Bai giang ODCT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
KHOA CÔNG TRÌNH
BỘ MÔN KẾT CẤU
***

ỔN ĐỊNH CÔNG
TRÌNH

HÀ NỘI 04-2012


Mục lục
1 Khái niệm cơ bản
1.1 Khái niệm về ổn định . . . . . . . . . .
1.2 Phân loại mất ổn định . . . . . . . . .
1.2.1 Mất ổn định về vị trí . . . . . .
1.2.2 Mất ổn định về dạng cân bằng .
1.3 Bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các phương pháp nghiên cứu . . . . .
1.4.1 Phương pháp tĩnh học . . . . .
1.4.2 Phương pháp năng lượng . . . .
1.4.3 Phương pháp động lực học . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Ổn định của thanh thẳng
2.1 Phương trình chuyển vị và nội lực . . . . . . . . .
2.2 Ổn định của các thanh thẳng, tiết diện không đổi
bất kỳ ở hai đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Trường hợp liên kết cứng ở hai đầu . . . .
2.2.2 Trường hợp liên kết đàn hồi . . . . . . . .
2.3 Ổn định thanh thẳng có tiết diện thay đổi . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . .
có liên
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

3 Ổn định của hệ thanh thẳng
3.1 Các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tính ổn định của khung theo phương pháp chuyển vị .
3.2.1 Phản lực và nội lực trong thanh thẳng chịu nén
kéo khi liên kết chuyển vị cưỡng bức . . . . . .
3.2.2 Nội dung phương pháp chuyển vị . . . . . . . .
3.3 Ổn định của dầm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ổn định của thanh chịu nén trong dàn . . . . . . . . .
i

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
2
2
4
5
5
5
5

. .

kết
. .
. .
. .
. .

.

7
7

.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . .
. . .
hoặc
. . .
. . .
. . .
. . .

. 9

. 9
. 11
. 16
19
. 19
. 20
.
.
.
.

20
22
24
25



Danh sách hình vẽ
1.1
1.2

1.3
1.4
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

2.7
2.8
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Thanh chịu nén đúng tâm (a), Trạng thái cân bằng uốn dọc
(b), Mất ổn định loại một (c) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vành tròn kín chịu áp lực phân bố đều hướng tâm (a), Vòm
parabol chịu tải trọng phân bố đều theo phương ngang (b),
Khung chịu tải trọng đúng tâm (c) . . . . . . . . . . . . . .
Khung đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng . . . . . . .
Dầm chữ I chịu uốn phẳng do tải trọng . . . . . . . . . . . .
Trạng thái biến dạng (a) và điều kiện cân bằng lực (b) . . .
Sơ đồ thanh và giá trị µ tương ứng . . . . . . . . . . . . . .
Thanh có một đầu ngàm đàn hồi và một đầu tự do . . . . .
Giải phương trình bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thanh có một đầu ngàm cứng và một đầu liên kết thanh đàn
hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thanh có một đầu ngàm đàn hồi và một đầu liên kết thanh
tuyệt đối cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thanh có tiết diện thay đổi hình bậc thang . . . . . . . . . .
Tải trọng tác dụng bất kỳ trên hệ thanh (a), Tải trọng tác dụng
tại nút (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biến dạng của thanh khi liên kết chuyển vị cưỡng bức và chịu
lực nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khung phẳng (a), Hệ cơ bản (b) . . . . . . . . . . . . . . . .

Hệ cơ bản của dầm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các thanh chịu nén trong dàn . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

.

3

.
.
.

4
4
5

. 7
. 10
. 11
. 12
. 13
. 14
. 15
. 16
. 20
.
.
.
.

20
23
25
26



Chương 1
Khái niệm cơ bản
Trong bài toán thiết kế kết cấu công trình thường phải kiểm tra các điều
kiện bền, điều kiện cứng và điều kiện ổn định. Các phương pháp tính toán
và kiểm tra điều kiện bền cũng như điều kiện cứng đã được nghiên cứu trong
học phần Cơ học kết cấu. Bài giảng này giới thiệu phương pháp tính toán và
kiểm tra điều kiện ổn định của kết cấu công trình thông qua việc xác định
lực tới hạn của thanh cũng như hệ thanh.

