GIỚI hạn dãy số TRẦN CÔNG DIÊU

1

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

TRẦN CÔNG DIÊU
ĐỊA CHỈ LỚP HỌC: 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM

TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM

GIỚI HẠN DÃY SỐ
TPHCM 19 – 10 - 2016
ĐĂNG KÍ HỌC 01237.655.922

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


2

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
0. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân:
 Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N * được gọi là dãy số vô hạn ( gọi
tắt là dãy số ) nếu: u là ánh xạ từ N * vào R : n  u  n ( ứng với mỗi n  N* thì có
một giá trị u  n  R ).
Đặt u  n  un và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số  u n .



 u n

 u n

là cấp số cộng khi và chỉ khi un1  un  d với n  N* , d là hằng số.
là cấp số nhân khi và chỉ khi un1  un .q với n  N* , q là hằng số.

1.Giới hạn hữu hạn.
lim un  0  |un | có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

x 

lim vn  a  lim (vn  a)  0

x

x

2.Giới hạn ra vô tận.
lim un    |un | có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

x 

lim un    lim ( un )  

x

x

3.Các giới hạn đặc biệt.
1
0

n
1
lim
0
x  n
lim

x 

Nếu |q|<1 thì lim qn  0
n

|q|>1 thì lim qn  
n

lim C  C(C  const)

n

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


3

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

lim

n

n  



lim nk   k  Z

n



4.Các định lý về giới hạn hữu hạn.
a/ Định lý 1:
Cho lim un  a , lim vn  b lúc này ta có:
x 

x 

lim  un  vn   a  b

x 

lim  un  vn   a  b

x 

lim  un vn   ab

x 

un a


x  v
b
n
lim
lim

x 

un  a  un  n  N * 

b/ Định lý 2:
3 dãy số un ,vn ;wn thỏa mãn un  vn lim un  lim  vn  a  lim wn  a

x

x

x

c/ Định lý 3:
Mọi dãy tăng, bị chặn trên đề có giới hạn.
Mọi dãy giảm, bị chặn dưới đều có giới hạn.
5. Định lý về giới hạn tiên tới vô cùng.
a/ Nếu lim un  a, và lim vn   thì
x 

x 

lim un

x 

0.

lim vn

x 





b/ Nếu lim un  a, lim vn  0 và vn  0 n  N* thì
x 

x 

lim un

x 

lim vn

 

x 

c/ Nếu lim un   , và lim vn  a  0 thì lim  un .vn   

x 

x 

x 

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


4

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

6.Cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân  un  có công bội thỏa |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn:
S  u1  u2  ....  un 

u1
1 q

7. Số e: người ta chứng minh dược giới hạn sau đây tồn tại và kết quả của nó người ta
kí hiệu là e:
n


1
lim  1    e  2 , 718
x 
n



B.BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Câu 1: Cho dãy số  un  với  un  =

1
1
1
1
, chọn M 
để
thì phải từ số hạng thứ

2n
100
2n 100

bao nhiêu trở đi?
A.Thứ 51

B.Thứ 49

C.Thứ 48

D.Thứ 50

Chọn A
Từ

1

1

 2n  100  n  50
2n 100

Câu 2: Cho dãy số  un  với un =

1
1
1
1
.Chọn M 
để
thì phải từ số

2n  1
1000
2n  1 1000

hạng thứ bao nhiêu trở đi ?
A.Thứ 498

B.Thứ 499

C.Thứ 500

D.Thứ 501

Chọn C
Từ

1
1

 2n  2  1000  n  499
2n  1 1000

Câu 3: Cho dãy số (un ) với un 

1
2

n

, chọn M=

1
2

10

để

1
2

n



1
210

thì phải từ số hạng thứ bao

nhiêu trở đi?
LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


5

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

A.Thứ 210 -1
1
210

B.Thứ 210

C. Thứ 210 +1

D.Thứ

1

Chọn C
Từ

1
2

n



1

 2n  210  n  10

10

2

Câu 4: Cho dãy số (un ) với un  2n , cho M=

1
10

2

để 2n 

1
thì phải từ số hạng thứ mấy trở
10

đi?
A.Không có số hạng nào thỏa mãn
B.Thứ

C.Thứ

1
2 1
10

1
210

1

D.Thứ 210  1
Chọn A
Vì 2n 

1
2

10

nên với mọi số từ nhiên dương n thì không có n để 2n 

1
210

Câu 5: Chọn mệnh đề đúng:
n

n

A. lim10 # 0

4
B. lim    0
3

n

n

2
3
C. lim    lim    0
3
4

D.

n

3
lim    0
2

Chọn C
Áp dụng giới hạn lim qn  0 ;|q| 1
x 

Câu 6: Chọn kết quả đúng: lim
A.1

B.0

1 n
n

C.2

D. 

