ÔN tập về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN1

KINH NGHIỆM
Đề tài : ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến thức đã
học và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết. Việc làm đó thể hiện
được sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp với mục
đích giúp cho học sinh hiểu được bài và vận dụng nó vào giải bài tập.
Nhìn chung khi thực hiện giải bài toán hình học, hầu hết học sinh có học lực từ mức
trung bình trở xuống rất lúng túng và mơ hồ, bởi lẻ khâu vẽ hình biểu diễn đa số học sinh
không thực hiện được . Trong không gian khi viết phương trình đường thẳng đi qua một
điểm cho trước cắt hai đường thẳng cho trước hoặc khi đi tìm phương trình đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,… Quá trình trực tiếp giảng dạy trên lớp bản
thân tôi liên tục nghiên cứu học hỏi nhằm tìm ra những phương pháp giải toán ngắn gọn ,
giúp cho học sinh lĩnh hội được kiến thức do bản thân truyền thụ ,từ đó hình thành cho học
có những kỹ năng và kỹ xảo khi giải các bài toán luyện thi. Với đề tài này bản thân xin dưa
ra một số kinh nghiệm nhỏ đó là: “Ôn tâp về phương trình của đường thẳng trong không
gian” theo chương trình toán lớp 12 hiện hành.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :
Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị bài tốt trước
khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực , tự giác học tập , phải biết suy nghĩ tìm tòi và sáng
tạo. Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài , từ đó đi tìm tòi lời
giải đúng và sáng tạo, ngắn gọn . Muốn làm tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án
theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập , cụ thể tiến hành theo các bước :
I. BƯỚC CHUẨN BỊ :
1.) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt: Vạch ra mục tiêu của bài dạy
, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị trước , lâp phương án kiểm tra nội dung kiến
thức dùng cho tiết ôn tập .
2.) Chọn bài tập mẫu : Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với
các đối tượng học sinh nhằm củng cố kiến thức , rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo , rèn luyện tư
duy thuật toán hay kiểm tra sự lĩnh hội của học sinh .

3.) Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò : Cần phải phân bố thời
gian phù hợp với mỗi bài tập. Dự kiến thời gian cho mỗi học sinh giải bài tập trên bảng.
4.) Bước chuẩn bị của trò và thầy :
* Chuẩn bị của trò :
i.) Hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trong hình học phẳng và
trong không gian.


ii.) Cách xác định một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng khi
đường thẳng cho bởi phương trình tham số, phương trình chính tắc; hay đường thẳng là
giao tuyến của hai mặt phẳng.
iii.) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
iv.) Cách tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không
gian.
vi.) Tích có hướng của hai vectơ
* Chuẩn bị của thầy : Thầy chuẩn bị các lí thuyết cơ bản và các bài tập sau :
a.) Lí thuyết :
Trong hình học phẳng đường thẳng ∆ luôn dược xác định duy nhất khi :
i.)
∆ qua hai điểm M, N phân biệt.
ii.)
∆ qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M.
iii.) ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Do đó khái niệm vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT) được hình
thành :
 
i.) u ≠ 0 được gọi là VTCP của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hay nằm
trên ∆ .
 
ii.) n ≠ 0 được gọi là VTPT của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆ .

Khi đó đường thẳng trong hình học phẳng có ba dạng phương trình :

1.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ) và nhận u = ( a; b ) làm VTCP nên :
x = x 0 + at
(t ∈ R )
i.)
Phương trình tham số (PTTS) là : 
 y = y 0 + bt
x − x 0 y − y0
=
ii.) Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì phương trình chính tắc (PTCT) là :
a
b

2.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ) và nhận n = ( A; B) làm VTPT nên phương trình
tổng quát (PTTQ) là : A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) = 0
Trong không gian đường thẳng ∆ qua hai điểm M, N phân biệt hay đường thẳng ∆
qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M vẫn được xác định
duy nhất. Nhưng không xác định duy nhất đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d cho trước; có vô số các đường thẳng ∆ thoả tính chất trên, các đường thẳng
này nằm trong mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d. Vì vậy không có khái
niệm VTPT đối với đường thẳng trong không gian. Mặt khác đường thẳng ∆ trong không

gian còn là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q); khi đó VTCP u ∆ vuông góc
 

 
đồng thời với VTPT n P , n Q lần lượt của (P) và (Q); do đó có thể chọn u ∆ = [ n P , n Q ] làm
VTCP cho ∆
Để viết phương trình đường thẳng trong không gian cần nắm một số lí thuyết

cơ bản sau :


 
1.) u ≠ 0 được gọi là VTCP của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hay nằm
trên ∆ .

2.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP nên :
x = x 0 + at

i.)
Phương trình tham số (PTTS) là :  y = y 0 + bt ( t ∈ R )
z = z + ct
0

ii.) Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì phương trình chính tắc (PTCT) là :
x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
3.) Chú ý :


i.)
Nếu u là VTCP của ∆ thì ku với k ≠ 0 cũng là VTCP của ∆
∆ // d

 

ii.)
  ⇒ VTCP cuûa ∆ : u∆ = ud
VTCP cuûa d : ud 
iii.)
iv.)

∆ ⊥ (P)

 
  ⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = n P
VTPT cuûa (P) : n P 

(P) coù VTPT : n P 

 
  ⇒ VTCP cuûa ∆ = (P) (Q) : u ∆ = [ n P , n Q ]
(Q) coù VTPT : n Q 

Như vậy để viết phương trình đường thẳng ∆ trong không gian cần xác định hai yếu
tố là :
i.)
Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
ii.) Một VTCP u ∆ ( a; b; c ) của ∆
b.) Bài tập :
BÀI 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆
trong các trường hợp sau :
a.) ∆ đi qua A(1;0; −3) và B(3; −1;0)
b.) ∆ đi qua A(−1;2;3) và song song với đường thẳng BC biết B(2; −4;3),C(4;5;6)
c.) ∆ đi qua M(−2;6; −3) và song song với Oy
d.) ∆ đi qua M(2;3; −5) và song song với đường thẳng d biết :

 x = 1 + 2t

i.) d :  y = −3t
z = 3 + 2t

x +1 y − 2 z
=
=
ii.) d :
2
−1
3
e.) ∆ đi qua I(0;1; −3) và vuông góc với (P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0
f.) ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 2x − y + z + 5 = 0 và (Q) : 2x − z + 3 = 0


Dụng ý : Củng cố về phương trình tham số ( PTTS ), phương trình chính tắc (PTCT) và
rèn luyện kỹ năng viết PTTS, PTCT cho học sinh.
BÀI 2: Viết phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
x y −1 z +1
=
a.) ∆ qua M(1;2; −3) và vuông góc với hai đường thẳng d1 : =
;
1
−1
3
x = 2 − t

d 2 : y = 1 + t
z = 1 − 2 t


b.) ∆ qua N(1;4; −2) và song song với hai mặt phẳng (P) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 ;
(Q) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0
c.) ∆ qua A(1;1;−2) ,song song với (P) : x − y − z − 1 = 0 và vuông góc với
x +1 y −1 z − 2
d:
=
=
(Đại Học Kế Toán Hà Nội - 1999)
2
1
3
x+2 y−2 z
=
=
d.) ∆ nằm trong (P) : x + 2 y − 3z + 4 = 0 , cắt và vuông góc với d :
1
1
−1
( Đại Học Khối D - 2009 )
Dụng ý : Ứng dụng tính chất tích có hướng của hai vectơ để tìm vectơ chỉ phương của
đường thẳng.
BÀI 3 : Viết phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
x = 1 + 2t

x+2 y−3 z
=
=
a.) ∆ qua M(1; −1;1) và cắt hai đường thẳng ∆1 : y = t
; ∆2 :

1
−
2
1
z = 3 − t

x = 3t
x = −4 + 5t


b.) ∆ song song với d : y = 1 − t và cắt hai đường thẳng d1 : y = −7 + 9t ;
z = 5 + t
z = t


x −1 y + 2 z − 2
d2 :
=
=
1
4
3
x = t

c.) ∆ là hình chiếu vuông góc của d : y = 8 + 4t lên mặt phẳng (P) : x + y + z − 7 = 0
z = 3 + 2t

x = −1 + 2t

d.) ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ∆1 : y = 1 + 3t ;

z = 2 + t



x−2 y+2 z
=
=
1
5
−2
Dụng ý : Xác định đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) ; từ đó
viết phương trình đường thẳng ∆ .
∆2 :

II. BƯỚC SOẠN GIẢNG:
Ngày soạn: …………………….
Ngày dạy: ………………………
Tên bài : ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Tiêt PPCT : 32,33(Tự chọn12)
A> Mục tiêu bài dạy :
1. Kiến thức : Hệ thống hoá được các khái niệm về : PTTS , PTCT của đường thẳng
và VTCP của đường thẳng. Tích có hướng của hai vectơ . Hai vectơ cùng phương . Hai
đường thẳng chéo nhau.
2. Kỹ năng : Biết viết PTTS , PTCT của đường thẳng.
3. Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh , tư duy thuật toán , tương tự hoá và tư duy
logic.
B>Đồ dùng dạy học :
1.GV : Phiếu học tập phát cho học sinh hoạt động nhóm và kiểm tra ở phần củng cố.
2. HS : Bảng tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng trong hình học phẳng và
trong không gian và cách viết các loại phương trình đó.

C>Hoạt động dạy và học :
1.Kiểm tra bài cũ ( 15 phút) : Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các dạng phương trình
đường thẳng trong hình học phẳng và trong không gian ở nhà của học sinh.
Giáo viên dẫn dắt và tóm tắt lí thuyết :
Trong hình học phẳng đường thẳng ∆ luôn dược xác định duy nhất khi :
i.)
∆ qua hai điểm M, N phân biệt.
ii.)
∆ qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M.
iii.) ∆ qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
Do đó khái niệm vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT) được hình
thành :
 
i.) u ≠ 0 được gọi là VTCP của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hay nằm
trên ∆ .
 
ii.) n ≠ 0 được gọi là VTPT của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆ .
Khi đó đường thẳng trong hình học phẳng có ba dạng phương trình :

1.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ) và nhận u = ( a; b ) làm VTCP nên :


x = x 0 + at
(t ∈ R )
a. Phương trình tham số (PTTS) là : 
y
=
y
+
bt


0

x − x 0 y − y0
=
b. Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì phương trình chính tắc (PTCT) là :
a
b

2.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ) và nhận n = ( A; B) làm VTPT nên phương trình
tổng quát (PTTQ) là : A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) = 0
Trong không gian đường thẳng ∆ qua hai điểm M, N phân biệt hay đường thẳng ∆
qua điểm M và song song với đường thẳng d cho trước không đi qua M vẫn được xác định
duy nhất. Nhưng không xác định duy nhất đường thẳng ∆ qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d cho trước; có vô số các đường thẳng ∆ thoả tính chất trên, các đường thẳng
này nằm trong mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d. Vì vậy không có khái
niệm VTPT đối với đường thẳng trong không gian. Mặt khác đường thẳng ∆ trong không

gian còn là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q); khi đó VTCP u ∆ vuông góc
 

 
đồng thời với VTPT n P , n Q lần lượt của (P) và (Q); do đó có thể chọn u ∆ = [ n P , n Q ] làm
VTCP cho ∆
Để viết phương trình đường thẳng trong không gian cần nắm một số lí thuyết
cơ bản sau : 

1.) u ≠ 0 được gọi là VTCP của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hay nằm
trên ∆ .


2.) Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP nên :
x = x 0 + at

a. Phương trình tham số (PTTS) là :  y = y 0 + bt ( t ∈ R )
z = z + ct
0

b. Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì phương trình chính tắc (PTCT) là :
x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
3.) Chú ý :

a. Nếu u là VTCP của ∆ thì ku với k ≠ 0 cũng là VTCP của ∆
∆ // d

 
b.
  ⇒ VTCP cuûa ∆ : u∆ = ud
VTCP cuûa d : ud 
∆ ⊥ (P)

 
  ⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = n P
VTPT cuûa (P) : n P 

(P) coù VTPT : n P 


 
  ⇒ VTCP cuûa ∆ = (P) (Q) : u ∆ = [ n P , n Q ]
d.
(Q) coù VTPT : n Q 
c.


Như vậy để viết phương trình đường thẳng ∆ trong không gian cần xác định hai yếu
tố là :
i.)
Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
iii.) Một VTCP u∆ = ( a;b;c ) của ∆
2. Hoạt động trên lớp :
Hoạt động của giáo giáo viên và học
sinh
Hoạt động 1 (15phút) Giáo viên phát
phiếu học tập về bài tập 1 cho học sinh;
hướng dẫn học sinh tìm lời giải; cho học
sinh hoạt động nhóm; gọi học sinh trình
bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt vấn đề .
• GV :
+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?
+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế
nào ?
• HS :
+ Bài toán yêu cầu viết PTTS, PTCT của
đường thẳng ∆ .
+ Muốn viết PTTS, PTCT của ∆ thì ta đi
tìm 1 điểm M ∈ ∆ và 1 VTCP của nó .

