Tài liệu ôn thi môn Toán vào lớp 10

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài tập chọn lọc
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó
thì từng phương trình của hệ không đổi
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2
≥
4P
Giải hệ để tìm S và P
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
t
2
- St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2

1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ − − =

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y
thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
Cách giải
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một
ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ
Giải hệ phương trình

2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= − +


= − +



3
3
13 6
13 6
x x y
y y x

= −


= −



3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2 2
2 2
0
' ' ' 0
ax bxy cy
a x b xy c y

+ + =


+ + =


Cách giải
Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nếu x
≠
0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Kjd Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
Ví dụ
Giải hệ phương trình
1
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =


− =


2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y
x xy y

− + =


+ − =


Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phương trình
( 2)( 2)
( 4)( 3) 6

x y xy
x y xy
+ − =


+ − = +


( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 18
x y x y
x y x y
− − − + − =


− + − − − =

( 5)( 2)
( 5)( 12)
x y xy
x y xy
+ − =


− + =

5 1
10
1 1
1 3

18
1 1
x y
x y

+ =

− −



+ =

− −

4 1
1
2 2
20 3
1
2 2
x y x y
x y x y

− =

+ −




+ =

+ −

4 3 13
36
6 10
1
x y
x y

+ =




+ =


Bài 2. Giải các hệ phương trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2
10
4
x y
x y

+ =

+ =

5
13
6
x y
x y
y x
+ =



+ =


2
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

CÁC BÀI HPT CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình
4
1

mx y
x my
+ =


− =

1. CMR hpt có nghiệm với mọi m?
2. Có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2
8
1
x y
m
+ =
+
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
3. Tìm số nguyên m để hpt có nghiệm nguyên.
KQ:
2 2
4 1 4
1 1
m m
x y
m m
+ −
= =
+ +
.
Bài 2. Cho hệ phương trình:

3
4 6
mx y
x my
+ =


+ =


1. Tìm m để hpt có vô số nghiệm?
2. Tìm m để hpt vô nghiệm?
3. Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0 ?
KQ:
3 6
2 2
x y
m m
= =
+ +
.
Bài 3. Cho hệ phương trình
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + = −



− = −

Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất.
KQ:
1 2x m y m= − = −
.
Bài 4. Cho hệ phương trình
( 1) 1
( 1) 2
m x y m
x m y
+ − = +


+ − =

Tìm các giá trị của m để hpt có nghiệm tmđk: S = x + y đạt GTNN?
Bài 5. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx
3
+ (m + 1)x
2
- (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2).
Bài 6. Cho hệ phương trình:
2 1
( 1) 2.
mx my m
x m y
+ = +



+ + =

1. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
) thì điểm A(x
0
; y
0
) luôn luôn thuộc
một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
2. Xác định m để A thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
3. Xác định m để A thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5
.
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình:
4 2
.
mx y m
x my m
+ = +


+ =

có nghiệm duy nhất
(x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.

Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D (2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A,
B, C, D thẳng hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình
gì?
3
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Cho phương trình: x
2
+ (2m - 1)x - m = 0
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2. Cho phương trình (k - 1)x
2
- 2kx + k - 4 = 0.
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1

, x
2
không
phụ thuộc vào k?
Bài 3. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình:
1/ x
2
+ (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn
2 2
1 2
10x x+ =
2/ x
2
- (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x
1
= ‘2x
2
3/ x
2
- mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x

2
) -19 = 0
Bài 4. Cho phương trình bậc hai: mx
2
- (5m - 2)x + 6m - 5 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 5. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn

2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 6. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
|
Bài 7. Cho phương trình: x
2
- mx + m - 1 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x
P
x x x x
+
=
+ + +

4
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x
2
+ mx + 1 = 0; x
2
+ x + m = 0
Bài 2. Cho hai phương trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0; x
2
+ q
2
x + q
2
= 0
Chứng minh rằng nếu
1 2 1 2
2( )p p q q≥ +
thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có
nghiệm
Bài 3. Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau:
2x
2

+ (3k + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7k - 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình sau vô
nghiệm:
a
2
x
2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phương trình
x
2
+ 2ax + ac = 0; x
2
- 2bx + ab - c = 0; x
2
+ 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phương trình: ax
2

+ bx + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm
nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
a. a(a + 2b + c) < 0
b. 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phương trình: kx
2
- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 9. Cho phương trình: 2x
2
- 3x + 1 = 0. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình . Không
giải phương trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
a.
1 2
1 1
A
x x
= +
b.
1 2
1 2
1 1x x
B
x x
− −
= +
c.

