đại số tuyến tính có đap an

Chương 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài tập 
1.1 Đưa cácma trận sauvề dang bậc
 thang:
1 −3 2
2 5 6
A =  3 −4 1 
B= 1 2 5 
2 −5 3
1 3 2




1 2 −3 0
2 −2 2
1
6 0 −1 
D =  2 4 −2 2  E =  −3
3 6 −4 3
1 −7 10
2
Bài tập 
1.2 Đưa các ma trậnsau về dang

2 2 −1 6 4
2
1 10 13  B =  3
A= 4 4

6 6
0 20 19
4



1
3 −1 2
1
 0 11 −5 3 



E= 2
D=
2 −5
3 1 
3
4
1
1 5
Bài tập 
1.3 Xác định
 hạng của
3 5 7
A= 1 2 3 
1 3 5


1 2 3 4

D= 2 4 6 8 
3 6 9 12


1 −1
5 −1
 21
1 −2
3 

G=
 3 −1
8
1 
1
3 −9
7


−4 1 −6
C =  1 2 −5 
6 3 −4

bậc thang rút gọn:
3 −2
5 1
−1
2
0 4 
−5

6 −5 7

2 −1
2 1
4
1 −2 3 
6
2 −6 5

ma trận
 sau: 
1 1 3

B= 2 1 4 
1 2 5


4 3 2 2
E= 0 2 1 1 
0 0 3 3


1
3 −2 −1
 2
5 −2
1 

H=
 1

1
6 13 
−2 −6
8 10

Bài tập 1.4 Xác định sự tồn tại nghiệm của mỗi hệ sau:
1





1 −2 3
1
1 4 −1
C= 1
2
5 9 −2

0 1
3 −2
 0 4 −1
3
F =
 0 0
1
1
0 5 −3
4



1 1 −3
C =  −1 0
2 
−3 5
0


1 2 3 6
F = 2 3 1 6 
3 1 2 6


2
3 
8






Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2

 x1
2x1
a.


6x
 1
x1



3x1
b.



5x1

x1



c.
−x1







x1
d.
2x1




2x1

+ 2x2 −
+ 4x2 −
+ 13x2 −
+ x2 +
+ 2x2 +
x2 +
+ 4x2 +
− 6x2
x2 −
+ 6x2 +
− x2 +
2x2 −
+ 2x2 −
+ 5x2 −
+ 4x2 −

3x3
= −5
6x3 + x4 = −8
17x3 + 4x4 = −21
x3 + x4 + x5 = 7
x3 + x4 − 3x5 = −2
2x3 + 2x4 + 6x5 = 23
3x3 + 3x4 − x5 = 12
=5

4x3 + x4 = 0
x3 + 5x4 = 3
5x3 + 4x4 = 0
2x3
+ 2x5 = 2
3x3 + x4 + 4x5 = 1
7x3 + 3x4 + 10x5 = 5
5x3 + 3x4 + 8x5 = 3

Bài tập 1.5 Biện luận các hệ phương trình cho bởi ma trận đầy đủ sau đây theo tham
số a, b, c, d.




2 4 −3 6

7 2 
a. 0 b
0 0
a a


1 −1 4 −2 5
 0
1 2
3 4 

b. 
 0

0 d
5 7 
0
0 0 cd c


Bài tập 1.6 Viết ra nghiệm của hệ có ma trận đầy đủ tương đương hàng với mỗi ma
trận sau: 



1 −2 0 0
7 −3
1 0 −5
0 −8 3
 0
 0 1
1 0 0 −3
4 −1
0 6 
1 


a. A = 
b. B = 
 0


0 0 1
5 −4

0 0
0
0
1 0 
0
0 0 0
0
0 0
0
0
0 0
0




1 0 −2
0
0
0
1 0 0
8 −3
 0 1
 0 1 0
6 −3 −2
7 
4 −6 




c. C = 
d.
D
=
 0 0
 0 0 1 −7
0
1
0 −5 
5 
0 0
0
0
1
0 0 0
0
0
0
Bài tập
 1.7
 2x1
3x1
a.

9x1

2x1




4x1
b.
4x1



2x1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương
 pháp Gauss:
+ 7x2 + 3x3 + x4 = 6
 x1 + x2 −
+ 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4
2x1 + 3x2 +
e.

+ 4x2 + x3 + 7x4 = 14
5x1 + 7x2 +

+ 5x2 + x3 + 3x4 = 2
x1 + 2x2 +



+ 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4
2x1 + x2 +
f.
+ 14x2 + x3 + 7x4 = 4
3x1 + 2x2 +




− 3x2 + 3x3 + 3x4 = 7
4x1 ‘ + 3x2 +

2x3
3x3
4x3
3x3
2x3
x3
2x3

+
−
+
+
+
+
+

3x4
x4
x4
4x4
3x4
2x4
x4

=

=
=
=
=
=
=

4
3
5
5
1
1
−5


3

2x1



3x1
c.
5x1



2x1


−x1



2x1
d.
5x1



4x1

Bài tập 1.8

 ax1
x1
a.

x1

+ x2
− 2x2
+ x2
− x2

− x3
+ 2x3
− x3
+ x3

+ x4
− 3x4
+ 2x4
− 3x4

= 0
= 2
= −2
= 4

+ x2
+ x2
+ 3x2
+ 3x2

+ x3
+ 2x3
+ 3x3
+ 2x3

+ x4
+ 3x4
+ 5x4
+ x4

= 4
= 1
= 2
= −5


x1




 3x1
x1
g.


