ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN
BÀI 04
Bài 04: Cực trị bậc 4
Bài tập tự luyện
Bài toán 1: Tìm tham số m để đồ thị thàm số y x4 2m2 x2 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba
điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài giải:
Tập xác định: D
x 0
; y ' 4x 3 4m 2x ; y ' 0
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
2
x m *
m2 0 m 0
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A 0;1 ; B m;1 m 4 ;C m;1 m 4
Nhận xét: Do A 0;1 Oy , B m;1 m 4 và C m;1 m 4 luôn đối xứng với nhau qua Oy nên
ABC là tam giác cân tại A .
Vậy nếu ba điểm cực trị này tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân, điều này tương
đương với ABC vuông tại A .
Gọi M 0;1 m 4 là trung điểm của BC . Tam giác ABC vuông tại A BC 2AM
Ta có: AM
0 0 1 m
2
1
4
2
m 4 ; BC
m m 1 m 1 m
2
4
4
2
2m
BC 2AM 2 m 2m 4 m 1 ( Do: m 0 ) m 1 ( Thỏa mãn )
Kết luận: Vậy m 1 để đồ thị thàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này tạo
thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài toán 2: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 (3m 1)x2 3 có ba điểm cực trị tạo thành
một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng
2
lần độ dài cạnh bên.
3
Bài giải:
x 0
Tập xác định: D
; y ' 4x 3 2 3m 1 x ; y ' 0
x2
3m 1
*
2
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
3m 1
1
0m
2
3
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:
3m 1
3m 1
A 0; 3 ; B
;
2
4
2
3m 1
3m 1
3 ;C
;
2
4
2
3
2
3m 1
3m 1
3m 1
3m 1
Nhận xét: Do A 0; 3 Oy , B
;
3 và C
;
2
4
2
4
đối xứng với nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .
Mà yêu cầu bài toán: độ dài cạnh đáy bằng
3m 1
Ta có: BC 2
; AB
2
4
3 luôn
2
2
lần độ dài cạnh bên nên: BC AB
3
3
8 3m 1
16
3m 1
2
3m 1 2
BC AB 2
2
3
3
3m 1
2
4
3m 1 1 3m 1 8 3m 1
2
9
16
4
8 3m 1
3m 1 1
2
3
3m 1
16
5
TM
m
3
m 1 L
3
4
8 3m 1
16
5
để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho
3
2
độ dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên.
3
Kết luận: Vậy m
Bài toán 3: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2(m 2)x2 m2 5m 5 có cực đại, cực tiểu
tạo thành một tam giác đều.
Bài giải:
Tập xác định: D
x 0
; y ' 4x 3 4 m 2 x ; y ' 0
x2 2 m *
Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2 m 0 m 2
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:
A 0;m2 5m 5 ; B
Nhận xét: Do A 0;m2 5m 5 Oy , B
2 m ;1 m ;C 2 m ;1 m
2 m ;1 m
và C 2 m ;1 m luôn đối xứng với
nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .
Yêu cầu bài toán: ABC là tam giác đều AB BC ( Do: ABC cân tại A )
Ta có: AB m 4 8m 3 24m 2 33m 18 ; BC 2 2 m
AB BC m 4 8m 3 24m 2 33m 18 2 2 m m 4 8m 3 24m 2 29m 10 0
m 2 m 3 6m 2 12m 5 0 m 2 m 2
3
3 0
m 2 L
m 2 3 3 m 2 3 3 ( Thỏa mãn )
3
m 2 3
Kết luận: Vậy m 2 3 3 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác đều.
Bài toán 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m2 m có ba điểm cực trị và ba điểm
cực trị đó tạo thành tam giác có 1 góc bằng 120o.
Bài giải:
Tập xác định: D
x 0
; y ' 4x 3 4mx ; y ' 0
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
x m *
m 0 m 0
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là: A 0;m2 m ; B
Nhận xét: Do A 0;m2 m Oy , B
m ; m ;C m ; m
m ; m và C m ; m luôn đối xứng với nhau qua Oy nên
ABC là tam giác cân tại A .
Yêu cầu bài toán: Tam giác có 1 góc bằng 120 BAC 120 ( Do ABC cân tại A )
cosBAC cos120
Ta có: AB
m ; m 2 ; AC m ; m 2
m m
4
Vậy nên:
1
AB.AC
1
2
2
AB . AC
m4 m
1
m 1 1
3
m 0 m 3 3 ( Thỏa mãn điều kiện )
2
m 1 2
3
Kết luận: Vậy: m 3 3 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành tam
giác có 1 góc bằng 120o.
Bài toán 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 2m m4 có cực đại, cực tiểu mà các
cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài giải:
Tập xác định: D
x 0
; y ' 4x 3 4mx ; y ' 0
Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
x m *
m 0
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:
A 0; m4 2m ; B
Nhận xét: Do A 0;m4 2m Oy , B
2m và C m ;m m 2m luôn đối xứng
m ; m4 m 2 2m ;C m ; m4 m 2 2m
m ; m4 m 2
4
2
với nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .
Gọi M 0;m4 m 2 2m là trung điểm của cạnh BC
1
2
Do ABC cân tại A nên SABC AM .BC 1
1
2
2
5
2
Mà: AM m ; BC 2 m .m .2 m 1 m 1 m 1 ( Thỏa mãn ).
Kết luận: Vậy m 1 để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 1.
Bài toán 6: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 2x4 m2 x2 m2 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao
cho bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi.
Bài giải:
x 0
Tập xác định: D
; y ' 8x 3 2m 2x ; y ' 0
m2
x2
*
4
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác 0
m2
0m 0
4
Khi đó, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị là:
m m4
m m 4
A 0; m2 1 ; B ;
m 2 1 ;C
;
m 2 1
8
8
2
2
4
4
m m
m m
Nhận xét: Do A 0;m2 1 Oy , B ;
m 2 1 và C
;
m 2 1 luôn đối xứng với
8
8
2
2
nhau qua Oy nên ABC là tam giác cân tại A .
m4
Gọi M 0;
m 2 1 là trung điểm của cạnh BC
8
O, A, B,C là bốn đỉnh của 1 hình thoi M là trung điểm của đoạn thẳng OA
x A xO
x M
m4
m2 1
2
m2 1
m 4 4m 2 4 0 m 2 2 m 2
y
y
8
2
O
y A
M
2
Kết luận: Vậy m 2 để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A, B, C
là bốn đỉnh của một hình thoi.
1
4
Bài toán 7: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x 4 ( m 1)x 2 2 m 1 có điểm cực đại là A, hai
5
điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi với I 0; .
2
Đáp án: m
1
2
Bài toán 8: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2m2 x2 m4 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao
cho bốn điểm A, B, C, O cùng nằm trên một đường tròn.
Đáp án: m 1
Bài toán 9: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị A, B, C, sao
cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.
Đáp án: m 1; m
5 1
2
Bài toán 10: Tìm tham số m để đồ thị hàm số y x4 2(m 1)x2 m có ba điểm cực trị A, B, C
sao cho độ dài OA BC với A là cực trị thuộc trục tung.
Đáp án: m 2 2 2