tài liệu ôn thi môn toán trắc nghiệm lớp 12

ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN

BÀI 02+03

Bài 02+03: Cực trị của hàm số bậc 3 ( Tự luận)

Bài tập tự luyện
Đáp án chi tiết
Bài toán 1: Cho hàm số: y  x 3  3 m  1 x 2  9x  m .
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x 1 ; x 2 sao cho: x 1  x 2  2 .
Bài giải:
; y '  3x 2  6 m  1 x  9

Tập xác định: D 

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2
m  1  3
2
  'y '  0  9 m  1  27  0  m 2  2m  2  0  
1
m  1  3








Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
x  x  2 m  1
Theo định lý Vi-et, ta có:  1 2
x .x  3

 1 2

Khi đó: x 1  x 2  2   x 1  x 2   4x 1 .x 2  4  4 m  1  12  4  m  1  4  3  m  1 2 
2

2

2

Kết luận: Từ 1 và  2  suy ra giá trị cần tìm là: m  3; 1  3   1  3;1

 


Bài toán 2: Cho hàm số: y 





2 3
x  m  1 x 2  m 2  4m  3 x , với m là tham số thực.
3





Gọi các điểm cực trị là x 1 ; x 2 . Tìm Max của biểu thức: A  x1.x 2  2 x1  x 2 
Bài giải:



Tập xác định: D 



; y '  2x 2  2 m  1 x  m 2  4m  3

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2





2





  'y '  0  m  1  2 m 2  4m  3  0  m 2  6m  5  0  5  m  1

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương

trình y '  0 )






x  x   m  1
2
 1
m 2  4m  3
x 1 .x 2 

2

Theo định lý Vi-et, ta có:  
Ta có:





A  x1.x 2  2 x1  x 2 

( Do: 5  m  1 
A

m 2  4m  3
1
1

1
 2 m  1  m 2  8m  7 
m  7 m 1   m  7 m 1
2
2
2
2















1
1
m 7 m 1   m  7 m 1 )
2
2

















2
1
1
9
9  m 2  8m  16   9  m  4  




 2
2
2





Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: m  4
9
2

Kết luận: Vậy MaxA=  m  4 .

Bài toán 3: Tìm m để hàm số: y  m  2  x 3  3x 2  mx  5 , với m là tham số thực.
Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các
số dương

Bài giải:
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
 Phương trình y '  3 m  2   6x  m  0 có 2 nghiệm dương phân biệt
2





a  m  2  0

 '  9  3m m  2  0

m
 P 

0
3 m 2



S  3  0

m 2









 '  m 2  2m  3  0


m  0
m  2  0


3  m  1

 3  m  2
m  0
m  2


Kết luận: Vậy m   3; 2  để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.

Bài toán 4: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.
Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y  x  1

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2






  'y '  0  9  3m  0  m  3 *

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:
1
 2m


 2m


 2m



1
m
m
m
y   x   y ' 
 2  x   2    y1  y x 1   
 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3


 3


 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3




 

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y  x  1  xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng vơi đường thẳng
 2m

3
 2  1  m  
( Thỏa mãn )
y  x 1   
2
 3


Trường hợp 2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng: y  x  1
 yI  x I  1 

y1  y 2
2



x1  x 2
2

 2m



m
1  
 2  x1  x 2  2  2    x1  x 2  2
3
 3











 2m

2m

 3  .2  6 
m 0
3
 3



3
2

Kết luận: Vậy các giá trị cần tìm của m là: m  0;   .


Bài toán 5: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm
cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  3

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2
  'y '  0  9  3m  0  m  3

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:
1
 2m


 2m


 2m


1

m
m
m
y   x   y ' 
 2  x   2    y1  y x 1   
 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3


 3


 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3




 

Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d : y  4x  3


  2m

 2   4
 
3


 
 m  3 ( Thỏa mãn)


m
 2    3

3

Kết luận: Vậy m  3 để đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi
qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d : y  4x  3

Bài toán 6: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  2 , với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d : x  4y  5  0 một góc 45

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  m

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2  phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2



  'y '  0  9  3m  0  m  3 *

Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được:
1
 2m


 2m


 2m


1
m
m
m
y   x   y ' 
 2  x   2    y1  y x 1   

 2  x 1   2   ; y2   
 2  x2   2  
3
3
3
3
3
 3


 3


 3


 2m


m
 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:  : y   
 2  x2   2  
3
 3



 

