hoctoancapba.com Tiep tuyen cua do thi ham so

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

⇔

Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

§1. Tiếp tuyến tại một điểm

và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm

tắt lý thuyết

Cho
.
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến với

tại

là đường thẳng
.

Ta cũng nói rằng
hoặc

và

tiếp xúc với

hay

tiếp xúc

,

tiếp xúc nhau.

Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua

của

tại

, ta phải hiểu rằng

là tiếp tuyến với

thuộc
hoặc không, trong trường hợp thuộc
(xem các hình vẽ ở dưới).

1
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

tại một điểm

thì

thuộc

và

nào đó. Điểm

là nơi xảy

có thể

lại có thể là tiếp điểm hoặc không


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến qua

của

.

Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

của

:

.
B2

đi qua

B3 Thay mỗi
.
B. Các

khi và chỉ khi

. Giải phương trình này để tìm

tìm được ở bước 2 vào phương trình

, ta được một tiếp tuyến qua

.

của

ví dụ

Ví dụ 1. Cho

. Viết phương trình tiếp tuyến của

tại điểm

có hoành độ

bằng .

Giải. Ta có

. Lần lượt thay
và

vào các biểu thức của

. Suy ra phương trình tiếp tuyến với

tại

và

, ta được

là:

.
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu
đến một hàm số.

và

Ví dụ 2. Cho
điểm của

thay cho

và

trong trường hợp bài toán chỉ đề cập

. Viết phương trình các tiếp tuyến của
với trục hoành.

Giải. Từ phương trình của

, cho

ta được:

.
2
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

tại những giao


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Suy ra

Phạm Hồng Phong

có hai giao điểm với trục hoành là

Từ

suy ra

các điểm

,

và

,

.

. Do đó phương trình tiếp tuyến với

tại

lần lượt là:
,
.

Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho
của

. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

.

Giải. Phương trình tiếp tuyến của

tại điểm có hoành độ

là:
.

Điều kiện

đi qua

tương đương với

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

.

⇒

•

.

•

.

Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
C. Bài

của

tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của
3
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

biết rằng:

là

,

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

1)

là đồ thị hàm số

và hoành độ tiếp điểm bằng

2)

là đồ thị hàm số

và tung độ tiếp điểm bằng

3)

là đồ thị hàm số

và tiếp điểm là giao điểm của

4)

là đồ thị hàm số

5)

là đồ thị hàm số

và tiếp tuyến đi qua

với trục tung;
;
.

. Tìm những điểm thuộc

mà tiếp tuyến tại đó đi qua

dẫn và đáp số

Bài 1. 1

;5

;

và tiếp tuyến đi qua

Bài 2. Cho
gốc tọa độ.
D. Hướng

;

; 2
,

4
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

,
. Bài 2.

; 3

; 4
.

,

,


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến
A. Tóm

tắt lý thuyết

Xét bài toán sau đây.
Bài toán. Cho đồ thị hàm số
thỏa mãn một điều kiện nào đó.

. Tìm điều kiện của tham số để

Phương pháp giải. B1 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

có tiếp tuyến

của

:

.

B2 Áp điều kiện của bài toán lên đường thẳng

để nhận được một phương trình ẩn

tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trình này có nghiệm
B. Các

. Tiếp

.

ví dụ

Ví dụ 1. Cho

. Chứng minh qua điểm

không tồn tại tiếp tuyến của

.
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

của

.

đi qua

nghĩa là

.
Vậy không tồn tại

để

đi qua

Ví dụ 2. Cho
Giải. Phương trình tiếp tuyến với

. Nói cách khác qua
. Tìm

để

không có tiếp tuyến của

có tiếp tuyến đi qua

tại điểm có hoành độ

.

.

là:
.

5
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

có tiếp tuyến đi qua

Phạm Hồng Phong

khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với

:

.
Ta có
(
Do đó

).

có nghiệm khi và chỉ khi
.