Sau đó sử dụng công thức:
Đường thẳng ∆ qua điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và

nhận u = ( a; b; c ) làm VTCP nên :
i) Phương trình tham số (PTTS) là :
x = x 0 + at

 y = y 0 + bt ( t ∈ R )
z = z + ct
0

ii) Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 thì phương trình
chính tắc (PTCT) là :
x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c
• GV :
Như vậy để viết phương trình đường
thẳng ∆ trong không gian cần xác định
hai yếu tố là :
i.) Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
ii.)Một VTCP u∆ = ( a;b;c ) của ∆
+ Đối với câu a,b,c,d,e yếu tố nào đã được
xác định ? cần xác định thêm yếu tố nào ?

Nội dung ghi bảng
Bài tập 1 : Viết phương trình tham số và phương

trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong các
trường hợp sau :
a.) ∆ đi qua A(1;0; −3) và B(3; −1;0)
b.) ∆ đi qua A(−1;2;3) và song song với
đường thẳng BC biết B(2; −4;3),C(4;5;6)
c.) ∆ đi qua M(−2;6; −3) và song song với
Oy
d.) ∆ đi qua M(2;3; −5) và song song với
đường thẳng d biết :
 x = 1 + 2t

i.) d :  y = −3t
z = 3 + 2t

x +1 y − 2 z
=
=
ii.) d :
2
−1
3
e.) ∆ đi qua I(0;1; −3) và vuông góc với
(P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0
f.) ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : 2x − y + z + 5 = 0 và (Q) : 2x − z + 3 = 0
uuurBài giải :
a.) ∆ có VTCP : AB = (2; −1;3)
qua A(1;0; −3)
uuur
∆

:
Khi đó :
nên :

VTCP
:
AB
= (2; −1;3)

• Phương trình tham số :
 x = 1 + 2t

(t ∈ R)
y = −t
z = −3 + 3t

• Phương trình chính tắc :


+ Làm sao xác định VTCP của ∆ ? Vì sao
?
• HS :
+ Một điểm thuộc ∆ đã được xác định.
Cần xác định thêmuuu
một
r VTCP
uuur của ∆
+ Câu a VTCP là AB hay BA
uuur
uuu

r
Câu b VTCP là BC hay CB
r
Câu c VTCP là j = (0;1;0) ( vectơ đơn vị
trên Oy )
Câu d VTCP của ∆ là VTCP của đường
thẳng d vì ∆ // d
Câu e VTCP của ∆ là VTPT của mặt
phẳng (P) vì ∆ ⊥ (P)
• GV :
+ Đối với câu f đã xác định được yếu tố
nào chưa ?
+ Làm sao xác định các yếu tố đó ?
• HS :
+ Cả hai yếu tố đều chưa xác định ngay
được
+
* Tìm 1 điểm :
∆ = (P) ∩ (Q) nên các điểm thuộc ∆
2x − y + z + 5 = 0
thỏa mãn hệ : 
.
2x − z + 3 = 0
Cố định một biến được hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, giải hệ được tọa độ một
điểm thuộc ∆ (thông thường cho một biến
bằng 0, chẳng hạn lấy M(x;y;0)∈ ∆ ).
* Tìm VTCP :
r
r r

Cách 1 : VTCP của ∆ : u∆ =  n P ,n Q  với
r r
n P ,n Q lần lượt là VTPT của (P),(Q).
Cách 2uu:uu
rLấy 2 điểm M , N thuộc ∆ ;
khi đó MN là VTCP của ∆ .
• GV :
Chia lớp thành 6 nhóm, mỗi nhóm làm 1
câu
• HS : Hoạt động nhóm
• GV :

x −1 y z + 3
=
=
2
−1
3
b.) ∆ song songuu
với
u
r BC nên VTCP của ∆ là :
BC = (2;9;3)
qua A(−1;2;3)
uuu
r
∆
:
Khi đó :
nên :


VTCP : BC = (2;9;3)
• Phương trình tham số :
 x = −1 + 2t

 y = 2 + 9t (t ∈ R)
z = 3 + 3t


• Phương trình chính tắc :
x +1 y − 2 z − 3
=
=
2
9
3
c.) ∆ song songrvới Oy nên VTCP của ∆ là :
j = (0;1;0)
qua M(−2;6; −3)
r
∆
:
Khi đó :
nên :

VTCP
:
j = (0;1;0)

 x = −2


• Phương trình tham số :  y = 6 + t (t ∈ R)
z = −3

• ∆ không có phương trình chính tắc
d.)
r
i.)
VTCP của d : u d = (2; −3;2)
Do ∆ // d nên VTCP của ∆ :
r
r
u ∆ = u d = (2; −3;2)
qua M(2;3; −5)
∆:
Khi đó :
nên :
r
VTCP : u ∆ = (2; −3;2)
• Phương trình tham số :
 x = 2 + 2t

 y = 3 − 3t (t ∈ R)
z = −5 + 2t


• Phương trình chính tắc :
x −2 y −3 z +5
=
=

2
−3
2
r
ii.) VTCP của d : u d = (2; −1;3)


Gọi đại diện từng nhóm lên bảng trình
bày
• HS :
Một số em lên trình bảng bày, các em còn
lại theo dõi để nhận xét
• GV :
+ Gọi học sinh nhận xét
+ Giáo viên chỉnh sửa
+ Giáo viên gút vấn đề :
* Như vậy để viết phương trình đường
thẳng ∆ trong không gian cần xác định
hai yếu tố là :
i.) Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
ii.)Một VTCP u∆ = ( a;b;c ) của ∆
* Chú ý:

i.) Nếu u là VTCP của ∆ thì ku với
k ≠ 0 cũng là VTCP của ∆
∆ // d

ii.)
r 
VTCP cuûa d :ud 

r
r
⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = ud
∆ ⊥ (P)

iii.)
r 
VTPT cuûa (P) :n P 
r
r
⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = n P
iv.)
r
(P) coù VTPT : n P 
r ⇒
(Q) coù VTPT : n Q 
r
r r
VTCP cuûa ∆ = (P) ∩ (Q): u ∆ = n P ,n Q 

Do ∆ // d nên VTCP của ∆ :
r
r
u ∆ = u d = (2; −1;3)
qua M(2;3; −5)
∆:
Khi đó :
nên :
r
VTCP

:
u
=
(2;
−
1;3)

∆
• Phương trình tham số :
 x = 2 + 2t

(t ∈ R)
y = 3 − t
z = −5 + 3t


• Phương trình chính tắc :
x −2 y−3 z +5
=
=
2
−1
3
r
e.) VTPT của (P) : n p = (2; −3;5)
Do ∆ ⊥ (P) nên VTCP của ∆ :
r
r
u ∆ = n P = (2; −3;5)
qua I(0;1; −3)

∆:
Khi đó :
nên :
r
VTCP : u ∆ = (2; −3;5)