 2m


1
 2  . Đường thẳng d : x  4y  5  0 có hệ số góc bằng  .
4
 3


Đặt: k   




1
1
1
3
39
k   1 k
k 
m



4 
4
4
5 
10


Ta có: tan 45 
1
1
5
1
1



k   1  k
k 
m
1 k

4
4

3

2
4
k

Kết hợp điều kiện *  , suy ra giá trị cần tìm của m là: m  

1
2

1
để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các

2
điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x  4y  5  0 một góc 45

Kết luận: Vậy m  

Chú ý: Nếu k1; k2 theo thứ tự là hệ số góc của d1;d2 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1;d2 .
Khi đó ta có công thức sau: tan  

k1  k2
1  k1 .k2

( Điều kiện: d1 KHÔNG vuông góc với d 2 )


Bài toán 7: Tìm m để hàm số: y  x 3  mx 2  m 2  m  1 x  1 đạt cực tiểu tại x  1 .
1
3

Bài giải:
Tập xác định: D 

; y '  x 2  2mx  m 2  m  1; y ''  2x  2m

   m  3m  2  0  m  1  m  2 ( Vô nghiệm )


m 1
2  2m  0
y '' 1  0






  
y ' 1  0

2

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 khi: 

Kết luận: Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
Bài toán 8: Tìm m để hàm số: y  m  2  x 3  3x 2  mx  5 có cực đại và cực tiểu .

Bài giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu  y '  x  đổi dấu 2 lần

 

 Phương trình y ' x  0 có hai nghiệm phân biệt





 3 m  2 x 2  6x  m  0 có hai nghiệm phân biệt

m  2  0



 '  3m 2  6m  9  0


m  2

 2
m  2m  3  0

m  2

3  m  1

Kết luận: Vậy m   3; 1  \ 2 để hàm số tồn tại 2 điểm cực trị

Bài toán 9: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  mx  m  2 C m  , với m là tham số thực.
Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C m  và trục hoành:
x  1
x 3  3x 2  mx  m  2  0 1   2
x  2x  m  2  0 2





C  có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
m





 Phương trình 1 có 3 nghiệm phân biệt  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
  '  3  m  0

m3
g 1  m  3  0

 


Kết luận: Vậy m  3 để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
trục hoành.
Bài toán 10: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  m *
Xác định m để đồ thị hàm số *  có hai điểm cực trị A; B sao cho AOB  120

Bài giải:
x  2  y  m  4

Tập xác định: D 

; y '  3x 2  6x  y '  0  

x 0y m


Vậy hàm số có hai điểm cực trị: A  0; m  và B  2; m  4 









OA  0; m ;OB  2; m  4 . Để AOB  120 thì c osAOB  





m m4






2
m  4  m  4 


2



1

2


2
1
4  m  0
 m 2  4  m  4   2m m  4   2
3m  24m  44  0


2











 4  m  0
12  2 3


(Thỏa mãn).
12  2 3  m 
3
m 


3

Kết luận: Vậy m 

12  2 3
để đồ thị hàm số * có hai điểm cực trị A; B sao cho AOB  120 .
3



Bài toán 11: Cho hàm số: y  x 3  3mx 2  3  m2  1 m  m3  m  *  , với m là tham số thực.



Tìm m để hàm số * có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc
tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O .

Bài giải:
Tập xác định: D 



; y '  3x 2  6mx  3 m 2  1



Hàm số *  có cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt
 x 2  2mx  m 2  1  0 có 2 nghiệm phân biệt    1  0, m

Khi đ: Điểm cực đại: A m  1;2  2m  và điểm cực tiểu B m  1; 2  2m 
Ta có: OA  2OB  m2  6m  1  0  m  3  2 2 ( Thỏa mãn )


Kết luận: Vậy m  3  2 2 để hàm số  *  có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng
đến gốc tọa độ O .

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài toán 12: Cho hàm số: y  x 3  3x 2  3 1  m  x  1  3m C m 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
Bài giải:
Tập xác định: D 



; y '  3 x 2  2x  1  m



Hàm số *  có cực trị thì phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt    0  m  0 *
Khi đó, hàm số đã cho có 2 điểm cực trị: A x1; y1  và B x 2 ; y2  ( x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của phương
trình y '  0 )
Thiện hiện phép chia y cho y ' ta được phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
 : y  2mx  2m  2  y1  2mx1  2m  2; y2  2mx 2  2m  2





Ta có: AB  x 2  x1;2m x1  x 2   AB 

x

2

 x1



2



 4m 2 x 2  x1



2

 x 2  x1

4m 2  1

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên  AB  , h là khoảng cách từ O đến AB thì:
h 

2m  2

1
1
 S  .AB.h  x 2  x1
2
2
2
4m  1

Theo giả thiết: 4 

4m 2  1.

2m  2
4m 2  1

 x 2  x1 m  1

2 m
. m  1  2 m. m  1  4  m m  1
1









2

4



m 3  2m2  m  4  0  m  1 m 2  3m  4  0  m  1 ( Thỏa mãn ).

Kết luận: Vậy m  1 để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .