Chuong5

Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

Chương 5.

ỔN ĐỊNH CỦA DẦM LIÊN TỤC VÀ CỦA DÀN
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định lực tới hạn cho các dầm liên
tục và các thanh trong dàn phẳng.
Những bài toán này thường được đưa về bài toán ổn định của thanh đơn giản, thanh liên tục trên
gối đàn hồi hoặc thanh làm việc trong môi trường đàn hồi.
5.1 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp lực, phương trình ba mô men
Ta vận dụng phương pháp lực đã nghiên cứu trong chương 4 để tính ổn định của dầm liên tục. Giả
sử dầm có tiết diện không đổi trong từng nhịp và chịu lực dọc trục đặt ở các gối tựa (hình 5-1a). Ta chọn
hệ cơ bản như trên (hình 5-1b) thì phương trình chính tắc viết cho gối thứ i bất kỳ sẽ chỉ có ba số hạng:
(5-1)

δ i(i 1) M (i1)  δ ii M i  δ i(i1) M (i1)  0

Đó là phương trình ba mô men.

k 1P

P
a,

k 2P

k i-1P

ki P

li

k 1P

k 2P

b,

l i+1

k i-1P

ki P

Mi

M i-1

ki+1P

ki+1P

M i+1

Hình 5-1. Sơ đồ tính ổn định dầm liên tục.
P M i-1

Mi

M i+1

li

P

P

l i+1

M i-1 =1
l i  i(i-1)
Mi
li i
ii

i
i+1

 i+1 l i+1
i(i+1)

M i+1

l i+1

Hình 5-2. Sơ đồ tính theo ba mô men.
Các hệ số của phương trình được xác định theo các trạng thái đơn vị như trên (hình 5-2). Những
dầm đơn giản chịu tải trọng như trên (hình 5-2) đã được nghiên cứu trong mục 2, chương 4. Theo công
thức (4-5) ta có:
δ i(i 1) 

li
β v i 

6EJ i

(5-2)

115


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
l
l
δ ii   i   i 1  i αv i   i 1 αv i 1 
3EJ i
3EJ i1
li 1
βv i1 
6EJ i1

δ i(i 1) 

(5-3)

(5-4)

Trong đó các hàm số (vi) và (vi) được xác định theo công thức sau:
α v i  

3
v i2



v 
1  i 
 tgv i 

(5-5)

βv i  

6
v i2

 vi


 1
 sinv i


(5-6)

Với
v i  li

kiP
EJ i

(5-7)
Thay (5-2), (5-3) và vào (5-1) ta được:

λ iβv i M i1  2λ i αv i   λ i 1αv i1 M i  λ i1βv i 1 M i1  0

(5-8)

Đó là phương trình ba mô men khi tính ổn định của dầm liên tục chịu tác dụng của lực dọc trục.
Trong đó:

λ i  li

J0
Ji

(5-9)

Với J0 là đại lượng bất kỳ, thường lấy bằng mô men quán tính của một nhịp nào đó.
Trình tự tính toán theo các bước sau:
1- Xác định các chiều dài quy ước i theo (5-9).
2- Xác định các đại lượng vi theo (5-7). Trong trường hợp vi có các giá trị khác nhau ta cần biểu thị
các vi theo một đại lượng vk nào đó theo biểu thức sau:

vi 

li
lk

kiEk Jk
vk
k kEiJ i

(5-10)

Trong đó:

vk 

kkP
. lk
EkJk

(5-11)

3- Thiết lập các phương trình ba mô men theo (5-8). Dầm có n gối tựa trung gian ta sẽ lập được n
phương trình. Hệ phương trình này là thuần nhất.
4- Thiết lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương trình bằng
không.
5- Giải phương trình ổn định ta sẽ tìm được nghiệm vk và từ (5-11) suy ra lực tới hạn cần tìm.
Lực tới hạn tìm được ở trên tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định với các mô men ở gối
tựa khác không. Trong bài toán dầm liên tục, ngoài nghiệm tìm được theo cách trình bày kể trên ta còn
phải tìm nghiệm tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định với các mô men gối tựa M1 = M2 = M3 =
... = Mn = 0, nếu về ý nghĩa vật lý, trường hợp này có thể xảy ra.