• Phương trình tham số :
 x = 2t

 y = 1 − 3t (t ∈ R)
z = −3 + 5t

x y −1 z + 3
=
• Phương trình chính tắc : =
2
−3
5
f.) ∆ = (P) ∩ (Q) nên các điểm thuộc ∆ thỏa mãn
2x − y + z + 5 = 0
hệ : 
2x − z + 3 = 0
−y + z + 5 = 0 y = 8
⇔
Cho x = 0 ta được 
−
z
+
3
=

0

z = 3
Ta có : M(0;8;3)∈ ∆
r
VTPT của (P) : n p = (2; −1;1)
r
VTPT của (Q) : n Q = (2;0; −1)
r
r r
VTCP của ∆ : u∆ =  n P ,n Q  = (1;4;2)
qua M(0;8;3)
∆:
Khi đó :
nên :
r
VTCP : u ∆ = (1;4;2)
• Phương trình tham số :


x = t

 y = 8 + 4t (t ∈ R)
z = 3 + 2t


• Phương trình chính tắc :
x y −8 z −3
=
=

1
4
2
Hoạt động 2 (15phút) Giáo viên phát
phiếu học tập về bài tập 2 cho học sinh;
hướng dẫn học sinh tìm lời giải; cho học
sinh hoạt động nhóm; gọi học sinh trình
bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt vấn đề .
• GV :
+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?
+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế
nào ?
• HS :
+ Bài toán yêu cầu viết phương trình
đường thẳng ∆ ( PTTS hoặc PTCT của
đường thẳng ∆ ).
+ Muốn viết PTTS hoặc PTCT của ∆ thì
ta đi tìm 1 điểm M ∈ ∆ và 1 VTCP của nó
• GV :
Như vậy để viết phương trình đường
thẳng ∆ trong không gian cần xác định
hai yếu tố là :
i.) Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
ii.)Một VTCP u∆ = ( a;b;c ) của ∆
• GV :
+ Đối với câu a,b,c yếu tố nào đã được
xác định ? cần xác định thêm yếu tố nào ?
+ Làm sao xác định VTCP của ∆ ? Vì sao
?
• HS :

+ Một điểm thuộc ∆ đã được xác định.
Cần xác định thêm một VTCP của ∆
∆ ⊥ d1 
+ Câu a : Do
 nên : VTCP của ∆
∆ ⊥ d2 
r
r r
r r
là u∆ = [ u1 ,u2 ] với u1 ,u2 lần lượt là VTCP

BÀI 2: Viết phương trình của đường thẳng ∆
trong các trường hợp sau :
a.) ∆ qua M(1;2; −3) và vuông góc với hai
x y −1 z +1
=
đường thẳng d1 : =
;
1
−1
3
x = 2 − t

d 2 : y = 1 + t
z = 1 − 2 t

b.) ∆ qua N(1;4; −2) và song song với hai
mặt phẳng (P) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 ;
(Q) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0
c.) ∆ qua A(1;1;−2) ,song song với

(P) : x − y − z − 1 = 0 và vuông góc với
x +1 y −1 z − 2
d:
=
=
2
1
3
(Đại Học Kế Toán Hà Nội - 1999)
d.) ∆ nằm trong (P) : x + 2 y − 3z + 4 = 0 ,
x+2 y−2 z
=
=
cắt và vuông góc với d :
1
1
−1
( Đại Học Khối D - 2009 )
Bài giải

VTCP của d1 : u 1 = (1;−1;3)

VTCP của d 2 : u 2 = (−1;1;−2)
∆ ⊥ d1 
Do
 nên : VTCP của
∆ ⊥ d2 

 
∆ : u ∆ = [ u 1 , u 2 ] = (1;1;0)

qua M (1;2;−3)
Khi đó : ∆ : 

VTCP : u ∆ = (1;1;0)
a.)


của d1 ,d 2
∆ ⊥ (P) 
 nên : VTCP của
∆ ⊥ (Q) 
r r
r
r r
∆ là u∆ =  n P ,n Q  với n P ,n Q lần lượt là
VTPT của (P),(Q)
∆ //( P) 
Câu c : Do
 nên : VTCP của ∆
∆⊥d 
r
r r
r r
là u∆ = [ n P ,ud ] với n P ,ud lần lượt là VTPT
của (P) và VTCP của d
• GV :
+ Đối với câu d đã xác định được yếu tố
nào chưa ?
+ Làm sao xác định các yếu tố đó ?
• HS :

+ Cả hai yếu tố đều chưa xác định ngay
được
+
* Tìm 1 điểm thuộc ∆ :
I = ∆ ∩ d ⇒ I ∈ (P) ⇒ I = d ∩ (P)
Chuyển phương trình của ∆ về dạng
tham số
Giải hệ gồm phương trình của d và
phương trình của (P) ta tìm được tọa độ
của I
* Tìm VTCP của ∆ :
∆ ⊂ (P) 
Do
 nên : VTCP của ∆ là
∆⊥d 
r
r r
r r
u∆ = [ n P ,u d ] với n P ,ud lần lượt là VTPT
của (P) và VTCP của d
• GV :
Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm làm 1
câu
• HS : Hoạt động nhóm
• GV :
Gọi đại diện từng nhóm lên bảng trình
bày
• HS :
Một số em lên bảng trình bày, các em
còn lại theo dõi để nhận xét

Câu b : Do

x = 1 + t

nên phương trình tham số :  y = 2 + t (t ∈ R)
z = −3

r
VTPT của (P) : n P = (6;2;2)
r
VTPT của (Q) : n Q = (3; −5; −2)
∆ ⊥ (P) 
Do
 nên : VTCP của
∆ ⊥ (Q) 
r r
r
∆ : u ∆ =  n P , n Q  = (6;18; −36)
qua N(1;4; −2)
Khi đó : ∆ : 
r
VTCP : u = (1;3; −6)
b.)

x = 1 + t

nên phương trình tham số :  y = 4 + 3t (t ∈ R)
z = −2 − 6t

c.)