1.1

Khái niệm về ổn định

• Hiện tượng mất ổn định: Nhiều công trình trong thực tế (kết cấu chịu
nén hoặc kéo cùng với uốn) chịu tác dụng của tải trọng mặc dù giá trị
còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều kiện bền và điều kiện cứng nhưng
kết cấu vẫn có thể mất khả năng bảo toàn hình dạng ban đầu ở trạng
thái biến dạng mà chuyển sang dạng cân bằng khác. Nội lực trong dạng
cân bằng mới sẽ phát triển rất nhanh làm cho công trình bị phá hoại.
Người ta gọi hiện tượng này là kết cấu bị mất ổn định.
• Quan điểm ổn định của Euler-Lagrange: Ổn định là tính chất của công
trình có khả năng giữ được vị trí ban đầu hoặc giữ được dạng cân bằng

ban đầu trong trạng thái biến dạng tương ứng với các tải trọng tác dụng.
• Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình được gọi là ổn định dưới tác dụng của tải trọng
nếu như sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí ban
đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ nào
1


đó ngoài tải trọng đã có rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ có
khuynh hướng quay trở về trạng thái ban đầu.
• Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình được gọi là không ổn định dưới tác dụng của tải
trọng nếu như sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị
trí ban đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ
nào đó ngoài tải trọng đã có rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình
sẽ không quay trở về trạng thái ban đầu. Lúc này, độ lệch của công
trình không có khuynh hướng giảm dần mà có thể tiếp tục phát triển
cho đến khi công trình có vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới.
• Trạng thái tới hạn: Bước quá độ của công trình từ trạng thái ổn định
sang trạng thái không ổn định gọi là mất ổn định. Giới hạn đầu của
bước quá độ được gọi là trạng thái tới hạn của công trình. Tải trọng
tương ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải trọng tới hạn.

1.2
1.2.1

Phân loại mất ổn định
Mất ổn định về vị trí

Hiện tượng mất ổn định về vị trí xảy ra khi toàn bộ công trình được xem là

tuyệt đối cứng, không giữ nguyên được vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển
sang vị trí khác. Nguyên nhân gây ra mất ổn định về vị trí là do các ngoại
lực tác dụng trên công trình không thể cân bằng ở vị trí ban đầu mà chỉ có
thể cân bằng ở vị trí mới khác vị trí ban đầu.
Ví dụ: trường hợp mất ổn định lật hoặc trượt của các kết cấu tường chắn,
mố trụ cầu, tháp nước . . .

1.2.2

Mất ổn định về dạng cân bằng

Mất ổn định loại một
Các đặc trưng của hiện tượng mất ổn định loại một (mất ổn định Euler):
1. Dạng cân bằng có khả năng phân nhánh
2. Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất


Hình 1.1: Thanh chịu nén đúng tâm (a), Trạng thái cân bằng uốn dọc (b),
Mất ổn định loại một (c)

3. Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn
định, sau trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định
Ví dụ: Thanh thẳng chịu nén đúng tâm như trên hình 1.1a. Khi lực P còn
nhỏ, thanh vẫn thẳng, trạng thái chịu nén của thanh là trạng thái ban đầu
và duy nhất. Nếu đưa hệ ra khỏi dạng ban đầu bằng một nguyên nhân nào
đó rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì hệ sẽ dao động rồi trở về dạng ban đầu. Do
đó, dạng cân bằng này là ổn định. Trạng thái cân bằng ổn định này được mô
tả bởi đoạn OA trên hình 1.1c.
Khi tăng lực P đến một giá trị gọi là lực tới hạn Pth , thanh ở trạng thái tới
hạn. Ngoài trạng thái cân bằng chịu nén còn có khả năng phát sinh đồng thời

trạng thái cân bằng uốn dọc, nghĩa là thanh ở trạng thái cân bằng phiếm
định. Như vậy dạng cân bằng bị phân nhánh thành hai dạng biến dạng.
Trạng thái này tương ứng với điểm phân nhánh A trên đồ thị hình 1.1c.
Khi lực P > Pth trạng thái cân bằng chịu nén vẫn có khả năng tiếp tục tồn
tại song không ổn định. Dạng cân bằng không ổn định này tương ứng với
nhánh AB trên đồ thị. Trong hệ cũng phát sinh đồng thời trạng thái cân
bằng uốn dọc khi biến dạng của thanh là hữu hạn 1.1b. Dạng cân bằng này
là ổn định và được mô tả bởi nhánh AC hoặc AD trên đồ thị 1.1c.
Hiện tượng mất ổn định loại một có thể xẩy ra dưới các dạng sau:
• Mất ổn định dạng nén đúng tâm (hình 1.2)
• Mất ổn định dạng biến dạng đối xứng (hình 1.3)
• Mất ổn định dạng uốn phẳng (hình 1.4)