116


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
Nếu dầm liên tục có gối bên trái là ngàm thì hệ số 11 được xác định như sau:
 11 

l1
l
 v1   2  v 2  .

EJ 1
EJ 2

Trong đó:
v v
tg 
2  2cosv  vsinv 2tgv
1
γv  

. 2 2 
v(sinv  vcosv)
v
tgv  v 4 2 v 

(5-12)

Bảng các hàm số 2(v) cho trong phần phụ lục.
Do đó phương trình ba mô men thứ nhất có dạng:

6λ 1 γv 1   2λ 2 γv 2 M 1  λ 2βv 2 M 2  0

(5-13)

Nếu dầm liên tục có gối bên phải là ngàm thì
δ nn 

ln
l
αv n   n 1 γv n 1 

3EJ n
3EJ n 1

Do đó, phương trình ba mô men cuối cùng có dạng:
2 λ n αv n   
λ n βv n M n1  
M n  0
 6 λ n1 γv n1 

(5-14)

Các phương trình viết cho những gối tựa khác vẫn có dạng (5-8).
5.2 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp chuyển vị
Nội dung phương pháp chuyển vị đã trình bày trong chương 4. Hệ cơ bản chọn như trên (hình 5-3a
và b).
Theo (4-27), phương trình chính tắc biểu thị điều kiện phản lực mô men tại liên kết đặt thêm vào
thứ k bằng không có dạng:

rk(k1) Z k 1  rkk Z k  rk(k1) Z k 1  0 ,

(5-15)

trong đó k biến thiên từ 1 đến n.
Phương trình (5-15) chỉ gồm ba số hạng nên được gọi là phương trình ba góc xoay. Các hệ số của
phương trình này được xác định theo các công thức sau:
rk(k 1) 

2EJ k
 3 v k 
lk

(5-16)

a,

Z1

Zk

lk

l1
b,

Z k-1

Z1

Z k-1

Z k+1

Zn
l n+1

l k+1
Zk

Z k+1

Zn

l1

Hình 5-3. Sơ đồ tính dầm theo PP. chuyển vị.

117


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
rkk 

4EJ k
4EJ k 1
 2 v k  
 2 v k 1 
lk
l k 1

rk(k 1) 

(5-17)

2EJ k 1
 3 v k 1 
l k 1

(5-18)

Công thức (5-17) chỉ nghiệm đúng với trường hợp k > 1 và k < n. Khi k = 1 và

k = n, biểu thức
của hệ số rkk phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở các đầu dầm. Nếu các gối biên là ngàm như trên (hình 53a) thì các hệ số r11 và rnn được xác định theo công thức (5-17). Nếu các gối biên là khớp tựa như trên
(hình 5-3b) thì r11 và rnn được xác định theo công thức sau:
r11 

3EJ1
4EJ 2
 1 v1  
 2 v 2 
l1
l2

(5-19)

rnn 

4EJ n
3EJ n 1
 2 v n  
 1 v n 1 
ln
l n 1

(5-20)

Theo các phương trình thuần nhất (5-15) ta có thể thiết lập phương trình ổn định của dầm theo
phương pháp chuyển vị bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương trình đó bằng không:
D = 0.
(5-21)
Sau khi khai triển định thức D và giải phương trình (5-21) ta dễ dàng tìm được lực tới hạn cho dầm

liên tục. Quá trình thực
hiện tương tự như đã trình bày trong
mục 5, chương 4.

C

A

D

B

Hình 5-5. Sơ đồ dàn.

Lực tới hạn tìm được theo điều kiện (5-21) xảy ra tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định
trong đó các chuyển vị xoay Z k khác không. Trong thực tế có thể xảy ra trường hợp dầm bị mất ổn định
với các chuyển vị xoay Zk bằng không. Bởi vậy, khi nghiên cứu ổn định của dầm liên tục ta cần phải xét
cả 2 trường hợp có thể xảy ra. Chẳng hạn đối với dầm liên tục hai nhịp, phương trình chính tắc có dạng:
3EJ
 3EJ

 l  1 v   l  1 v .Z 1  0 .