2 2
1 2
C x x= +
d.
1 2
2 1
1 1
x x
D
x x
= +
+ +
Bài 11. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình: 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Không giải phương trình
hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
;
2 2
1
1

y x
x
= +
Bài 12. Cho phương trình
2
2 3 1 0x x− + =
. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu
thức
a.
3 3
1 2
A x x= +
b.
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
B
x x x x
+ +
=
+
Bài 19. Cho phương trình: x
2
+ px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phương trình thỏa mãn
1 2

3 3
1 2
5
35
x x
x x
− =



− =


Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x
2
- 2x - m
2
= 0 có các nghiệm x
1
, x
2
. Lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y
1
, y
2
sao cho:
a. y
1
= x

1
- 3, y
2
= x
2
- 3
b. y
1
= 2x
1
- 1, y
2
= 2x
2
- 1
Bài 21. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
5
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

1 2
3 3
1 2
2
26
x x
x x
− =




− =


Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm
x
2
+ ax + b - 1 = 0
x
2
+ bx + c - 1 = 0
x
2
+ cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phương trình:
x
2
+ 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x
2
+ 2x + a) - 2(a - 1)(x
2
+ 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô
nghiệm.
Bài 24. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x
1
(1 - x

1
) + x
2
(1 - x
2
) tron đó x
1
, x
2
là hai nghiệm
của phương trình không phụ thuộc vào m
Bài 25. Cho phương trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 4 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiệm của phương trình
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn đẳng thức:
1 2
2 1
5
0
2
x x
x x

+ + =
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương
x
2
+ (4m + 3n)x - 9 = 0.
x
2
+ (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 27. Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x
1
, x
2
a. Chứng minh rằng phương trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt
b. Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

≥
4
Bài 28. Cho phương trình: x
2

- (2m + 1)x + m
2
+ m = 0
a. Biết rằng phương trình có một nghiệm x
1
= 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức
-2 < x
1
< x
2
< 4
Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phương trình
x
4
+ 2x
2
+ 2ax + a
2
+ 2a + 1 = 0.
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 30. Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba
phương trình sau:
x
2
+ ax + b = 0
x
2
+ bx + c = 0
x

2
+ cx + a = 0.
Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm
Bài 31. Cho biết phương trình x
2
+ bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là
1 2
2 4
+
. Tìm các cặp số (b, c)
6
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương
trình bậc hai:
(m - 2)x
2
- 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
2
5
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình: mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2

1x x+ =
:
Bài 34. Cho phương trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào
có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Xác định m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
4. Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 35. Cho phương trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x

2
phân biệt thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
.
Bài 36. Cho phương trình x
2
+ 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy
thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b:
(a + 1)x
2
- 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2

4 3 7
2 5
x y
x y m
− =


+ =

Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ ax + 8 = 0 (1) và x
2
+ x + a = 0 (2).
Bài 41. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0:
(m + 1)x
2
- 2x + (m - 1) = 0.
Bài 42. Xác định m để phương trình: (m + 1)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng
âm, cùng dương, và trái dấu nhau
Bài 43. Tìm giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
x
3
- m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 44. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.

Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu
2
4
b c
a a
≥ +
.
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu
bm = 2(c + n):
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phương trình ax
2
+ bx +2 c = 0 và ax
2
+ bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận
dụng bài 22 để chứng minh phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
7
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 1x y
x y a
+ =


+ =

Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1)và x
2
+ mx + 2 = 0 (2).
Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x
2
+ (7m-15)x -19 = 0.
Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x

2
+ (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x
2
- (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x
2
- 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một
nghiệm của phương trình x
2
- 4x + m = 0 (2).
Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình
x
2
+ ax + bc = 0(1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
1. Biết phương trình (1) có nghiệm dương m,
2. Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2.
Bài 58. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x
1