2x


 1
 x1
2x1



x1
h.
x1



2x1

+
+

+
+
+
+
+
+
+

2x2
2x2
x2
3x2
x2
x2
3x2
x2
3x2

Biện luận theo a, b, c, d số nghiệm của hệ 
phương trình
x + 2y


+ x2 + x3 + x4 = 1

2x − y
+ ax2 + x3 + x4 = a
b.
3x + y



+ x2 + ax3 + x4 = b

x − 3y

Bài tập 1.9 Xác định m để hệ phương trình sau có

x1 − 2x2 + x3 +



2x1 + x2 − x3 +
x1 − x2 + 2x3 −



4x1 − 2x2 + 2x3

+ 3x3
+ x3
+ x3
− x3
+ x3
+ x3
+ 5x3
− 3x3
+
+
−
+

2z
z
z
5z

= 14
= 10
= 6
= 5
= 3
=
2
=
5
= −7
= 14

=a
=b
=c
=d

nghiệm:

x4 = 1
2x4 = 0
3x4 = −2
=m

Bài tập 1.10 Giải các hệ thuần nhất sau:


3x1



 x1 + 2x2 − 3x3 = 0
2x1
2x1 + 5x2 − 2x3 = 0
a.
b.
x1



3x1 − x2 − 4x3 = 0

x1


x1 + 2x2 − x3 = 0


 x1

2x1 + 5x2 + 2x3 = 0
3x1
d.
c.

x1 + 4x2 + 7x3 = 0



4x1

x1 + 3x2 + 3x3 = 0

− 2x2 − 5x3
− 3x2 + x3
+ 2x2
− x2 − 4x3

+ x4
+ 5x4
− 4x4
+ 9x4

=
=
=
=

0
0
0
0

− 2x2 + 3x3 − 2x4 = 0
− 7x2 − 2x3 + 4x4 = 0

+ 3x2 + 5x3 + 2x4 = 0


4

Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


Chương 2

MA TRẬN
Bài tập 2.1 Thực hiện các phép tính:
a. A + B với A =

1 2 3
4 5 6

1 −2
3
4
5 −6

b. 3A và −5A với A =
c. 2A − 3B với A =

1 −1 2
0 3 −5

và B =

1 −2
3
4
5 −6

3 0 2
−7 1 8

và B =

d. 5A − 2B; 2A + 3B; A(BC); (AB)C; AT ; B T ; AT B T ; A2 ; AC biết
A=

1
2
3 −4

e. AAT và AT A biết A =

;

1 2
3 6

5 0
−6 7

;

C=

1 −3
4
2
6 −5

1
2 0
3 −1 4

Bài tập 2.2 Tìm x, y, z, w biết: 3
Bài tập 2.3 Cho A =

B=

x y
z w

=

x 6
−1 2w

+

4
x+y
z+w
3

tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0

Bài tập 2.4 Cho các ma trận






1 −3 0
1 1 −2
2 0 −2
A= 4
5 1 ,B =  3 0
4  , C =  4 7 −5 
3
8 0
−1 3
2
1 0 −1

Gọi D = [dij ] = 2AB +C 2 không tính toàn bộ ma trận D mà hãy tính cụ thể mỗi phần tử:
a. d11
b. d21
c. d32
5


Chương 2. MA TRẬN

6

Bài tập 2.5 Cho A =

1 5
−1 3

;B =

−1 3 4
3 5 2






1
4
4 3 2 1
3  ; D =  −1 0 1 2 
;C =  1
4 −3
2 1 0 3

a. Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:
AB; BA; AC; DC; CD; C T D
b. Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = B T AT .
c. Không thực hiện phép tính, hãy tìm D T C
Bài tập 2.6 








3
3 −5
3
−6
15
Cho A =  0 −1 −1  và x =  −1  , y =  0  , z =  3 
−2 −4 −4
−4
4
9

a. Tính các tích Ax, Ay, Az

b. Dùng kết quả câu a) để tính tích A

x y z

Bài tập 2.7 Tìm ma trận nghịch đảo của mỗi ma trận sau:





1 3 −2
A =  2 8 −3 ; B = 
1 7
1



1
1 1 1 1
 0
 0 1 1 1 


D=
 0 0 1 1 ; E =  1
1
0 0 0 1

2
5
0
2
1
3
4




1 −1

1 −2 0
2 −3 ; C =  2 −3 1 
2
1
1
1 5


2
1 0
1
0


3
2 0
−1
1 
; F =
 1
1 3
1 −2 
2 −1 2
−2
4

Bài tập 2.8 Tìm ma trận nghịch đảo của A =

a b
c d

3 5
1 1
; B=
.
2 3
2 3


−1 −5 −7
5
6  là ma trận khả nghịch.
Bài tập 2.9 Cho A =  2
1
3
4
−1
Không tìm toàn bộ ma trận A chỉ tìm
Ứng dụng: A =

a. c3 (A−1 )
b. đồng thời hai cột, c1 (A−1 ) và c2 (A−1 )
  
2
x1
−1



c. h2 (A ), từ đó suy ra giá trị x2 của hệ A x2 = 1 

1
x3



0
0 

4 
3


7
Bài tập 2.10 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma
trận nghịch đảo tương ứng của nó:




1 −3
2
1 0 p
a. 
3 −7 m + 5  ; b.A =  1 1 0 
−m 2m
1
2 1 1




2 −1
1
1
1 . Hãy tìm B −1 , từ đó giải hệ phương
Bài tập 2.11 Cho ma trận B =  0
1 −1 −1






2
2
4
trình Bx = d với i)d =  3  , ii)d = 3  3  , iii)d =  −2 
−1
−1
3

Bài tập 2.12 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch


x1 + x2 + x3 + x4


 x1 + x2 − 3x3 = −2

x1 + x2 − x3 − x4
x1 + 2x2 − 3x3 = 6

a.
b.
x


1 − x2

2x1 + 4x2 − 5x3 = −6

x3 − x4

x1 + x2 + x3 + x4 = −1



x1 + x2 − x3 − x4 = 1
c.
x

1 − x2 + x3 − x4 = −1


x1 − x2 − x3 + x4 = 1

đảo:

= 1
= 1
= −1
= −1

Bài tập 2.13 Giải các phương trình ma trận sau đây:
−1 2
3 −2
3 5
1 2
=
b. X.
.X =
a.
−5 6
5 −4
5 9
3 4




1 2 −3
1 −3 0
14 16
5 6
3 −1
d.  3 2 −4  .X =  10 2 7 
=
.X.
c.
9 10
7 8
5 −2

2 −1 0
10 7 8

 

13 −8 −12
1 2 3



e. X. 12 −7 −12 = 4 5 6 
6 −4 −5
7 8 9


8

Chương 2. MA TRẬN


Chương 3

ĐỊNH THỨC
Bài tập 3.1 Không khai triển, hãy sử dụng tính chất để tính định thức của mỗi ma trận
sau:







1 3 0
5 7
1
2
1
−5
0
1 5
1
 0 3 1
2 3 



 2 −1 1 −1 
1 

; C =  2 4 0



0
0
4
1
0
;
B
=

A=



 3 0 1
6
0
1 0
1 
 0 0 0 −1 8 
1 2 1 −5
3 −2 4 −2
0 0 0
0 3


1
3 4 −5 7
 3
3 1
2 0 


0 0 
D=

 2 −1 4
 5
3 0
0 0 

−2
0 0
0 0

Bài tập 3.2 Tính các định thức sau bằng cách khai triển theo hàng hay theo cột được
chọn một cách hợp lí nhất:
6
3
2 4
1 −2
5 2
9
0 −4 1
8
1 6
2 3 2
0
0
3 0
6 7
0 2 ; D3 =
; D4 = 8 −5
D1 = 3 0 1 ; D2 = 4
5
0
4 4
3
0
0 0
3 −2 5

9 6 3
2 −6 −7 5
4
2
3 2
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof (A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: AC T = (detA)I






3 2 1
2 3 4
2 −1 −2
0
3 
a. A =  4 5 2 ;
b. A =  5 6 7 ;
c.A =  1
2 1 4
8 9 1
3 −1
0
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng:
′

′

′

a11 + a11 a12 + a12 · · · a1n + a1n
a21
a22
···
a2n
..
..
..
..
.
.
.
.
an1
an2
···
ann

′

=

′

′

a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n
a21 a22 · · · a2n
.. + ..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
an1 an2 · · · ann
9

0
0
1
0
0


Chương 3. ĐỊNH THỨC

10
Bài tập 3.5 Tính định thức của mỗi ma trận sau:



a.A = 




d.D = 

1
2
3
4

2
3
4
1
a
b
a+b




4
1 

;
2 
3

b
a+b
a+b
a 
a
b

1
 2
b.B = 
 4
 −5
a
e.E =  a + x
a+y

3
4
1
2

Bài tập 3.6 Tính các định thức sau đây:
a.

1−λ
3

2
2
1−λ
3
3
2
1−λ

b.


−2
0
2
−5
3
2 

1
1
0 
0 −4 −4 
b
c
b + x c + x ;
b+y c+y





c.C = 




f.F = 


2 −3
1 0
−5
8
2 1 

1 −4 −2 0 
2 −1
4 0 
a + b ab a2 + b2
b + c bc b2 + c2 
c + a ca c2 + a2

2−λ
0
0
2−λ
5
−1
; c. −2 3 − λ −1
2
−1 − λ

5
3
−2 2 − λ
2
2
2−λ

Bài tập 3.7 Tìm t để ma trận sau khả nghịch bằng cách tính định thức






t−2
4
3
t−1
3
−3
t + 3 −1
1
t + 1 −2 ; b.  −3 t + 5 −3 ; c.  7
t−5
1 
a.  1
0
0
t−4
−6

6
t−4
6
−6 t + 2

Bài tập 3.8 Chứng minh rằng:

a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3

a.

a1 b1 a1 x + b1 y + c1
a2 b2 a2 x + b2 y + c2
a3 b3 a3 x + b3 y + c3

=

b.

a1 + b1 x a1 − b1 x c1
a2 + b2 x a2 − b2 x c2
a3 + b3 x a3 − b3 x c3

a1 b1 c1
= −2x a2 b2 c2
a3 b3 c3

1 a bc

c. 1 b ca
1 c ab

= (b−a)(c−a)(c−b)

Bài tập 3.9 Tìm các ma trận nghịch đảo bằng 2 cách ( phương pháp lập ma trận khối
1
(A|In ) và phương pháp ma trận phụ hợp A−1 =
(Cof (A))T ):
detA








1 1
1
1
1 1
1
1
2
2 3
1 2 3


 1 1 −1 −1 

; D =  1 1 −1 −1 
A =  1 −1 0 ; B =  2 3 4 ; C = 
 1 −1 1 −1 
 1 −1 0
0 
2 −1 0
1 5 7
1 −1 −1 1
0 0
1 −1

Bài tập
 3.10
2x1



x1
a.
x1



2x1

2x1



5x1

c.
3x1



2x1

Không giải hệ phương trình, tìm nhanh
x2 bằng hai cách
5x1 − x2 +
+ x2 + x3 = 2



3x1 − 2x2 +
+ 3x2 + x3 = 5
b.
3x
+ x2 + 5x3 = −7

1 + 2x2 +


2x1 − x2 +
+ 3x2 − 3x3 = 14

− x2 + x3 − 3x4 = 4
−x1 + x2 +




− x2 + x3 − 2x4 = 2
2x1 + 2x2 +
d.
+ 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2
3x1 + x2 +



− 3x2 + 3x3 − 7x4 = 8
4x1 + 2x2 +

x3
2x3
2x3
x3

−
−
+
−

2x4
3x4
5x4
3x4

= 2
= 2
= −6

= 4

x3
x3
2x3
3x3

+ x4
+ 3x4
+ 2x4
+ x4

= 4
= 1
= 1
= −5


11
Bài tập
 3.11 Giải các hệ phương trình sau bằng
 phương pháp Cramer:
2x
−
x
−
3x
=
5
 1

 2x1 + 3x2 − 2x3 =
2
3
a.
3x1 − 2x2 + 2x3 = 5
b.
x1 − 2x2 + 3x3 =


 4x1 − 3x2 − x3 = 16
 4x1 − x2 + x3 =
x
+
2x
+
3x
=
3
 1
 x1 + 2x2 + 2x3 =
2
3
2x1 + 3x2 + 8x3 = 4
3x1 − 2x2 − x3 =
c.
d.


3x1 + 2x2 + 10x3 = 1
3x1 − x2 + 9x3 =

5
2
1
2
5
−4

Bài tập
hệ phương trình tuyến tính sau:
 3.12 Giải và biện luận theo a mỗi 
1
x1
+
x2
+ (a + 1)x3 = a2 + 3a
 x1 + 2x2 + ax3 =

x1
+ (a + 1)x2 +
x3
= a3 + 3a2
a. 2x1 + ax2 + 3x3 = −1 c.