Phương trình này có thể thoả mãn với Z1 = 0 tương ứng với dạng mất ổn định đối xứng và cũng có
thể thoả mãn với Z1  0 tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng. Trong trường hợp Z1  0, ta có:
 1 v  

v 2 tgv

0.
3tgv  v 

5.3 Ổn định của các thanh chịu nén trong dàn
Dưới tác dụng của tải trọng, các thanh chịu nén của dàn bị có thể bị mất ổn định và làm cho toàn
dàn bị phá hoại. Những thanh chịu nén trong dàn có thể là:

118


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

B

E
a,
J1
A

B
c,

J
C

C
A

F
B

b,

D

d,

C

f h
B
D
J1
J
C
A

A

e

q

Hình 5-4. Sơ đồ các dạng dàn . a), b)- các thanh xiên cắt thanh xiên
khác ở giữa nhịp; c), d)- thanh xiên cắt qua hai thanh đứng hoặc hai
thanh xiên khác của dàn.

1. Các thanh đứng, thanh biên hoặc thanh xiên không cắt qua các thanh khác, thí dụ như thanh AB,
AC và CD trên (hình 5-5). Để kiểm tra ổn định, ta coi thanh là thanh đơn giản có liên kết khớp ở
hai đầu, sau đó ta có thể tính theo công thức đã nghiên cứu trong mục 2 hoặc mục 8 của chương

2. (Giả thiết thanh có khớp ở hai đầu chỉ là gần đúng).
2. Những thanh đứng hoặc thanh xiên cắt qua một, hai hoặc nhiều thanh đứng hoặc thanh xiên khác.
Trên (hình 5-4) trình bày một số thí dụ về những thanh thuộc loại này.
Các thanh chịu nén ACB trên (hình 5-4avà b) là thanh xiên cắt qua một thanh xiên khác ở giữa
nhịp. Các thanh ACDB trên (hình 5-4c và d) là thanh xiên cắt qua hai thanh đứng hoặc hai thanh
xiên khác của dàn. Khi mất ổn định, những thanh này làm việc giống như những thanh đặt trên
hai khớp tựa cứng ở hai đầu và có một, hai hoặc nhiều gối tựa đàn hồi ở trong nhịp (hình 5-6).
Như vậy, bài toán ổn định của những loại thanh này được đưa về bài toán ổn định của thanh liên
tục có các gối tựa trung gian là gối tựa đàn hồi. Cách giải quyết bài toán này sẽ nghiên cứu trong
mục 4. Khi số lượng các gối tựa đàn hồi trung gian tương đối lớn ta có thể giải quyết bài toán
này theo trường hợp thanh làm việc trong môi trường đàn hồi.
3. Hệ thanh biên trên của cầu dàn hở tức là cầu dàn không có giằng gió ở phía trên. Hệ thanh biên
này chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài thanh. Khi mất ổn định, hệ thanh biên trên bị cong
ra ngoài mặt phẳng dàn, các khung ngang trong cầu gồm dầm ngang của bộ phận mặt cầu và
thanh đứng ngăn cản không cho phép hệ thanh biên chuyển vị tự do và làm việc giống như
những liên kết đàn hồi. Kinh nghiệm cho biết, khi số đốt của dàn lớn hơn bốn thì ta có thể thay
các gối đàn hồi bằng nền đàn hồi. Như vậy, bài toán này được đưa về trường hợp thanh làm việc
trong môi trường đàn hồi chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài thanh.

119


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
5.4 Ổn định của thanh liên tục có gối tựa đàn hồi
5.4.1 Ổn định của thanh liên tục hai nhịp có gối trung gian là gối đàn hồi (hình 5-6).

C

A

I

B
II

l/2

l/2

Hình 5-6. Sơ đồ thanh

Gọi c là độ cứng của liên kết đàn hồi. Độ cứng c chính là phản lực cần tác dụng tại liên kết đàn hồi
để sao cho liên kết biến dạng với giá trị bằng đơn vị.
Để giải bài toán này theo phương pháp chuyển vị ta có hệ cơ bản như trên (hình 5-7a). Vì hệ đang
xét có tính chất đối xứng nên ta có thể phân tích bài toán thành hai trường hợp: Thanh bị mất ổn định theo
dạng đối xứng (đường I trên hình 5-6) và thanh bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng (đường II trên
hình 5-6).
5.4.1.1 Trường hợp thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng.