Hình 1.2: Vành tròn kín chịu áp lực phân bố đều hướng tâm (a), Vòm parabol
chịu tải trọng phân bố đều theo phương ngang (b), Khung chịu tải trọng đúng
tâm (c)

Hình 1.3: Khung đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng

Mất ổn định loại hai
Các đặc trưng của hiện tượng mất ổn định loại hai:
1. Dạng cân bằng không phân nhánh
2. Biến dạng và dạng cân bằng của hệ không thay đổi về tính chất
Trong phạm vi bài giảng này ta chỉ nghiên cứu bài toán mất ổn định loại
một về dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng của các thanh và hệ thanh
làm việc trong giới hạn đàn hồi.

1.3

Bậc tự do

Bậc tự do của hệ là số thông số hình học độc lập đủ để xác định vị trí của
tất cả các điểm của hệ khi hệ mất ổn định.


Hình 1.4: Dầm chữ I chịu uốn phẳng do tải trọng

1.4
1.4.1

Các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp tĩnh học

Nội dung của phương pháp tĩnh học là tạo cho hệ đang nghiên cứu một dạng
cân bằng lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. Xác định giá trị của lực (lực tới
hạn) có khả năng giữ cho hệ ở trạng thái cân bằng mới. Lực tới hạn được
xác định từ phương trình đặc trưng hay còn gọi là phương trình ổn định biểu
thị điều kiện tồn tại dạng cân bằng mới.

1.4.2

Phương pháp năng lượng

Nội dung phương pháp năng lượng: giả thiết cho trước dạng biến dạng của
hệ ở trạng thái lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu, căn cứ vào dạng biến dạng
đã giả thiết, lập các biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để
viết điều kiện tới hạn của hệ theo tiêu chí dưới dạng năng lượng. Từ điều
kiện tới hạn xác định được giá trị của lực tới hạn.

1.4.3

Phương pháp động lực học

Nội dung phương pháp động lực học: Lập và giải phương trình dao động
riêng của hệ chịu lực, xác định giá trị lực tới hạn bằng cách biện luận tính
chất của nghiệm của chuyển động.



Chương 2
Ổn định của thanh thẳng
2.1

Phương trình chuyển vị và nội lực

Giả sử biết nội lực và chuyển vị tại biên trái của thanh (x = 0):
M (0)
Q(0)

và

y(0)
: thông số ban đầu
y (0)

(2.1)

Phương trình vi phân đường đàn hồi:
y (x) = −

M (x)
EI

(2.2)

trong đó M (x) là moment tại tiết diện bất kỳ có hoành độ x, được xác định
bởi biểu thức:
M (x) = M (0) + Q(0)x + P y(x) − y(0)

Hình 2.1: Trạng thái biến dạng (a) và điều kiện cân bằng lực (b)

7

(2.3)


Thay vào phương trình (2.2) ta có:
y (x) +

P
1
y(x) = −
M (0) + Q(0)x − P y(0)
EI
EI

(2.4)

Đặt

α2 =

P
EI

(2.5)

Phương trình (2.4) viết lại như sau:
y (x) + α2 y(x) = −

1
M (0) + Q(0)x − P y(0)
EI

(2.6)

Nghiệm của phương trình vi phân có dạng:
y(x) = A sin αx + B cos αx −

1
α2 EI

M (0) + Q(0)x − P y(0)

(2.7)

Từ phương trình trên, ta tính được đạo hàm của y(x) (góc xoay):
y (x) = αA cos αx − αB sin αx −

1

α2 EI

Q(0)

(2.8)

Hai hằng số tích phân A và B được xác định từ điều kiện biên trái (x = 0):
y(0)

1
M (0)
α2 EI
1
− α2 EI Q(0)

= B−

y (0) = αA

− P y(0)

=⇒

A =
B =

y (0)
+ αQ(0)
3 EI
α

M (0)
α2 EI

(2.9)