, x
2
của phương trình (1), các
nghiệm x
3
, x
4
của phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức:
2 2 2 2
1 2 3 4
4x x x x+ + + =
.
Bài 59. Phương trình x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
, x
2
. Phương trình x
2
- b
2
x + bc = 0 có
nghiệm x
3
, x
4
.
Biết x
3

- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x
2
+ ax + 6 = 0 và x
2
+ bx + 12 = 0 có ít nhất
một nghiệm chung và
a b+
nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phương trình x
2
+ mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phương trình
2 2
2 2 4 3 0x m x x m+ − − + + =
có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phương trình 3x
2
- 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x
2
- (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn
hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x

2
+ x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 66. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x
3
- (m + 1)x
2
+ (m
2
+ m - 3)x - m
2
+ 3 = 0.
Bài 67. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:(m - 3)x
4
- 2mx
2
+ 6m = 0.
Bài 68. Tìm giá trị của m để phương trình: mx
4
- 10mx
2
+ m + 8 = 0
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có bốn nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x

4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thỏa mãn điều kiện:x
4
- x
3
= x
3
- x
2
= x
2
- x
1
.
Bài 76. Cho phương trình ẩn x: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x
1
, x
2

của phương trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
10x x+ ≥
.
Bài 78. Cho phương trình: (m - 1)x
2
+ 2(m -1)x - m = 0.
a. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 79. Cho phương trình: x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0.
8
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

a. Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b. Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 80. Cho hai phương trình: x
2

+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
a. Tương đương với nhau.
b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 81
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b. Cho phương trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt khác -1.
Bài 84. Cho phương trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
và khi
đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 85. Cho phương trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.
1. Định m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
10x x+ =
.
Bài 85. Cho phương trình x
2
- 2mx + m + 2 = 0.
1. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm.
2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức:
1 2
E x x= +
theo m.
Bài 87. Cho phương trình: 3x
2
- mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn:
3x

1
x
2
= 2x
2
- 2.
Bài 88. Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x - m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn:
1 1
2
1
y x
x
= +
,
2 2
1
1
y x
x
= +
.
Bài 89. Cho phương trình: 3x

2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn:
2 2
1 2
5
9
x x− =
.
Bài 90. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 4)x + m
2
- 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
A = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
2 2
1 2 1 2

B x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 91. Cho phương trình: x
2
- 4x - (m
2
+ 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Xác định m để:
2 2
1 2 1 2
4( )x x x x+ = +
.
Bài 92. Cho phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:

2 2
1 2
2 1
7.
x x
x x
   
+ >
 ÷  ÷
   
Bài 93. Cho phương trình: 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
9
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

2. Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn bất đẳng thức:
2
1 2 1 2

2
3 1
2
x x x x
 
+ + ≤ +
 ÷
 ÷
 
.
Bài 94. Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
.
Bài 95. Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac.
Bài 96. Cho hai phương trình: x
2
+ mx + 2 = 0 (1) x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

b. Định m để hai phương trình tương đương.
c. Xác định m để phương trình: (x
2
+ mx +2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 100. Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a ≠ 0. Cho biết
phương trình có một nghiệm
1 2+
. Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 101. Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx
2
- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có
nghiệm số hữu tỷ.
Bài 102. Cho phương trình: 3x
2
+ 4(a - 1)x + a
2
- 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
1 2
1 2
1 1
2

x x
x x
+
= +
.
Bài 105. Cho hai phương trình: 2x
2
+ mx - 1 = 0 (1) mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung.
Bài 106. Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình: 3x
2
- cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá
trị của biểu thức:
3 3
1 2
1 1
S
x x
= +
.
Bài 107. Xác định a để 2 phương trình: x
2
+ ax + 8 = 0 và x
2

