Hoc sinh gioi 3 - Luyện thi 10 Chuyên

Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Đề 1
Bài 1: Tìm 8 chữ số tận cùng của số
1994
5
.
Bài 2: Giải phương trình sau:
18
1
42x13x
1
30x11x
1
20x9x
1
222
=
++
+
++
+
++
Bài 3: Cho ∆ABC các trung tuyến m
a
; m
b
; m
c
thỏa mãn m
a
: m

b
: m
c
= 5 : 4 : 3.
Chứng minh rằng góc ACB ≠ 90
0
.
Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích lớn hơn
2
1
chứa trong hình vuông có cạnh bằng 1. Chứng
minh rằng tồn tại một đoạn thẳng mà hai đầu của nó trên biên tứ giác, song song với cạnh hình vuông
có độ dài lớn hơn
2
1
.
Đề 2
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x để 25x + 46 là tích của hai số nguyên liên tiếp.
Bài 2: Chứng minh rằng:
( )
2
1
1nn
1
...
25
1
13
1
5

1
2
2
<
++
++++
Bài 3: Cho đa giác đều A
1
A
2
...A
2003
; đặt một đa giác đều B
1
B
2
...B
2003
sao cho tâm hai đa giác đều đó
trùng nhau. Gọi C
1
, C
2
, ... , C
2003
lần lượt là trung điểm của A
1
B
1
; A

2
B
2
, ..., A
2003
B
2003
. Chứng minh rằng
đa giác C
1
C
2
...C
2003
là đa giác đều.
Bài 4: Trên trang giấy có một số vết mực có tổng diện tích bé hơn 1. Chứng minh rằng có thể chia trang
giấy thành các hình vuông đơn vò sao cho không có đỉnh nào của hình vuông rơi vào vết mực nào cả.
Đề 3
Bài 1: Với 1003 số nguyên dương khác nhau tùy ý nhỏ hơn 2004. Chứng minh rằng trong các số ấy bao
giờ cũng tìm được ba số sao cho một trong chúng bằng tổng hai số còn lại.
Bài 2: Cho hai số a, b thỏa mãn :
1ba
22
=+
.
Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
66
ba
+
.

Bài 3: Cho ∆ABC ( A = 90
0
). Kẻ AD⊥BC ; DE ⊥AC, DF⊥AB. Chứng minh rằng
CE
BF
AC
AB
3
3
=
Bài 4: Mỗi một điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong ba màu. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm
cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng 1.
Đề 4
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c biết rằng
abccabcab
≥++
.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức P(x) có tất cả các hệ số nguyên không âm nhỏ hơn 6 thỏa mãn P(6) =
2003.
Bài 3: Cho hình thoi ABCD. Đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. Đường trung trực của AB cắt BD và
AC lần lượt tại O
1
và O
2
. Biết rằng O
1
B = a, O
2
A = b. Tính diện tích hình thoi theo a và b.
Bài 4: Khi phân bố n điểm trên một mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong số n điểm đó là 3 đỉnh của

một tam giác vuông thì số n lớn nhất là bao nhiêu?
Đề 5
Bài 1: Tìm x ∈ Q để
1991xx
2
++
là số chính phương.
Trang 1
Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Bài 2: Cho các số
n21
a,...,a,a
thỏa mãn:
1n
1nn
1
121
a
1
aa,...,
a
1
aa,1a
−
−
+=+==
. Chứng minh rằng:
63<a
2003
< 78.

Bài 3: Cho xOy = 90
0
, A và B là hai điểm di động trên Ox và Oy sao cho AO + OB = a (a là hằng số, a
> 0). C là điểm trên AB sao cho OB
2
= AC.AB. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AB tại C
luôn luôn đi qua một điểm cố đònh.
Bài 4: Cho sáu điểm trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng
luôn luôn có thể chọn được ba điểm sao cho có ba đỉnh tại ba điểm này có ít nhất là một góc không lớn
hơn 30
0
.
Đề 6
Bài 1: Tìm x, y ∈ Z sao cho :
a.
332
yxxx1
=+++
.
b.
4y12z5x
3
=−+
.
Bài 2: Chứng minh rằng a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì:
c
1
b
1
a

1
cba
1
bca
1
acb
1
++≥
−+
+
−+
+
−+
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM =
3
1
BC. Xác đònh vò trí điểm N
trên CD sao cho MA là phân giác góc BMN.
Bài 4: Cho 6 hình tròn trên mặt phẳng được sắp xếp sao cho tâm của mỗi hình tròn nằm ngoài các hình
tròn còn lại. Chứng minh rằng tất cả 6 hình tròn không có điểm chung.
Đề 7
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
01z4x3zx2zyx
2222444
=+++++−
.
Bài 2: Cho ba số khác 0 là a, b, c thỏa mãn:
( )
1
c