(a + 1)x1+
x2
+
x3
= a4 + 3a3

1
 x1 + 2x2 − 2x3 =
+
2x2
+
2x3
=0
x1
+ x2 + (1 − a)x3 = a + 2
 x1

2x3
=0
b. −2x1 + (a − 2)x2 + (a − 5)x3 = 2
d. (1 + a)x1 − x2 +


ax1 +
x2
+ (a + 1)x3 = −2
2x1
− ax2 +
3x3
=a+2
Bài tập 3.13 Cho hệ phương trình:

2x1 + 3x2




x1 − x2
x1 + 2x2



4x1 + x2

− x3
+ x3
+ λx3
+ x3

=5
=2
=8
=9

a. Giải hệ phương trình trên khi λ = 1.

b. Tìm λ để hệ trên có nghiệm.
Bài tập 3.14 Cho hệ phương trình tuyến

ax1 + 3x2 +



x1 + x2 +
ax1 + x2 +




x1 + x2 +

tính theo tham số a
11x3
5x3
3x3
3x3

+
+
+
+

5x4
2x4
2x4
4x4

=2
=1
= −3
= −3

1. Giải hệ phương trình khi a=2.

2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.15 Cho hệ phương trình:

 x1 + x2 − 2x3 = 1

2x1 + 3x2 + mx3 = 2

4x1 + 5x2 − x3 = m + 1
a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

b. Tìm m để hệ có vô nghiệm.


Chương 3. ĐỊNH THỨC

12
Bài tập 3.16 Cho hệ phương trình tuyến tính theo tham số

ax1
− x2 + x3 +
2x4



x1
+ x2
−
2x4
(a + 1)x1 + x2 + 2x3 −
3x4



x1
+ x2 − x3 + (a − 1)x4

1. Giải hệ phương trình trên khi a = 3.

2. Tìm a để hệ trên có nghiệm duy nhất.
Bài tập 3.17 Cho hệ phương trình:

 x1 + x2 − x3 = 1
2x1 + 3x2 + kx3 = 3

x1 + kx2 + 3x3 = 2
Xác định giá trị của k sao cho:

a. Hệ có nghiệm duy nhất.
b. Hệ không có nghiệm.
c. Hệ có vô số nghiệm.
Bài tập 3.18 Cho hệ phương trình:

 kx1 + x2 + x3 = 1
x1 + kx2 + x3 = 1

x1 + x2 + kx3 = 1
Xác định giá trị của k sao cho:

a. Hệ có nghiệm duy nhất.
b. Hệ không có nghiệm.
c. Hệ có vô số nghiệm.
Bài tập 3.19 Cho phương trình

1
 2
3

ma trận sau:



2
λ
−1
7 2λ + 1  X =  2 
9
4λ
1

a. Giải hệ phương trình với λ = 0

b. Tìm λ để phương trình trên vô số nghiệm

a:
= 10
= a−5
= a+5
= −2


Chương 4

KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 4.1 Xác định các tập cùng với phép toán đã chỉ ra sau đây có phải là không
gian vectơ không?
a. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:

(x1 , x2 ) +(y1 , y2 ) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 )
α(x1 , x2 )
= (αx1 , αx2 )
b. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:
(x1 , x2 ) +(y1 , y2 ) = (3x1 + 3y1 , x2 + y2 )
α(x1 , x2 )
(3αx1 , αx2 )
c. R2 với phép toán cộng và phép toán nhân như sau:
(x1 , x2 ) +

(y1 , y2 ) = (x1 + y1 , 0)
α(x1 , x2 ) = (αx1 , 0)

d. R2 với phép cộng thông thường và phép nhân với vô hướng định nghĩa như sau:
α(x1 , x2 ) = (αx2 ; αx1 )∀α ∈ R và ∀(x1 ; x2 ) ∈ R2
e. F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng hai hàm số và
phép nhân một số thực với một hàm số.
Bài tập 4.2 Xác định mỗi tập sau có phải là không gian con của M(n, n) không? Tại
sao?(Ký hiệu M(n, n) là không gian vectơ các ma trận cỡ n × n).
a. Tập hợp A tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n × n
b. Tập hợp B tất cả các ma trận chéo cấp n
c. Tập hợp C tất cả các ma trận bậc thang cỡ n × n
d. Tập hợp D tất cả các ma trận đối xứng cỡ n × n
e. Tập hợp E tất cả các ma trận chéo đối xứng cỡ n × n.
13


Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

14

Bài tập 4.3 Xác định xem W có phải là không gian con của các không gian vectơ tương
ứng hay không?
a. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = 2b} ⊂ R3
b. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a ≤ b ≤ c} ⊂ R3
c. W = {(a, b, c) ∈ R3 : ab = 0} ⊂ R3
d. W = {(a, b, c) ∈ R3 : a = b2 } ⊂ R3
e. W = {(a, b, c) ∈ R3 : −a − 5b + 2c = 0} ⊂ R3
f. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 3a − b + 7d = 5} ⊂ R4
g. W = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 2a − 3b + 4d = 0, a − b + c = 0} ⊂ R4
Bài tập 4.4 Cho V là không gian vec tơ - tất cả các hàm số thực trên R. Chỉ ra rằng
W trong mỗi trường hợp sau có là không gian con của V hay không?
a. W = {f ∈ V : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ R} b. W = {f ∈ V : f (−x) = f (x), ∀x ∈ R}
Bài tập 4.5 Chứng minh mỗi tập bao gồm các vectơ cột sau đây là không gian vectơ,
bằng cách chỉ ra nó là không gian con sinh bởi tập các vectơ nào đó.



 s

a. A =  3s  : s ∈ R ⊂ [R]3 ;


2s
b. D =

a b
c d

:

a+b−c = 0
a−c−d =0

⊂ M(2, 2)

c. B = {(t; 2t + s, t − s) : t, s ∈ R} ⊂ R3 ;
d. C =

p ∈ P3 [x] :

p(1) = p(−1)
p(2) = p(−2)

⊂ P3 [x]

Bài tập 4.6 Cho W là tập tất cả các vectơ cột có dạng như đã chỉ ra, trong đó a, b, c ∈ R.
Trong mỗi trường hợp, hãy chỉ ra tập S sao cho W = Sp(S), hoặc chứng tỏ W không phải
là không gian con của không gian vectơ tương ứng.






