Hoc sinh gioi 1 - Luyện thi 10 Chuyên

Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO    Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ
Hưng
Đề thi số 1
Bài 1: (2 điểm)
a. Giải hệ phương trình:





=−
=+
1
y
3
x
4
xy5y6x6
b. Rút gọn:
33
27
847
6
27
847
6
−++
.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho Parabol (P): y= –x
2

và đường thẳng (D): y=2x +m. Với m là tham số.
a. Vẽ đồ thò Parabol (P) : y= –x
2
.
b. Tìm m để (P) và (D) tiếp xúc. Tính toạ độ tiếp điểm của (P) và (D) trong trường hợp này.
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình
( )
03aax2x
2
=+−−
. Tìm tất cả các giá trò nguyên của a sao cho phương trình có
nghiệm nguyên.
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác với các trung tuyến, phân giác, đường cao dựng từ một đỉnh chia góc ở đỉnh đó thành 4
phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác?
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho ba đường tròn (O;R) ; (O
1
;R
1
) ; (O
2
; R
2
) cùng tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc với nhau từng
đôi một. Nếu R là bán kính của đường tròn nhỏ nhất thì
21
R
1

R
1
R
1
+=
.
Bài 6: (2 điểm)
1. Cho hàm số
( )
2
x1
x
xf
+
=
. Tính f(f(x)) ; f(f(f(x))). Từ đó suy ra f(f(f(…f(x)))…) với 2004 chữ f.
2. Cho a, b ∈ R, a > 0. Chứng minh rằng tồn tại hàm số y = f(x), x ∈ R sao cho f(f(x)) = ax +b.
Trang 1
Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO    Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ
Hưng
Đề thi số 2:
Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
a.
0) z y, x, với(
2
3
xz
xz
5

12
zy
yz
3
4
yx
xy
≠









=
+
=
+
=
+
b.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )






=+++
=+++
=+++
24zyxxz
30zyxzy
18zyxyx
Bài 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
5y16x3y2yxx41x4
4222
+−−=−−++++−
Bài 3: (1,5 điểm)
a. Hãy xác đònh hàm số y = f(x) với x ∈ R, Biết rằng f(x–1)=x
2
– 3x + 3.
b. Chứng minh rằng đồ thò hàm số y = mx + m – 1 luôn luôn đi qua một điểm cố đònh với bất kỳ
giá trò nào của m ∈ R.
Bài 4: (2 điểm)
Cho phương trình:
( ) ( )
1 2mmx1mx
22
−+−−−
a. Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm số trái dấu với mọi giá trò của m ∈ R.
b. Tìm m để
2
2
2

1
xx
+
đạt giá trò nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó.
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, gọi O là tâm của một đường tròn tiếp xúc với AB; AC, O nằm trên cạnh
BC. Chứng minh rằng một đoạn thẳng EF có hai đầu mút nằm trên cạnh AB; AC là tiếp tuyến của
đường tròn (O) khi và chỉ khi
4
BC
CF.BE
2
=
.
Bài 6: (1,5 điểm)
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB; AC với đường tròn. Vẽ cát tuyến AEF; từ E kẻ
đường vuông góc với OB cắt BC và BF tại M và N. Chứng minh EM = MN.
Đề thi số 3
Bài 1: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
a.
24923013
+++
; b.
322
32
322
32
−−
−

+
++
+
Bài 2: (1,5 điểm)
Trang 2
Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO    Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ
Hưng
a. Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình: x
2
– 3x + 1 = 0. Hãy lập phương trình bậc hai biết hai
nghiệm của phương trình đó là
1x
x
;
1x
x
1
2
2
1
++
.
b. Cho phương trình:
( )
.09m8x2m4x4
2

=++++
Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
( )
21
21
xx
2
1
x
1
x
1
+=+
Bài 3: (1,5 điểm)
a. Cho 3 số a, b, c thỏa điều kiện
1cba
222
=++
.
Chứng minh rằng
31cabcabcba
+≤+++++
.
b. Cho biểu thức:
1x2y3xy2xA

+−+−=
. Tìm giá trò nhỏ nhất mà A có thể đạt được.
Bài 4: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A, B. Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax,
By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I. Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường
tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a. Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp được.
b. Chứng minh AI.BK = AC.CB.
c. Chứng minh tam giác APB vuông.
d. Giả sử A, B, I cố đònh. Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho hình thang vuông ABKI có diện
tích lớn nhất.
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là trung điểm BC. AD là đường cao. Gọi E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.
Bài 6: (1,5 điểm)
a. Tìm số có hai chữ số mà số ấy là bội của tính hai chữ số của chính nó.
b. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 và độ dài các đường
cao là các số nguyên thì tam giác ABC là tam giác đều.
Đề thi số 4:
Bài 1: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
x 14
x 5 3
3 x 5
−
− − =
+ −
Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm mọi số thực x, y, z thoả phương trình:

x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = − + − + −
Bài 3: (2 điểm)
Cho Parabol
( )
2
x
P : y
4
= và đường thẳng
( )
D : y ax b= +
qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần
lượt là – 2 và 4.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) của hàm số trên.
b. Viết phương trình của (D) .
c. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng với hoành độ
[ ]
x 2,4∈ −
) sao cho tam giác MAB
có diện tích lớn nhất.
Trang 3
Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO    Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ
Hưng
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có tâm O; vẽ đường thẳng (d) quay quanh O, cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại
E và F (E và F không trùng với các đỉnh hình vuông). Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song
với DB và AC; chúng cắt nhau tại I.
a. Tìm tập hợp điểm I.
b. Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H. chứng tỏ H thuộc về một đường cố đònh và đường thẳng
IH đi qua một điểm cố đònh.

Bài 5: (1,5 điểm)
Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O; R) cho trước.
Bài 6: (2 điểm)
a. Tìm một số có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số.
b. Tìm một số có ba chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số.
Đề thi số 5:
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho Parabol
( )
2
x
P : y
4
= −
và điểm M (1; – 2 )
a. Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc m.
b. Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
c. Gọi x
A
, x
B
lần lượt là hoành độ của A, B. Xác đònh m để
2 2
A B A B
x x x x+
đạt giá trò nhỏ nhất. Tính
giá trò đó.
d. Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA’B’B. Tính
S theo m.
Xác đònh m để

( )
2 2
S 4 8 m m m 2= + + +
Bài 2: (2 điểm)
BC là một dây cung của đường tròn tâm O bán kính R (
BC 2R≠
). Điểm A di động trên cung lớn BC
sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H.
a. Chứng minh rằng
AEF∆
đồng dạng với
ABC∆
.
b. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = 2 A’O.
c. Gọi A
1
là trung điểm của EF. Chứng minh :
1
R.AA AA'.OA '=
d. Chứng minh
( )
ABC
R. EF FD DE 2S+ + =
. Suy ra vò trí của A để tổng
EF FD DE+ +
đạt giá trò
lớn nhất.
Bài 3: (1 điểm)
Tính độ dài đường chéo của ngũ giác đều cạnh a.
Bài 4: (1,5 điểm)

Giả sử phương trình
2
ax bx c 0+ + =
có hai nghiệm phân biệt làx
1
và x
2
. Đặt:
a. Chứng minh
n 2 n 1 n
aS bS cS 0
+ +
+ + =
b. p dụng tính:
5 5
1 5 1 5
A
2 2
   
+ −
= +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Trang 4
Luyện thi vào 10 Chuyên Toán ––ooO    Ooo–– Giáo viên: Đinh Vũ
Hưng
Bài 5: (1,5 điểm)
a. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
2 2

A x x 1 x x 1= + + + − +
b. Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1. tìm giá trò lớn nhất của M = xy + yz + zx
Bài 6: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.
Đề thi số 6:
Bài 1: (1,5 điểm)
Chứng minh tồn tại duy nhất một cặp số (x, y) thỏa phương trình:
2
x 4x y 6 y 13 0− + − + =
Bài 2: (2 điểm)
a. Giải phương trình:
x 1 2 x 2 7 x 6 x 2 2− + − + + + − =
b. Gọi a, b là nghiệm của phương trình
2
x px 1 0+ + = và b, c là nghiệm của phương trình
2
x qx 2 0+ + = . Chứng minh hệ thức:
( ) ( )
b a b c pq 6− − = −
Bài 3: (1,5 điểm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (P) của hàm số
2
x
y
2
=
b. Đònh m để đường thẳng
( )
m
D : y mx 1

2
= − −
tiếp xúc với (P).
c. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh khi m thay đổi.
Bài 4: (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(– 2; 1) và B(2; 3). Tìm trên trục hoành toạ độ điểm M sao
cho MA + MB bé nhất.
Bài 5: (2 điểm)
a. Hãy dựng hình bình hanh khi biết trung điểm của ba cạnh của nó.
b. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). các đường cao AA’; BB’ cắt
đường tròn (O) tại I và K. chứng minh rằng nếu A’I = B’K thì tam giác ABC cân.
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho các số a, b, c không đồng thời bằng 0 thoả mãn
2 2 2
a b c 2+ + =
và
ab bc ca 1+ + =
. Tìm giá trò lớn
nhất và nhỏ nhất của a, b, c.
Đề thi số 7:
Bài 1: (1,5 điểm)
a. Rút gọn biểu thức:
A x 2 x 1 x 2 x 1= + − + − −
b. Tìm x, y biết rằng:
2 2
5x 5y 8xy 2x 2y 2 0+ + + − + =
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình:
2
x mx n 0+ + =

a. Tìm m, n biết rằng phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
2 2
1 2
x x+
1 2
3 3
1 2
x x 1
x x 7
− =



− =


Trang 5