Z1

a,

Z2

P/P¥le

EJ=const
4

3i (v)
l 1

3
2

b,
Trong trường hợp này ta có Z1  0, Z2 = 0.

3i(v)
1
c,

cl 3
 2 EJ

1

M1

0

4

8

12

16

Z2
3i(v)
1
M2

Hình 5-7. Hệ cơ bản và các biểu đồ mô men

Hình 5-8. Sự biến thiên của tỷ
số P/Pơle với độ cứng của gối
đàn hồi.

Phương trình chính tắc có dạng:

r11Z1  0 .
Phương trình ổn định:
r11 = 0.
Từ biểu đồ đơn vị M1 vẽ trên (hình 5-7b) ta dễ dàng xác định được:

120


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
3i
η1 v   c  0 ,
l12

r11  2.

trong đó:
v 1  l1

P
l P

.
EJ 2 EJ

Suy ra:
η1 v   

cl 3
.
48EJ

(5-22)

Như vậy, nếu biết độ cứng của liên kết đàn hồi thì ta có thể sử dụng bảng 2 trong phần phụ lục để
xác định thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn.
5.4.1.2 Trường hợp thanh bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng.
Trong trương hợp này ta có Z1 = 0; Z2  0.
Phương trình chính tắc có dạng:
r22 Z 2  0 .

Phương trình ổn định:
r22 = 0.
Từ biểu đồ M 2 vẽ trên (hình 5-7c) ta dễ dàng xác định được phản lực đơn vị r22:
r22 = 2.3i1(v) = 0.
1(v) = 0.

Suy ra:

Phương trình này thoả mãn với v = . Do đó, ta có:
Pth 

π 2 EJ 4 π 2 EJ

.
l12
l2

(5-24)

Sau khi xác định lực tới hạn tương ứng với hai trường hợp biến dạng nói trên ta sẽ chọn giá trị nhỏ
nhất làm giá trị tới hạn.
Trên (hình 5-8) là đồ thị biểu diễn luật biến thiên của tỷ số lực tới hạn với lực Ơle theo các độ cứng
khác nhau của gối đàn hồi. Ta thấy: Khi c < 162EJ/l2 thì thanh sẽ mất ổn định theo dạng đối xứng, còn
khi c > 162EJ/l2 thì thanh sẽ bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng, lúc này lực tới hạn được xác định
theo công thức (5-24) và không phụ thuộc độ cứng c.
Để nghiên cứu sự ổn định của các thanh chịu nén ACB trong dàn (hình 5-4a và b) ta có thể áp dụng
lời giải vừa tìm được ở trên. Gọi EJ là độ cứng của thanh chịu nén ACB đang khảo sát; EJ1 là độ cứng của
thanh bị cắt ECF. Muốn áp dụng kết quả trên ta cần xác định độ cứng c của liên kết đàn hồi. Trong trường
hợp này độ cứng c có giá trị bằng lực cần tác dụng tại giữa nhịp của thanh đơn giản ECF để sao cho điểm
C chuyển vị theo phương vuông góc với mặt phẳng dàn có giá trị bằng đơn vị, ta có:
δ

cl 2
1.
48EJ1

Suy ra

c

48EJ1

(5-25)

l3

Thay (5-25) vào (5-22) ta được phương trình ổn định tương ứng với dạng mất ổn định đối xứng:

121


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn


1,0
0,8

0,714

0,6
0,5
0,4

0,586

0,516

0,5

0,2

J1
J

0

1

2

3 3,29

Hình 5-9. Biến thiên hệ số m với J1/J.