1
b
1
a
1
cba
=






++++
.
Tính số trò của biểu thức:
( )( )( )
2003200303032020
cacbba
+++
Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R’) tiếp xúc trong tại A. Qua một điểm tùy ý D thuộc đường
tròn (O’;R’) kẻ tiếp tuyến với đường tròn đó cắt đường tròn (O;R) tại A và C. Chứng minh rằng :
AB.DC=AC.BD.
Bài 4: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 2n + 1 cạnh (n ≥ 3, n ∈ N) bằng một màu xanh
hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn có ba đỉnh là ba đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu cùng
một màu.
Đề 8
Bài 1: Chứng minh rằng có vô số số chia hết cho
1994
5

19
mà trong biểu diễn thập phân của các số đó
không có các chữ số 0; 1; 2.
Bài 2: Giải phương trình sau:
( )( )
6y4y1x2x27y4x2yx
2222
++++−=++++−
.
Bài 3: Cho điểm M ở trong đường tròn (O; r). Qua M hãy dựng hai dây AB và CD vuông góc với nhau
sao cho AB + CD lớn nhất.
Bài 4: Về phía trong của tứ giác lồi ABCD dựng các nửa hình tròn đường kính là các cạnh của tứ giác.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD hoàn toàn bò phủ kính.
Đề 9
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm nguyên:
19931975z1890519
30
4xx
+=++
.
Trang 2
Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Bài 2: Cho x, y thỏa mãn:
4
4
y
x
1
x2
2

2
2
=++
. Xác đònh x, y để xy đạt giá trò nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I.
Đường vuông góc với OI tại I cắt AB tại E, cắt DC tại F. Chứng minh rằng I là trung điểm của EF.
Bài 4: Chứng minh rằng trong một đường tròn có bán kính bằng 1 không thể chọn nhiều hơn 5 điểm có
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng đều lớn hơn 1.
Đề 10
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N các số n
5
, n
9
, n
1993
có chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 2: Giải hệ phương trình :





=
++=++
1xyz
zyxzyx
444
.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có góc A, C tù. Chứng minh rằng AC < BD.
Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M và K là điểm giữa các cạnh CD và DE; L là giao điểm của

AM và BK. Chứng minh rằng S
ABL
= S
MDKL
. Tính độ lớn của góc giữa AM và BK.
Đề 11
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
73x
y3
+=
.
Bài 2: Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
( )( )
tzyxtytxzyzx
22222222
++≥+++++
với x, y, z, t dương.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’,R’) cắt nhau tại A và B. Hai điểm C và D chạy cùng một lúc từ
A theo thứ tự trên hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) với vận tốc không đổi và theo cùng một chiều. Sau
một vòng cả hai điểm lại trở về A cùng một lúc. Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố đònh M trong
mặt phẳng sao cho ở mọi lúc, các khoảng cách từ M đến hai điểm C và D bằng nhau.
Bài 4: Một số cung của một đường tròn được sơn đỏ và xanh tổng số đo độ dài của các cung được sơn
đỏ nhỏ hơn
5
1
đường tròn đó, tổng số đo độ dài của các cung được sơn xanh nhỏ hơn
11
3
đường tròn

đó. Chứng minh rằng trên đường tròn đó luôn luôn tìm được đường kính mà hai đầu mút của nó không
bò sơn.
Đề 12
Bài 1: Trong hệ thập phân tổng các chữ số của số 2
3456
là x, tổng các chữ số của số x là y, tổng các chữ
số của số y là z, tổng các chữ số của số z là t. Tìm t.
Bài 2: Với a, b, c là ba số khác nhau. Hãy tính:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
bcac
bxax
c
cbab
cxax
b
caba
cxbx
a
KKK
−−
−−
+
−−
−−
+

−−
−−
với K = 0; 1; 2.
Trang 3
Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Bài 3: Cho đoạn thẳng AB, M là điểm bất kỳ trên đoạn AB ( M ≠ A, M ≠ B), kẻ tia Mx ⊥ AB, trên tia
Mx lấy hai điểm C, F sao cho
K
MB
MF
MC
MA
==
(K > 0). Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMC và
BMF cắt nhau tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố đònh khi M
chạy trên đoạn thẳng AB.
Bài 4: Có 1994 học sinh thi đấu bóng bàn theo thể thức đấu vòng tròn. Chứng minh rằng khi kết thúc
giải có thể xếp 1994 học sinh trên theo một hàng sao cho người đứng trước thắng người đứng kề sau.
Đề 13
Bài 1: Khi viết trong hệ thập phân số
100
2
có bao nhiêu chữ số?
Bài 2: Giải phương trình sau:
16x8x12x8x
8x4x
2
1
14x8x
2424