Thay các giá trị của A và B vào phương trình (2.7) và (2.8) thu được:
y(x) = y(0)+

M (0)
Q(0)
y (0)
sin αx− 2
1−cos αx − 3
αx−sin αx
α
α EI
α EI

(2.10)

M (0)
Q(0)
sin αx − 2
1 − cos αx
(2.11)
αEI
α EI
Đây là hai phương trình biểu diễn chuyển vị của thanh thẳng. Nội lực của
thanh được xác định bởi biểu thức:
y (x) = y (0) cos αx −

M (x) = −EIy (x) = αEIy (0) sin αx + M (0) cos αx +
Q(x) = Q(0) =

dM (x)
dy(x)
−P
dx
dx

Q(0)
sin αx (2.12)
α
(2.13)


2.2

Ổn định của các thanh thẳng, tiết diện
không đổi có liên kết bất kỳ ở hai đầu

2.2.1

Trường hợp liên kết cứng ở hai đầu

Các thanh thẳng chịu nén (kéo) có thể có liên kết cứng ở hai đầu dưới dạng
sau:
1. Thanh thẳng có hai đầu khớp
2. Thanh thẳng có một đầu ngàm một đầu tự do
3. Thanh thẳng có một đầu ngàm một đầu ngàm trượt theo phương vuông

góc với trục thanh
4. Thanh thẳng có một đầu ngàm một đầu ngàm trượt theo phương trục
thanh
5. Thanh thẳng có một đầu ngàm một đầu khớp
Ví dụ trường hợp hai đầu khớp, ta có các thông số ban đầu sau:
y(0) = 0
M (0) = 0

và

y (0) =?
Q(0) =?

(2.14)

Thay các thông số này vào phương trình (2.10) và (2.12) ta có:
y(x) = y (0)

Q(0)
sin αx
− 3
αx − sin αx
α
α EI

Q(0)
sin αx
α
Từ điều kiện biên tại x = l, y(l) = 0 và M (l) = 0 ta có:

(2.15)

M (x) = αEIy (0) sin αx +

(2.16)

y(l) = y (0) sinααl + Q(0) sinααl−αl
=0
3 EI
sin αl
M (l) = y (0)αEI sin αl + Q(0) α = 0

(2.17)

Điều kiện để tồn tại y (0) và Q(0) là định thức các hệ số phải bằng không:
sin2 αl sin αl
−
sin αl − αl = 0
α2
α2

hay

αl sin αl = 0

(2.18)


Hình 2.2: Sơ đồ thanh và giá trị µ tương ứng

Nghiệm αl = 0 tương ứng với trường hợp hệ chưa mất ổn định. Vậy:
sin αl = 0 hay αl = kπ

(2.19)

Thay vào (2.5) xác định được lực tới hạn:
Pth =

(kπ)2 EI
l2

với k = 1, 2, . . . ∞

(2.20)

Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng khi k = 1:
Pth =

π 2 EI
l2

Một cách tương tự ta có thể tìm được tải trọng tới hạn cho các trường hợp
liên kết cứng còn lại:
π 2 EI
Pth =
(2.21)
(µl)2
trong đó: µ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh. Giá trị của
µ được cho trong hình 2.2:

Hình 2.3: Thanh có một đầu ngàm đàn hồi và một đầu tự do

2.2.2

Trường hợp liên kết đàn hồi

Thanh có một đầu ngàm đàn hồi và một đầu tự do
Thông số ban đầu:
M (0) = 0
Q(0) = 0

và

y(0) =?
y (0) =?

(2.22)

Thay các thông số này vào phương trình (2.10) và (2.11) ta có:
y(x) = y(0) + y (0)

sin αx
α

y (x) = y (0) cos αx

(2.23)
(2.24)

Điều kiện biên: x = l thì y(l) = 0 và y (l) = ϕ
Gọi ω là hệ số đàn hồi của liên kết ngàm đàn hồi khi chuyển vị xoay (góc xoay
của liên kết ngàm đàn hồi do moment đơn vị gây ra). Góc xoay ϕ = −P y(0)ω
trong đó tích số P y(0) là giá trị moment tại ngàm đàn hồi.
Từ điều kiện biên ta thiết lập được hệ hai phương trình đối với y(0) và y (0):
y(l) = y(0) + y (0) sinααl = 0
y (l) = y (0) cos αl = −P y(0)ω