VTPT của (P) : n P = (1;−1;−1)
r
VTCP của d : ud = (2;1;3)
∆ //( P) 
Do
 nên : VTCP của
∆⊥d 
r
v r
∆ : u ∆ = [ n P ,ud ] = (−2; −5;3)

qua A(1;1;−2)
Khi đó : ∆ : 

VTCP : u ∆ = (−2;−5;3)
x = 1 − 2 t

nên phương trình tham số :  y = 1 − 5t (t ∈ R)
z = −2 + 3t

d.) Gọi I = ∆ ∩ d ⇒ I = d ∩ (P)
Do ∆ ⊂ (P) nên I = d ∩ (P)
 x = −2 + t
x+2 y−2 z

d:
=
=

⇒ d : y = 2 + t
1
1
−1
z = − t

Toạ độ giao điểm I = d ∩ (P) là nghiệm hệ :


• GV :
+ Gọi học sinh nhận xét
+ Giáo viên chỉnh sửa
+ Giáo viên gút vấn đề :
r
r
* Nếu u = (a1; b1;c1 );v = (a2 ;b 2 ;c2 ) thì :
 b1 c1 c1 a1 a1 b1 
;
;
÷
b
c
c
a
a
b
2
2
2
2

2
2


= ( b1c2 -b2 c1;c1a2 -c2a1;a1b2 -a2 b1 )
* Chú ý :
∆ ⊥ d1 , ∆ ⊥ d 2

r 
VTCP cuûa d1 :u1 
i.)
r
VTCP cuûa d 2 :u2 
r
r r
⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = [ u1 ,u2 ]
r r

[ u,v] = 


∆ //(P), ∆ //(Q)
r 
VTPT cuûa (P) :n P 
ii.)
r
VTPT cuûa (Q) :n Q 
r
r r
⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = n P ,n Q 

∆ //(P)(hay∆ ⊂ (P)), ∆ ⊥ d 
r

VTCP cuûa (P) :ud
iii.)

r

VTPT cuûa (P) :n P

r
r r
⇒ VTCP cuûa ∆ : u ∆ = [ n P ,ud ]

 x = −2 + t
y = 2 + t


z = − t
 x + 2y − 3z + 4 = 0
 x = −2 + t
y = 2 + t

⇔
z = − t
−2 + t + 2(2 + t) − 3( − t) + 4 = 0
 x = −3
y = 1

⇔

z = 1
 t = −1

⇒ I( −3;1;1)

r
VTPT của (P) : n P = (1;2; −3)
r
VTCP của d : u d = (1;1; −1)
∆ ⊂ (P) 
Do
 nên : VTCP của
∆⊥d 
r r
r
∆ : u ∆ = [ n P ,u d ] = (1; −2; −1)

qua I(−3;1;1)
∆:
r
VTCP : u = (1; −2; −1)
 x = −3 + t

nên phương trình tham số :  y = 1 − 2t (t ∈ R)
z = 1 − t

Khi đó :

x = x 0 + at


iv.) d : y = y 0 + bt ,(P) : Ax+By+Cz+D=0
z = z + ct
0

Toạ độ giao điểm I = d ∩ (P) là nghiệm hệ
x = x 0 + at
y = y + bt

0

z = z 0 + ct
Ax+By+Cz+D=0
BÀI 3 : Viết phương trình của đường thẳng ∆
Hoạt động 3 (15phút) Giáo viên phát
trong các trường hợp sau :
phiếu học tập về bài tập 3 cho học sinh;
a.) ∆ qua M(1; −1;1) và cắt hai đường thẳng
hướng dẫn học sinh tìm lời giải câu a,b;
cho học sinh hoạt động nhóm; gọi học
sinh trình bày; giáo viên chỉnh sửa và chốt


vấn đề .
• GV :
+ Em hãy cho biết bài tập 1 yêu cầu gì ?
+ Muốn giải bài toán này ta làm như thế
nào ?
• HS :
+ Bài toán yêu cầu viết phương trình
đường thẳng ∆ ( PTTS hoặc PTCT của

đường thẳng ∆ ).
+ Muốn viết PTTS hoặc PTCT của ∆ thì
ta đi tìm 1 điểm M ∈ ∆ và 1 VTCP của nó
• GV :
Như vậy để viết phương trình đường
thẳng ∆ trong không gian cần xác định
hai yếu tố là :
i.) Một điểm M( x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc ∆
ii.)Một VTCP u∆ = ( a;b;c ) của ∆
• GV : Đối với câu a yếu tố nào đã
được xác định ? cần xác định thêm yếu tố
nào ?
• HS :
Một điểm thuộc ∆ đã được xác định.
Cần xác định thêm một VTCP của ∆
• GV :
Có thể xác định ngay VTCP của ∆ ?
• HS : Không
• GV : Tích có hướng của hai VTCP
của ∆1 và ∆ 2 là VTCP của ∆ có đúng
không ? Vì sao ?
• HS : Không
r
Vì ∆ cắt ∆1 và ∆ 2 nên VTCP u∆ của ∆
r
không vuông góc với VTCP u1 của ∆1 và
r
r r
VTCP u2 của ∆ 2 , do đó [ u1 ,u2 ] không là
VTCP của ∆

• GV :
Làm sao xác định VTCP của ∆ ?
• HS : Cần xác định ∆ = (P) ∩ (Q)
r r
r
r r
VTCP của ∆ : u∆ =  n P ,n Q  với n P ,n Q lần
lượt là VTPT của (P),(Q)
• GV :

x = 1 + 2t

x+2 y−3 z
∆1 : y = t
=
=
; ∆2 :
1
−
2
1
z = 3 − t

x = 3t

b.) ∆ song song với d : y = 1 − t và cắt
z = 5 + t

x = −4 + 5t


hai đường thẳng d1 : y = −7 + 9t ;
z = t

x −1 y + 2 z − 2
d2 :
=
=
1
4
3
c.) ∆ là hình chiếu vuông góc của
x = t

d : y = 8 + 4t lên mặt phẳng
z = 3 + 2t

(P) : x + y + z − 7 = 0
d.) ∆ là đường vuông góc chung của hai
x = −1 + 2t

đường thẳng chéo nhau ∆1 : y = 1 + 3t ;
z = 2 + t

x−2 y+2 z
∆2 :
=
=
1
5
−2

Bài giải
a.) Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1 ,
suy ra (P) chứa M và ∆1
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2 ,
suy ra (Q) chứa M và ∆ 2
⇒ ∆ = (P) ∩ (Q)
qua A(1;0;3)
∆1 : 
r
VTCP : u1 = (2;1; −1)
uuuu
r
AM = (0; −1; −2)
r
r
r uuuu
VTPT của (P) : n P =  u1 ,AM  = (−3;4; −2)
qua B(−2;3;0)
∆2 : 
r
VTCP : u2 = (1; −2;1)


(p), (Q) được xác định như thế nào ?
• HS :
(P) chứa ∆ , ∆ cắt ∆1 nên có thể chọn (P)
là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1
(Q) chứa ∆ , ∆ cắt ∆1 nên có thể chọn (Q)
là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2
• GV : Có thể tìm VTPT của (P), (Q) ?

• HS :
Luôn tìm được VTPT của (P), (Q)
+ (P) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1 ,suy ra
(P) chứa M và ∆1 . Do đó VTPT của (P) :
r
r
r uuuu
r
n P =  u1 ,AM  với A ∈ ∆1 ,u1 là VTCP của
∆1
+ (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2 ,suy ra
(Q) chứa M và ∆ 2 . Do đó VTPT của (Q) :
r
r
r uuuu
r
n Q =  u2 ,BM  với B ∈ ∆ 2 ,u2 là VTCP
của ∆ 2
• GV : Đối với câu b yếu tố nào đã
được xác định ? cần xác định thêm yếu tố
nào ?
• HS : Do ∆ // d nên VTCP của ∆ :
r
r
r
u ∆ = u với u là VTCP của d
Cần xác định thêm một điểm thuộc ∆
• GV :
Từ giả thiết của bài toán có thể xác định
ngay 1 điểm thuộc ∆ ?