Vậy

có tiếp tuyến đi qua

Ví dụ 3. Cho

khi và chỉ khi

.

. Tìm trên đường thẳng

các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của

.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của

tại điểm có hoành độ

(

) là:

.

Điểm
Qua

nằm trên đường thẳng
có tiếp tuyến tới

tọa độ

có dạng

khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với

.
Ta thấy

6
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.
:


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.
Trường hợp 1.

. Khi đó

trở thành

.
Trong trường hợp này

có nghiệm

Trường hợp 2.

có nghiệm.

. Khi đó

trong trường hợp này

là phương trình bậc hai có

có nghiệm khi và chỉ khi

. Do đó,

có nghiệm, tức là
.

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho
Giải. Phương trình tiếp tuyến của

.

và

. Tìm

tại điểm có hoành độ

để

(

tiếp xúc với

.

) là:

.
tiếp xúc với

khi và chỉ khi tồn tại

sao cho hai đường thẳng

hệ sau đây có nghiệm đối với

.
Ta có
7
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

và

trùng nhau. Tức là


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.

.
•

vô nghiệm

•

:

. Thay

vô nghiệm.

vào vế trái của

ta có

là một nghiệm của
tiếp xúc với

khi và chỉ khi

Ví dụ 5. Cho
Với mỗi

có nghiệm. Vậy

.
. Tìm

để đường thẳng

tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của

Giải. Phương trình tiếp tuyến của

tiếp xúc với

và

.

.

tại điểm có hoành độ

là:
.

tiếp xúc với

khi và chỉ khi tồn tại

sao cho

và

trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ

sau đây có nghiệm đối với

.
. Thay
Vậy tiếp xúc với
khi và chỉ khi
8
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

vào

ta có

.

. Khi đó hoành độ tiếp điểm là

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương
C. Bài

Phạm Hồng Phong

tập

Bài 1. Cho
của

. Chứng minh rằng qua

của

, không tồn tại tiếp tuyến nào

.

Bài 2. Tìm

sao cho đồ thị hàm số

Bài 3. Cho

có tiếp tuyến đi qua điểm

.

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới
2) Tìm những điểm trên đường thẳng
D. Hướng

.

;

mà qua đó có thể kẻ được tiếp tuyến tới

.

dẫn và đáp số
. Bài 3. 1 Những điểm cần tìm có dạng

Bài 2.

tìm có dạng

với

với

; 2 Những điểm cần

.

§3. Hệ số góc của tiếp tuyến
A. Giới

thiệu

Ta biết rằng
là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
. Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến.
B. Các

ví dụ

Ví dụ 1. Cho

. Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng

của
.
Giải. Ta có

.

Ta có

,

. Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
,
.

9
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Ví dụ 2. Cho

Phạm Hồng Phong

. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

.
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

của

là:
.

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi
. Ta có

. Do đó

nhỏ nhất bằng

, đạt được khi và chỉ khi

, suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

là:
.

Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho
thẳng
Giải. Gọi

của

. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
.

là tiếp tuyến với

tại điểm có hoành độ

có hệ số góc là

.
.
Vậy tiếp tuyến vuông góc với

của

là

.

Chú ý. (Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc)
Cho

và

. Ta có:

•

;

•

;

•

;

10
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

•

Cho

Phạm Hồng Phong

, ta có:

tạo với

góc

thì:

tạo với

góc

Đặc biệt, nếu

Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho
. Tìm

;
.

. Gọi

để tiếp tuyến tại

của

Giải. Phương trình tiếp tuyến tại

là điểm thuộc

có hoành độ bằng

song song với đường thẳng
của

.

là

.