η1 v   

J1
J

(5-26)

Nếu biết tỷ số J1/J thì ta có thể tìm được thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn. Có thể biểu thị lực
tới hạn của thanh theo công thức quen thuộc như sau:
Pth 

π 2 EJ

(5-27)

µl 2

Hệ số  phụ thuộc tỷ số J1/J có các giá trị cho trong bảng 5-1.
Bảng 5-1. Bảng các giá trị của hệ số m
J1/J

0,1

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

1,0

2,0

3,0

2/3



0,950

0,912

0,845

0,818

0,793

0,750

0,714

0,586

0,516

0,500

Nếu xét dạng mất ổn định phản đối xứng thì theo (5-24) ta có  = 0,5. Theo (5-26), trị số này
tương ứng với khi
J1/J = 2/3 = 3,2898. Như vậy khi
J1/J < 2/3 thì thanh sẽ bị mất ổn định
2
theo dạng đối xứng còn khi J1/J >  /3 thì thanh sẽ bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng và hệ số  có
giá trị không đổi bằng 0,5. Trên (hình 5-9) là đồ thị biến thiên của hệ số  theo các tỷ số J1/J khác nhau.
5.4.2 Ổn định của thanh liên tục ba nhịp có gối trung gian là gối đàn hồi
Xét hệ cho trên (hình 5-10). Giả sử độ cứng c của hai gối trung gian như nhau. Hệ đang xét có tính
chất đối xứng nên ta có thể phân tích bài toán thành hai trường hợp: biến dạng đối xứng và biến dạng
phản đối xứng.

I
P

P
l0

II l
0

l0
l

Hình 5-10. Sơ đồ thanh
5.4.2.1 Trường hợp hệ bị mất ổn định theo dạng đối xứng.
Ta có sơ đồ tính có dạng như trên (hình 5-11a).

122


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
- Hệ cơ bản (hình 5-11b).
- Phương trình ổn định:
D

r11

r12

r21

r22

0

a,

P
l 0 /2

l0
b,

Z1
Z2

P
3EJ (v)
1
2
l0

c,

Z 1 =1

P

d,

3EJ (v)

1
2
l0
P

M1
2EJ v/2
Z 2 =1 l 0 tgv/2

M2

Hình 5-11. Mất ổn định theo dạng đối xứng.
- Vẽ biểu đồ đơn vị (hình 5-11c và d)
- Xác định được phản lực đơn vị :
r11 

r22

3EJ
3EJ
η1 v   c  3
3
l0
l0

2 
3EJ

η 1 v   5 f  ; r12  r21  l 3  1 v  ;



0

v
v 

3EJ
2EJ 2
3EJ 
2 2 

 1 v  

 1 v  
;
v
l0
l0
l0 
3 v
tg
tg

2
2 

trong đó:
v  l0

P

l P
;

EJ 3 EJ

f 

5cl 03
5 cl 3

.
6EJ 162 EJ

(5-28)
(5-29)

Sau khi thay phản lực đơn vị vào phương trình ổn định và khai triển ra ta được:



1 v 
 v   1 v  1 v  

3 v

tg
5
2 

f 

1 v
2
1 v  
3 v
tg
2
2
1

(5-30)

123


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
Nếu biết kích thước của thanh và độ cứng của liên kết đàn hồi, tức là biết giá trị của đại lượng f thì
sau khi giải phương trình (5-30) ta sẽ xác định được thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn. Theo (5-28) ta
có:
Pth 

9v 2 EJ π 2 EJ
,

l2
µl 2

Trong đó:

µ

(5-31)

π
.
3v

5.4.2.2 Trường hợp thanh bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng.
Sơ đồ tính của thanh có dạng như trên (hình 5-12a). Hệ cơ bản vẽ trên (hình 5-12b).
a,

P
l 0 /2

l0
b,

Z1
Z2

P
Z 1 =1

c,
P

12EJ (v/2)
1
l 02
M1

3EJ  (v)
1
l 02
d,

Z 2 =1

P
3EJ (v)
1
l 02

M2

6EJ  (v/2)
1
l 02

Hình 5-12. Mất ổn định theo dạng phản xứng

Phương trình ổn định: D 

r11
r21

r12
 0.
r22

Từ các biểu đồ đơn vị vẽ trên hình 5-12c, d ta dễ dàng xác định được các phản lực đơn vị:

r11 

3EJ
24EJ  v 
3EJ 
v 2 
η1 v   3 η1    c  3  η1 v   8η1    f  ;
3
l0
l0
l0 
2
2 5 

r22 

3EJ 
 v 
 1 v   2 1    ;

l0 
 2 

r12  r21 

3EJ 
 v 
 v   4 1    .
3  1
l0 

 2 

Thay các số liệu vừa tìm được ở trên vào phương trình ổn định và sau khi khai triển ta được:
2



 v 
 v  
 v 
 1 v   4 1  2    η1 v   8η1  2   1 v   2 1  2  
5
 
  
 

f
2
v
 1 v   2 1  
2

trong đó f và v được xác định theo các công thức (5-29) và (5-28).

124

(5-32)


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

Tương tự như trên, nếu biết f và độ cứng của gối đàn hồi thì sau khi giải (5-32) ta sẽ xác định được
v và từ đó suy ra lực tới hạn theo (5-31).
Thí dụ 5-1. Nghiên cứu sự ổn định của dầm liên tục hai nhịp chịu lực nén P (hình 5-4).
Trong trường hợp tổng quát ta có:
- Các chiều dài quy ước:
λ 1  l1

J1
J
 l1 ; λ 2  l 2 1
J1
J2

- Các thông số vi (theo 5-11 và 5-10):
v 1  l1

l
P
; v 2  v1 2
EJ 1
l1

J1
J2

(a)

Theo (5-8), phương trình ba mô men viết cho trường hợp này có dạng:



J
2 l1 v1   l 2 1  v2  M 1  0 .
J

2


Phương trình ổn định:  v1   

l2 J 1
 v2  .
l1 J 2

(b)

Nếu biết kích thước cụ thể của dầm ta có thể giải phương trình (b) bằng phương pháp đồ thị hoặc
bằng phương pháp thử dần, tiếp đó suy ra lực tới hạn theo công thức (a). Để giải phương trình siêu việt
(b) bằng phương pháp đồ thị, trên hình dựng sẵn đường biểu diễn của hàm số (v1). Như vậy, sau khi biết
các kích thước cụ thể của dầm ta có thể sử dụng bảng hàm số (v) trong phần phụ lục để xác định giá trị
của vế phải theo các giá trị khác nhau của đối số v1. Căn cứ vào những số liệu này ta sẽ dựng đường cong
biểu thị vế phải của phương trình (b) theo đối số v1. Giao điểm của đường cong này với đường cong (v1)
đã dựng sẵn trên (hình 5-5) cho ta nghiệm v1 của phương trình (b). Kinh nghiệm cho biết, hai đường cong
đó thường gặp nhau trong khoảng  < v1 < 4,5.
Trường hợp đặc biệt khi J1 = J2= const,
phương trình ổn định (b) có dạng:
αv 1   

l2
l1

 l 
α v 1 2 
 l1 

(c)

125


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

v1

1- 1
BiÓu ®å ®­êng 
v1 = v3 
1 v1 tgv1

10
8
6
4
2
0


1,0 2,0 3,0

4,5


6,0

2
4
6
8
10

Hình 5-5.
Nếu biết tỷ số giữa các chiều dài nhịp ta có thể giải phương trình (c) và tiếp đó suy ra lực tới hạn
theo công thức sau:
Pth  v 12

EJ
l12

(d)

Đồ thị vẽ trên (hình 5-6) biểu thị các giá trị của nghiệm số v1 tương ứng với các tỷ số l2/l1 khác
nhau. Như vậy ta có thể dễ dàng xác định lực tới hạn cho dầm liên tục hai nhịp có độ cứng không đổi theo
đồ thị 5-6.

126


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

Thí dụ 5-2. Nghiên cứu sự ổn định của dầm liên tục ba nhịp chịu lực nén P như trên (hình 5-7).
v1

Theo 5-8,
ta viết được phương trình ba
mô men cho hai
gối 1 và 2 như sau:
4,4938
4,4
P
P
J
J
4,2
l1
l2
l 1 l2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2

3,0

l2
l1
0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Hình 5-6. Đồ thị tra v1 cho dầm hai nhịp.
1
J1
l1

J2

2

P
J3
l3

l2

Hình 5-7. Dầm liên tục ba nhịp.
2λ 1 αv1   λ 2 α v 2 M 1  λ 2 βv 2 M 2  0

λ 2 βv 2 M 1  2λ 2 αv 2   λ 3 αv 3 M 2  0 .