 3a + b

 1−a

a. W =  4  : a, b ∈ R ⊂ [R]3 ; b. W =  a − 6b  , a, b ∈ R ⊂ [R]3





a − 5b
a + 2b






4a + 3b
a−b














0
b

−
c
4
 : a, b, c ∈ R ⊂ [R]4
 : a, b, c ∈ R ⊂ [R] ; d. W = 
c. W = 
 a+b+c 
 c−a 












−2a + c
b


15
Bài tập 4.7 Gọi C[a,b] là tập tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [a,b] thì C[a,b] lập
thành không gian con của không gian vectơ các hàm thực xác định trên [a,b]. Chứng minh
rằng tập E = f ∈ C[a,b] : f (a) = f (b) là không gian con của C[a,b] .
Bài tập 4.8 Xác định tập nào trong các tập sau đây sẽ lập nên không gian con của
M(2, 2):

a. E =

a + b b − 2d
0
d

b. E =

a a2
b b2

c. E =

a a+2
b
c

d. E =

a b
c d

∈ M(2, 2) : a, b, d ∈ R

∈ M(2, 2) : a, b ∈ R
∈ M(2, 2) : a, b ∈ R

∈ M(2, 2) : a + 2b − c + 3d = 0

Bài tập 4.9

Cho F là ma trận cố định nào đó thuộc M(3, 2), gọi H = {A ∈ M(2, 4) : F A = 0 };
(0 là ma trận không của không gian M(3, 4)). Xác định xem H có là không gian con của
M(2, 4) không?
Bài tập 4.10 Xác định xem vectơ v có thuộc không gian con sinh bởi các vectơ vi đã
cho trong mỗi trường hợp sau:
a. v =

5 7
5 −10

b. v =

7
6
−5 −10

; v1 =
; v1 =

1 2
3 −4

, v2 =

0 3
1 2

, v3 =

1 2

0 0

3 0
1 1

, v2 =

0 1
3 4

, v3 =

1 2
0 1

c. v = 3x2 + 2x + 9; {v1 = x2 + 1, v2 = x + 3}
d. v = 2x2 + x − 3; {v1 = x2 − x + 1, v2 = x2 + 2x − 2}





4
0 4
−2
4 8  và w =  1 . Hãy xác định xem w có là
Bài tập 4.11 Cho A =  6
−8 −2 9
2
phần tử của ColA, của NulA hay không?

Bài tập 4.12 Trong các tập W gồm các vectơ cột sau đây, hãy xác định tập nào là
không gian vectơ, tập nào không phải là không gian vectơ( bằng cách chỉ ra ma trận A
để W = NulA)?


Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

16
 

 a

a. W =  b  : a + b + c = 2


c



b
−
2d







5

+
d
 : b, d ∈ R
c.W = 
 b + 3d 






d
 

 a

e. W =  b  : 5a = b + 2c


c

 
a


 
b 
a − 2b
=0
:

b. W = 


c
2a
= c + 3d



d



 c − 6d

d.W =  d  , c, d ∈ R


c

Bài tập 4.13
Tìm ma trận A sao cho Wgồm các vectơ
đây là ColA: 
cột cho sau 
b
−
c
2s
+
3t















2b
+
c
+
d
r
+
s
−
2t




: b, c, d ∈ R
: r, s, t ∈ R

b. W = 
a. W = 
5c − 4d 
4r + s 












d
3r − s − t









Bài tập 4.14 Giả sử H và K là hai không gian con của không gian vectơ V. Ta gọi tổng
giao của các không gian con H và K tương ứng là:
H ∩ K = {v ∈ V : v ∈ H và v ∈ K}

H + K = {v + w : v ∈ H và w ∈ K}
a. Chứng minh rằng H + K và H ∩ K là những không gian vectơ con của V.
b. Cho ví dụ, chẳng hạn khi V = R2 , để chứng tỏ hợp của hai không gian con nói
chung không phải là không gian con. (Hợp của hai không gian con được hiểu theo nghĩa
hợp của hai tập hợp thông thường).
Bài tập 4.15 Xác định các tập sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a. u1 = (1; 3; −1; 4), u2 = (3; 8; −5; 7), u3 = (2; 9; 4; 23)
b. u1 = (1; −2; 4; 1), u2 = (2; 1; 0; −3), u3 = (3; −6; 1; 4)
c. u1 = 1 − 2x2 , u2 = 3 − x − x2 , u3 = −1 + 2x + 5x2
d. u1 = x3 − 4x2 + 2x + 3, u2 = x3 + 2x2 + 4x − 1, u3 = 2x3 − x2 − 3x + 5
e. u1 = x3 − 5x2 − 2x + 3, u2 = x3 − 4x2 − 3x + 4, u3 = 2x3 − 7x2 − 7x + 9
f. u1 = x3 − 2x + 3, u2 = x2 + 1, u3 = 2x3 + x2 − 4x + 10
g. u1 = x3 − 2x + 3, u2 = x2 + x + 1, u3 = x3 + 2x2 + 5
h. S =

1 2
3 1

i. S =

1 2
−1 0

1 1
1 1

;
;

1 2

1 1

2 1
4 2

;
;

1 2
5 3


17
Bài tập 4.16 Từ tập hợp các vectơ sau hãy tìm một cơ sở cho không gian vectơ tương
ứng
a. {v1 = (1; 0; 0), v2 = (0; 1; −1), v3 = (0; 4; −3); v4 = (0; 2; 0)} ⊂ R3
b. {p0 = 2, p1 = −4x, p2 = x2 + x + 1, p3 = 2x + 7, p4 = 5x2 − 1} ⊂ P2 [x]
Bài tập 4.17 Hãy mở rộng các tập sau thành một cơ sở của không gian vectơ tương ứng
a. {v1 = (1; 0; 0; 0), v2 = (1; 1; 0; 0), v3 = (1; 1; 1; 0)} ⊂ R4
b.

v1 =

1 0
0 0

, v2 =

2 0
−1 0

⊂ M(2, 2)