(2.25)


Hình 2.4: Giải phương trình bằng đồ thị

hay
y(0) + y (0) sinααl = 0
y(0)P ω + y (0) cos αl = 0

(2.26)

Điều kiện để tồn tại y(0) và y (0) là định thức các hệ số bằng không:
cos αl − P ω

sin αl
=0
α

(2.27)

Đặt v = αl và tgθ = EIω/l, ta có phương trình ổn định:
ctgv = vtgθ

(2.28)

Phương trình siêu việt trên được giải bằng phương pháp đồ thị như hình 2.4
Giao điểm của hai hàm số là các nghiệm cần tìm. Nghiệm có ý nghĩa thực
tế là nghiệm cho lực tới hạn nhỏ nhất.
Từ hình 2.4 ta thấy vth nhỏ nhất có giá trị luôn nhỏ hơn π/2 do đó lực tới
hạn của thanh có một đầu ngàm đàn hồi một đầu tự do luôn nhỏ hơn giá trị
π 2 EI/4l2 là lực tới hạn tương ứng với thanh có một đầu ngàm cứng và một
đầu tự do.
Thanh có một đầu ngàm cứng và một đầu có liên kết thanh đàn
hồi
Thông số ban đầu:
M (0) = 0
Q(0) = R =

y(0)
k

và

y(0) =?
y (0) =?

(2.29)


Hình 2.5: Thanh có một đầu ngàm cứng và một đầu liên kết thanh đàn hồi

Thay các thông số này vào phương trình (2.10) và (2.11) ta có:

y(x) = y(0) + y (0)

y(0)
sin αx
− 3
αx − sin αx
α
kα EI

(2.30)

y(0)
1 − cos αx
(2.31)
kα2 EI
Từ điều kiện biên: x = l thì y(l) = 0 và y (l) = 0 ta có phương trình:
y (x) = y (0) cos αx −

y(l) = y(0) + y (0)

sin αl
y(0)
− 3
αl − sin αl = 0
α
kα EI

(2.32)

y(0)

1 − cos αl = 0
(2.33)
kα2 EI
Phương trình ổn định được thiết lập từ điều kiện tồn tại y(0) và y (0):
y (l) = y (0) cos αl −

tgαl = αl − (αl)3

kEI
l3

(2.34)

hay
kEI
(2.35)
l3
Ta cũng giải phương trình này bằng phương pháp đồ thị. Từ hình 2.6 ta
thấy vth nằm trong khoảng π/2 và 3π/2.
tgv = v − v3


Hình 2.6: Phương pháp đồ thị

• Khi k = 0 hay liên kết thanh tuyệt đối cứng, thì phương trình ổn định
trở thành: tgv = v hay v = 4, 493. Ta tính được:
Pth =

π 2 EI
(0, 7l)2

Đây là công thức tính lực tới hạn của thanh có một đầu ngàm và một
đầu khớp.
• Khi k = ∞ tương ứng với trường hợp không có liên kết thanh đàn hồi,
ta có tgv = −∞ hay v = π/2. Như vậy:
Pth =

π 2 EI
(2l)2

Ta được công thức tính lực tới hạn của thanh có một đầu ngàm một
đầu tự do.
Thanh có một đầu ngàm đàn hồi một đầu liên kết thanh tuyệt đối
cứng
Thông số ban đầu:
y(0) = 0
M (0) = 0

và

y (0) =?
Q(0) = R

(2.36)


Hình 2.7: Thanh có một đầu ngàm đàn hồi và một đầu liên kết thanh tuyệt
đối cứng

Thay các thông số này vào phương trình (2.10) và (2.11) ta có:

y(x) = y (0)

sin αx
R
− 3
αx − sin αx
α
α EI

y (x) = y (0) cos αx −

R
α2 EI

1 − cos αx

(2.37)
(2.38)

Từ điều kiện biên: x = l thì y(l) = 0 và y (l) = Rlω ta có phương trình:
y(l) = y (0)

sin αl
R
− 3
αl − sin αl = 0
α
α EI
R

y (l) = y (0) cos αl −

α2 EI

1 − cos αl = Rlω

(2.39)
(2.40)