+ x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 108. Cho phương trình: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có
hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
2
x x
x x
+ =
.
Bài 109. Cho biết x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx +
c = 0 (
0; , ,a a b c R≠ ∈
). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
2 2
1 2
1 1
,

x x
.
Bài 110. Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0. Hãy viết phương
trình bậc hai nhận
3 3
1 2
,x x
làm hai nghiệm.
Bài 111. Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có
hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 112. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 6.
1. Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
2. Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn:
3 3
1 2
50x x− =
.
Bài 114. Cho phương trình: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có 2
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
3 3
1 2
72x x+ =
.
Bài 116. Cho phương trình: x
2
- (m - 1)x - m
2
+ m - 2 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
10
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 117. Cho hai phương trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0
Cho biết a
1
a
2
≥ 2(b
1
+ b
2
). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 119. Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m.
Bài 120. Cho phương trình: (m + 2)x
2
- 2(m - 1)x + 3 - m = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2

không phụ thuộc vào m
3. Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
1 2
1 2
1 1
,
1 1
x x
X X
x x
− −
= =
+ +
.
Bài 121. Cho phương trình: x
2
+ (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 122. Cho phương trình: (a - 3)x
2

- 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
1. Giải phương trình khi a = 13.
2. Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 123. Cho phương trình: 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: -1 < x
1
< x
2
< 1.
4. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, hãy lập một hệ thức
giữa x
1
, x
2
không có m.
Bài 124. Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0.

1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 125. Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
- x
2
= 5 và
3 3
1 2
35x x− =
. Tính các nghiệm đó.
Bài 126. Giả sử phương trình: ax
2
+ bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong
đó có đúng một nghiệm dương x
1
thì phương trình: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân
biệt trong đó t
1
> 0 thỏa mãn: x
1

+ t
1
≥ 2.
Bài 130. Cho phương trình: 2x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 9m + 39 = 0.
1. Giải phương trình khi m = 9.
2. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm
các nghiệm đó.
Bài 131. Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm là
a và b.
Bài 132. Cho f(x) = (4m - 3)x
2
- 3(m + 1)x + 2(m + 1).
1. Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0.
2. Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương.
3. Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Lập một hệ thức giữa x
1
, x
2

không phụ thuộc vào m.
11
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 138. Giả sử phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác
định m để biểu thức:
2 2
1 2 1 2
10E x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 140. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
a. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương
trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b. Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 141. Cho phương trình: x
2
- mx + m -1 = 0. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Với giá trị nào của m, biểu
thức:

1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
R
x x x x
+
=
+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 142. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn các hệ thức:
a. 4x
1
x
2
+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
b.
( ) ( )
1 2

1
1 1
1
x x
a
− − =
+
(2)
Bài 145. Cho phương trình: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a. Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b. Xác định a để phương trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 146. Cho phương trình: x
2
- ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.
a. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+ −
=

+
.
b. Tìm giá trị của a để:
2 2
1 2
P x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 147. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 1= 0.
a. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b. Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 148. Cho phương trình: ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi a, b phương trình đã cho đều có nghiệm.
b. Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao
nhiêu?
Bài 149. Cho phương trình: x
2
- 2mx - 2m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b. Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1

, x
2
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
5
2
x x
x x
+ = −
.
Bài 150. Cho phương trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a. Giải và biện luận phương trình theo m.
b. Khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
• Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với m.

• Tìm m sao cho:
1 2
2x x− ≥
.
Bài 151. Cho phương trình : x
2
- 2x - (m -1)(m - 3) = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm.
c. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức:
1 2
( 1)E x x= +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 152. Cho phương trình: x
2
+ 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0.
a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
12
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2

1 2
x x=
.
Bài 153. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phương trình: t
2
- 12t + b = 0
Cho biết:
1 2 1
2 1 2
x x t
x t t
= =
. Tính a và b.
A. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Kiến thức cơ bản
Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng

của x và x được gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ
thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
* Tổng quát
+
2 1
1 2 1 2
2 1

( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x
−
> ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) đồng biến trên D
+
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x
−
< ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) nghịch biến trên D
Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho
trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
13
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a
≠
0) và (d’): y = a’x + b’ (a’
≠
0). Khi đó
+
'
// '

'
a a
d d
b b
=

⇔

≠

+
{ }
' ' 'd d A a a∩ = ⇔ ≠
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

≡ ⇔

=

+
' . ' 1d d a a
⊥ ⇔ = −
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a

≠
0)
• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A
là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax
+ b và có tung độ dương
• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b
f. Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x - x
0
) + y
0
- Đường thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0

≠
0 là

0 0
1
x y
x y
+ =
Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a
≠
0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối

xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
Quan hệ giữa Parabol y = ax
2