Bài tập 4.18 Tìm cơ sở và số chiều của NulA, ColA,


1 2
−2
4 −2 −4
 2 4
1 
a. A =  2 −6 −3
b. A = 
 1 2
−3
8
2 −3
3 6

RowA biết A:
−5 11 −3
−5 15
2
0 4
5
−5 19 −2

Bài tập 4.19 Tìm cơ sở và số chiều của Sp(S), biết:







a. S = {(1; 1; 1; 2; 3), (1 : 2; −1; −2; 1), (3; 5; −1; −2; 5), (1; 2; 1; −1; 4)}
b. S = {(1; 0; 1; 1; 1), (2; 1; 2; 0; 1), (1; 1; 2; 3; 4), (4; 1; 5; 4; 6)}
c. S =

1 2
−1 3

d. S =

1 2
0 1

,
,

2 5
1 −1
3 4
1 1

,

,

5 12
1 1

1 2
1 1

,

,

3 4
−2 5

0 2
1 2

e. S = {1 − 2x2 , 3 − x − x2 , −1 + 2x + 5x2 }
Bài tập 4.20 Cho S = {(1; −1; −1), (3; −1; 5), (−1; 2; 1), (1; −3; −6)}.
a. u = (−3; 6; 2) có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của R3 hay không?
Bài tập 4.21 Cho S = {1 + 2x − x2 , −2 + 3x + x2 , 1 + 9x − 2x2 , 5 − 4x − 3x2 }.
a. p(x) = 4 + x − 3x2 có thuộc Sp(S) hay không?
b. S có phải là tập sinh của P2 [x] hay không?
Bài tập 4.22
a. Tìm cơ sở của không gian con P = {(x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R3 |3x1 + x2 + 5x3 = 0}


Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

18

b. Tìm cơ sở của mặt phẳng cho bởi phương trình x1 − x2 + 8x3 = 0

Bài tập 4.23 Hãy tìm số chiều của các không gian con sau đây:



a
−
b
+
2c







a
+
3c
 : a, b, c ∈ R
a. W = 
 b − 3c 






a + 2b − c




a − 4b − 2c







2a
+
5b
−
4c


:
a,
b,
c
∈
R
b. W = 

−a + 2c







−3a + 7b + 6c
c. W = {(a; b; c) : a − 3b + c = 0, b − 2c = 0, 2b − c = 0}

d. W = {(a, b, c) : a − 3b + c = 0}
e. Sp(S) với S = {(1; 1; 2; 1), (−2; −2; −4; −2), (1; −1; 1; 0), (3; 1; 5; 2)}
f. Sp(S) với S = {1 + 2x − x2 , 1 − x + x2 + x3 , 1 + 2x − x3 }
Bài tập 4.24 Tìm số chiều của các không gian con của M(3, 3) sau đây:
a. Không gian con các ma trận chéo.
b. Không gian con các ma trận đối xứng.
c. Không gian con của các ma trận tam giác trên.
Bài tập 4.25 Tìm số chiều mỗi không gian con của P5 [x] sau đây:
a. U = {(1 + x2 )p : p ∈ P3 [x]}
b. U = {p ∈ P3 [x] : p(−x) = −p(x)∀x}
Bài tập 4.26 Cho U và W là các tập con của R4
U = {(a, b, c, d) : b − 2c + d = 0}
W = {(a, b, c, d) : a = d, b = 2c}
a. Chứng minh U, W là các không gian con của R4
b. Tìm cơ sở và số chiều của U, W, U ∩ W
Bài tập 4.27
a. Tìm cơ sở cho mặt phẳng có phương trình: x1 + 3x2 + 4x3 = 0 trong R3 , rồi mở rộng
cơ sở vừa tìm được thành một cơ sở của R3 .


19
b. Tập hợp các điểm (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 thỏa mãn phương trình:
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 = 0; (ci ∈ R)
được gọi là siêu phẳng trong R4 .
Hãy tìm một cơ sở cho siêu phẳng: x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0, rồi mở rộng cơ sở đó

thành cơ sở cho R4 .
Bài tập 4.28 Cho E = {(x2 − 4)(ax2 + bx + a), a, b ∈ R} ⊂ P4 [x]
a. Chứng minh E là không gian con của P4 [x].
b. Tìm dim E
Bài tập 4.29 Cho E = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x2 = mhằng số} ⊂ R3
a. Tìm m để E là không gian con của R3 .
b. Tìm dim E khi m = 0
Bài tập 4.30 Trong không gian véc tơ R3 cho tập

x1 x2 x3

3
E = (x1 , x2 , x3 )R : 1 2 1

2 1 2

=0





Chứng minh rằng E là không gian con của R3 . Tìm số chiều và một cơ sở của E

Bài tập 4.31 Tìm tọa độ của các vectơ đối với cơ sở tuơng ứng được cho dưới đây
a. u = (9, 1, 5) với cơ sở của R3 là B = {(−1; 2; 1), (2; −5; −3), (5; −7; −3)}
b. u = 7e1 + 5e2 − e3 , với cơ sở của R3 là B = {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 }
c. p(x) = 5x2 − 2x + 3, với cơ sở của P2 [x] là B = {1, 1 + x, 1 + x2 }
d. u = av1 + bv2 + cv3 , với cơ sở C = {v1 + v2 , v1 − v2 , v3 }, trong đó B = {v1 , v2 , v3 }
là một cơ sở của R3

e. A =

1 −2
3 4

∈ M(2, 2) đối với cơ sở
B=

0 1
1 0

,

0 −1
0 0

,

1 −1
0 3

,

0 1
0 1

.

Bài tập 4.32 Hãy tìm vectơ, biết cơ sở B và B-tọa độ của vectơ đó trong mỗi trường
hợp sau:

a. B = {(1; −4; 3), (5; 2; −2), (4; −7; 0)} và (x)B = (3; 0; −1)


Chương 4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

20

b. B = {(−1; 2; 0), (3; −5; 2), (4; −7; 3)} và (x)B = (−4; 8; −7)
c. B = {x + x2 , x − x2 , 1 + x} và (p(x))B = (3; 1; 2)

Bài tập 4.33 Trong P2 [x], cho p1 (x) = x2 − 1, p2(x) = x2 + x + 1, p3(x) = x2 − mx − 3.
a. Với giá trị nào của m thì p1 , p2 , p3 trở thành cơ sở của P2 [x]?

b. Với m = 2, hãy biểu diễn p(x) = 3x2 + x + 1 theo p1 , p2 , p3 .