Phương trình ổn định:
D

2λ1αv1   λ 2 α v 2 

λ 2 β v 2 
0
λ 2 βv 2 
2λ 2 α v 2   λ 3 αv 3 

Khai triển định thức trên đồng thời thay 1 = J0l1/J1 ta được:

 
 l J
l J
l J
4 αv 1   2 1 αv 2  x αv 2   3 2 α v 3   2 1 β 2 v 2   0
l1 J 2
l2 J 3

 
 l1 J 2

Trong đó:

127

(a)


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
v 2  v1

l2
l1

J1
;
J2

v 3  v1

l3
l1

J1
.
J3

Sau khi biến đổi và rút gọn lại ta được:

αv 1  

 1 2  l2 J1 

  α 2  v 1 l2 J1
 β  v 1
 l J
 4  l1 J 2 
1
2

 l
J 1  l3 J 2  l3 J 1 
α v 1 2


α v
 l J  l J  1l J 
1
2 
2 3 
1
3 


l2 J1
l1 J 2

  l3 J 2  l 2 J 1   l3 J 1 


 

  l J .α v 1 l J .α v 1 l J 
2
3
1
2
1
3


 
 (b)


 l 2 J 1  l3 J 2  l3 J 1 


α v 1
α v
 l J  l J  1l J 
1
2 
2 3 
1
3 


Để tìm nghiệm v1 của phương trình siêu việt (b) ta có thể dùng phương pháp đồ thị như trường hợp
trên.
Trường hợp đặc biệt khi: J1 = J2= J3 = J = const; l1 = l2= l3 = l = const.
Phương trình ổn định (a) có dạng:
D

4αv  βv 
P
 0 , với v  l
.
βv  4αv 
EJ

4αv2  βv 2  0 .
4αv  βv .4αv  βv  0 .

Suy ra:

Hay :

Phương trình này thoả mãn với hai trường hợp:
a) 4αv   βv   0 (Dạng mất ổn định đối xứng).
Nghiệm nhỏ nhất: v = 5,14.
b) 4αv  βv   0

(Dạng mất ổn định phản đối xứng).

Nghiệm nhỏ nhất: v = 3,88.
Hai nghiệm vừa tìm được xảy ra tương ứng với trường hợp M1 và M2 khác không. Về ý nghĩa vật
lý, dầm cũng có thể mất ổn định với trường hợp M1 = M2 = 0. Lúc này đường biến dạng của hệ có dạng
như đường đứt nét trên (hình 5-8). Mỗi nhịp dầm sẽ làm việc như một thanh đơn giản có khớp ở hai đầu,
do đó  = v.

EJ=const
P
l

So sánh ba
quả thứ ba tương
Pth  v 2

l

l

kết quả tìm được ở trên ta thấy kết

Hình 5-8. Sơ đồ biến dạng dầm ba nhịp ứng với  = v là nhỏ nhất. Do đó:

EJ π 2 EJ
 2 .
l2
l

Thí dụ 5-3. Xác định tải trọng tới hạn cho dầm liên tục trên (hình 5-9).
Chiều dài quy ước của các nhịp:

128


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn
J
J
J
λ1  l1  l1  6m ; λ 2  l 2
9
 6m .
J1
J2
1,5J

P1
P2
2P
3P
2P
6
; v2  l2

9
9
 1,5v1
EJ1
EJ
EJ 2
E.1,5J
EJ

Các thông số: v1  l1

2P

J1=J

P

J 2 =1,5J

6m

9m
P

2P
6m

Theo 5-14, ta

9m

có:

2λ1αv1   6λ n 1 γv 2 M1  0 .

Hình 5-9. Ví dụ 5-3.