(a
≠
0) và đường thẳng y = mx + n (m
≠
0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
2
y ax
y mx n

=

= +

14
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
- Đồ thị (C
1
): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục tung b đơn
vị
- Đồ thị (C
2
): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a
đơn vị
- Đồ thị (C
3
): y = f(|x|) gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy
- Đồ thị (C
4
): y = |f(x)| gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
d. Hàm số chẵn, Hàm số lẻ
- Hàm số y = f(x) được gọi là chẵn nếu
+
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
+ f(-x) = f(x)
x D∀ ∈
- Hàm số y = f(x) được gọi là lẻ nếu
+
x D x D

∀ ∈ ⇒ − ∈
+ f(-x) = - f(x)
x D
∀ ∈
e. Chú ý
- Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc tọa độ
Sơ lược về hàm bậc hai tổng quát y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)
a. Tính chất
Hàm bậc hai y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) xác định với mọi giá trị x thuộc R
- Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến
( ; ]
2
b
x
a
∀ ∈ −∞ −
, đồng biến
[ ; )
2
b
x

a
∀ ∈ − +∞
- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến
( ; ]
2
b
x
a
∀ ∈ −∞ −
, nghịch biến
[ ; )
2
b
x
a
∀ ∈ − +∞
a. Đồ thị
Đồ thị của hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) là một Parabol có đỉnh
( ; )
2 4
b
S
a a
∆
− −
có trục đối

xứng
2
b
x
a
= −
- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên trên nhận S làm điểm thấp nhất
- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống dưới nhận S làm điểm cao nhất nhất
a. Chú ý
15
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

- Tọa độ giao điểm của (P): y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) và (D): y = mx + n là nghiệm của hệ
2
y ax bx c
y mx n

= + +

= +

- Hoành độ giao điểm của (P): y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) và (D): y = mx + n là nghiệm của

phương trình: ax
2
+ bx + c = mx + n
- Giao điểm của (P): y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) và trục hoành là nghiệm của phương trình
ax
2
+ bx + c = 0
Ví dụ minh học
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b. Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các
đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính
chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và
1
2
y x=
.
a. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
b. Qua điểm E(0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng
1
2
y x=
và y
= - 2x lần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện

tích của tam giác đó.
Bài 3: Cho hàm số
y x=
.
a. Vẽ đồ thị hàm số;
b. Vẽ đường thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số
y x=
ở A và B. Tam giác OAB là tam giác
gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của
hàm số với giá trị tìm được của m.
c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m.
a. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
c. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm được ở câu a, b.
Bài 6: Cho ba đường thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1.
a. Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đường
thẳng y = -1 với hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm
tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 7: Cho đường thẳng (d): ;y = - 2x + 3.
a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính
khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d.
16
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

b. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đường thẳng d.
Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng:
y = 2x + 7 (d
1
)
1 7
3 3
y x= − +
(d
2
)
2 1
y x
k k
= − −
(d
3
)
đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.
Bài 10: Cho hai đường thẳng: y = (m + 1)x - 3 và y = (2m - 1)x + 4.
a. Chứng minh rằng khi
1
2
m = −
thì hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a. Khi
3a =

, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
3−
.
b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3).
c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6).
d. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng
7y x=
và đi qua điểm
( )
1;7 7+
.
Bài 12: Cho đường thẳng: y = 4x (d).
a. Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với đường thẳng (d) và có tung độ gốc
bằng 10.
b. Viết phương trình đường thẳng (d
2
) vuông góc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại
điểm có hoành độ bằng – 8.
c. Viết phương trình đường thẳng (d
3
) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A,
cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d
1
)
1
2
2

y x= − −
(d
2
).
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d
1
) với trục Oy là A, giao điểm của đường thẳng (d
2
)
với trục Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) là C. Tam giác ABC là
tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x - 5 (d
1
) ;
1
4
y x=
(d
2
) ; y = 4x (d
3
)
a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d

1
) với đường thẳng (d
2
) và (d
3
) lần lượt là A và B.
Tìm tọa độ các điểm A, B.
c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao?
d. Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 15: Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d
1
) và y = 3x + 7 (d
2
).
a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) với trục Oy lần lượt là A và B. Tìm tọa
độ trung điểm I của đoạn AB.
c. Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
). Chứng minh tam giác OIJ là tam
giác vuông. Tính diện tích của tam giác đó.
Bài 16: Cho hai đường thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d