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


6

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

Chọn B
Vì lim

1 n
n

 lim

1
n

 lim n  0

Câu 7: Chọn kết quả đúng: lim
A.1

1 n
n

B.0

D. 

C.2

Chọn B
Vì lim

1 n
1
1
 lim  lim
0
n
n
n

Câu 8: Chọn kết quả đúng: lim

A.0

B.

3n  2 n
4n

5
4

C. 

D.

3
4

Chọn A
Vì lim

3n  2 n
4n

n

n

3
1
 lim    lim    0
4
2

Câu 9: Chọn kết quả đúng: lim

n 2  2 n  3
n2

B. 

A.1

C.-1

D.0

Chọn C
lim

n 2  2 n  3
n

2

 3 
2
 lim( 1)  lim  lim  2   1
n
n 

1
n  2n
Câu 10: Chọn kết quả đúng: lim 3
3n



A. 

1
9

B.

2
3

C. 

D.kết quả khác

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


7

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

Chọn B
1
n  2n
1 2 2
lim 3
 lim
 

3n
9 n 3 3


Câu 11: Chọn kết quả đúng: lim

A.-3

B.

1  3n2
4  n2

1
4

C.-

1
4

D.3

Chọn D
1
3
1  3n
n2
lim


lim
3
4
4  n2
1
n2
2

Câu 12: Chọn kết quả đúng: lim



n  n1



A.Không có giới hạn khi n  

B.-1

C.0

D.Một kết quả khác

Chọn C
lim





n  n  1  lim

nn1
n  n1

 lim

1
n  n1

0

Câu 13: Chọn mệnh đề đúng:
A. limsin

C. limsin


n


n

0

B. limsin

0


n

 1

D. Không có giới hạn khi n  

Chọn C
lim


n

 0 , suy ra limsin





 sin  lim   sin 0  0
n
n


Câu 14: Chọn mệnh đề đúng
LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


8

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

sin

A. lim



n

n không có giới hạn khi n  

sin

C. lim

sin

n

B. lim

n


n 1


n 0

D.cả 3 kết quả đều sai

Chọn C
Câu 15: Chọn mệnh đề đúng:
 1

A. lim 

3

n



 7  n

1  1

4n  12

1

B. lim    sin   
3
n
 

 7  n

C. lim    3n   0

 3 




D.tất cả đều sai

Chọn B
n
 7  n

7
n


lim    3  lim    lim 3n          
 3 

3

Câu 16: Chọn đáp án đúng: lim
A.0

3n  5
n2

C. 

B.3

D. 3

Chọn A
lim

3n  5
n

2

3
5
 lim  lim 2  0  0
n
n

Câu 17: Chọn kết quả đúng:
A. lim
lim

2n  7
 
n

B. lim

2
 2
n

C. lim

2 n2
 2
n1

D.

n7
2

2n
2

Chọn D
LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


9

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

lim

n7
2n

1
7
1

2
 lim lim  lim


2
2n
2
2

Câu 18: Chọn mệnh đề đúng:
A. limcos

2
0
n

B. limcos

C. limcos

2
 1
n

D. limcos

2
1
n
2

không có giới hạn
n

khi n  
Chọn B
limcos


2
2
 cos  lim
n
n



  cos 0  1


Câu 19: Chọn mệnh đề đúng?
cos

2
A. limn cos
 
n
2

B. lim

n

2
n  
2

cos

C. lim



n 1
n 2 2
2

D.cả 3

đều sai
Chọn A
limn2 .cos

2
2
 limn2 .limcos
 
n
n

Câu 20: Chọn kết quả đúng: lim

A.

1
2

7  2n
4n  5

B. 