2a + b − c


 ∈ R3 : a, b, c ∈ R ⊂ R3 .
Bài tập 4.34 Cho E = 
a − 2b


−3a − 4b + 2c
1. Chứng minh E là một không gian con của R3 .
2. Tìm một cơ sở và số chiều của E.
Bài tập 4.35 Cho không gian vectơ P3 [x]- không gian các đa thức bậc không quá 3.
a. Chứng minh rằng B = {1, 1 − x, (1 − x)2 , (1 − x)3 } là cơ sở của P3 [x].

b. Tìm tọa độ của vectơ u = 2 − 3x − x2 − 2x3 đối với cơ sở B.

Bài tập 4.36

1. Chứng minh E =
M(2, 2).

a b
c d

∈ M(2, 2) : a − 2c + d = 0

là một không gian con của

2. Trong không gian véc tơ P2 [x] cho tập B = {1, 1 + x, (1 + x)2 } .
a. Chứng minh B là cơ sở của P2 [x].
b. Tìm tọa độ của p(x) = −x2 + 4 đối với cơ sở B.

Bài tập 4.37 Cho B = {b1 , b2 , b3 } và C = {c1 , c1 , c3 } là hai cơ sở của không gian vectơ
V. Giả sử b1 = 4c1 − c2 ; b2 = −c1 + c2 + c3 ; b3 = c2 − 2c3 .
a. Tìm ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở B sang cơ sở C .

b. Tìm [x]C biết x = 3b1 + 4b2 + b3 .
Bài tập 4.38 Cho B = {(1; 2; 0), (1; 3; 2), (0; 1; 3)} là một cơ sở của R3 .
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở B.
b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B sang cơ sở chính tắc E .
Bài tập 4.39 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang C với:
a. B = {b1 = (1; 1), b2 = (1; 0)} và C = {c1 = (0; 1), c2 = (1; 1)}
b. B = {b1 = (1; 0; 1), b2 = (1; 1; 0), b3 = (0; 1; 1)} và C = {c1 = (0; 1; 1), c2 =
(1; 1; 0), c3 = (1; 0; 1)}

Chương 5

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 5.1 Cho mỗi ánh xạ sau đây, hãy chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính hoặc chỉ
ra tại sau nó không phải là ánh xạ tuyến tính.
a. f : R2 → R, f (x, y) = 3x + 2y.
b. f : R2 → R2 , f (x, y) = (xy, 0)
c. f : Pn → Pn+1 , f (p(x)) = (x + 1)p(x)
d. f : Pn → R, f (p(x)) =

1

p(x)dx
0

e. f : Pn → Pn , f (p(x)) = p (x) + (5x + 2) với p (x) là đạo hàm của p(x)
′

′

f. f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)
g. f : M(n, m) → M(m, n), f (A) = AT
h. f : M(n, n) → R, f (A) = det(A)

Bài tập 5.2 Chứng minh mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân, ảnh
của nó.
a. f : P2 [x] → P2 [x], f (ax2 + bx + c) = (a + b)x2 + bx + 2c
b. f : P3 [x] → M(2, 2), f (ax3 + bx2 + cx + d) =

c. f : Pn [x] → R, f (p(x)) =

0
b
c d + 2a

1

p(x)dx
0

d. f : M(2, 2) → M(2, 2), f (A) = A + AT
e. T : F → F, T (f ) = 2f

Bài tập 5.3 Cho ánh xạ T : M(2, 2) → M(2, 2) được xác định bởi
a b
T (A) = A + AT trong đó A =
.
c d
21


Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

22
a. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính.

b. Giả sử B ∈ M(2, 2) sao cho B T = B. Tìm A ∈ M(2, 2) để T (A) = B.
c. Chứng minh rằng ImT = {B ∈ M(2, 2) : B T = B}.
d. Tìm KerT .

Bài tập 5.4 Ánh xạ tuyến tính f : P2 [x] → [R]2 thỏa mãn
f (1) =

1
1

, f (x) =

−1
1

, f (x2 ) =

1
1

Tìm f (p), p = a + bx + cx2 .
Bài tập 5.5 Cho ánh xạ f : R3 → R3 được xác định bởi
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − x3 ; x2 + x3 , x1 + x2 − 2x3 )
a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm cơ sở và số chiều của Kerf
Bài tập 5.6 Cho ánh xạ T : [R]4 → [R]3 , được xác định bởi ma trậnchính tắc A =

1 2 3 1
 1 3 5 −2 
3 8 13 −3
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT
3
3
Bài tập 5.7 Cho


 ánh xạ T : R → R , được xác định bởi ma trận chính tắc A =
1
2
5
 3
5 13 
−2 −1 −4
Tìm cơ sở và số chiều của KerT và ImT

Bài tập 5.8 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính rồi tìm nhân
của mỗi ánh xạ.
a. f : M(2, 3) → M(2, 3), f

a b c
d e f

=

d e f
0 0 0

b. f : M(3, 3) → R, f (A) = a11 + a22 + a33 (Ảnh của ma trận A là tổng các phần tử
trên đường chéo).
1
c. f : M(3, 3) → M(3, 3), f (A) = (A + AT )
2
Bài tập 5.9 Chứng minh rằng mỗi ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính bằng cách chỉ ra nó
là ánh xạ ma trận.