2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
17
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2

) trùng nhau.
Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d). Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng
(d):
a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3).
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 3−
, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
3 3+
.
c. Cắt đường thẳng 3y - x - 4 = 0.
d. Song song với đường thẳng 2x + 5y = - 1.
e. Trùng với đường thẳng y - 3x - 7 = 0.
Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
1
(0; )
4
F
a
và đường thẳng (d):
1
4
y
a
= −
(a ≠ 0).
Gọi M(x; y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng (d).
a. Tính MF
2
và MH
2

theo x, y là tọa độ của điểm M.
b. Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y.
Bài 19: Cho hàm số: y = (m
2
- 6m + 12)x
2
.
a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng
(0; 2005).
b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2.
c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết
1 2,x = + x = 1- 2
và
1 2
1 2
x
+
=
−
.
Bài 20: Cho hàm số: y = - (k
2
– 2k + 3)x
2
.
a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong
khoảng (-∞; 0).
b. Khi k = 1, tính giá trị của y, biết
2 3x = −
,

2 3x = +
và
2 3
2 3
x
−
=
+
.
c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10.
Bài 21: Cho hàm số: y = (2m + 1)x
2
.
a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1.
b. Với giá trị tìm được của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x
2
và đồ thị y = 4x – 2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b.
Bài 22. Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a
≠
0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1
b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 1/2 và 1
c. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2).
Bài 23. Cho đường thẳng (d): y = (k - 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đường thẳng
(d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)

b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ
1 2−
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
2 2+
18
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

c. Cắt đường thẳng -2y + x - 3 = 0
d. Song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đường thẳng (d): y = -2x - 2.
a. Chứng minh A
∈
(d)
b. Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A
c. Tìm đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d)
d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đường thẳng tìm được trong câu c, và C là giao
điểm của đường thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích
tam giác ABC.
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x
2
/4 và đường thẳng (d): y = mx + n.
Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Song song với đường thẳng y = x và tiếp xúc với (P)
b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trường hợp trên.
Bài 26. Cho hàm số:
2
1
2
y x= −

.
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường
thẳng MN.
3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (d) của nó song song với đường thẳng MN
và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 27. Cho hàm số
2
1
2
y x= −
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 28. Cho hàm số:
2
( ) 2 2 1y f x x x= = − − +
.
1. Vẽ đồ thị hàm số trên.
2. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.
Bài 29. Cho hàm số: y = x
2
và y = x + m (m là tham số).
1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x
2
và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm
phân biệt A và B.
2. Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.
b). Áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là

3 3
.
Bài 30. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax
2
và (D) là đồ thị hàm số y = -
x + m.
1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A qua trục
tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 31. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng:
(D
1
): y = x + 1; (D
2
): x + 2y + 4 = 0
1. Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán.
2. Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm
được.
19
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

3. Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 32. Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax
2
và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục.
1. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm được.
2. Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phương trình đường thẳng AB.

3. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 33. Cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ
lần lượt là
- 2 và 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Viết phưong trình của (D).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hoành độ)
[ ]
2;4x∈ −
sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 34. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
1
4
y x= −
và đường thẳng (D): y = mx -
2m - 1.
1. Vẽ (P).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
3. Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P):
2
1
4

y x=
và đường thẳng (D) qua điểm
3
( ; 1)
2
I −
có hệ số góc m.
1. Vẽ (P) và viết phưong trình của (D).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
3. Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt.
Bài 36. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đường thẳng (D):
1
2
2
y x= − +
.
1. Vẽ (P) và (D).
2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D).
3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với
(D).
Bài 37. Cho họ đường thẳng có phưong trình: mx + (2m - 1)y + 3 = 0 (1).
1. Viết phưong trình đường thẳng đi qua A(2; 1).
2. Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm
tọa độ của M.
Bài 38. Cho hàm số:

3 2
2
2 2 8 8
( )
4
x x x
y f x
x
+ − −
= =
−
.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Vẽ đồ thị (D) của hàm số.
3. Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ được mấy đường thẳng không cắt đồ thị (D) của hàm số?
Bài 39. Cho parabol (P): y = x
2
- 4x + 3.
1. Chứng minh đường thẳng y = 2x - 6 tiếp xúc với (P).
2. Giải bằng đồ thị bất phưong trình: x
2
- 4x + 3 > 2x - 4.
20
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 40. Cho parabol
2
1
2
y x=

(P), điểm I(0; 2) và điểm M(m; 0) với m ≠ 0.
1. Vẽ (P).
2. Viết phưong trình đường thẳng (D) đi qua hai điểm M, I.
3. Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi
m ≠ 0.
4. Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK là
tam giác vuông.
5. Chứng minh rằng độ dài đoạn AB > 4 với mọi m ≠ 0.
Bài 41. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P):
2
1
4
y x= −
và điểm I(0; -2). Gọi
(D) là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc m.
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ
tích trung điểm M của AB.
3. Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 42. Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thị (P).
1. Vẽ đồ thị (P).
2. Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau
và cùng tiếp xúc với (P).
Bài 43. Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng (D): y = kx
+ b.
1. Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1).

2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1).
3. Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1) và 2).
4. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm
3
; 1
2
C
 
−
 ÷
 
và có hệ số góc m.
a. Viết phưong trình đường thẳng của (d).
b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông
góc với nhau.
Bài 44. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị (P) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Vẽ (P).
2. Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có hoành độ -1 và 2. Chứng minh rằng;
tam giác OAB vuông.
3. Viết phưong trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P).
4. Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số).
a. Chứng minh rằng; (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b. Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2

1 2
1 1
11
x x
+ =
. Vẽ (d) với m tìm được.
Bài 45. Cho hàm số:
2 2
2 1 6 9y x x x x= − + + − +
.
1. Vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị của x tương ứng.
3. Với giá trị nào của x thì y ≥ 4.
21
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

Bài 46. Cho hàm số:
2
4
4
x x
y
−
=
có đồ thị (P).
1. Vẽ (P).
2. Viết phưong trình các đường tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P).
3. Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P).
Bài 47. Cho hàm số: y = 2x
2

(P).
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
2. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc và
cùng tiếp xúc với (P).
Bài 48. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x
2
+ 4x - 3 và đường thẳng (D); 2y
+ 4x - 17 = 0.
1. Vẽ (P) và (D).
2. Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Bài 49. Cho parabol (P): y = - x
2
+ 6x - 5. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số
góc m.
1. Chứng tỏ rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C.
2. Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 50. Cho parabol (P):
2
1
2
y x=
và đường thẳng (d) có phưong trình:
1
2
y mx= +
.
1. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ
tích trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Bài 51. Cho hai đường thẳng (d

1
): y = (m
2
+ 2m)x và (d
2
): y = ax (a
≠
0).
1. Định a để (d
2
) đi qua A(3; -1).
2. Tìm các giá trị m để cho (d
1
) vuông góc với (d
2
) ở câu 1).
Bài 52. Cho hàm số: y = ax + b.
1. Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d
1
) của
hàm số với a, b tìm được.
2. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m
2
– m)x + m
2
+ m là một đường thẳng song song với
(d
1
). Vẽ (d
2

) vừa tìm được.
3. Gọi A là điểm trên đường thẳng (d
1
) có hoành độ x = 2. Tìm phưong trình đường thẳng
(d
3
) đi qua A vuông góc với cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách giữa (d
1
)
và (d
2
).
Bài 53. Cho hàm số: y = mx - 2m - 1 (1) (m
≠
0).
1. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. Vẽ đồ thị (d
1
) vừa tìm được.
2. Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với các trục Ox và
Oy. Xác định m để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t).
3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 54. Cho parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(2; 3), B(- 1; 0).
1. Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát và vẽ (P) với a tìm được.
2. Tìm phưong trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) (ở câu

1).
3. Gọi C là giao điểm có hoành độ dương. Viết phưong trình đường thẳng qua C và có với
(P) một điểm chung duy nhất.
Bài 55.
22
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

1. Cho parabol (P): y = ax
2
; cho biết A(1; -1)
∈
(P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.
2. Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2mx - m + 2.
3. Chứng tỏ rằng,
1
;2
2
I
 