Hay:

(b)

12αv1   36γ1,5v1 M  0 .
Phương trình ổn định:

6αv1   18γ1,5v1   0
Hay theo (5-12) ta được:
6αv1  

9
0
2 2 1,5v1 

(c)

Để giải phương trình ta dùng phương pháp thử dần:
Khi v1 = 3,05, ta có:

6.11,157 

9

0
2  0,0611

Khi v1 = 3,06,ta có: 6.12,031 

9
0
2  0,0729

Như vậy, trị số v1 sẽ nằm giữa khoảng 3,05 và 3,06. Ta chọn v1 = 3,054. Theo (a) ta tìm được:
Pth 

v 12 EJ 3,054 2 EJ

.
2 62
2 62

Thí dụ 5-4. Xác định tải trọng tới hạn cho dầm liên tục vẽ trên (hình 5-12a) theo phương pháp
chuyển vị.
Hệ cơ bản chọn như trên (hình 5-12b). Phương trình chính tắc:
r11 Z1  0

Trong trường hợp này dầm bị mất ổn định với Z1  0. Phương trình ổn định có dạng:
r11 = 0

129


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

Theo công thức (5-19) và (5-20) ta có:
r11 

3EJ1
3EJ 2
1 v 1 
 1 v 2   0
l1
l2

(a)

Trong đó:
2P
EJ 1

v1  l1

v 2  l2

(b)

3P
2P
 1,5l1
 1,5v1
E.1,5J1
EJ1

(c)

Như vậy, phương trình (a) sẽ trở thành:

 1 v1   1 1,5v1   0

(d)

Để giải phương trình (d) ta dùng phương pháp thử dần.
Khi v1 = 2,34; 1(2,34) = 0,5589; 1,5v1 = 3,51; 1(3,51) = -0,5075.
Thay vào phương trình (d) ta có:
0,5589 - 0,5079 = 0,0514 > 0

(e)

Khi v1 = 2,36; 1(2,36) = 0,5496; 1,5v1 = 3,54; 1(3,54) = -0,5638
Thay vào phương trình (d) ta có:
0,5496 - 0,5638 = -0,5638 < 0

(f)

Như vậy, giá trị của v1 ở trong khoảng: 2,34 < v1 < 2,36.
Vì kết quả (f) gần bằng không hơn kết quả (e) nên ta chọn v1 = 2,355. Theo (b), ta có:
Pth 

2,355
2

2

EJ

.
62

Thí dụ 5-5. Xác định lực tới hạn cho thanh xiên chịu nén ACDB trong dàn vẽ trên
(hình 514d). Cho biết thanh đang xét có chiều dài l và độ cứng EJ, còn thanh bị cắt có chiều dài l1 và độ cứng
EJ1. Xác định độ cứng c của gối tựa đàn hồi theo điều kiện biến dạng đối xứng của thanh bị cắt. Về giá
trị, c chính là lực cần tác dụng vuông góc với mặt phẳng dàn tại các chỗ giao nhau của thanh bị cắt với
thanh chịu nén, để sao cho độ võng tại các điểm đó bằng đơn vị. Nói khác đi, c có giá trị bằng giá trị
nghịch đảo của độ võng  tại các chỗ giao nhau khi thanh bị cắt chịu các lực P = 1 như trên (hình 5-23)
thì: c 

1
.
δ

Để xác định  ta áp dụng khái niệm về chuyển vị khái quát. Từ các biểu đồ đơn vị trên (hình 5-23),
ta có:
3

3

1l  l 
5
5 l13
EJ 1 δ *  2EJ 1 .2δ  M 1 M 1  2.  1    1   l13 . Suy ra: δ 
.
3 3   3 
81
162 EJ 1

Và c 

162 EJ 1
5 cl13 J 1l 3
.
Theo
(5-26)
trong
trường
hợp
này
ta
có:
f

 3 .
5 l13
162 EJ 1
Jl1

Sau khi biết f ta có thể sử dụng đồ thị vẽ trên (hình 5-22) để suy ra hệ số  và từ đó xác định được
lực tới hạn.
Trường hợp đặc biệt khi J1 = J, l1 = l, ta có f = 1. Từ đố thị (hình 5-22) ta tìm được

130

 = 0,07.


Chương 5. Ổn định của dầm liên tục và của dàn

Do đó, theo (5-31): Pth 

π 2 EJ

0,7l 2

.

131