• HS : Không
• GV :
Làm sao xác định 1 điểm thuộc ∆ ?
• HS :
Cần xác định ∆ = (P) ∩ (Q) . Tọa độ các
điểm thuộc ∆ thỏa mãn phuơng trình của
(P) và (Q)
• GV :
(p), (Q) được xác định như thế nào ?
• HS :
(P) là mặt phẳng chứa d1 và ∆ , suy ra (P)
chứa d1 và song song d

uuuu
r
BM = (3; −4;1)
r
r
r uuuu

VTPT của (Q) : n Q =  u2 ,BM  = (2;2;2)
r r
r
VTCP của ∆ : u ∆ =  n P ,n Q  = (12;2; −14)
qua M(1; −1;1)
Khi đó : ∆ : 
r
VTCP : u = (6;1; −7)

 x = 1 + 6t


nên phương trình tham số :  y = −1 + t (t ∈ R)
z = 1 − 7t

r
b.) VTCP của d : u = (3; −1;1)
r
r
Do ∆ // d nên VTCP của ∆ : u ∆ = u = (3; −1;1)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và ∆ ,
suy ra (P) chứa d1 và song song d
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 2 và ∆ ,
suy ra (Q) chứa d 2 và song song d
⇒ ∆ = (P) ∩ (Q)
qua A(−4; −7;0)
d1 : 
r
VTCP : u1 = (5;9;1)
r
r r
VTPT của (Q) : n P = [ u,u1 ] = (−10;2;32)
qua A(−4; −7;0)
(P) : 
nên PTTQ :
r
VTPT : n1 = (−5;1;16)
−5(x + 4) + 1(y + 7) + 16(z − 0) = 0
⇔ −5x + y + 16z − 13 = 0
qua B(1; −2;2)
d2 : 

r
VTCP : u2 = (1;4;3)
r
r r
VTPT của (Q) : n Q = [ u,u2 ] = (−7; −8;13)
qua B(1; −2;2)
(Q) : 
nên PTTQ :
r
VTPT
:
n
=
(7;8;
−
13)

2
7(x − 1) + 8(y + 2) − 13(z − 2) = 0
⇔ 7x + 8y − 13z + 35 = 0
∆ = (P) ∩ (Q) nên tọa độ các điểm thuộc ∆ thỏa
−5x + y + 16z − 13 = 0
mãn hệ : 
7x + 8y − 13z + 35 = 0


(Q) là mặt phẳng chứa d 2 và ∆ ,suy ra (Q)
 139 −84 
;
;0 ÷∈ ∆

Chọn M  −
chứa d 2 và song song d
 47 47 
• GV :

 139 −84 
;
;0 ÷
qua M  −
Có thể viết phuơng trình của (P), (Q) ?
Khi đó : ∆ : 
 47 47 
• HS :
VTCP : ur = (3; −1;1)

∆
Luôn viết được phương trình của (P),(Q)
nên phương trình tham số :
+ (P) chứa d1 và song song d, suy ra (P)
139

chứa A ∈ d1 và VTPT của (P) :
x
=
−
+ 3t

r
r r
r r

47
n P = [ u,u1 ] với u,u1 lần lượt là VTCP của

84

d,d1
(t ∈ R)
y = − − t
47

+ (Q) chứa d 2 và song song d, suy ra (Q)
z = t
chứa B ∈ d 2 và VTPT của (Q) :

r
r r
r r

n Q = [ u,u2 ] với u,u 2 lần lượt là VTCP
của d,d 2
• GV :
Chia lớp thành 4 nhóm; nhóm 1,3 làm câu
a, nhóm 2,4 làm câu b
• HS : Hoạt động nhóm
• GV :
Gọi đại diện từng nhóm lên bảng trình
bày
• HS :
Một số em lên bảng trình bày, các em còn
lại theo dõi để nhận xét

• GV :
+ Gọi học sinh nhận xét
+ Giáo viên chỉnh sửa
+ Giáo viên gút vấn đề :
Cho (P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(Q) : A 2 x + B2y + C2z + D 2 = 0
Ta có :
r
(P) coù VTPT : n P = (A1;B1;C1)
r
(Q) coù VTPT : n Q = (A 2 ;B2 ;C2 )
Nếu ∆ = (P) ∩ (Q) thì :
r
r r
* VTCP cuûa ∆ : u ∆ = n P ,n Q 
* Các điểm thuộc ∆ thỏa mãn hệ :
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
.

A 2 x + B2 y + C2z + D2 = 0


Cố định một biến được hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn, giải hệ được tọa độ một
điểm thuộc ∆ (thông thường cho một biến
bằng 0, chẳng hạn lấy M(x;y;0)∈ ∆ ).
Hoạt động 4 (10 phút) Hướng dẫn học
sinh tìm lời giải câu c; cho học sinh hoạt
động nhóm; gọi học sinh trình bày; giáo
viên chỉnh sửa và chốt vấn đề .

• GV : Khi nào hình chiếu vuông góc
của một đường thẳng lên một mặt phẳng
là một đường thẳng ?
• HS : Khi đường thẳng không vuông
góc với đường thẳng
• GV : Nếu d ⊥ (P) thì hình chiếu
vuông góc của d lên (P) là gì ?
• HS : Là một điểm, điểm đó chính
giao điểm của d và (P)
• GV : Đối với câu c đường thẳng d có
vuông góc với (P) ? vì sao?
• HS : Không vì VTCP của d và VTPT
của (P) không cùng phương
• GV : Làm sao xác định hình chiếu
vuông góc ∆ của d trên (P)
• HS : ∆ = (P) ∩ (Q) với (Q) chứa d và
vuông góc với (P)
• GV : Làm sao viết phương trình mặt
phẳng (Q)
• HS : (Q) qua A ∈ d và có VTPT
r
r r
r r
n Q = [ n P ,ud ] với n P ,ud lần lượt là VTPT
của (P) và VTCP của d
• GV : Chia lớp thành 6 nhóm
• HS : Hoạt động nhóm
• GV : Gọi học sinh lên bảng trình bày
• HS : Một em lên bảng trình bày, các
em còn lại theo dõi để nhận xét

