tích phân kép

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 3: Tích phân kép

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008)



Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép
0.2 – Tọa độ cực
0.3 – Ứng dụng hình học
0.4 – Ứng dụng cơ học


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f ( x, y )
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
Tìm thể tích vật thể.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn).
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D
Tìm thể tích vật thể.

1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, ..., Dn.
Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn .
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi )  S Di
n

3) Thể tích của vật thể: V   f ( M i )  S Di  Vn
i 1

4)

V  limVn
n


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa tích phân kép
Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.
Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có)

n

I   f ( x, y )dxdy  lim   f ( M i )  S Di 
n  i 1

D

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.

I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân kép
1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì
khả tích trên miền này.
2) S D   1dxdy
D

3)   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy
D

D

4)   f ( x, y )  g ( x, y ) dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy
D

D

D

5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:

 f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy
D

D1

D2

6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy
D

D


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
2
2
f
(
x
,
y
)

16

x

2
y
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai

giới hạn dưới bởi hình vuông: R  [0,2]  [0,2]
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R.
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.


4

V  Vn   f ( M i )  S Di
i 1

S Di 1,i 1,...,4.

V  f (1,1)  f (1, 2)  f (2,1)  f (2, 2)

V  13  7  10  4  34.


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính (Định lý Fubini)

Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
y=y2(x)

y=y1(x)

a

b

1) Giả sử D xác định bởi:

a  x  b

 y1 ( x)  y  y2 ( x)

b

I   f ( x, y )dxdy   dx
D

a

y2 ( x )

 f ( x, y )dy

y1 ( x )


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini)

x=x1(y)

d

x=x2(y)

c

) Giả sử D xác định bởi:

c  y  d


 x1 ( y )  x  x2 ( y )

d

I   f ( x, y )dxdy   dy
D

c

x2 ( y )

 f ( x, y )dx

x1 ( y )


I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải câu e)

0  x  2

0  y  2

2

2



2

nh thể tích của vật thể. V   16  x  2 y
R
2

3 2

2

2

0

0

 dxdy   dx  16  x

2
y

2 16 
  (16  x ) y  2  dx    32  2 x  dx  48
3
3 0
0
0

2

2

2



 2 y 2 dy


Ví dụ
Tính tích phân kép I   xydxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
D

y  2  x 2 , y  x.

2  x  1

2
x

y

2

x

1

2 x 2

2

x

I    xy  dxdy   dx 
D

2
2

x
2

 y
  x 
2  2  x
1

 xy dy

dx

 (2  x 2 ) 2
x2 
  x
 x dx
2
2 

2 
1


Ví dụ
Tính tích phân kép I   ( x  y )dxdy

, trong đó D là tam giác OAB, với

D

O (0,0), A(1,1), B (2, 0).
0  x  2

0  y  ?
Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2

A
D1

I      

D2

D

B

1

x

D1

D2
2

2 x

I   dx  ( x  y )dy   dx  ( x  y )dy
0

0

1

0

Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia


Ví dụ
Tính tích phân kép I   y  x 2 dxdy
D

D là miền phẳng giới hạn bởi 1  x  1,0  y  1.

I    xy  dxdy   y  x 2 dxdy   y  x 2 dxd
D1

D





D2





  y  x 2 dxdy   x 2  y dxdy
D1

1

1

x2





1

x2

1

0





  dx  y  x 2 dy   dx  x 2  y dy

D1
D2

1

D2

D2

11
I
15


í dụ
1

1

x2

Tính tích phân kép I   dy  e dx
0

1

Tích phân

y

x2

 e dx không tính được ( qua các hàm sơ cấp)
y

Thay đổi thứ tự lấy tích phân:
1) Xác định miền D
2) Vẽ miền D
3) Thay đổi thứ tự


0  y  1
D:
y  x 1

Thay đổi cận:
1

x

0

0

2

 0  x 1
D:
0  y  x
1

I   dx  e x dy   e x y x dx
0
0

2

1

1 x2
e 1
x

  xe dx  e
2
2
0
0
1

2

í dụ
1

1

3
I

dy
sin(
x
 1)dx
Tính tích phân kép
 
0

y

1

Tích phân

3
sin(
x
 1)dx không tính được (qua các hàm sơ cấp)

y

 0  y  1
D:
 y  x  1

Thay đổi cận:
 0  x 1
D:
2
0

y

x

1

x2

3

1

I   dx  sin( x  1)dy   sin( x
0

0

0

3

x2
 1)  y 0

cos(1)  1
  x sin( x  1)dx 
3
0
1

2

3

dx


í dụ
1

y2  y

Thay đổi thứ tự lấy tích phân I   dy  f ( x, y )dx
0

0

 0  y 1
D:

2
0

x

y
y

Vẽ miền D:

Thay đổi cận

0 x2


D :  1  1  4 x
 y 1


2

2

1

I   dx



0

1 1 4 x
2

f ( x, )dy