Phương trình ổn định được thiết lập từ điều kiện tồn tại y (0) và Q(0):
tgαl =

αl
1 + (αl)2 ωEI
l

(2.41)

v
1 + v2 ωEI
l

(2.42)

hay
tgv =


Hình 2.8: Thanh có tiết diện thay đổi hình bậc thang

• Khi ω = 0 hay liên kết ngàm đàn hồi trở thành ngàm cứng, thì phương
trình ổn định trở thành: tgv = v hay v = 4, 493. Kết quả:
Pth =

π 2 EI
(0, 7l)2

Ta được công thức tính lực tới hạn của thanh có một đầu ngàm và một
đầu khớp.
• Khi ω = ∞ tức là ngàm đàn hồi trở thành khớp, ta có sin v = 0 hay
v = π. Kết quả:
π 2 EI
Pth = 2
l
Ta được công thức tính lực tới hạn của thanh có hai đầu khớp.

2.3

Ổn định thanh thẳng có tiết diện thay đổi

Xét thanh gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi như hình 2.8
Phương trình vi phân viết cho từng đoạn như sau:
EI1 y1 + P y1 = P δ

(2.43)

EI2 y2 + P y2 = P δ

(2.44)

Nghiệm của hai phương trình vi phân:
y1 = A1 sin α1 x + B1 cos α1 x + δ

(2.45)

y2 = A2 sin α2 x + B2 cos α2 x + δ

(2.46)

trong đó:
α12 =

P
;
EI1

α22 =

P
EI2

Các điều kiện biên:
• Tại x = 0: y2 = 0
• Tại x = l: y1 = δ
• Tại x = l2 ta có:
y1 = y2

và

y1 =

EI2
α2
y2 = 12 y2
EI1
α2

Từ các điều kiện biên ta lập được hệ phương trình:
A2
A1 sin α1 l + B1 cos α1 l
A1 α1 cos α1 l2 − B1 α1 sin α1 l2 + B2 α2 sin α2 l2
A1 sin α1 l2 + B1 cos α1 l2 − B2 cos α2 l2

=
=
=
=

0
0
0
0

(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)

Phương trình ổn định thu được từ điều kiện tồn tại các hằng số tích phân:

sin α1 l
cos α1 l2
sin α1 l2

cos α1 l
− sin α1 l2
cos α1 l2

0
sin α2 l2 = 0
− cos α2 l2
α2
α1

(2.51)

Khai triển định thức và viết gọn lại ta thu được phương trình:
tgα1 l1 tgα2 l2 =

α1
α2

(2.52)

Khi biết các tỉ số EI1 /EI2 và l1 /l2 ta có thể giải được phương trình (2.52)
và xác định được lực tới hạn cần tìm.



Chương 3

Ổn định của hệ thanh thẳng
3.1

Các giả thiết

Khi nghiên cứu ổn định của hệ thanh ta chấp nhận các giả thiết sau nhằm
đơn giản hóa việc xác định tải trọng tới hạn:
1. Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi.
2. Các nút của hệ xem như tuyệt đối cứng, chuyển vị tại các đầu thanh
quy tụ vào một nút sẽ như nhau.
3. Các thanh của hệ xem như không co dãn. Trước và sau biến dạng,
khoảng cách theo phương ban đầu giữa các nút của hệ không thay đổi.
4. Khi xác định chuyển vị trong hệ, chỉ xét đến ảnh hưởng của biến dạng
uốn do moment uốn và do lực dọc phát sinh trước khi hệ mất ổn định.
Bỏ qua ảnh hưởng của gia số lực dọc phát sinh sau khi hệ mất ổn định.
5. Tải trọng tác dụng trên hệ chỉ đặt ở các nút. Những tải trọng này chỉ
gây ra kéo hoặc nén mà không gây ra uốn ngang trong các thanh khi
hệ chưa bị mất ổn định.
Trong thực tế, tải trọng không chỉ đặt ở nút mà có thể đặt ở ngoài nút. Do
đó trước khi giải bài toán ổn định ta cần xác định lực dọc trong các thanh
của hệ chịu tải trọng đã cho bất kỳ theo các phương pháp trong cơ học kết
cấu. Tiếp đó xác định tải trọng tới hạn cho hệ chịu tải trọng chỉ đặt ở nút
với giá trị lực dọc trong các thanh vừa tìm được ở bước trên.
19