . . . , k t❤× 2ai ∈ {0; 2}, ∀ i = 0, 1, . . . , k ✈➭
tr♦♥❣ ❤Ö ❝➡ sè 3 t❤×
k

2ai .3i .

4n =
i=0

k

k

ai ❧➭ ♠ét sè ❝❤➼♥✱ ➤➷t

❚õ ❝➳❝❤ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ tr➟♥ s✉② r❛
i=0

❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✱ t❛ ❝ã✿
k

k

k
ai
C2a
+1 ≡
i

2n
C4n
+1 ≡
i=0

ai = 2t, t ∈ N ✳
i=0

ai

2ai + 1 ≡ 2i=0 + 1 ≡ 22t + 1 ≡ 2

(mod 3).

i=0

• ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ai = 2✱ ❦❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ ❣✐➯ sö j ❧➭ ❝❤Ø sè ♥❤á
♥❤✃t tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤Ø sè 0, 1, . . . , k ♠➭ aj = 2✳ ❑❤✐ ➤ã ❤Ö sè t➢➡♥❣ ø♥❣ t➵✐ ✈Þ
trÝ j tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤❡♦ ❤Ö ❝➡ sè 3 ❝ñ❛ 4n ❜➺♥❣ 1✱ ♠➭ C12 = 0 ♥➟♥ t❤❡♦
➤Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✱ t❛ ❝ã
k
2n
C4n

ai
C2a
+1≡1
i

+1≡

(mod 3).

i=0

❱❐② tr♦♥❣ ♠ä✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ t❛ ➤Ò✉ ❝ã

✺

S2n + 1 ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ 3✳

❉✳ ❍✐Ö✉ q✉➯ ❝ñ❛ s➳♥❣ ❦✐Õ♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ö♠

❚r➟♥ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ❱Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲✉❝❛s✱ tï②
t❤❡♦ ❜➭✐ t♦➳♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝➳❝ ➤è✐ t➢î♥❣ t❤❡♦ ❤Ö ❝➡ sè t❤Ý❝❤ ❤î♣ ➤Ó
➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ ♥❤➢ ♠♦♥❣ ♠✉è♥✳ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô tr➟♥ ➤➲ ➤➢î❝ t➳❝ ❣✐➯ ❣✐➯♥❣ ❞➵②
tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤ît t❐♣ ❤✉✃♥ ➠♥ t❤✐ ❑ú t❤✐ ❝❤ä♥ ❤ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐ ◗✉è❝ ❣✐❛ ✈➭ ❑ú t❤✐
❝❤ä♥ ➜é✐ t✉②Ó♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❞ù t❤✐ ◗✉è❝ tÕ ❝❤♦ ➜é✐ t✉②Ó♥ ❚♦➳♥ ❝ñ❛ tr➢ê♥❣
❝❤✉②➟♥ ❍ï♥❣ ❱➢➡♥❣ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ q✉❛✳ ◗✉❛ ➤ã ❤ä❝ s✐♥❤ ➤➲ ♥➽♠ ✈÷♥❣
➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ❧ý✱ ❝ã ❦ü ♥➝♥❣ sö ❞ô♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦➵t ✈➭ tr❛♥❣ ❜Þ t❤➟♠ ❝❤♦ ❜➯♥ t❤➞♥
❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ö♠✱ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ t➢ ❞✉② ❧➠❣✐❝✱ ♠ét ❝➳❝❤ ♥❤×♥ ➤Ó ❣✐➯✐ q✉②Õt ✈✃♥
➤Ò✱ ♥❤✃t ❧➭ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ sè ❤ä❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤å♥❣ ❞➢ t❤❡♦ ♠➠ ➤✉♥
♥❣✉②➟♥ tè✳

✻


ết ề ị

r q trì t tr ộ tể
ọ s ỏ t t tr ị ế tứ ọ s ề ế
tứ ủ tt số ố ọ tí ổ ợ s
ó t q ệ tố í ụ ợ ị từ ễ ế ó từ
ế ể ọ ý tết t ứ ú ọ
s ể ộ ý tết ó ỹ ụ t ế tứ
qết ề ết tr ột í ụ ọ t tở
ó
ột số t r ệ

n số ứ r
0
1
2n1
C4n
+ C4n
+ . . . + C4n
2n1





(mod 2).

n số ứ r


2n
C4n
(8n + 4).




p số tố ứ r
k
Cp1
(1)k

số tố

(mod p), 0

k

p 1.

p số a

b ứ

r
pb
Cpa
Cab


số tố

p số k ứ r

Cpak 0


số tố

(mod p).

(mod p), 0 < a < pk .

p số tự k, a : 0

a

pk 1 ứ

r

Cpak 1 (1)a


(mod p).

số n ứ r số số m

{0, 1, . . . , n}

s Cnm ũ từ ủ


ì tt số




k

Cki tố ớ

số tố

n s tồ t số
n ớ ọ i = 0, 1, . . . , k

p ứ r p ớ ủ t
n = spk 1 ớ

ỳ ột tr số Cn1 , Cn2 , . . . , Cnn1 ỉ


k N ,1


s

p 1

Pủ ị ị ớ t ỳ số k

số

n

2 s Cni ết k ớ ọ 1

2 tồ t
i n 1.