• GV :
+ Gọi học sinh nhận xét
+ Giáo viên chỉnh sửa
+ Giáo viên gút vấn đề :
* Cách xác định hình chiếu vuông góc
∆ của d trên (P)

r
c.) VTCP của d : ud = (1;4;2)
r
VTPT của (P): n P = (1;1;1)
r r
Ta thấy ud ,n P không cùng phương nên d không
vuông góc với (P)
∆ là hình chiếu vuông góc của d trên (P)
(Q) là mặt phẳng chứa ∆ và d
Suy ra (Q) chứa d và vuông góc với (P)
qua A(0;8;3)
d:
r
VTCP : ud = (1;4;2)
r
r r
VTPT của (Q) : n Q = [ n P ,ud ] = (−2; −1;3)
qua A(0;8;3)
(Q) : 
nên PTTQ :
r
VTPT
:

n
=
(2;1;
−
3)

2(x − 0) + 1(y − 8) − 3(z − 3) = 0
⇔ 2x + y − 3z + 1 = 0
∆ = (P) ∩ (Q) nên tọa độ các điểm thuộc ∆ thỏa
x + y + z − 7 = 0
mãn hệ : 
2x + y − 3z + 1 = 0
Chọn M ( 0;5;2 ) ∈ ∆
r
r r
VTCP của ∆ : u∆ = [ n P ;n ] = (−4;5; −1)
qua M ( 0;5;2 )
Khi đó : ∆ : 
r
VTCP : u = (4; −5;1)
 x = 4t

nên phương trình tham số :  y = 5 − 5t (t ∈ R)
z = 2 + t



i.) Nếu d ⊥ (P) thì trình hình chiếu
vuông góc của d trên (P) là một điểm,
đó là H = d ∩ (P)

ii.) Nếu d không vuông góc với (P) thì
hình chiếu vuông góc của d lên (P) là
đường thẳng ∆ , có hai cách xác định ∆
Cách 1 :
+ (Q) chứa d và vuông góc với (P)
+ ∆ = (P) ∩ (Q)
Cách 2 :
+ Xác định A = d ∩ (P)
+ Chọn M ∈ d, M không trùng A. Xác
định B = hcM /(P)
+ ∆ ≡ AB
* Đặc biệt:
x = x 0 + at

Cho d : y = y 0 + bt (t ∈ R)
z = z + ct
0

Khi đó :
x = x 0 + at

hc d /(Oxy) = d1 : y = y 0 + bt (t ∈ R)
z = 0

x = 0

hc d /(Oyz) = d 2 : y = y 0 + bt (t ∈ R)
z = z + ct
0


x = x 0 + at

hc d /(Oxz)=d 3 : y = 0
(t ∈ R)
z = z + ct
0

Hoạt động 5 (15 phút) Hướng dẫn học
sinh tìm lời giải câu d; cho học sinh hoạt
động nhóm; gọi học sinh trình bày; giáo
viên chỉnh sửa và chốt vấn đề .
• GV : Nếu ∆ là đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau
∆1 , ∆ 2 thì ∆ thỏa điều kiện gì ?
• HS : ∆ vuông góc và cắt đồng thời
cả ∆1 , ∆ 2

qua A ( −1;1;2 )
d.) : ∆1 : 
r
VTCP : u1 = (2;3;1)
qua B ( 2; −2;0 )
∆2 : 
r
VTCP : u 2 = (1;5; −2)

∆ ⊥ ∆1 
 nên :
∆ ⊥ ∆2 
r

r r
VTCP của ∆ : u ∆ = [ u1 ,u2 ] = (−11;5;7)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1
Do


• GV : Đã xác định yếu tố nào của ∆ ?
cần xác định thêm yếu tố nào ?
∆ ⊥ ∆1 
• HS : Do
 nên VTCP của ∆ :
∆ ⊥ ∆2 
r
r r
r r
u ∆ = [ u1 ,u 2 ] với u1 ,u2 lần lượt là VTCP
của ∆1 , ∆ 2
Cần xác định thêm một điểm thuộc ∆
• GV :
Từ giả thiết của bài toán có thể xác định
ngay 1 điểm thuộc ∆ ?
• HS : Không
• GV :
Làm sao xác định 1 điểm thuộc ∆ ?
• HS :
Cần xác định ∆ = (P) ∩ (Q) . Tọa độ các
điểm thuộc ∆ thỏa mãn phuơng trình của
(P) và (Q)
• GV :
(p), (Q) được xác định như thế nào ?

• HS :
(P) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1
(Q) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2
• GV :
Có thể viết phuơng trình của (P), (Q) ?
• HS :
Luôn viết được phương trình của (P),(Q)
+ (P) chứa A ∈ ∆1 và VTPT của (P) :
r
r r
r r
n P = [ u1 ,u∆ ] với u1 ,u∆ lần lượt là VTCP
của ∆1 , ∆
+ (Q) chứa B∈ ∆ 2 và VTPT của (Q) :
r
r r
r r
n Q = [ u2 ,u∆ ] với u2 ,u ∆ lần lượt là VTCP
của ∆ 2 , ∆
• GV : Chia lớp thành 6 nhóm
• HS : Hoạt động nhóm
• GV : Gọi học sinh lên bảng trình bày
• HS : Một em lên bảng trình bày, các
em còn lại theo dõi để nhận xét
• GV :
+ Gọi học sinh nhận xét

(Q) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2
⇒ ∆ = (P) ∩ (Q)
r

r r
VTPT của (P) : n P = [ u1 ,u∆ ] = (16; −25;43)

qua A(−1;1;2)
(P) : 
nên PTTQ:
r
VTPT : n P = (16; −25;43)
16(x + 1) − 25(x − 1) + 43(z − 2) = 0
⇔ 16x − 25y + 43z − 45 = 0
r
r r
VTPT của (Q) : n Q = [ u2 ,u∆ ] = (45;15;60)
qua B(2; −2;0)
(Q) : 
nên PTTQ:
r
VTPT : n = (3;1;4)
3(x − 2) + 1(y + 2) + 4(z − 0) = 0
⇔ 3x + y + 4z − 4 = 0
∆ = (P) ∩ (Q) nên tọa độ các điểm thuộc ∆ thỏa
16x − 25y + 43z − 45 = 0
mãn hệ : 
3x + y + 4z − 4 = 0
 280 19 
; ;0 ÷∈ ∆
Chọn M 
 89 89 

 280 19 

; ;0 ÷
qua M 
Khi đó : ∆ : 
 89 89 
VTCP : ur = ( −11;5;7)

∆
nên phương trình tham số :
280

x
=
− 11t

89

19

+ 5t
(t ∈ R)
y =
89

z = 7t




+ Giáo viên chỉnh sửa
+ Giáo viên gút vấn đề :