Ta có

. Do đó

Vậy tiếp tuyến tại

.

của

song song với đường thẳng

Ví dụ 5. Cho
bằng

và

. Gọi
của

. Tìm

để các tiếp tuyến của

Giải. Ta có
lượt là

và
vuông góc với nhau khi và chỉ khi

và

.
lần lượt là các điểm có hoành độ
tại

vuông góc với nhau.

hệ số góc các tiếp tuyến của
. Do đó các tiếp tuyến của

.
11
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

và

tại

và
tại

lần
và


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương
C. Bài

Phạm Hồng Phong

tập

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của
1)

là đồ thị hàm số

2)

là đồ thị hàm số

biết
, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

Bài 2. Cho

. Tìm

nhất của đồ thị là

. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của
1) [ĐHB06]

để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

biết rằng

là đồ thị hàm số

và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

.
2)

là đồ thị hàm số

3)

là đồ thị hàm số
góc

và tiếp tuyến song song với đường thẳng

và tiếp tuyến tạo với đường thẳng

.

Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị
vuông góc với đường thẳng

của hàm số

. Tìm điều kiện của

tuyến vuông góc với đường thẳng

Bài 1. 1

mà tiếp tuyến tại đó

.

Bài 5. Cho
D. Hướng

.

để

có tiếp

.

dẫn và đáp số
; 2

thì tiếp tuyến là

12
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

. Bài 2.

,
. Bài 3. 1

thì tiếp tuyến là
,

,
; 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

3
Bài 5.

,
hoặc

13
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

Phạm Hồng Phong

,
. hoctoancapba.com

,

. Bài 4.

và

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm

tắt lý thuyết

Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm
đến :

và đường thẳng

. Ta có công thức tính khoảng cách từ

.
2. Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.

B. Một

số ví dụ

Ví dụ 1. Cho
với

góc

. Viết phương trình các tiếp tuyến của

biết tiếp tuyến tạo

.

Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến

tại điểm có hoành độ

của

là:

.
Ta có

.

•

.
+)

+)
14
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

•

.
+)

.

+)

.

Các tiếp tuyến tạo với

Ví dụ 2. Cho

góc

của

là:

,

,

,

. Viết phương trình tiếp tuyến của
một khoảng bằng

Giải. Phương trình tiếp tuyến của

biết tiếp tuyến cách

.

tại điểm có hoành độ

(

) là:

.

Do đó:

15
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.

•

.

•

.

•

.

•

.

Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

,

,

,

.

Ví dụ 3. Cho
điểm

.Viết phương trình tiếp tuyến của
và

biết tiếp tuyến cách đều các

.

Giải. Phương trình tiếp tuyến của

tại điểm có hoành độ

(

.
cách đều các điểm
16

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

và

khi và chỉ khi:

) là:


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.

•

.

•

.

Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều

Ví dụ 4. Cho
tiếp tuyến của
Giải. Giả sử

và

của

. Tìm tọa độ điểm
tại

là

,

.

sao cho khoảng cách từ điểm

tới

đạt giá trị lớn nhất.

là hoành độ của

tiếp tuyến tại

của

có phương trình:

.
17
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

Theo bất đẳng thức Cô-si:
khi và chỉ khi

, suy ra

. Đẳng thức xảy ra

.
Vậy khoảng cách

lớn nhất bằng

, đạt được khi và chỉ khi

hoặc

Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho
tại

cắt hai trục

,

Giải. Ta có
với

tại

,

. Xét điểm

tại

. Tìm tọa độ điểm

thuộc

sao cho tam giác

có diện tích bằng

,

có hoành độ

biết tiếp tuyến của

. Ta có phương trình tiếp tuyến

: hoctoancapba.com

.

,

.

Ta có

,

18
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.
C. Bài

tập

Bài 1. Cho

. Tìm

hoành độ bằng

và

để tiếp tuyến của

tạo với nhau một góc có cô-sin bằng

Bài 2. Cho

.