C. không có giới hạn khi n  

D.0

Chọn C
7
2
7  2n
2
1
n
lim
 lim


không tồn tại
5
4n  5
4

2
4
n

Câu 21:Kết quả nào sau đây đúng?
LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


10

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

A.Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có công bội q thì tổng S 

u
1 q

B. Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  4 ;q  thì S 

 12

4
3

4
1

4
3

C. Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  15 ;S  60 thì công bội q 
D. Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  4 ;q  

3
4

5
thì S  169
4

Chọn C
3
 1 nên CSN lùi vô hạn có:
4

Vì q 
S

u1
 60
1 q

Câu 22: Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  50 ;S  100 .Năm số hạng đầu tiền của cấp số
cộng này là?
A.50; 25; 12,5; 6,5; 3,25

B.50; 25,5; 12,5; 6,25; 3,125

C.50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

D.50; 25; 12,25; 6,125;

3,0625
Chọn C
Áp dụng công thức S 

u1
1
q
1 q
2

Suy ra 5 số hạng đầu tiên của dãy số: 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125
Câu 23: Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  1;q  x,|x| 1 .Tìm tổng S và 3 số hạng đầu
của cấp số này:
A. S 

1
và 1; x; x2
1 x

B. S 

1
và 1; x; x2
1 x

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU

11

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

C. S 

1
và 1; x; x2
1 x

D. S 

1
và 1; x; x2
1 x

Chọn C
S

u1
1
, suy ra 3 số hạng đầu là: 1;( 1)x;( x)x  1; x; x2

1 q 1 x

Câu 24: : Cấp số nhân lùi vô hạn  un  có u1  x;q  x2 ,|x| 1 . Tìm tổng S và 3 số hạng
đầu của cấp số này:
A. S 
C. S 

x

;  x; x3 ; x5

B. S 

x
;  x; x 3 ; x 5
1 x

D. S 

1 x

2

x
1  x2
x
1  x2

; x; x 3 ; x 4

; x; x 3 ; x 6

Chọn D
S

u1
x


, suy ra 3 số hạng đầu là x; x3 ; x6
1  q 1  x2

Câu 25: Kết quả nào sau đây là đúng?
A. lim

5n  1
 5
1  5n

B. lim

5n  1
 1
1  5n

C. lim 2  n2  2

D.

lim n2  2  2

Chọn B
1
5
5n  1
n  1
lim
 lim

1
1  5n
5
n

Câu 26: Kết quả nào sau đây là sai?
A. lim

3n
1

3(n  1)
3

B. lim

1
1

( 2n  1)( 2n  1) 4

C. lim

1
0
( 2n  1)(1  2n  1)

D. lim

3 2 n 1

52 n 2

0

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


12

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

Chọn B
1
2
1
1
lim
 lim 2
 lim n
0
1
( 2n  1)( 2n  1)
4n  1
4 2
n

Câu 27: Kết quả nào sau đây sai?
n1

A. lim

C. lim

n1



1

n1

B. lim



n2  n  n 

1
2

D. lim

n 1



 1



n2  n  n  

1
2

Chọn B
n1
1
1
n  lim
n 1
lim
 lim
1
1
n1
1
1
n
n
n1

Câu 28: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 5 ; 5 ; 1;

A. S 

5 5
1 5

B. S 

5 5

C. S 

5 1

1
5

............

1 5

D. S 

5 5

5 5
5 1

Chọn B
u1  5
u
5 5

1 S  1 

1 q
5 1

q 
5


Câu 29: Tm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 3; 0, 3; 0, 03; 0, 003.....
A. S  2

8
11

B. S 

30
11

C. S 

11
30

D. S  2

9
11

Chọn A
u
8
u1  3
 S  1  2


1 q
11
q  0 ,1
LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU


13

LỚP TOÁN THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC F1 QUẬN 8 TPHCM – CALL 01237.655.922

Câu 30: Chọn kết quả đúng:
A.Dãy số un 

sin 2n
sin 2n 1
có

5n
5n
5n

B. Dãy số (un ) 

1
sin 2n 1
sin 2n
có



5n  1 5n  1 5n
5n  1

C. Dãy số un 

cos 3n
là dãy số giảm và bị chặn
5n  1

D. Dãy số un 

cos 3n
là dãy số tăng và bị chặn
5n  1

Chọn C
A sai vì

sin 2n 1

5n
5n

B sai vì 

1 sin 2n
1


5n 5n  1 5n  1

C đúng vì 

1
cos 3n
1


5n  1 5n  1 5n  1

D sai

LỚP TOÁN 9, 10, 11, 12 – LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 – BIÊN SOẠN TÁC GIẢ TRẦN CÔNG DIÊU