24
24
73.182925225
+−+−
+−
+−
−−=








+
Bài 3: Cho ∆ ABC (AB = AC). Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
đồng thời tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng trung điểm của PQ là tâm
đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ∈ N, n ≥ 3) không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh
rằng tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong các điểm đã cho và không chứa bất kì điểm nào trong các
điểm còn lại xem là điểm trong.
Đề 14
Bài 1: Tìm m, n là các số tự nhiên để:
( )
43A
61n6m3
2
+=
−+

là số nguyên tố.
Bài 2: Giải phương trình :
( )( ) ( )( )( )
42x13x20x9x12x11x31x11x30x11x36
22222
++++++=++++
Bài 3: Cho đường thẳng a nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA ⊥ a (A ∈ a). Kẻ các tuyến ABC, ADE.
Gọi M, N lần lượtc là giao điểm của BE, DC với a. Chứng minh rằng ∆ OMN cân.
Bài 4: Cho mặt phẳng chứa 1995 điểm và trong ba điểm bất kỳ đã cho bao giờ cũng tìm được 2 điểm có
khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính là 1 chứa không í
hơn 998 điểm trên.
Đề 15
Bài 1: Cho ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn
2700zyx
222
=++
. Chứng minh rằng:
zyx
1890519
++
không thể là số chính phương.
Bài 2: Giải phương trình :
13x4x
19941995
=−+−
Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên AB lấy 1994 điểm D
1
, D
2
,..., D

1994
; trên AC lấy 1994 điểm E
1
, E
2
, ...,
E
1994
sao cho BD
1
= CE
1
, BD
2
= CE
2
, ..., BD
1994
= CE
1994
. Chứng minh rằng các đường trung trực của các
đoạn thẳng D
1
E
1
, D
2
E
2
, ..., D

1994
E
1994
đồng quy.
Trang 4
Luyện thi Chuyên Toán oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Bài 4: Trên mặt phẳng có 4 điểm; trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng diện tích của
một tam giác bất kỳ với các đỉnh là những điểm đã cho không vượt quá 1. Chứng minh rằng toàn bộ
điểm đã cho có thể đặt trong một tam giác diện tích 4.
Đề 16
Bài 1: Chứng minh rằng số
178.19
n
+
là hợp số với n ∈ N.
Bài 2: Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có ba đường cao tương ứng là h
a
, h
b
, h
c
. Chứng minh rằng:
( )
( )
2
c
2
b
2
a

2
hhh4cba
++≥++
Bài 3: AD là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
DC.DBAC.ABAD
2
−=
Bài 4: Trong mặt phẳng kẻ 1995 đường thẳng đôi một không song song với nhau. Qua giao điểm của
hai đường thẳng bất kì ( trong số những đường thẳng đã kẻ) ít ra có một đường thẳng nữa (trong số
những đường thẳng đã cho) đi qua. Chứng minh rằng tất cả những đường thẳng đã kẽ cùng đi qua một
điểm.
Đề 17
Bài 1: Tìm các số
xyz
biết rằng:
( )
n
1994
3
zyxxyz
++=
.
Bài 2: Cho ba số tự nhiên a< b < c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên d > a, ta có :
ddd
cba
<+
Bài 3: Cho tam giac ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Vẽ MD
⊥ AC, ME ⊥ BC ( D thuộc AC, E thuộc BC). I và K là trung điểm của AB và DE. Chứng minh IKM =
90
0

.
Bài 4: Tìm tất cả các số n ∈ N sao cho trong ba mệnh đề sau có hia mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
a. n + 4 là số chính phương.
b. 4n – 5 là số chính phương.
c. n – 3 chia hết cho 20.
Đề 18
Bài 1: Tìm các số tự nhiên n. Biết rằng tổng các chữ số của nó bằng
024n1995n
2
=+−
.
Bài 2: Xác đònh m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
07mxx
2
=++
và
0my7y
2
=++
. Tìm
nghiệm chung đó.
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) dây AB, I là điểm chính giữa cung AB nhỏ. Kẻ các dây IC, ID cắt AB lần
lượt tại E và F.
a. Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ACE và ADF tiếp xúc nhau.
b. Chứng minh rằng tứ giác CDFE nội tiếp được.
Bài 4: Trong một hình tròn bán kính bằng 1, đặt hai tam giác sao cho diện tích của mỗi tam giác đó lớn
hơn 1. Chứng minh rằng các tam giác này cắt nhau.
Trang 5