. Viết phương trình tiếp tuyến của

một khoảng bằng
Bài 3. Cho

tại các điểm có

biết tiếp tuyến cách

.
. Viết phương trình tiếp tuyến của

biết khoảng cách từ điểm

tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. [ĐHA09] Cho

. Viết phương trình tiếp tuyến của

các trục tọa độ tại các điểm

,

Bài 5. Cho

. Viết phương trình tiếp tuyến của

tọa độ tại các điểm

,

Bài 6. Cho
trục tọa độ
D. Hướng

sao cho tam giác

cân tại

sao cho trung trực của đoạn thẳng

.
biết tiếp tuyến cắt các trục
đi qua gốc tọa độ

. Viết phương trình tiếp tuyến của
,

lần lượt tại hai điểm

dẫn và đáp số

19
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

,

biết tiếp tuyến cắt

phân biệt sao cho

.

biết rằng tiếp tuyến cắt các
.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Bài 1..

hoặc

. Bài 2.. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

,

cầu bài toán là:
toán là

Phạm Hồng Phong

,
,

,

. Bài 3.. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu

. Bài 4.. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài

. Bài 5.. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là

Bài 6.. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là

20
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

,
.

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

§5. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm

tắt lý thuyết

1. Định nghĩa (Hình 1). Cho

và

.

và

tiếp xúc với nhau tại điểm

•

là một điểm chung của
và
;
• Tiếp tuyến của hai đường cong tại
trùng nhau.
Điểm
được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số

và

, ta xét hệ:

.
Ta có:
•

và

•

Nghiệm của

•

tiếp xúc nhau

hệ

tiếp tuyến chung của

là:

và

tại điểm có hoành độ

.

Hệ quả. Đường thẳng

B. Một

;

chính là hoành độ tiếp điểm;

là hoành độ tiếp điểm

hệ

có nghiệm đối với

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

có nghiệm đối với

số ví dụ

21
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.

khi và chỉ khi


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

Ví dụ 1. [SGKNC] Cho
và
tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung.
Giải. Ký hiệu

và

. Chứng minh

và

. Xét hệ:

.

Ta có

Vậy

.

và

tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng

.

phương trình tiếp tuyến chung là:

hay

Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng
(

là tiếp tuyến của parabol

) khi và chỉ khi phương trình

có nghiệm kép.

Giải. Ta có
(
Do đó:

).

có nghiệm kép

.

Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với

.

22
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

.

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

Ta có

.

có nghiệm

là nghiệm của

có nghiệm kép (ĐPCM). hoctoancapba.com
Ví dụ 3. [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng qua điểm

và tiếp xúc với parabol

.
Giải. Phương trình đường thẳng qua

có hệ số góc

có dạng

.
Xét phương trình

hay

tiếp xúc với parabol đã cho

(

).

có nghiệm kép

.

•

.

•

.

Vậy qua điểm

có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là:

Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho
của

và

.

. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

.

Giải. Đường thẳng qua
là tiếp tuyến của
23
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

, hệ số góc

có phương trình dạng

khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.
Thế

vào

ta có:

.
Do đó:

có nghiệm

•

Thay

•

Thay

vào
vào

là nghiệm của

hoặc

ta có
ta có

.

của

Ví dụ 5. [ĐHD02] Cho

và

tiếp xúc với

.

Do đó

có nghiệm khi và chỉ khi

24
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

là

,

. Tìm

khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với

Ta có

.

.

Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm

Giải.

là nghiệm của

để

.

tiếp xúc với

.


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương

Phạm Hồng Phong

.
Vậy
C. Bài

tiếp xúc với

.

tập

Bài 1. [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung
và

1)

.

và

2)

.
,

3)

và

.

Bài 2. [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol
chúng vuông góc với nhau.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến qua
,

1)

là đồ thị hàm số

,

2)

của đồ thị

và

trong các trường hợp sau:
.

là đồ thị hàm số

Bài 4. Chứng minh rằng qua

đi qua điểm

.
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm số

.
Bài 5. Tìm
D. Hướng
Bài 1. 1

để đường thẳng

tiếp xúc với đồ thị

.

dẫn và đáp số
; 2

; 3

tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
25
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

. Chú ý. Ba đồ thị hàm số

,

có nghiệm đối với

,

. Bài 2.