Cách xác định đường vuông góc chung ∆
của hai đường thẳng chéo nhau ∆1 , ∆ 2 :
Cách 1:
r
r r
+ Xác định VTCP của ∆ : u ∆ = [ u1 ,u 2 ]
r r
với u1 ,u2 lần lượt là VTCP của ∆1 , ∆ 2
+ (P) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆1
(Q) là mặt phẳng chứa ∆ và ∆ 2
+ ∆ = (P) ∩ (Q)
Cách 2:
 x = x 0 + at

+ ∆ :  y = y 0 + bt (t ∈ R)
z = z + ct
0

M(x 0 + at1;y 0 + bt1;z 0 + ct1 ) ∈ ∆
+
N(x 0 + at 2 ;y 0 + bt 2 ;z 0 + ct 2 ) ∈ ∆
uuuu
r uu
r
uuuu
r uu
r


∆

⊥
∆
MN
⊥
u
MN.u
=0



1
1
1
⇔  uuuu
r uu
r ⇔  uuuu
r uu
r
+
∆ ⊥ ∆ 2
MN ⊥ u 2
 MN.u 2 = 0
r r
với u1 ,u2 lần lượt là VTCP của ∆1 , ∆ 2
Từ đó suy ra M,N
+ ∆ ≡ MN
3. Củng cố và dặn dò: (5 phút) :
* Nắm vững phương pháp viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của
đường thẳng .
* Nắm vững phương pháp viết phương trình đường thẳng trong không gian khi biết

điều kiện cho trước .
* Bài tập về nhà :
Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong các
trường hợp sau :
a.) ∆ đi qua A(1; −1;2) và B(−3;0;1)
b.) ∆ đi qua A(1; −2;4) và song song với đường thẳng BC biết B(1;4; −3),C(2; −1;5)
c.) ∆ đi qua M(−1;2;3) và song song với Oz
d.) ∆ đi qua M(−2;1;4) và song song với đường thẳng d biết :
 x = −2t

i.) d :  y = 1 + 3t
z = 3 − 2t



x −1 y z − 2
= =
1
2
−3
e.) ∆ đi qua I(2; −1;3) và vuông góc với (P) : 2x − y + 2z + 1 = 0
f.) ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : x − y + 2z + 5 = 0 và (Q) : x − 2z + 3 = 0
ii.) d :

Bài 2: Viết phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
x −1 y +1 z − 2
=
=
a.) ∆ qua M(1; −2;0) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :
;

2
−1
3
x = 2 + t

d 2 :  y = 2t
z = 1 − 2t

b.) ∆ qua N(1;4; −2) và song song với hai mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + 3 = 0 ;
(Q) : 2x − y + z − 1 = 0
c.) ∆ qua A(1;0;2) ,song song với (P) : x + y − z − 1 = 0 và vuông góc với
x+2 y z−2
d:
=
=
2
−1
3
x−2 y z+2
= =
d.) ∆ nằm trong (P) : x − 2y + 2z − 1 = 0 , cắt và vuông góc với d :
−1
2
1
BÀI 3 : Viết phương trình của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
x = −2 + 2t
 x + y + 2z = 0

a.) ∆ qua M(1;1;1) và cắt hai đường thẳng ∆1 : y = −5t
; ∆2 

x − y + z + 1 = 0
z = 2 + t

x = −1 + 6t

b.) ∆ qua A(−1;2; −3) ,vuông góc với đường thẳng d1 : y = 2 − 2t cắt đường
z = 1 − 3t

2x − 3y − 5 = 0
thẳng: d 2 : 
5y + 2z − 1 = 0

c.) ∆ là hình chiếu vuông góc của d :
(P) : x − y + z − 7 = 0

x −1 y − 2 z − 3
=
=
lên mặt phẳng
1
2
3

x = −1 + 3t

d.) ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ∆1 : y = −3 − 2t ;
z = 2 − t

3x − 2y − 8 = 0
∆2 : 

5x + 2z − 12 = 0


C. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ :
Sau khi học song hai tiết ôn tập về phương trình đường thẳng trong không gian đa
số học sinh giải được, tự tin để giải loại toán về phương trình đường thẳng trong không
gian, từ đó tạo cho các em có niềm tin khi gặp loại toán này trong các kỳ thi.Tôi đã cho các
em học sinh kiểm tra chất lượng thử trong năm qua thấy đa số các em hiểu và giải được bài
tập một cách hiệu quả .
Đề kiểm tra 15 phút :
Đề 1: (12A1)
x = t

Cho A(2;0;1) , đường thẳng d : y = 1 + 2t , (P) : x + y + z − 3 = 0 .Viết phương trình đường
z = 2 − t

thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
a.) ∆ qua A và song song với d (3đ)
b.) ∆ qua A và vuông góc (P) (4đ)
c.) ∆ qua A , nằm trong (P) và vuông góc với d (3đ)
Đề 2: (12A4)
x y −1 z − 2
=
=
, (P) : x + y + z − 6 = 0 .Viết phương trình
1
2
−1
đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :
Cho A(1;0; −2) , đường thẳng d :

a.) ∆ qua A và song song với d (3đ)
b.) ∆ qua A và vuông góc (P) (4đ)
c.) ∆ nằm trong (P) cắt và vuông góc với d (3đ)
Kết quả:
Điểm

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

12A1 (Ss 49 h/s)

21

14

7

0

12A4 (Ss 54 h/s)

34

18

2

0

D.

KẾT LUẬN :


Công việc hướng dẫn và nêu ra phương pháp giải toán cho các em học sinh lớp 12,
ôn tập để chuẩn bị các kỳ thi sắp đến là vấn đề rất và rất cần thiết do đó trong một tiết ôn
tập ta phải biết chuẩn bị chọn các kiến thức trọng tâm, các dạng bài toán cơ bản đề ra
phương pháp giải dễ hiểu, đơn giản dể vận dụng nó để từ đó kích thích sự ham học tập của
các em.
Trong quá trình soạn bài giảng ta phải vạch rõ công việc của người thầy và trò,
hướng dẫn tổ chức các em tìm phương hướng giải, dự kiến câu hỏi, học sinh trả lời để tiết
kiệm được thời gian đồng thời giải quyết được nhiều kiến thức ôn tập.
Ngoài ra chúng ta phải biết quan tâm, tận tụy dắt và giúp đỡ các em ôn tập tạo cho
các em có một niềm tin và tin tưởng vào năng lực của mình trong các kỳ thi. Kết quả của
các em có khả quan hay không là do sự thể hiện nhiệt huyết cao của người thầy đối với
học sinh.
Trên đây là kinh nghiệm của bản thân được tích luỹ qua thực tế giảng dạy. Tuy
nhiên cũng là kinh nghiệm cá nhân, rất mong sự đóng góp của quí đồng nghiệp. Xin chân
thành cảm ơn.

Tân Sơn, tháng 5 năm 2010
Nguời viết

Nguyễn Thi