23








x1
x3



x2
a. T : [R] → [R] , T
= x2  b. T : [R]2 → [R]4 , T
x3
x1
3

3

x1
x2



 


x1
2x1 + x3
c. T : [R]3 → [R]3 , T  x2  =  4x2 + 3x3 
x3
x1 + x2 + x3




x1
x1 − x3


x2  

x2 − x4
d. T : [R]4 → [R]3 , T 
 x3  =
x1 − x2 + x3 − x4
x4


x1
 x2 

e. T : [R]4 → [R]1 , T 
 x3  = 2x1 − x2 + 3x3 − 5x4
x4


5x2 − x1


0

=
 3x1 + x2 
x1


Bài tập 5.10

a. Cho T : R2 → R2 là ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x1 ; x2 ) = (x1 + x2 ; 4x1 + 7x2 )
Tìm vectơ x thỏa T (x) = (−2; −5).
b. Cho T : R2 → R3 là ánh xạ tuyến tính sao cho
T (x1 ; x2 ) = (x1 + 2x2 ; −x1 − 3x2 ; −3x1 − 2x2 )
Tìm vectơ x thỏa T (x) = (−4; 7; 0).
Bài tập 5.11 Giả sử T là ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm tương ứng:
a. Cho T (1; 0) = (3; 1) và T (0; 1) = (−2; 5). Hãy tìm T (4; −6).
b. Cho T (−1; 0) = (2; 3) và T (0; 1) = (5; 1). Hãy tìm T (−3; −5).
c. Cho T (1; 0; 0) = (−3; 1), T (0; 1; 0) = (−4; 1), T (0; −1; 1) = (3; −5). Hãy tìm T (−1; 4; 2)
d. Cho T (1; 2; −3) = (1; 0; 4; 2), T (3; 5; 2) = (−8; 3; 0; 1),T (−2; −3; −4) = (0; 2; −1; 0).
Hãy tìm T (5; −1; 4)
Bài tập 5.12 Hãy tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]n → [R]m tương
ứng, xác định bởi công thức sau:
a. T : [R]2 → [R]2 , T

x1

x2

=

2x1 + x2
x1 − x2


Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

24


 

x1
x1 + x2 + x3

x1 + x2
b. T : [R]3 → [R]3 , T  x2  = 
x3
x1


x1
c. T : [R]3 → [R]1 , T  x2  = x1 + x2 + x3
x3

Bài tập 5.13

a. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : [R]2 → [R]2 sao cho không gian
2
2
.
và không gian ảnh của T là ImT = Sp
triệt của T là KerT = Sp
1
1
b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 sao cho khônggian
 triệt

 0 
1
của T là KerT = Sp
và không gian ảnh của T là ImT = Sp  3  .
−1


5

Bài tập 5.14 Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh f (E) là không gian
con của không gian W, sau đó tìm cơ sở và số chiều của f (E) trong mỗi trường hợp sau:
a. f : R3 → R3 , f (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 − x2 ; x1 + x2 ; x2 ), E = {(a; 2a + b; a − 2b), a, b ∈ R}
b. f : M(2, 2) → [R]2 , f

a b
c d

=

a + 2b
c−d

, E = {A ∈ M(2, 2) : A + AT = θ}

c. f : P2 [x] → P2 [x], f (ax2 + bx + c) = (a + 1)x2 + (b + 1)x + (c + 1), E = {p ∈ P2 [x] :
p(0) = p(1)}
Bài tập 5.15 Cho mỗi ánh xạ tuyến tính sau, xác định ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,
song ánh, hay không phải là đơn ánh và toàn ánh
a. f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (x + y, z) b. f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y)
c. f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (y, y, y)
e. f : M(2, 2) → R, f

a b
c d

d. f : P1 → P2 , f (a0 + a1 x) = a0 x + a1 x2

=a+b+c+d

Bài tập 5.16 Tìm cơ sở cho Imf, Kerf của các ánh xạ tuyến tính cho ở bài tập trên.
Bài tập 5.17 Sử dụng tính chất của ánh xạ tọa độ, hãy xác định tính độc lập tuyến
tính, phụ thuộc tuyến tính của mỗi tập các đa thức sau:
a. B = {p1 = 1 + 2x, p2 = 3 − x, p3 = −1 + 3x2 }
b. B = {p1 = 1 − 2x2 − 3x3 , p2 = x + x3 , p3 = 1 + 3x − 2x3 }


25
c. B = {p1 = 1 + x3 , p2 = 3 + x − 2x2 , p3 = −x + 3x2 − x3 }
d. B = {p1 = (1 − x)3 , p2 = (2 − 3x)2 , p3 = 3x2 − 4x3 }

Bài tập 5.18 Không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f được hiểu là Kerf. Hãy tìm cơ sở
cho không gian triệt của ánh xạ tuyến tính f : [R]n → [R]m xác định bởi mỗi ma trận
chính tắc sau đây, từ đó tìm hạng của f :






1 1 1 1 1
3 6 1
0 1 0 −2
 0 1 2 3 4 




a. A = 2 4 1 , b. A = 1 2 1 −1 , c. A = 
 1 0 1 3 3 
1 2 0
2 4 3 −1
1 1 3 6 8
Bài tập 5.19 Xác định các ánh xạ tuyến tính cho
cấu, đẳng cấu:

1 3 −4
a. T : [R]4 → [R]3 , T (x) = Ax, A =  0 1 2
0 0 0

−1 2 0


3 7 2
b. T : [R]4 → [R]4 , T (x) = Ax, A = 
 −4 2 0
1 3 0

sau đây, ánh xạ nào là đơn cấu, toàn

9
6 
0

5
8 

0 
6

c. T : R3 → R2 , T (1; 0; 0) = (2; 1), T (0; 1; 0) = (0; −2), T (0; 0; 1) = (−1; 1)

d. T : P2 [x] → P2 [x], T (x2 ) = x2 + 3, T (x) = 2x2 + 4x − 1, T (1) = 3x − 1.
Bài tập 5.20 Bằng cách xét số chiều của không gian triệt hay không gian ảnh, hãy xác
định số chiều của không gian triệt và hạng của mỗi ánh xạ tuyến tính sau đây:
a. D : Pn [x] → Pn − 1[x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn [x] (D là phép lấy đạo hàm).
′

b. D : Pn [x] → Pn [x], D(p) = p , ∀p ∈ Pn [x]
′

c. f : M(2, 3) → M(2, 3), f

a b c
d e f

=

d e f
0 0 0


a11 a12 a13
d. T : M(3, 3) → R, T  a21 a22 a23  = a11 + a22 + a33
a31 a32 a33


1
e. S : M(3, 3) → M(3, 3), S(A) = (A + AT ) (S(A) được gọi là bộ phận đối xứng của
2
ma trận A)

Bài tập 5.21 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 được cho bởi f (e1 ) = 2e1 − e3 và
f (e2 ) = e2 + e3 . Hãy tìm ma trận biểu diễn f đối với cặp cơ sở B = {e1 − e2 , e1 + e2 } và
C = {e1 , e1 + e2 , e1 + e2 + e3 }