 ÷
 
thuộc (d) với mọi m. Tìm phưong trình các đường thẳng đi qua I
và có với (P) điểm chung duy nhất.
Bài 56.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số
2
2
x
y =
và đường thẳng (d):

1
2
y x= −
.
2. Chứng minh rằng (d) là một tiếp tuyến của (P).
3. Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x - m bằng hai cách (đồ thị và phép toán).
Bài 57. Cho parabol (P):
2
1
4
y x=
và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành
độ lần lượt là 2 và - 4.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P).
2. Viết phưong trình đường thẳng (d).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
4. Tìm trên trục Ox điểm N sao cho NA + NB nhỏ nhất.
Bài 58. Cho parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(- 2; - 5) và B(3; 5).
1. Viết phưong trình đường thẳng AB. Xác định a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P).
Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
3. Một đường thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và
N. Xác định vị trí của (D) để
5
2
MN =
.
Bài 59. Cho hàm số: y = x

2
- 2x + m - 1 có đồ thị (P).
1. Vẽ đồ thị (P) khi m = 1.
2. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với trục hoành.
3. Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đường thẳng (d) có phưong trình: y = x + 1 tại
hai điểm phân biệt.
Bài 60. Cho đường thẳng (D
1
): y = mx - 3.
(D
2
): y = 2mx + 1 - m.
1. Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đường thẳng (D
1
) và (D
2
) ứng với m = 1. Tìm
tọa độ giao điểm B của chúng. Qua O viết phưong trình đường thẳng vuông góc với (D
1
)
tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác AOB.
2. Chứng tỏ rằng các đường thẳng (D
1
) và (D
2
) đều đi qua những điểm cố định. Tìm tọa độ
của điểm cố định.
Bài 61. Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d

2
) có phưong trình:
(d
1
):
3
2 3
2
m
y x m
−
= + −
và (d
2
):
1 2
( 2)
3
m
y m x
−
= − + +
.
1. Chứng minh rằng (d
1
) và (d
2
) đi qua các điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định.
2. Viết phưong trình các đường thẳng (d
1

) và (d
2
); cho biết (d
1
) thẳng góc với (d
2
).
3. Viết phưong trình các đường thẳng (d
1
) và (d
2
); cho biết (d
1
) song song với (d
2
).
Bài 62. Cho parabol (P):
2
1
2
y x=
.
23
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

1. Viết phưong trình đường thẳng có hệ số góc m và đi qua điểm A trên trục hoành có
hoành độ là 1, đường thẳng này gọi là (D).
2. Biện luận theo m số giao điểm của (P) và (D).
3. Viết phưong trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. Trong trường hợp (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I

của AB.
5. Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D) không đi qua với mọi m.
Bài 63. Cho parabol (P): y = x
2
- 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (D) là đường thẳng đi qua A và
có hệ số góc m.
1. Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
2. Xác định m để MN ngắn nhất.
Bài 64. Cho hàm số: y = x
2
- 2mx + m
2
- 1 có đồ thị là (P).
1. Chứng minh rằng; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đỉnh của parabol luôn luôn chạy trên một đường thẳng
song song với trục hoành.
CÁC DẠNG BÀI TẬP ÔN THI VÀO LỚP 10
( SƯU TẦM )

PHẦN 1. CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức :

+
−+
−
+
+
=
6

5
3
2
aaa
a
P
a−2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức:
P=








+−
+
+
−
+
+
−
+









+
−
65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của x để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:
P=









+
−
−








−
+
+
−
−
−
13
23
1:
19
8
13

1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 4: Cho biểu thức :
24
C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10

P=








−−+
−
−









+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819 −=a
Bài 5: Cho biểu thức;
P=

















−
+
+








+
−
−
+

−
a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2
1
)
Bài 6: Cho biểu thức:
P=









−
+
−
+
+
+








−
−
+
+
+
+
12
2
12
1
1:1
12
2

12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức:
P=








+
+









−
−
−−+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P
≤
0
Bài 8: Cho biểu thức:
P=









−
+
+








++
−
+
a
a
a
aa
a
a
a
1
1
.
1
12

3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a−1
Bài 9: Cho biểu thức:

1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
+ − + −
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 

a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
7 4 3x = −

c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 10: Cho biểu thức :
25